Вейвлет-преобразование

Математический метод, используемый при сжатии и анализе данных.

Пример 2D дискретного вейвлет-преобразования , используемого в JPEG2000 .

В математике вейвлет -ряд — это представление интегрируемой с квадратом ( действительной или комплекснозначной ) функции с помощью определенного ортонормированного ряда , генерируемого вейвлетом . В этой статье дается формальное математическое определение ортонормированного вейвлета и интегрального вейвлет-преобразования . ^{[1] [2] [3] [4] [5]}

Определение

Функция называется ортонормированным вейвлетом , если ее можно использовать для определения гильбертова базиса , то есть полной ортонормированной системы , для гильбертова пространства функций, интегрируемых с квадратом . ${\displaystyle \psi \,\in \,L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$

Базис Гильберта строится как семейство функций посредством двоичных сдвигов и расширений , ${\displaystyle \{\psi _{jk}:\,j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \psi \,}$

${\displaystyle \psi _{jk}(x)=2^{\frac {j}{2}}\psi \left(2^{j}x-k\right)\,}$

для целых чисел . ${\displaystyle j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} }$

Если при стандартном внутреннем продукте на , ${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}dx}$

это семейство ортонормировано, это ортонормированная система:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi _{jk},\psi _{lm}\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{jk}(x){\overline {\psi _{lm}(x)}}dx\\&=\delta _{jl}\delta _{km}\end{aligned}}}$

где находится дельта Кронекера . ${\displaystyle \delta _{jl}\,}$

Полнота удовлетворяется, если каждую функцию можно разложить в базисе как ${\displaystyle f\,\in \,L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{j,k=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}(x)}$

при этом под сходимостью ряда понимается сходимость по норме . Такое представление f известно как вейвлет-серия . Это означает, что ортонормированный вейвлет самодуален .

Интегральное вейвлет-преобразование — это интегральное преобразование, определяемое как

${\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {|a|}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\psi \left({\frac {x-b}{a}}\right)}}f(x)dx\,}$

Вейвлет -коэффициенты тогда определяются выражением ${\displaystyle c_{jk}}$

${\displaystyle c_{jk}=\left[W_{\psi }f\right]\left(2^{-j},k2^{-j}\right)}$

Здесь называется бинарной дилатацией или диадической дилатацией и представляет собой бинарную или диадическую позицию . ${\displaystyle a=2^{-j}}$ ${\displaystyle b=k2^{-j}}$

Принцип

Фундаментальная идея вейвлет-преобразований заключается в том, что преобразование должно допускать только изменения во времени, но не в форме, что накладывает ограничение на выбор подходящих базисных функций. Ожидается, что изменения временного расширения будут соответствовать соответствующей частоте анализа базовой функции. На основе принципа неопределенности обработки сигналов,

${\displaystyle \Delta t\Delta \omega \geq {\frac {1}{2}}}$

где представляет собой время и угловую частоту ( , где – обычная частота ). ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle f}$

Чем выше требуемое разрешение по времени, тем ниже должно быть разрешение по частоте. Чем большее расширение окон анализа выбрано , тем больше значение . ${\displaystyle \Delta t}$

Когда он большой, ${\displaystyle \Delta t}$

1. Плохое разрешение времени
2. Хорошее частотное разрешение
3. Низкая частота, большой коэффициент масштабирования

Когда маленький ${\displaystyle \Delta t}$

1. Хорошее временное разрешение
2. Плохое разрешение по частоте
3. Высокая частота, малый коэффициент масштабирования

Другими словами, базисную функцию можно рассматривать как импульсную характеристику системы, с помощью которой функция была отфильтрована. Преобразованный сигнал предоставляет информацию о времени и частоте. Следовательно, вейвлет-преобразование содержит информацию, аналогичную кратковременному преобразованию Фурье , но с дополнительными специальными свойствами вейвлетов, которые проявляются при разрешении во времени на более высоких частотах анализа базисной функции. Разница во временном разрешении на возрастающих частотах для преобразования Фурье и вейвлет-преобразования показана ниже. Однако обратите внимание, что разрешение по частоте уменьшается с увеличением частоты, в то время как временное разрешение увеличивается. Это следствие принципа неопределенности Фурье неверно отображено на рисунке. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x(t)}$

Это показывает, что вейвлет-преобразование хорошо обеспечивает временное разрешение высоких частот, тогда как для медленно меняющихся функций частотное разрешение является замечательным.

Другой пример: анализ трех наложенных синусоидальных сигналов с помощью STFT и вейвлет-преобразования. ${\displaystyle y(t)\;=\;\sin(2\pi f_{0}t)\;+\;\sin(4\pi f_{0}t)\;+\;\sin(8\pi f_{0}t)}$

Вейвлет-сжатие

Вейвлет-сжатие — это форма сжатия данных, хорошо подходящая для сжатия изображений (иногда также сжатия видео и аудио ). Известные реализации — JPEG 2000 , DjVu и ECW для неподвижных изображений, JPEG XS , CineForm и Dirac от BBC . Цель состоит в том, чтобы хранить данные изображения в файле как можно меньше места . Вейвлет-сжатие может быть как без потерь , так и с потерями . ^[6]

Используя вейвлет-преобразование, методы вейвлет-сжатия подходят для представления переходных процессов , таких как перкуссионные звуки в аудио или высокочастотные компоненты в двумерных изображениях, например, изображения звезд на ночном небе. Это означает, что переходные элементы сигнала данных могут быть представлены меньшим объемом информации, чем было бы в случае, если бы использовалось какое-либо другое преобразование, например более распространенное дискретное косинусное преобразование .

Дискретное вейвлет-преобразование было успешно применено для сжатия сигналов электрокардиографа (ЭКГ) ^[7]. В этой работе высокая корреляция между соответствующими вейвлет-коэффициентами сигналов последовательных сердечных циклов используется с использованием линейного прогнозирования.

Вейвлет-сжатие неэффективно для всех типов данных. Вейвлет-сжатие хорошо обрабатывает переходные сигналы. Но гладкие периодические сигналы лучше сжимаются с помощью других методов, в частности, традиционного гармонического анализа в частотной области с преобразованиями Фурье . Сжатие данных, имеющих как переходные, так и периодические характеристики, может быть выполнено с помощью гибридных методов, в которых используются вейвлеты наряду с традиционным гармоническим анализом. Например, аудиокодек Vorbis в основном использует модифицированное дискретное косинусное преобразование для сжатия звука (который обычно является плавным и периодическим), однако позволяет добавить банк гибридных вейвлет-фильтров для улучшения воспроизведения переходных процессов. ^[8]

См. «Дневник разработчика x264: Проблемы с вейвлетами» (2010 г.), где обсуждаются практические вопросы современных методов использования вейвлетов для сжатия видео.

Метод

Сначала применяется вейвлет-преобразование. В результате получается столько коэффициентов , сколько пикселей в изображении (т. е. сжатие еще не производится, поскольку это всего лишь преобразование). Эти коэффициенты затем можно будет легче сжать, поскольку информация статистически сконцентрирована всего в нескольких коэффициентах. Этот принцип называется кодированием с преобразованием . После этого коэффициенты квантуются , а квантованные значения подвергаются энтропийному кодированию и/или кодированию длины серии .

В некоторых одномерных и двумерных приложениях вейвлет-сжатия используется метод, называемый «вейвлет-следы». ^{[9] [10]}

Оценка

Требования к сжатию изображений

Для большинства естественных изображений спектральная плотность нижних частот выше. ^[11] В результате информация низкочастотного сигнала (опорного сигнала) обычно сохраняется, тогда как информация подробного сигнала отбрасывается. С точки зрения сжатия и реконструкции изображений вейвлет при выполнении сжатия изображений должен соответствовать следующим критериям:

• Возможность преобразовать более оригинальное изображение в опорный сигнал.
• Реконструкция с высочайшей точностью на основе опорного сигнала.
• Не должно приводить к появлению артефактов в изображении, восстановленном только по опорному сигналу.

Требование к отклонению смещения и звонковому поведению

Система сжатия вейвлет-изображений включает в себя фильтры и прореживание, поэтому ее можно описать как систему с линейным сдвигом. Типичная диаграмма вейвлет-преобразования показана ниже:

Система преобразования содержит два фильтра анализа (фильтр нижних частот и фильтр верхних частот ), процесс прореживания, процесс интерполяции и два фильтра синтеза ( и ). Система сжатия и реконструкции обычно включает в себя низкочастотные компоненты, то есть фильтры анализа для сжатия изображения и фильтры синтеза для реконструкции. Чтобы оценить такую ​​систему, мы можем ввести импульс и наблюдать его реконструкцию ; Оптимальным вейвлетом являются те, которые обеспечивают минимальную дисперсию сдвига и боковые лепестки до . Несмотря на то, что вейвлет со строгим отклонением сдвига нереалистичен, можно выбрать вейвлет с лишь небольшим отклонением сдвига. Например, мы можем сравнить дисперсию сдвига двух фильтров: ^[12] ${\displaystyle h_{0}(n)}$ ${\displaystyle h_{1}(n)}$ ${\displaystyle g_{0}(n)}$ ${\displaystyle g_{1}(n)}$ ${\displaystyle h_{0}(n)}$ ${\displaystyle g_{0}(n)}$ ${\displaystyle \delta (n-n_{i})}$ ${\displaystyle h(n-n_{i})}$ ${\displaystyle h(n-n_{i})}$

Наблюдая за импульсными характеристиками двух фильтров, мы можем сделать вывод, что второй фильтр менее чувствителен к местоположению входа (т.е. это вариант с меньшим сдвигом).

Еще одной важной проблемой сжатия и реконструкции изображений является колебательное поведение системы, которое может привести к серьезным нежелательным артефактам в реконструированном изображении. Чтобы добиться этого, вейвлет-фильтры должны иметь большое отношение пика к боковым лепесткам.

До сих пор мы обсуждали одномерную трансформацию системы сжатия изображений. Эту проблему можно распространить на два измерения, при этом предлагается более общий термин — смещаемые многомасштабные преобразования. ^[13]

Получение импульсной характеристики

Как упоминалось ранее, импульсный отклик можно использовать для оценки системы сжатия/восстановления изображения.

Для входной последовательности опорный сигнал после одного уровня разложения подвергается прореживанию в два раза и является фильтром нижних частот. Аналогично, следующий опорный сигнал получается путем прореживания в два раза. После L уровней разложения (и децимации) ответ анализа получается путем сохранения одного из каждых образцов: . ${\displaystyle x(n)=\delta (n-n_{i})}$ ${\displaystyle r_{1}(n)}$ ${\displaystyle x(n)*h_{0}(n)}$ ${\displaystyle h_{0}(n)}$ ${\displaystyle r_{2}(n)}$ ${\displaystyle r_{1}(n)*h_{0}(n)}$ ${\displaystyle 2^{L}}$ ${\displaystyle h_{A}^{(L)}(n,n_{i})=f_{h0}^{(L)}(n-n_{i}/2^{L})}$

С другой стороны, чтобы восстановить сигнал x(n), мы можем рассмотреть опорный сигнал . Если сигналы детализации равны нулю для , то опорный сигнал на предыдущем этапе ( этапе) равен , который получается путем интерполяции и свертки с . Аналогично процедура повторяется для получения опорного сигнала на этапе . После L итераций вычисляется импульсная характеристика синтеза: , которая связывает опорный сигнал и восстановленный сигнал. ${\displaystyle r_{L}(n)=\delta (n-n_{j})}$ ${\displaystyle d_{i}(n)}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq L}$ ${\displaystyle L-1}$ ${\displaystyle r_{L-1}(n)=g_{0}(n-2n_{j})}$ ${\displaystyle r_{L}(n)}$ ${\displaystyle g_{0}(n)}$ ${\displaystyle r(n)}$ ${\displaystyle L-2,L-3,....,1}$ ${\displaystyle h_{s}^{(L)}(n,n_{i})=f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-n_{j})}$ ${\displaystyle r_{L}(n)}$

Чтобы получить общую систему анализа/синтеза уровня L, ответы анализа и синтеза объединяются, как показано ниже:

${\displaystyle h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})=\sum _{k}f_{h0}^{(L)}(k-n_{i}/2^{L})f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-k)}$.

Наконец, отношение пика к первому боковому лепестку и среднее значение второго бокового лепестка общей импульсной характеристики можно использовать для оценки эффективности сжатия вейвлет-изображения. ${\displaystyle h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})}$

Сравнение с преобразованием Фурье и частотно-временным анализом

Вейвлеты имеют некоторые небольшие преимущества перед преобразованиями Фурье в сокращении вычислений при исследовании определенных частот. Однако они редко бывают более чувствительными, и действительно, обычный вейвлет Морле математически идентичен кратковременному преобразованию Фурье с использованием оконной функции Гаусса. ^[14] Исключением является поиск сигналов известной, несинусоидальной формы (например, сердцебиение); в этом случае использование согласованных вейвлетов может превзойти стандартный анализ STFT/Morlet. ^[15]

Другие практические применения

Вейвлет-преобразование может предоставить нам частоту сигналов и время, связанное с этими частотами, что делает его очень удобным для применения во многих областях. Например, обработка сигналов ускорения для анализа походки, ^[16] для обнаружения неисправностей, ^[17] для проектирования кардиостимуляторов малой мощности, а также в сверхширокополосной (СШП) беспроводной связи. ^{[18] [19] [20]}

1. Дискретизация оси ${\displaystyle c-\tau }$

   Применили следующую дискретизацию частоты и времени:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&=c_{0}^{n}\\\tau _{m}&=m\cdot T\cdot c_{0}^{n}\end{aligned}}}$

   Что приводит к вейвлетам вида, дискретная формула для базового вейвлета:

   ${\displaystyle \Psi (k,n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[{\frac {k-mc_{0}^{n}}{c_{0}^{n}}}T\right]={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]}$

   Такие дискретные вейвлеты можно использовать для преобразования:

   ${\displaystyle Y_{DW}(n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \sum _{k=0}^{K-1}y(k)\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]}$

2. Реализация через БПФ (быстрое преобразование Фурье)

   Как видно из представления вейвлет-преобразования (показано ниже)

   ${\displaystyle Y_{W}(c,\tau )={\frac {1}{\sqrt {c}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }y(t)\cdot \Psi \left({\frac {t-\tau }{c}}\right)\,dt}$

   где коэффициент масштабирования представляет собой коэффициент временного сдвига ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \tau }$

   и, как уже упоминалось в этом контексте, вейвлет-преобразование соответствует свертке функции и вейвлет-функции. Свертку можно реализовать как умножение в частотной области. При этом следующий подход к реализации приводит к: ${\displaystyle y(t)}$

   • Фурье-преобразование сигнала с помощью БПФ ${\displaystyle y(k)}$
   • Выбор дискретного масштабного коэффициента ${\displaystyle c_{n}}$
   • Масштабирование вейвлет-базиса по этому коэффициенту и последующее БПФ этой функции ${\displaystyle c_{n}}$
   • Умножение на преобразованный сигнал YFFT первого шага
   • Обратное преобразование произведения во временную область приводит к различным дискретным значениям и дискретному значению ${\displaystyle Y_{W}(c,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle c_{n}}$
   • Возвращаемся ко второму шагу, пока не будут обработаны все дискретные значения масштабирования. ${\displaystyle c_{n}}$
   Существует множество различных типов вейвлет-преобразований для конкретных целей. См. также полный список преобразований, связанных с вейвлетами , но наиболее распространенные из них перечислены ниже: вейвлет «Мексиканская шляпа» , вейвлет Хаара , вейвлет Добеши , треугольный вейвлет.
3. Обнаружение неисправностей в электроэнергетических системах. ^[21]
4. Локально адаптивная статистическая оценка функций, гладкость которых существенно варьируется в зависимости от области, или, более конкретно, оценка функций, которые разрежены в вейвлет-области. ^[22]

Временные вейвлеты

Для обработки временных сигналов в реальном времени важно, чтобы вейвлет-фильтры не обращались к значениям сигналов из будущего, а также чтобы можно было получить минимальные временные задержки. Представления вейвлетов, причинных по времени, были разработаны Сью и др. ^[23] и Линдебергом ^[24] , причем последний метод также включает в себя эффективно рекурсивную по времени реализацию.

Синхронно-сжатое преобразование

Синхронно-сжатое преобразование может значительно улучшить временное и частотное разрешение частотно-временного представления, полученного с использованием обычного вейвлет-преобразования. ^{[25] [26]}

Смотрите также

• Биномиальный QMF (также известный как вейвлет Добеши )
• Биортогональный почти койфлетный базис , который показывает, что вейвлет для сжатия изображений также может быть почти койфлетным (почти ортогональным)
• Преобразование чирплета
• Комплексное вейвлет-преобразование
• Преобразование с постоянной Q
• Непрерывное вейвлет-преобразование
• Вейвлет Добеши
• Дискретное вейвлет-преобразование
• Формат DjVu использует для сжатия изображений алгоритм IW44 на основе вейвлетов.
• Двойной вейвлет
• ECW — формат геопространственных изображений на основе вейвлетов, разработанный для скорости и эффективности обработки.
• Вейвлет Габора
• Вейвлет Хаара
• JPEG 2000 — стандарт сжатия изображений на основе вейвлетов.
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов
• Вейвлет Морле
• Мультиразрешительный анализ
• MrSID , формат изображения, разработанный на основе оригинальных исследований вейвлет-сжатия в Национальной лаборатории Лос-Аламоса (LANL).
• S-преобразование
• Скалеограммы — тип спектрограммы , генерируемой с использованием вейвлетов вместо кратковременного преобразования Фурье.
• Установить разделение в иерархических деревьях
• Кратковременное преобразование Фурье
• Стационарное вейвлет-преобразование
• Частотно-временное представление
• Вейвлет

Рекомендации

1. Мейер, Ив (1992), Вейвлеты и операторы, Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-42000-8
2. Чуи, Чарльз К. (1992), Введение в вейвлеты, Сан-Диего, Калифорния: Academic Press, ISBN 0-12-174584-8 
3. Добеши, Ингрид. (1992), Десять лекций по вейвлетам, SIAM, ISBN 978-0-89871-274-2 
4. Акансу, Али Н.; Хаддад, Ричард А. (1992), Разложение сигнала с несколькими разрешениями: преобразования, поддиапазоны и вейвлеты, Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN 978-0-12-047141-6 
5. Гадерпур, Э.; Пагиатакис, С.Д.; Хасан, Квебек (2021). «Опрос по обнаружению изменений и анализу временных рядов с помощью приложений». Прикладные науки . 11 (13): 6141. дои : 10.3390/app11136141 . hdl : 11573/1655273 .
6. JPEG 2000 , например, может использовать вейвлет 5/3 для преобразования без потерь (обратимого) и вейвлет 9/7 для преобразования с потерями (необратимого).
7. Рамакришнан, АГ; Саха, С. (1997). «Кодирование ЭКГ с помощью линейного прогнозирования на основе вейвлетов» (PDF) . Транзакции IEEE по биомедицинской инженерии . 44 (12): 1253–1261. дои : 10.1109/10.649997. PMID  9401225. S2CID  8834327.
8. "Спецификация Vorbis I" . Фонд Xiph.Org . 04.07.2020. Архивировано из оригинала 3 апреля 2022 г. Проверено 10 апреля 2022 г. Vorbis I — это кодек монолитного преобразования с прямой адаптацией, основанный на модифицированном дискретном косинусном преобразовании. Кодек структурирован так, чтобы обеспечить добавление гибридного банка вейвлет-фильтров в Vorbis II, чтобы обеспечить лучший переходный отклик и воспроизведение с использованием преобразования, лучше подходящего для локализованных временных событий.
9. Н. Малмуруган, А. Шанмугам, С. Джаяраман и В.В. Динеш Чандер. «Новый алгоритм сжатия изображений с использованием вейвлет-следов»
10. Хо Татт Вэй и Джеоти, В. «Схема сжатия сигналов ЭКГ на основе вейвлет-следов». Хо Татт Вэй; Джеоти, В. (2004). «Схема сжатия сигналов ЭКГ на основе вейвлет-следов». 2004 г. Конференция IEEE Region 10 TENCON 2004 г. Том. А. п. 283. дои :10.1109/TENCON.2004.1414412. ISBN 0-7803-8560-8. S2CID  43806122.
11. Дж. Филд, Дэвид (1987). «Связь между статистикой естественных изображений и ответными свойствами клеток коры» (PDF) . J. Опт. Соц. Являюсь. А.​ 4 (12): 2379–2394. Бибкод : 1987JOSAA...4.2379F. дои : 10.1364/JOSAA.4.002379. ПМИД  3430225.
12. Вилласенор, Джон Д. (август 1995 г.). «Оценка вейвлет-фильтра для сжатия изображения». Транзакции IEEE при обработке изображений . 4 (8): 1053–60. Бибкод : 1995ITIP....4.1053V. дои : 10.1109/83.403412. ПМИД  18291999.
13. Симончелли, EP; Фриман, WT; Адельсон, Э.Х.; Хигер, диджей (1992). «Сдвигаемые многомасштабные преобразования». Транзакции IEEE по теории информации . 38 (2): 587–607. дои : 10.1109/18.119725. S2CID  43701174.
14. Брунс, Андреас (2004). «Анализ сигналов на основе Фурье, Гильберта и вейвлетов: действительно ли это разные подходы?». Журнал методов нейробиологии . 137 (2): 321–332. doi :10.1016/j.jneumeth.2004.03.002. PMID  15262077. S2CID  21880274.
15. Кранц, Стивен Г. (1999). Панорама гармонического анализа . Математическая ассоциация Америки. ISBN 0-88385-031-1.
16. Мартин, Э. (2011). «Новый метод оценки длины шага с помощью акселерометров сети области тела». Тематическая конференция IEEE 2011 г. по биомедицинским беспроводным технологиям, сетям и сенсорным системам . стр. 79–82. doi : 10.1109/BIOWIRELESS.2011.5724356. ISBN 978-1-4244-8316-7. S2CID  37689047.
17. Лю, Цзе (2012). «Вейвлет-спектральный анализ Шеннона усеченных сигналов вибрации для обнаружения зарождающихся неисправностей оборудования». Измерительная наука и технология . 23 (5): 1–11. Бибкод : 2012MeScT..23e5604L. дои : 10.1088/0957-0233/23/5/055604. S2CID  121684952.
18. Акансу, АН; Сердейн, Вашингтон; Селесник, И.В. (2010). «Новые приложения вейвлетов: обзор» (PDF) . Физическое общение . 3 : 1–18. doi : 10.1016/j.phycom.2009.07.001.
19. Шейбани, Э.; Джавиди, Г. (декабрь 2009 г.). «Уменьшение размерности и удаление шума в наборах данных беспроводной сенсорной сети». 2009 Вторая международная конференция по компьютерной и электротехнике . Том. 2. стр. 674–677. дои : 10.1109/ICCEE.2009.282. ISBN 978-1-4244-5365-8. S2CID  17066179.
20. Шейбани, Э.О.; Джавиди, Г. (май 2012 г.). «Банки фильтров с разным разрешением для улучшения изображений SAR». Международная конференция по системам и информатике 2012 (ICSAI2012) . стр. 2702–2706. doi : 10.1109/ICSAI.2012.6223611. ISBN 978-1-4673-0199-2. S2CID  16302915.
21. Сильва, К.М.; Соуза, бакалавр; Брито, НРД (октябрь 2006 г.). «Обнаружение и классификация неисправностей в линиях электропередачи на основе вейвлет-преобразования и ИНС». Транзакции IEEE при доставке электроэнергии . 21 (4): 2058–2063. дои : 10.1109/TPWRD.2006.876659. S2CID  36881450.
22. Вассерман, Луизиана (2005). Вся непараметрическая статистика .
23. Сзу, Гарольд Х.; Телфер, Брайан А.; Ломанн, Адольф В. (1992). «Каузальное аналитическое вейвлет-преобразование». Оптическая инженерия . 31 (9): 1825. Бибкод : 1992OptEn..31.1825S. дои : 10.1117/12.59911.
24. Линдеберг, Т. (23 января 2023 г.). «Причинно-временное и рекурсивное по времени масштабно-пространственное представление временных сигналов и прошлого времени». Биологическая кибернетика . 117 (1–2): 21–59. дои : 10.1007/s00422-022-00953-6 . ПМЦ 10160219 . ПМИД  36689001. 
25. Добеши, Ингрид; Лу, Цзяньфэн; Ву, Хау-Тьенг (12 декабря 2009 г.). «Синхросжатые вейвлет-преобразования: инструмент для декомпозиции эмпирических мод». arXiv : 0912.2437 [math.NA].
26. Цюй, Хунья; Ли, Тяньтянь; Чен, Генда (01 января 2019 г.). «Синхронно-сжатое адаптивное вейвлет-преобразование с оптимальными параметрами для произвольных временных рядов». Механические системы и обработка сигналов . 114 : 366–377. Бибкод : 2019MSSP..114..366Q. дои : 10.1016/j.ymssp.2018.05.020 . S2CID  126007150.

^[1]

Внешние ссылки

• Амара Грапс (июнь 1995 г.). «Введение в вейвлеты». IEEE Вычислительная наука и инженерия . 2 (2): 50–61. дои : 10.1109/99.388960.
• Роби Поликар (12 января 2001 г.). «Учебник по вейвлетам».
• Краткое введение в вейвлеты Рене Пушингера

1. Прасад, Ахилеш; Маан, Джитендрасингх; Верма, Сандип Кумар (2021). «Вейвлет-преобразования, связанные с индексным преобразованием Уиттекера». Математические методы в прикладных науках . 44 (13): 10734–10752. Бибкод : 2021MMAS...4410734P. дои : 10.1002/ммма.7440. ISSN  1099-1476. S2CID  235556542.