Взаимно несмещенные базы

Пример трех базисов в двумерном пространстве, где базы B1 и B2 взаимно несмещены, тогда как векторы базиса B3 не имеют равного перекрытия с векторами базиса B1 (как и B2) и поэтому B3 не является взаимно несмещенным. несмещенный с B1 (и B2).

В квантовой теории информации набор базисов в гильбертовом пространстве C ^d называется взаимно несмещенным , что означает, что если система подготовлена ​​в собственном состоянии одного из базисов, то все результаты измерения относительно другие основы прогнозируются с равной вероятностью, неумолимо равной 1/d.

Обзор

Понятие взаимно несмещенных базисов было впервые введено Швингером в 1960 году ^[1] , а первым, кто рассмотрел применение взаимно несмещенных базисов, был Иванович ^[2] в задаче определения квантового состояния.

Теперь известно, что MUB и проблема их существования имеют несколько тесно связанных проблем и эквивалентных аватаров в некоторых других областях математики и квантовых наук, таких как SIC-POVM, конечные проективные/аффинные плоскости, комплексные матрицы Адамара и т. д. [см.: Связанные проблемы и разделы «Конструкции» ниже для подробной информации]

MUB важны для распределения квантовых ключей , в частности, для безопасного обмена квантовыми ключами. ^[3] Взаимно несмещенные базы используются во многих протоколах, поскольку результат является случайным, когда измерение производится в основе, несмещенной по отношению к той, в которой было подготовлено состояние. Когда две удаленные стороны имеют два неортогональных квантовых состояния, попытки перехватчика различить их посредством измерений повлияют на систему, и это можно обнаружить. Хотя многие протоколы квантовой криптографии опираются на однокубитные технологии , использование состояний более высокой размерности, таких как кутриты , позволяет повысить безопасность от подслушивания. ^[3] Это мотивирует изучение взаимно несмещенных базисов в многомерных пространствах.

Другие варианты использования взаимно несмещенных базисов включают реконструкцию квантового состояния , ^[4] коды квантовой коррекции ошибок , ^{[5] [6]} обнаружение квантовой запутанности , ^{[7] [8]} и так называемую «проблему среднего короля». ^{[9] [10]}

Определение и примеры

Пара ортонормированных базисов и в гильбертовом пространстве C ^d называются взаимно несмещенными тогда и только тогда, когда квадрат величины внутреннего продукта между любыми базисными состояниями и равен обратной размерности d : [ 11 ^] ${\displaystyle \{|e_{1}\rangle ,\dots ,|e_{d}\rangle \}}$ ${\displaystyle \{|f_{1}\rangle ,\dots ,|f_{d}\rangle \}}$ ${\displaystyle |e_{j}\rangle }$ ${\displaystyle |f_{k}\rangle }$

${\displaystyle |\langle e_{j}|f_{k}\rangle |^{2}={\frac {1}{d}},\quad \forall j,k\in \{1,\dots ,d\}.}$

Эти базы несмещены в следующем смысле: если система подготовлена ​​в состоянии, принадлежащем одной из базисов, то все результаты измерения по отношению к другой базе прогнозируются с равной вероятностью.

Пример для d = 2

Три базы

${\displaystyle M_{0}=\left\{|0\rangle ,|1\rangle \right\}}$

${\displaystyle M_{1}=\left\{{\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}},{\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}\right\}}$

${\displaystyle M_{2}=\left\{{\frac {|0\rangle +i|1\rangle }{\sqrt {2}}},{\frac {|0\rangle -i|1\rangle }{\sqrt {2}}}\right\}}$

приведите простейший пример взаимно несмещенных оснований в C ² . Вышеупомянутые базисы состоят из собственных векторов спиновых матриц Паули и их произведения соответственно. ${\displaystyle \sigma _{z},\sigma _{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{z}}$

Пример для d = 4

Для d  = 4 пример d  + 1 = 5 взаимно несмещенных базисов, где каждый базис обозначается M _j , 0 ≤ j ≤ 4, дается следующим образом: ^[12]

${\displaystyle M_{0}=\left\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\right\}}$

${\displaystyle M_{1}=\left\{{\frac {1}{2}}(1,1,1,1),{\frac {1}{2}}(1,1,-1,-1),{\frac {1}{2}}(1,-1,-1,1),{\frac {1}{2}}(1,-1,1,-1)\right\}}$

${\displaystyle M_{2}=\left\{{\frac {1}{2}}(1,-1,-i,-i),{\frac {1}{2}}(1,-1,i,i),{\frac {1}{2}}(1,1,i,-i),{\frac {1}{2}}(1,1,-i,i)\right\}}$

${\displaystyle M_{3}=\left\{{\frac {1}{2}}(1,-i,-i,-1),{\frac {1}{2}}(1,-i,i,1),{\frac {1}{2}}(1,i,i,-1),{\frac {1}{2}}(1,i,-i,1)\right\}}$

${\displaystyle M_{4}=\left\{{\frac {1}{2}}(1,-i,-1,-i),{\frac {1}{2}}(1,-i,1,i),{\frac {1}{2}}(1,i,-1,i),{\frac {1}{2}}(1,i,1,-i)\right\}}$

Проблема существования

Нерешенная задача по математике :

Каково максимальное количество MUB в любом измерении d, не являющемся простой степенью?

(еще нерешенные задачи по математике)

Обозначим максимальное число взаимно несмещенных базисов в d -мерном гильбертовом пространстве C ^d . Вопрос о том, сколько взаимно несмещенных базисов можно найти в C ^d для произвольного d , остается открытым ^[13] . ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(d)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(d)}$

В общем, если

${\displaystyle d=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots p_{k}^{n_{k}}}$

- это факторизация числа d в ​​простой степени , где

${\displaystyle p_{1}^{n_{1}}<p_{2}^{n_{2}}<\cdots <p_{k}^{n_{k}}}$

тогда максимальное число взаимно несмещенных базисов, которое можно построить, удовлетворяет ^[11]

${\displaystyle p_{1}^{n_{1}}+1\leq {\mathfrak {M}}(d)\leq d+1.}$

Отсюда следует, что если размерность гильбертова пространства d представляет собой целую степень простого числа, то можно найти d  + 1 взаимно несмещенные базы. Это можно увидеть в предыдущем уравнении, поскольку разложение d на простое число равно . Поэтому, ${\displaystyle d=p^{n}}$

${\displaystyle {\mathfrak {M}}(p^{n})=p^{n}+1.}$

Таким образом, максимальное количество взаимно несмещенных оснований известно, когда d — целая степень простого числа, но неизвестно для произвольного d .

Наименьшее измерение, не являющееся целой степенью простого числа, равно d  = 6. Это также наименьшее измерение, для которого количество взаимно несмещенных оснований неизвестно. Методы определения количества взаимно несмещенных оснований, когда d — целая степень простого числа, в этом случае использовать нельзя. Поиски набора из четырех взаимно несмещенных базисов при d  = 6 как с использованием матриц Адамара ^[11] , так и численными методами ^{[14] [15]} не увенчались успехом. Общепринято считать, что максимальное количество взаимно несмещенных оснований для d  = 6 равно . ^[11] ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(6)=3}$

Связанные проблемы

Нерешенная задача по математике :

Существуют ли SIC-POVM во всех измерениях?

(еще нерешенные задачи по математике)

Проблема MUB по своей природе похожа на симметричное свойство SIC-POVM . Вуттерс указывает, что полный набор несмещенных базисов дает геометрическую структуру, известную как конечная проективная плоскость , в то время как SIC-POVM (в любом измерении, которое является простой степенью ) дает конечную аффинную плоскость , тип структуры, определение которой идентично. к конечной проективной плоскости с местами ролей точек и линий. В этом смысле проблемы SIC-POVM и взаимно несмещенных баз двойственны друг другу. ^[16] ${\displaystyle d+1}$

В размерности аналогию можно продолжить: полный набор взаимно несмещенных базисов можно построить непосредственно из SIC-POVM. ^[17] 9 векторов SIC-POVM вместе с 12 векторами взаимно несмещенных оснований образуют набор, который можно использовать в доказательстве Кохена – Спекера . ^[18] Однако в 6-мерном гильбертовом пространстве известен SIC-POVM, но полный набор взаимно несмещенных базисов еще не обнаружен, и широко распространено мнение, что такого набора не существует. ^{[19] [20]} ${\displaystyle d=3}$

Методы поиска взаимно несмещенных базисов

Метод группы Вейля

Пусть и – два унитарных оператора в гильбертовом пространстве C ^d такие, что ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {Z}}}$

${\displaystyle {\hat {Z}}{\hat {X}}=\omega {\hat {X}}{\hat {Z}}}$

для некоторого фазового коэффициента . Если , например, примитивный корень из единицы, то собственные основания и взаимно несмещены. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega \equiv e^{\frac {2\pi i}{d}}}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {Z}}}$

Выбрав собственный базис в качестве стандартного базиса , мы можем сгенерировать другой несмещенный к нему базис, используя матрицу Фурье. Элементы матрицы Фурье имеют вид ${\displaystyle {\hat {Z}}}$

${\displaystyle F_{ab}=\omega ^{ab},0\leq a,b\leq N-1}$

Другие базы, несмещенные как по отношению к стандартному базису, так и к базису, порожденному матрицей Фурье, могут быть созданы с использованием групп Вейля. ^[11] Размерность гильбертова пространства важна при создании наборов взаимно несмещенных базисов с использованием групп Вейля. Когда d — простое число, то обычные d  + 1 взаимно несмещенные основания можно создать с помощью групп Вейля. Когда d не является простым числом, возможно, что максимальное количество взаимно несмещенных оснований, которое можно сгенерировать с помощью этого метода, равно 3.

Метод унитарных операторов с использованием конечных полей

Когда d  =  p простое число , мы определяем унитарные операторы и через ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {Z}}}$

${\displaystyle {\hat {X}}=\sum _{k=0}^{d-1}|k+1\rangle \langle k|}$

${\displaystyle {\hat {Z}}=\sum _{k=0}^{d-1}\omega ^{k}|k\rangle \langle k|}$

где – стандартный базис, а – корень из единицы . ${\displaystyle \{|k\rangle |0\leq k\leq d-1\}}$ ${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{d}}}$

Тогда собственные базы следующих d  + 1 операторов взаимно несмещены: ^[21]

${\displaystyle {\hat {X}},{\hat {Z}},{\hat {X}}{\hat {Z}},{\hat {X}}{\hat {Z}}^{2}...{\hat {X}}{\hat {Z}}^{d-1}.}$

Для нечетного d t -й собственный вектор оператора явно дается ^[13] ${\displaystyle {\hat {X}}{\hat {Z}}^{k}}$

${\displaystyle |\psi _{t}^{k}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {d}}}\sum _{j=0}^{d-1}\omega ^{-jt}\omega ^{kj(j-1)/2}|j\rangle .}$

Когда является степенью простого числа, мы используем конечное поле для построения максимального набора из d  + 1 взаимно несмещенных оснований. Обозначим элементы вычислительной базы C ^d с помощью конечного поля: . ${\displaystyle d=p^{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{d}}$ ${\displaystyle \{|a\rangle |a\in \mathbb {F} _{d}\}}$

Определим операторы и следующим образом ${\displaystyle {\hat {X_{a}}}}$ ${\displaystyle {\hat {Z_{b}}}}$

${\displaystyle {\hat {X_{a}}}=\sum _{c\in \mathbb {F} _{d}}|c+a\rangle \langle c|}$

${\displaystyle {\hat {Z_{b}}}=\sum _{c\in \mathbb {F} _{d}}\chi (bc)|c\rangle \langle c|}$

где

${\displaystyle \chi (\theta )=\exp \left[{\frac {2\pi i}{p}}\left(\theta +\theta ^{p}+\theta ^{p^{2}}+\cdots +\theta ^{p^{r-1}}\right)\right],}$

является аддитивным характером по полю, а также сложению и умножению в кетах и ​​является символом . ${\displaystyle \chi (\cdot )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{d}}$

Затем формируем d  + 1 наборов коммутирующих унитарных операторов:

${\displaystyle \{{\hat {Z_{s}}}|s\in \mathbb {F} _{d}\}}$и для каждого ${\displaystyle \{{\hat {X_{s}}}{\hat {Z_{sr}}}|s\in \mathbb {F} _{d}\}}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {F} _{d}}$

Совместные собственные базы операторов одного набора взаимно несмещены по отношению к базисам любого другого набора. ^[21] Таким образом, мы имеем d  + 1 взаимно несмещенные основания.

Матричный метод Адамара

Учитывая, что один базис в гильбертовом пространстве является стандартным базисом, то все базисы, несмещенные по отношению к этому базису, могут быть представлены столбцами комплексной матрицы Адамара , умноженной на нормировочный коэффициент. При d  = 3 эти матрицы имели бы вид

${\displaystyle U={\frac {1}{\sqrt {d}}}{\begin{bmatrix}1&1&1\\e^{i\phi _{10}}&e^{i\phi _{11}}&e^{i\phi _{12}}\\e^{i\phi _{20}}&e^{i\phi _{21}}&e^{i\phi _{22}}\end{bmatrix}}}$

Таким образом , задача нахождения набора из k +1 взаимно несмещенных базисов соответствует нахождению k взаимно несмещенных комплексных матриц Адамара. ^[11]

Примером однопараметрического семейства матриц Адамара в 4-мерном гильбертовом пространстве является

${\displaystyle H_{4}(\phi )={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&e^{i\phi }&-1&-e^{i\phi }\\1&-1&1&-1\\1&-e^{i\phi }&-1&e^{i\phi }\end{bmatrix}}}$

Энтропийные соотношения неопределенностей и MUB

Существует альтернативная характеристика взаимно несмещенных базисов, рассматривающая их с точки зрения отношений неопределенности . ^[22]

Соотношения энтропийной неопределенности аналогичны принципу неопределенности Гейзенберга , а Маассен и Уффинк ^[23] обнаружили, что для любых двух оснований и : ${\displaystyle B_{1}=\{|a_{i}\rangle _{i=1}^{d}\}}$ ${\displaystyle B_{2}=\{|b_{j}\rangle _{j=1}^{d}\}}$

${\displaystyle H_{B_{1}}+H_{B_{2}}\geq -2\log c.}$

где и и - соответствующая энтропия оснований и при измерении данного состояния. ${\displaystyle c=\max |\langle a_{j}|b_{k}\rangle |}$ ${\displaystyle H_{B_{1}}}$ ${\displaystyle H_{B_{2}}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{2}}$

Соотношения энтропийной неопределенности часто предпочтительнее ^[24] принципа неопределенности Гейзенберга , поскольку они формулируются не в терминах измеряемого состояния, а в терминах c .

В таких сценариях, как квантовое распределение ключей , мы стремимся к таким базам измерения, при которых полное знание состояния по отношению к одному базису подразумевает минимальное знание состояния по отношению к другим базам. Это подразумевает высокую энтропию результатов измерений, и поэтому мы называем эти отношения сильной энтропийной неопределенности.

Для двух баз нижняя граница соотношения неопределенностей максимальна, когда базы измерения взаимно несмещены, поскольку взаимно несмещенные базы максимально несовместимы : результат измерения, выполненного в базисе, несмещенном по отношению к тому, в котором подготовлено состояние, полностью случайный. Фактически, для d -мерного пространства имеем: ^[25]

${\displaystyle H_{B_{1}}+H_{B_{2}}\geq \log(d)}$

для любой пары взаимно несмещенных оснований и . Эта оценка оптимальна : ^[26] Если мы измеряем состояние по одному из базисов, то результат будет иметь энтропию 0 в этом базисе и энтропию в другом. ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle \log(d)}$

Если размерность пространства равна простой степени, мы можем построить d  + 1 MUB, и тогда было обнаружено, что ^[27]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{d+1}H_{B_{k}}\geq (d+1)\log \left({\frac {d+1}{2}}\right)}$

что является более сильным, чем соотношение, которое мы получили бы, объединив множества в пары и затем используя уравнение Маассена и Уффинка. Таким образом, мы имеем характеристику d  + 1 взаимно несмещенных базисов как тех, для которых соотношения неопределенности являются наиболее сильными.

Хотя случай двух базисов и базисов d  + 1 хорошо изучен, очень мало известно о соотношениях неопределенностей для взаимно несмещенных базисов в других обстоятельствах. ^{[27] [28]}

При рассмотрении более двух и менее базисов известно, что существуют большие наборы взаимно несмещенных базисов, которые демонстрируют очень небольшую неопределенность. ^[29] Это означает, что простая взаимная несмещенность не приводит к высокой неопределенности, за исключением случаев, когда рассматриваются измерения только в двух базах. Однако существуют и другие измерения, которые весьма неточны. ^{[27] [30]} ${\displaystyle d+1}$

Взаимно несмещенные базисы в бесконечномерных гильбертовых пространствах

Хотя исследования взаимно несмещенных базисов в бесконечномерном гильбертовом пространстве проводились, их существование остается открытым вопросом. Предполагается, что в непрерывном гильбертовом пространстве два ортонормированных базиса и называются взаимно несмещенными, если ^[31] ${\displaystyle |\psi _{s}^{b}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{s'}^{b'}\rangle }$

${\displaystyle |\langle \psi _{s}^{b}|\psi _{s'}^{b'}\rangle |^{2}=k>0,s,s'\in \mathbb {R} }$

Для обобщенных собственных состояний положения и импульса и значение k равно ${\displaystyle |q\rangle ,q\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |p\rangle ,p\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle |\langle q|p\rangle |^{2}={\frac {1}{2\pi \hbar }}}$

Существование взаимно несмещенных базисов в непрерывном гильбертовом пространстве остается открытым для дискуссий, поскольку, прежде чем можно будет прийти к каким-либо выводам, необходимы дальнейшие исследования их существования.

Состояния положения и состояния импульса являются собственными векторами эрмитовых операторов и соответственно. Вейгерт и Уилкинсон ^[31] первыми заметили, что и линейная комбинация этих операторов имеет собственные базы, обладающие некоторыми особенностями, типичными для взаимно несмещенных базисов. Оператор имеет собственные функции, пропорциональные с и соответствующие им собственные значения . Если мы параметризуем и as и , перекрытие между любым собственным состоянием линейной комбинации и любым собственным состоянием оператора положения (оба состояния нормализованы к дельте Дирака) является постоянным, но зависит от : ${\displaystyle |q\rangle }$ ${\displaystyle |p\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle -i{\frac {\partial }{\partial x}}}$ ${\displaystyle \alpha {\hat {x}}-i\beta {\frac {\partial }{\partial x}}}$ ${\displaystyle \exp(i(ax^{2}+bx))\,}$ ${\displaystyle \alpha +2\beta a=0}$ ${\displaystyle b\beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle |\langle x_{\theta }|x\rangle |^{2}={\frac {1}{2\pi |\sin \theta |}},}$

где и обозначают собственные функции и . ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle |x_{\theta }\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle \cos \theta {\hat {x}}-i\sin \theta {\frac {\partial }{\partial x}}}$

Смотрите также

• Измерение в квантовой механике
• ПОВМ
• НИЦ-ПОВМ
• Кбизм

Рекомендации

1. Швингер, Дж. (1960). «Унитарные операторские базы, Гарвардский университет». Учеб. Натл. акад. наук. США . 46 (4): 570–9. Бибкод : 1960PNAS...46..570S. дои : 10.1073/pnas.46.4.570 . ПМК  222876 . ПМИД  16590645.
2. Иванович, ID (1981). «Геометрическое описание определения квантового состояния». Дж. Физ. А. _ 14 (12): 3241–3245. Бибкод : 1981JPhA...14.3241I. дои : 10.1088/0305-4470/14/12/019.
3. М. Планат и др., Обзор конечных алгебраических геометрических структур, лежащих в основе взаимно несмещенных квантовых измерений, http://hal.ccsd.cnrs.fr/docs/00/07/99/18/PDF/MUB_FP.pdf.
4. Вуттерс, ВК; Филдс, Б.Д. (1989). «Определение оптимального состояния посредством взаимно несмещенных измерений». Анна. Физ . 191 (2): 363–381. Бибкод : 1989AnPhy.191..363W. дои : 10.1016/0003-4916(89)90322-9. hdl : 10338.dmlcz/141471 .
5. Готтесман, Д. (1996). «Класс квантовых кодов, исправляющих ошибки, насыщающих квантовую границу Хэмминга». Физ. Преподобный А. 54 (3): 1862–1868. arXiv : Quant-ph/9604038 . Бибкод : 1996PhRvA..54.1862G. doi :10.1103/physreva.54.1862. PMID  9913672. S2CID  16407184.
6. Колдербанк, Арканзас; и другие. (1997). «Квантовая коррекция ошибок и ортогональная геометрия». Физ. Преподобный Летт . 78 (3): 405–408. arXiv : Quant-ph/9605005 . Бибкод : 1997PhRvL..78..405C. doi : 10.1103/physrevlett.78.405. S2CID  15326700.
7. Хуан, Ичэнь (29 июля 2010 г.). «Критерии запутанности через соотношения неопределенностей с вогнутой функцией». Физический обзор А. 82 (1): 012335. Бибкод : 2010PhRvA..82a2335H. doi :10.1103/PhysRevA.82.012335.
8. Шпенглер, К.; Хубер, М.; Брайрли, С.; Адактилос, Т.; Хисмайр, Британская Колумбия (2012). «Обнаружение запутанности по взаимно несмещенным основаниям». Физ. Преподобный А. 86 (2): 022311. arXiv : 1202.5058 . Бибкод : 2012PhRvA..86b2311S. doi :10.1103/physreva.86.022311. S2CID  34502667.
9. Вайдман, Л.; и другие. (1987). «Как определить значения и частицы со спином 1/2». Физ. Преподобный Летт . 58 (14): 1385–1387. Бибкод : 1987PhRvL..58.1385V. doi : 10.1103/PhysRevLett.58.1385. ПМИД  10034422. ${\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},}$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$
10. Энглерт, Б.-Г.; Ааронов, Ю. (2001). «Проблема среднего короля: простые степени свободы». Физ. Летт. А. _ 284 (1): 1–5. arXiv : Quant-ph/0101134 . Бибкод : 2001PhLA..284....1E. дои : 10.1016/s0375-9601(01)00271-7. S2CID  14848100.
11. Бенгтссон, Ингемар (2007). «Три способа взглянуть на взаимно беспристрастные базы». Материалы конференции AIP . Том. 889. стр. 40–51. arXiv : Quant-ph/0610216 . дои : 10.1063/1.2713445. S2CID  12395501.
12. Клаппенекер, Андреас; Реттелер, Мартин (2003). «Конструкции взаимно несмещенных базисов». arXiv : Quant-ph/0309120 . Бибкод : 2003quant.ph..9120K. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
13. Дурт, Т.; Энглерт, Б.-Г.; Бенгтссон, И.; Жичковский, К. (2010). «На взаимно объективных основаниях». Международный журнал квантовой информации . 8 (4): 535–640. arXiv : 1004.3348 . дои : 10.1142/s0219749910006502. S2CID  118551747.
14. П. Баттерли, У. Холл «Численные доказательства максимального количества взаимно несмещенных оснований в шестом измерении, 2007 г., https://arxiv.org/abs/quant-ph/0701122.
15. Бриерли, С.; Вейгерт, С. (2008). «Максимальные наборы взаимно несмещенных квантовых состояний в шестом измерении». Физ. Преподобный А. 78 (4): 042312. arXiv : 0808.1614 . Бибкод : 2008PhRvA..78d2312B. дои : 10.1103/physreva.78.042312. S2CID  9295036.
16. Вуттерс, Уильям К. (2004). «Квантовые измерения и конечная геометрия». arXiv : Quant-ph/0406032 .
17. Стейси, Блейк С. (2016). «SIC-POVM и совместимость квантовых состояний». Математика . 4 (2): 36. arXiv : 1404.3774 . дои : 10.3390/math4020036 .
18. Бенгтссон, Ингемар; Бланчфилд, Кейт; Кабельо, Адан (2012). «Неравенство Кохена – Спекера из SIC». Буквы по физике А. 376 (4): 374–376. arXiv : 1109.6514 . Бибкод : 2012PhLA..376..374B. doi :10.1016/j.physleta.2011.12.011. S2CID  55755390.
19. Грассл, Маркус (2004). «О SIC-POVM и MUB в измерении 6». arXiv : Quant-ph/0406175 .
20. Бенгтссон, Ингемар; Жичковский, Кароль (2017). Геометрия квантовых состояний: введение в квантовую запутанность (второе изд.). Кембридж, Соединенное Королевство: Издательство Кембриджского университета . стр. 313–354. ISBN 9781107026254. ОКЛК  967938939.
21. Бандиопадхьяй, Сомшубхро; Оскар Бойкин, П.; Ройчоудхури, Ввани; Ватан, Фаррох (2002). «Новое доказательство существования взаимно непредвзятых оснований». Алгоритмика . 32 (4): 512–528. arXiv : Quant-ph/0103162 . Бибкод : 2001quant.ph..3162B. дои : 10.1007/s00453-002-0980-7. S2CID  1280557.
22. Хиршман II младший (1957). «Заметка об энтропии». Американский журнал математики . 1957 (1): 152–156. дои : 10.2307/2372390. JSTOR  2372390.
23. Х. Маассен, Дж. Б. М. Уффинк: Обобщенные энтропийные соотношения неопределенностей: Phys. Преподобный Летт. 60, 1103–1106 (1988).
24. Дамгаард, Иван Б.; Фер, Серж; Реннер, Ренато; Сальвей, Луи; Шаффнер, Кристиан (2006). «Жесткая связь энтропийной квантовой неопределенности высокого порядка с приложениями». arXiv : Quant-ph/0612014 . Бибкод : 2006quant.ph.12014D. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
25. Дойч, Д. (1982). «Неопределенность в квантовых измерениях». Письма о физических отзывах . 50 (9): 631–633. Бибкод : 1983PhRvL..50..631D. doi : 10.1103/physrevlett.50.631.
26. Амбайнис, Андрис (2009). «Пределы на энтропийные соотношения неопределенностей для 3 и более MUB». arXiv : 0909.3720 . {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
27. С. Венер и А. Винтер, 2010 New J. Phys. 12 025009: http://iopscience.iop.org/1367-2630/12/2/025009/.
28. Ву, С.; Ю, С.; Мёлмер, К. (2009). «Энтропийное соотношение неопределенности для взаимно несмещенных оснований». Физ. Преподобный А. 79 (2): 022104. arXiv : 0811.2298 . Бибкод : 2009PhRvA..79b2104W. doi :10.1103/physreva.79.022104. S2CID  119222014.
29. Баллестер, М.; С. Венер (2007). «Энтропийные отношения неопределенности и блокировка: жесткие границы для взаимно несмещенных оснований» (PDF) . Физический обзор А. 75 (1): 022319. arXiv : quant-ph/0606244 . Бибкод : 2007PhRvA..75a2319C. doi : 10.1103/PhysRevA.75.012319. S2CID  41654752.
30. Венер, С.; А. Винтер (2008). «Соотношения более высокой энтропии неопределенности для антикоммутирующих наблюдаемых». Журнал математической физики . 49 (6): 062105. arXiv : 0710.1185 . Бибкод : 2008JMP....49f2105W. дои : 10.1063/1.2943685. S2CID  118268095.
31. Вейгерт, Стефан; Уилкинсон, Майкл (2008). «Взаимно несмещенные базы для непрерывных переменных». Физический обзор А. 78 (2): 020303.arXiv : 0802.0394 . Бибкод : 2008PhRvA..78b0303W. doi : 10.1103/PhysRevA.78.020303. S2CID  67784632.