Теория винта

Математическая формулировка векторных пар, используемых в физике (динамика твердого тела)

Теория винтов представляет собой алгебраическое вычисление пар векторов , таких как угловая и линейная скорость , или силы и моменты , которые возникают в кинематике и динамике твердых тел . [ ^{1] [2]}

Теория винтов обеспечивает математическую формулировку геометрии линий , которая является центральной в динамике твердого тела , где линии образуют винтовые оси пространственного движения и линии действия сил. Пара векторов, которые образуют координаты Плюккера линии, определяют единичный винт, а общие винты получаются путем умножения на пару действительных чисел и сложения векторов . ^[3]

Важные теоремы теории винтов включают: Принцип переноса доказывает, что геометрические вычисления для точек с использованием векторов параллельны геометрическим вычислениям для линий, полученных путем замены векторов винтами. ^[4] Теорема Шаля доказывает, что любое изменение между двумя позами жесткого объекта может быть выполнено одним винтом. Теорема Пуансо доказывает, что вращения вокруг главной и второстепенной — но не промежуточной — осей жесткого объекта являются устойчивыми.

Теория винтов является важным инструментом в механике роботов, ^{[5] [6] [7] [8]} механическом проектировании, вычислительной геометрии и динамике многотельных систем . Это отчасти из-за связи между винтами и двойными кватернионами , которые использовались для интерполяции движений твердого тела . ^[9] На основе теории винтов был также разработан эффективный подход для синтеза типов параллельных механизмов (параллельных манипуляторов или параллельных роботов). ^[10]

Основные понятия

Шаг чистого винта связывает вращение вокруг оси с поступательным движением вдоль этой оси.

Пространственное перемещение твердого тела можно определить как вращение вокруг прямой и перемещение вдоль той же прямой, называемоеВинтовое движение . Это известно кактеорема Шаля. Шесть параметров, определяющих винтовое движение, — это четыре независимых компонента вектора Плюккера, определяющего ось винта, вместе с углом поворота вокруг и линейным скольжением вдоль этой линии, и образуют пару векторов, называемых винтом.Для сравнения, шесть параметров, определяющих пространственное смещение, также могут быть заданы тремяуглами Эйлера, определяющими вращение, и тремя компонентами вектора трансляции.

Винт

Винт — это шестимерный вектор, построенный из пары трехмерных векторов, таких как силы и крутящие моменты, а также линейная и угловая скорости, которые возникают при изучении пространственного движения твердого тела. Компоненты винта определяют координаты Плюккера линии в пространстве и величины вектора вдоль линии и момента относительно этой линии.

Крутить

Скручивание — это винт , используемый для представления скорости твердого тела как угловой скорости вокруг оси и линейной скорости вдоль этой оси. Все точки тела имеют одинаковую составляющую скорости вдоль оси, однако чем больше расстояние от оси, тем больше скорость в плоскости, перпендикулярной этой оси. Таким образом, геликоидальное поле, образованное векторами скорости в движущемся твердом теле, сглаживается по мере удаления точек радиально от оси скручивания.

Точки тела, совершающего постоянное крутильное движение, описывают спирали в неподвижной системе отсчета. Если это винтовое движение имеет нулевой шаг, то траектории описывают окружности, и движение представляет собой чистое вращение. Если винтовое движение имеет бесконечный шаг, то все траектории представляют собой прямые линии в одном направлении.

Гаечный ключ

Векторы силы и крутящего момента, возникающие при применении законов Ньютона к твердому телу, можно собрать в винт, называемый гаечным ключом . Сила имеет точку приложения и линию действия, поэтому она определяет координаты Плюккера линии в пространстве и имеет нулевой шаг. Крутящий момент, с другой стороны, является чистым моментом, который не привязан к линии в пространстве и является винтом с бесконечным шагом. Отношение этих двух величин определяет шаг винта.

Алгебра винтов

Пусть винт будет упорядоченной парой

${\displaystyle {\mathsf {S}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} ),}$

где S и V — трехмерные действительные векторы. Сумма и разность этих упорядоченных пар вычисляются покомпонентно. Винты часто называют дуальными векторами .

Теперь введем упорядоченную пару действительных чисел â = ( a ,  b ), называемую дуальным скаляром . Пусть сложение и вычитание этих чисел будет покомпонентным, и определим умножение как Умножение винта S  = ( S ,  V ) на дуальный скаляр â = ( a ,  b ) вычисляется покомпонентно и равно, $${\displaystyle {\hat {a}}{\hat {c}}=(a,b)(c,d)=(ac,ad+bc).}$$ $${\displaystyle {\hat {a}}{\mathsf {S}}=(a,b)(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )=(a\mathbf {S} ,a\mathbf {V} +b\mathbf {S} ).}$$

Наконец, введем скалярное и перекрестное произведения винтов по формулам: , которое является дуальным скаляром, а которое является винтом. Скалярное и перекрестное произведения винтов удовлетворяют тождествам векторной алгебры и допускают вычисления, которые напрямую параллельны вычислениям в алгебре векторов. $${\displaystyle {\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\cdot (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \cdot \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \cdot \mathbf {W} +\mathbf {V} \cdot \mathbf {T} ),}$$ $${\displaystyle {\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\times (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \times \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \times \mathbf {W} +\mathbf {V} \times \mathbf {T} ).}$$

Пусть дуальный скаляр ẑ = ( φ ,  d ) определяет дуальный угол , тогда бесконечные ряды определений синуса и косинуса дают соотношения , которые также являются дуальными скалярами. В общем случае функция дуальной переменной определяется как f (ẑ) = ( f ( φ ),  df ′( φ )), где df ′( φ ) является производной  f ( φ ). $${\displaystyle \sin {\hat {z}}=(\sin \varphi ,d\cos \varphi ),\,\,\,\cos {\hat {z}}=(\cos \varphi ,-d\sin \varphi ),}$$

Эти определения позволяют получить следующие результаты:

• Единичные винты являются координатами Плюккера линии и удовлетворяют соотношению $${\displaystyle |{\mathsf {S}}|={\sqrt {{\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {S}}}}=1;}$$
• Пусть ẑ = ( φ ,  d ) — двойственный угол, где φ — угол между осями S и T вокруг их общей нормали, а d — расстояние между этими осями вдоль общей нормали, тогда $${\displaystyle {\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=\left|{\mathsf {S}}\right|\left|{\mathsf {T}}\right|\cos {\hat {z}};}$$
• Пусть N — единичный винт, определяющий общую нормаль к осям S и T , а ẑ = ( φ ,  d ) — двойственный угол между этими осями, тогда $${\displaystyle {\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=\left|{\mathsf {S}}\right|\left|{\mathsf {T}}\right|\sin {\hat {z}}{\mathsf {N}}.}$$

Гаечный ключ

Распространенным примером винта является гаечный ключ, связанный с силой, действующей на твердое тело. Пусть P будет точкой приложения силы F , а P будет вектором, определяющим эту точку в неподвижной системе отсчета. Гаечный ключ W = ( F , P × F ) является винтом. Результирующая сила и момент, полученные от всех сил F _i , i  = 1,..., n , действующих на твердое тело, являются просто суммой отдельных гаечных ключей W _i , то есть

${\displaystyle {\mathsf {R}}=\sum _{i=1}^{n}{\mathsf {W}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i},\mathbf {P} _{i}\times \mathbf {F} _{i}).}$

Обратите внимание, что случай двух равных, но противоположных сил F и − F, действующих в точках A и B соответственно, дает результирующее

${\displaystyle {\mathsf {R}}=(\mathbf {F} -\mathbf {F} ,\mathbf {A} \times \mathbf {F} -\mathbf {B} \times \mathbf {F} )=(0,(\mathbf {A} -\mathbf {B} )\times \mathbf {F} ).}$

Это показывает, что винты формы

${\displaystyle {\mathsf {M}}=(0,\mathbf {M} ),}$

можно интерпретировать как чистые моменты.

Крутить

Чтобы определить скручивание твердого тела, мы должны рассмотреть его движение, определяемое параметризованным набором пространственных перемещений, D(t)=([A(t)], d (t)), где [A] — матрица вращения, а d — вектор перемещения. Это приводит к тому, что точка p , зафиксированная в координатах движущегося тела, прослеживает кривую P (t) в фиксированной системе отсчета, заданной как,

${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} +\mathbf {d} (t).}$

Скорость P равна

${\displaystyle \mathbf {V} _{P}(t)=\left[{\frac {dA(t)}{dt}}\right]\mathbf {p} +\mathbf {v} (t),}$

где v — скорость начала движущейся системы отсчета, то есть d d /dt. Теперь подставим p  = [ A ^T ]( P  −  d ) в это уравнение, чтобы получить,

${\displaystyle \mathbf {V} _{P}(t)=[\Omega ]\mathbf {P} +\mathbf {v} -[\Omega ]\mathbf {d} \quad {\text{or}}\quad \mathbf {V} _{P}(t)=\mathbf {\omega } \times \mathbf {P} +\mathbf {v} +\mathbf {d} \times \mathbf {\omega } ,}$

где [Ω] = [d A /d t ][ A ^T ] — матрица угловой скорости, а ω — вектор угловой скорости.

Винт

${\displaystyle {\mathsf {T}}=({\vec {\omega }},\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}),\!}$

— это закручивание движущегося тела. Вектор V  =  v  +  d  ×  ω — это скорость точки тела, соответствующей началу неподвижной системы отсчета.

Существует два важных особых случая: (i) когда d является постоянным, то есть v  = 0, тогда поворот представляет собой чистое вращение вокруг прямой, тогда поворот равен

${\displaystyle {\mathsf {L}}=(\omega ,\mathbf {d} \times \omega ),}$

и (ii) когда [Ω] = 0, то есть тело не вращается, а только скользит в направлении v , то поворот представляет собой чистое скольжение, определяемое формулой

${\displaystyle {\mathsf {T}}=(0,\mathbf {v} ).}$

Вращающиеся соединения

Для вращательного соединения пусть ось вращения проходит через точку q и направлена ​​вдоль вектора ω , тогда крутящий момент для соединения определяется выражением:

${\displaystyle \xi ={\begin{Bmatrix}\omega \\q\times \omega \end{Bmatrix}}.}$

Призматические соединения

Для призматического соединения пусть вектор v определяет направление скольжения, тогда скручивание для соединения определяется как,

${\displaystyle \xi ={\begin{Bmatrix}0\\v\end{Bmatrix}}.}$

Координатное преобразование винтов

Координатные преобразования для винтов легко понять, если начать с координатных преобразований вектора Плюккера прямой, которые, в свою очередь, получаются из преобразований координат точек на прямой.

Пусть смещение тела определяется как D  = ([ A ],  d ), где [ A ] — матрица вращения, а d — вектор перемещения. Рассмотрим линию в теле, определяемую двумя точками p и q , которая имеет координаты Плюккера ,

${\displaystyle {\mathsf {q}}=(\mathbf {q} -\mathbf {p} ,\mathbf {p} \times \mathbf {q} ),}$

тогда в неподвижной системе отсчета мы имеем преобразованные координаты точки P  = [ A ] p  +  d и Q  = [ A ] q  +  d , что дает.

${\displaystyle {\mathsf {Q}}=(\mathbf {Q} -\mathbf {P} ,\mathbf {P} \times \mathbf {Q} )=([A](\mathbf {q} -\mathbf {p} ),[A](\mathbf {p} \times \mathbf {q} )+\mathbf {d} \times [A](\mathbf {q} -\mathbf {p} ))}$

Таким образом, пространственное смещение определяет преобразование для координат Плюккера линий, заданное формулой

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}\mathbf {Q} -\mathbf {P} \\\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\DA&A\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\mathbf {q} -\mathbf {p} \\\mathbf {p} \times \mathbf {q} \end{Bmatrix}}.}$

Матрица [ D ] является кососимметричной матрицей, которая выполняет операцию векторного произведения, то есть [ D ] y  =  d  ×  y .

Матрицу 6×6, полученную из пространственного смещения D  = ([ A ],  d ), можно собрать в дуальную матрицу

${\displaystyle [{\hat {A}}]=([A],[DA]),}$

который действует на винт s  = ( s . v ) для получения,

${\displaystyle {\mathsf {S}}=[{\hat {A}}]{\mathsf {s}},\quad (\mathbf {S} ,\mathbf {V} )=([A],[DA])(\mathbf {s} ,\mathbf {v} )=([A]\mathbf {s} ,[A]\mathbf {v} +[DA]\mathbf {s} ).}$

Двойственная матрица [ Â ] = ([ A ], [ DA ]) имеет определитель 1 и называется двойственной ортогональной матрицей .

Повороты как элементы алгебры Ли

Рассмотрим движение твердого тела, определяемое параметризованным однородным преобразованием 4x4,

${\displaystyle {\textbf {P}}(t)=[T(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {P}}\\1\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)&{\textbf {d}}(t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.}$

Эта нотация не делает различий между P = ( X , Y , Z , 1) и P = ( X , Y , Z ), что, как мы надеемся, понятно из контекста.

Скорость этого движения определяется путем вычисления скорости траекторий точек тела,

${\displaystyle {\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {V}}_{P}\\0\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\textbf {d}}}(t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.}$

Точка обозначает производную по времени, а поскольку p — константа, ее производная равна нулю.

Подставим обратное преобразование для p в уравнение скорости, чтобы получить скорость P , действуя на ее траекторию P ( t ), то есть

${\displaystyle {\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}{\textbf {P}}(t)=[S]{\textbf {P}},}$

где

${\displaystyle [S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega {\textbf {d}}+{\dot {\textbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Omega &\mathbf {d} \times \omega +\mathbf {v} \\0&0\end{bmatrix}}.}$

Напомним, что [Ω] — матрица угловой скорости. Матрица [ S ] является элементом алгебры Ли se(3) группы Ли SE(3) однородных преобразований. Компоненты [ S ] являются компонентами винтовой спирали, и по этой причине [ S ] также часто называют твистом.

Из определения матрицы [ S ] можно сформулировать обыкновенное дифференциальное уравнение:

${\displaystyle [{\dot {T}}(t)]=[S][T(t)],}$

и спросите о движении [ T ( t )], которое имеет постоянную матрицу закручивания [ S ]. Решением является матричная экспонента

${\displaystyle [T(t)]=e^{[S]t}.}$

Эту формулировку можно обобщить таким образом, что при заданной начальной конфигурации g (0) в SE( n ) и повороте ξ в se( n ) однородное преобразование в новое местоположение и ориентацию можно вычислить с помощью формулы:

${\displaystyle g(\theta )=\exp(\xi \theta )g(0),}$

где θ представляет собой параметры преобразования.

Винты по отражению

В геометрии преобразований элементарным понятием преобразования является отражение (математика) . В плоских преобразованиях перенос получается отражением относительно параллельных линий, а вращение получается отражением относительно пары пересекающихся линий. Чтобы произвести винтовое преобразование из подобных понятий, необходимо использовать плоскости в пространстве : параллельные плоскости должны быть перпендикулярны оси винта , которая является линией пересечения пересекающихся плоскостей, которые порождают вращение винта. Таким образом, четыре отражения относительно плоскостей производят винтовое преобразование. Традиция инверсионной геометрии заимствует некоторые идеи проективной геометрии и предоставляет язык преобразования, который не зависит от аналитической геометрии .

Омография

Сочетание перемещения с вращением, осуществляемым посредством винтового смещения, можно проиллюстрировать с помощью экспоненциального отображения .

Так как ε ² = 0 для дуальных чисел , то exp( aε ) = 1 + aε , все остальные члены показательного ряда равны нулю.

Пусть F = {1 + εr  : r ∈ H }, ε ² = 0. Заметим, что F устойчиво относительно вращения q → p ⁻¹ qp и относительно трансляции (1 + εr )(1 + εs ) = 1 + ε ( r + s ) для любых векторных кватернионов r и s . F является 3-мерной плоскостью в восьмимерном пространстве дуальных кватернионов . Эта 3-плоскость F представляет пространство , а построенная гомография , ограниченная F , является винтовым смещением пространства.

Пусть a будет половиной угла желаемого поворота вокруг оси r , а br — половиной смещения по оси винта . Тогда образуются z = exp(( a + bε ) r ) и z* = exp(( a − bε ) r ). Теперь гомография имеет вид

${\displaystyle [q\ :\ 1]{\begin{pmatrix}z&0\\0&z^{*}\end{pmatrix}}=[qz\ :\ z^{*}]\thicksim [(z^{*})^{-1}qz\ :\ 1].}$

Обратное значение для z * равно

${\displaystyle {\frac {1}{\exp(ar-b\varepsilon r)}}=(e^{ar}e^{-br\varepsilon })^{-1}=e^{br\varepsilon }e^{-ar},}$

Итак, гомография отправляет q в

${\displaystyle (e^{b\varepsilon }e^{-ar})q(e^{ar}e^{b\varepsilon r})=e^{b\varepsilon r}(e^{-ar}qe^{ar})e^{b\varepsilon r}=e^{2b\varepsilon r}(e^{-ar}qe^{ar}).}$

Теперь для любого вектора кватерниона p , p * = − p , пусть q = 1 + pε ∈ F  , где выполняются требуемые поворот и трансляция.

Очевидно, группа единиц кольца дуальных кватернионов является группой Ли . Подгруппа имеет алгебру Ли, порожденную параметрами ar и bs , где a , b ∈ R , и r , s ∈ H. Эти шесть параметров порождают подгруппу единиц, единичную сферу. Конечно, она включает F и 3 -сферу версоров .

Работа сил, действующих на твердое тело

Рассмотрим набор сил F ₁ , F ₂ ... F _n , действующих на точки X ₁ , X ₂ ... X _n в твердом теле. Траектории X _i , i  = 1,..., n определяются движением твердого тела с вращением [ A ( t )] и перемещением d ( t ) опорной точки в теле, заданным как

${\displaystyle \mathbf {X} _{i}(t)=[A(t)]\mathbf {x} _{i}+\mathbf {d} (t)\quad i=1,\ldots ,n,}$

где x _i — координаты в движущемся теле.

Скорость каждой точки X _i равна

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}={\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+\mathbf {v} ,}$

где ω — вектор угловой скорости, а v — производная d ( t ).

Работа сил по перемещению δ r _i = v _i δt каждой точки определяется выражением

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \mathbf {V} _{1}\delta t+\mathbf {F} _{2}\cdot \mathbf {V} _{2}\delta t+\cdots +\mathbf {F} _{n}\cdot \mathbf {V} _{n}\delta t.}$

Определим скорости каждой точки через закручивание движущегося тела, чтобы получить

${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot ({\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+\mathbf {v} )\delta t.}$

Разверните это уравнение и соберите коэффициенты ω и v, чтобы получить

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta W&=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot \mathbf {d} \times {\vec {\omega }}\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot \mathbf {v} \delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t\\[4pt]&=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\vec {\omega }})\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t.\end{aligned}}}$

Введем скручивание движущегося тела и действующую на него силу гаечного ключа, заданную формулой

${\displaystyle {\mathsf {T}}=({\vec {\omega }},\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}+\mathbf {v} )=(\mathbf {T} ,\mathbf {T} ^{\circ }),\quad {\mathsf {W}}=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i},\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)=(\mathbf {W} ,\mathbf {W} ^{\circ }),}$

тогда работа принимает форму

${\displaystyle \delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T} ^{\circ }+\mathbf {W} ^{\circ }\cdot \mathbf {T} )\delta t.}$

Матрица 6×6 [Π] используется для упрощения расчета работы с использованием винтов, так что

${\displaystyle \delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T} ^{\circ }+\mathbf {W} ^{\circ }\cdot \mathbf {T} )\delta t={\mathsf {W}}[\Pi ]{\mathsf {T}}\delta t,}$

где

${\displaystyle [\Pi ]={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix}},}$

и [I] — единичная матрица 3×3.

Взаимные винты

Если виртуальная работа ключа на повороте равна нулю, то силы и крутящий момент ключа являются силами ограничения относительно поворота. Говорят, что ключ и поворот являются взаимными, то есть если

${\displaystyle \delta W={\mathsf {W}}[\Pi ]{\mathsf {T}}\delta t=0,}$

тогда винты W и T являются взаимно-обратными.

Повороты в робототехнике

При изучении робототехнических систем компоненты скручивания часто транспонируются, чтобы исключить необходимость в матрице 6×6 [Π] при расчете работы. ^[4] В этом случае скручивание определяется как

${\displaystyle {\check {\mathsf {T}}}=(\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}+\mathbf {v} ,{\vec {\omega }}),}$

поэтому расчет работы принимает вид

${\displaystyle \delta W={\mathsf {W}}\cdot {\check {\mathsf {T}}}\delta t.}$

В этом случае, если

${\displaystyle \delta W={\mathsf {W}}\cdot {\check {\mathsf {T}}}\delta t=0,}$

тогда гаечный ключ W обратен крутке T.

История

Математическая основа была разработана сэром Робертом Стэуэллом Боллом в 1876 году для применения в кинематике и статике механизмов (механике твердого тела). ^[3 ]

Феликс Клейн рассматривал теорию винтов как приложение эллиптической геометрии и своей Эрлангенской программы . ^[11] Он также разработал эллиптическую геометрию и свежий взгляд на евклидову геометрию с метрикой Кэли–Клейна . Использование симметричной матрицы для конического сечения и метрики фон Штаудта , применяемое к винтам, было описано Харви Липкиным. ^[12] Другие выдающиеся участники включают Юлиуса Плюккера , В. К. Клиффорда , Ф. М. Диментберга, Кеннета Х. Ханта , Дж. Р. Филлипса. ^[13]

Идея гомографии в геометрии преобразований была выдвинута Софусом Ли более века назад. Еще раньше Уильям Роуэн Гамильтон вывел версорную форму единичных кватернионов как exp( ar )= cos a + r sin a . Эта идея также содержится в формуле Эйлера, параметризующей единичную окружность в комплексной плоскости .

Уильям Кингдон Клиффорд инициировал использование двойных кватернионов для кинематики , за ним последовали Александр Котельников , Эдуард Штуд ( Geometrie der Dynamen ) и Вильгельм Блашке . Однако точка зрения Софуса Ли вернулась. ^[14] В 1940 году Джулиан Кулидж описал использование двойных кватернионов для винтовых перемещений на странице 261 «Истории геометрических методов» . Он отмечает вклад Артура Буххайма 1885 года . ^[15] Кулидж основывал свое описание просто на инструментах, которые Гамильтон использовал для действительных кватернионов.

Смотрите также

• Ось винта
• Уравнения Ньютона–Эйлера используют винты для описания движений и нагрузок твердого тела.
• Твист (дифференциальная геометрия)
• Твист (рациональная тригонометрия)

Ссылки

1. Диментберг, Ф.М. (1965) Винтовое исчисление и его применение в механике, перевод Отдела иностранных технологий FTD-HT-23-1632-67
2. Янг, AT (1974) «Исчисление винтов» в книге «Основные вопросы теории проектирования» , под ред. Уильяма Р. Шпилерса, Elsevier, стр. 266–281.
3. Ball, RS (1876). Теория винтов: исследование динамики твердого тела. Ходжес, Фостер.
4. McCarthy, J. Michael; Soh, Gim Song (2010). Геометрический дизайн связей. Springer. ISBN 978-1-4419-7892-9.
5. Featherstone, Roy (1987). Алгоритмы динамики роботов. Kluwer Academic Pub. ISBN 978-0-89838-230-3.
6. Featherstone, Roy (2008). Алгоритмы динамики роботов. Springer. ISBN 978-0-387-74315-8.
7. Мюррей, Ричард М.; Ли, Цзэсян; Шастри, С. Шанкар; Шастри, С. Шанкара (1994-03-22). Математическое введение в роботизированную манипуляцию. CRC Press. ISBN 978-0-8493-7981-9.
8. Линч, Кевин М.; Парк, Фрэнк К. (2017-05-25). Современная робототехника. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-15630-2.
9. Селиг, Дж. М. (2011) «Рациональная интерполяция движений твердого тела», Достижения в теории управления, сигналов и систем с физическим моделированием, Конспект лекций по управлению и информационным наукам, том 407/2011 213–224, doi :10.1007/978-3-642-16135-3_18 Springer.
10. Конг, Сяньвэнь; Госселин, Клеман (2007). Тип синтеза параллельных механизмов. Springer. ISBN 978-3-540-71990-8.
11. Феликс Клейн (1902) (переводчик Д. Х. Дельфенича) О теории винтов сэра Роберта Болла
12. Харви Липкин (1983) Метрическая геометрия Архивировано 2016-03-05 в Wayback Machine из Georgia Tech
13. Клиффорд, Уильям Кингдон (1873), «Предварительный набросок бикватернионов», статья XX, Математические статьи , стр. 381.
14. Сянке Ван, Дапэн Хан, Чанбин Юй и Чжицян Чжэн (2012) «Геометрическая структура единичных дуальных кватернионов с применением в кинематическом управлении», Журнал математического анализа и приложений 389(2):1352–64
15. Бухгейм, Артур (1885). «Воспоминания о бикватернионах». American Journal of Mathematics . 7 (4): 293–326. doi :10.2307/2369176. JSTOR  2369176.

Внешние ссылки

• Джо Руни Уильям Кингдон Клиффорд, кафедра дизайна и инноваций, Открытый университет, Лондон.
• Заметки Рави Банавара о робототехнике, геометрии и управлении