Спин-орбитальное взаимодействие

Релятивистское взаимодействие в квантовой физике

В квантовой механике спин -орбитальное взаимодействие (также называемое спин-орбитальным эффектом или спин-орбитальной связью ) является релятивистским взаимодействием спина частицы с ее движением внутри потенциала . Ключевым примером этого явления является спин-орбитальное взаимодействие, приводящее к сдвигам атомных уровней энергии электрона из -за электромагнитного взаимодействия между магнитным диполем электрона , его орбитальным движением и электростатическим полем положительно заряженного ядра . Это явление можно обнаружить как расщепление спектральных линий , которое можно рассматривать как продукт эффекта Зеемана двух эффектов: кажущегося магнитного поля, видимого с точки зрения электрона из-за специальной теории относительности, и магнитного момента электрона, связанного с его собственным спином из-за квантовой механики.

Для атомов расщепление уровня энергии, вызванное спин-орбитальным взаимодействием, обычно имеет тот же порядок величины, что и релятивистские поправки к кинетической энергии и эффект zitterbewegung . Сложение этих трех поправок известно как тонкая структура . Взаимодействие между магнитным полем, созданным электроном, и магнитным моментом ядра является более слабой поправкой к уровням энергии, известной как сверхтонкая структура .

Аналогичный эффект, обусловленный связью между угловым моментом и сильной ядерной силой , происходит для протонов и нейтронов, движущихся внутри ядра, что приводит к сдвигу их энергетических уровней в модели ядерной оболочки . В области спинтроники спин-орбитальные эффекты для электронов в полупроводниках и других материалах исследуются для технологических приложений. Спин-орбитальное взаимодействие лежит в основе магнитокристаллической анизотропии и спинового эффекта Холла .

На атомных энергетических уровнях

Тонкая и сверхтонкая структура водорода (не в масштабе).

В этом разделе представлено относительно простое и количественное описание спин-орбитального взаимодействия для электрона, связанного с водородоподобным атомом , вплоть до первого порядка в теории возмущений , с использованием некоторой полуклассической электродинамики и нерелятивистской квантовой механики. Это дает результаты, которые достаточно хорошо согласуются с наблюдениями.

Строгий расчет того же результата будет использовать релятивистскую квантовую механику , используя уравнение Дирака , и будет включать многочастичные взаимодействия . Достижение еще более точного результата будет включать вычисление небольших поправок из квантовой электродинамики .

Энергия магнитного момента

Энергия магнитного момента в магнитном поле определяется по формуле, где μ — магнитный момент частицы, а B — магнитное поле, которое она испытывает. $${\displaystyle \Delta H=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} ,}$$

Магнитное поле

Сначала мы разберемся с магнитным полем . Хотя в системе покоя ядра нет магнитного поля, действующего на электрон, оно есть в системе покоя электрона (см. классический электромагнетизм и специальную теорию относительности ). Игнорируя пока, что эта система не является инерциальной , мы приходим к уравнению, где v — скорость электрона, а E — электрическое поле, через которое он движется. ^[a] Здесь, в нерелятивистском пределе, мы предполагаем, что фактор Лоренца . Теперь мы знаем, что E радиально, поэтому мы можем переписать . Также мы знаем, что импульс электрона . Подставляя их и изменяя порядок векторного произведения (используя тождество ), получаем $${\displaystyle \mathbf {B} =-{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}},}$$ ${\displaystyle \gamma \backsimeq 1}$ ${\textstyle \mathbf {E} =\left|E\right|{\frac {\mathbf {r} }{r}}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =m_{\text{e}}\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =-\mathbf {B} \times \mathbf {A} }$ $${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {p} }{m_{\text{e}}c^{2}}}\left|{\frac {E}{r}}\right|.}$$

Далее мы выражаем электрическое поле как градиент электрического потенциала . Здесь мы делаем центральное приближение поля , то есть, что электростатический потенциал сферически симметричен, поэтому является только функцией радиуса. Это приближение является точным для водорода и водородоподобных систем. Теперь мы можем сказать, что ${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V}$ $${\displaystyle |E|=\left|{\frac {\partial V}{\partial r}}\right|={\frac {1}{e}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}},}$$

где - потенциальная энергия электрона в центральном поле, а e - элементарный заряд . Теперь мы помним из классической механики, что момент импульса частицы . Собирая все вместе, получаем ${\displaystyle U=-eV}$ ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$ $${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} .}$$

В этом месте важно отметить, что B — это положительное число, умноженное на L , что означает, что магнитное поле параллельно орбитальному угловому моменту частицы, который, в свою очередь, перпендикулярен скорости частицы.

Спиновый магнитный момент электрона

Спиновый магнитный момент электрона равен , где — вектор спинового момента импульса, — магнетон Бора , а — g-фактор спина электрона . Здесь — отрицательная константа, умноженная на спин , поэтому спиновый магнитный момент антипараллелен спиновому моменту импульса. $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{S}=-g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}{\frac {\mathbf {S} }{\hbar }},}$$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mu _{\text{B}}}$ ${\displaystyle g_{\text{s}}=2.0023...\approx 2}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$

Спин-орбитальный потенциал состоит из двух частей. Ларморовская часть связана с взаимодействием спинового магнитного момента электрона с магнитным полем ядра в сопутствующей системе отсчета электрона. Второй вклад связан с прецессией Томаса .

Энергия взаимодействия Лармора

Энергия взаимодействия Лармора равна $${\displaystyle \Delta H_{\text{L}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} .}$$

Подставляя в это уравнение выражения для спинового магнитного момента и магнитного поля, получаем $${\displaystyle \Delta H_{\text{L}}={\frac {g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \approx {\frac {2\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .}$$

Теперь нам необходимо учесть поправку Томаса на прецессию для искривленной траектории электрона.

Энергия взаимодействия Томаса

В 1926 году Ллевеллин Томас релятивистски пересчитал разделение дублетов в тонкой структуре атома. ^[1] Скорость прецессии Томаса связана с угловой частотой орбитального движения вращающейся частицы следующим образом: ^{[2] [3]} где - фактор Лоренца движущейся частицы. Гамильтониан, создающий прецессию спина, определяется как ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}=-{\boldsymbol {\omega }}(\gamma -1),}$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}}$ $${\displaystyle \Delta H_{\text{T}}={\boldsymbol {\Omega }}_{\text{T}}\cdot \mathbf {S} .}$$

В первом порядке по получаем ${\displaystyle (v/c)^{2}}$ $${\displaystyle \Delta H_{\text{T}}=-{\frac {\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .}$$

Общая энергия взаимодействия

Полный спин-орбитальный потенциал во внешнем электростатическом потенциале принимает вид: Суммарный эффект прецессии Томаса заключается в уменьшении энергии взаимодействия Лармора примерно в 1/2 раза, что стало известно как половина Томаса . $${\displaystyle \Delta H\equiv \Delta H_{\text{L}}+\Delta H_{\text{T}}={\frac {(g_{\text{s}}-1)\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \approx {\frac {\mu _{\text{B}}}{\hbar m_{\text{e}}ec^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} .}$$

Оценка энергетического сдвига

Благодаря всем вышеприведенным приближениям мы теперь можем оценить детальный сдвиг энергии в этой модели. Обратите внимание, что L _z и S _z больше не являются сохраняющимися величинами. В частности, мы хотим найти новый базис, который диагонализирует как H ₀ (невозмущенный гамильтониан), так и Δ H . ​​Чтобы выяснить, какой это базис, мы сначала определим оператор полного углового момента $${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .}$$

Взяв скалярное произведение этого на себя, мы получаем (так как L и S коммутируют), и, следовательно, $${\displaystyle \mathbf {J} ^{2}=\mathbf {L} ^{2}+\mathbf {S} ^{2}+2\,\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }$$ $${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} ^{2}-\mathbf {L} ^{2}-\mathbf {S} ^{2}\right)}$$

Можно показать, что пять операторов H ₀ , J ² , L ² , S ² и J _z коммутируют друг с другом и с Δ H . ​​Следовательно, искомый нами базис — это одновременный собственный базис этих пяти операторов (т. е. базис, в котором все пять являются диагональными). Элементы этого базиса имеют пять квантовых чисел : («главное квантовое число»), («квантовое число полного углового момента»), («квантовое число орбитального углового момента»), («спиновое квантовое число») и (« z- компонента полного углового момента»). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle j_{z}}$

Для оценки энергий отметим, что для водородных волновых функций (здесь — радиус Бора , деленный на заряд ядра Z ); и $${\displaystyle \left\langle {\frac {1}{r^{3}}}\right\rangle ={\frac {2}{a^{3}n^{3}\;\ell (\ell +1)(2\ell +1)}}}$$ ${\displaystyle a=\hbar /(Z\alpha m_{\text{e}}c)}$ $${\displaystyle \left\langle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \right\rangle ={\frac {1}{2}}{\big (}\langle \mathbf {J} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {L} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {S} ^{2}\rangle {\big )}={\frac {\hbar ^{2}}{2}}{\big (}j(j+1)-\ell (\ell +1)-s(s+1){\big )}.}$$

Окончательный энергетический сдвиг

Теперь мы можем сказать, что где константа спин-орбитальной связи равна $${\displaystyle \Delta E={\frac {\beta }{2}}{\big (}j(j+1)-\ell (\ell +1)-s(s+1){\big )},}$$ $${\displaystyle \beta =\beta (n,l)=Z^{4}{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}^{2}{\frac {1}{n^{3}a_{0}^{3}\;\ell (\ell +1/2)(\ell +1)}}.}$$

Точный релятивистский результат см. в решениях уравнения Дирака для водородоподобного атома .

Приведенный выше вывод вычисляет энергию взаимодействия в (мгновенной) системе покоя электрона, и в этой системе отсчета присутствует магнитное поле, которое отсутствует в системе покоя ядра.

Другой подход заключается в расчете в системе покоя ядра, см., например, Джордж П. Фишер: Электрический дипольный момент движущегося магнитного диполя (1971). ^[4] Однако расчет в системе покоя иногда избегают, поскольку необходимо учитывать скрытый импульс . ^[5]

В твердых телах

Кристаллическое твердое тело (полупроводник, металл и т. д.) характеризуется своей зонной структурой . Хотя в общем масштабе (включая основные уровни) спин-орбитальное взаимодействие все еще является небольшим возмущением, оно может играть относительно более важную роль, если мы увеличим масштаб до зон, близких к уровню Ферми ( ). Атомное (спин-орбитальное) взаимодействие, например, расщепляет зоны, которые в противном случае были бы вырожденными, и конкретная форма этого спин-орбитального расщепления (обычно порядка нескольких сотен миллиэлектронвольт) зависит от конкретной системы. Затем интересующие нас зоны можно описать различными эффективными моделями, обычно основанными на некотором пертурбативном подходе. Пример того, как атомное спин-орбитальное взаимодействие влияет на зонную структуру кристалла, объясняется в статье о взаимодействиях Рашбы и Дрессельхауса . ${\displaystyle E_{\text{F}}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }$

В кристаллическом твердом теле, содержащем парамагнитные ионы, например, ионы с незамкнутой d- или f-атомной подоболочкой, существуют локализованные электронные состояния. ^{[6] [7]} В этом случае структура электронных уровней, подобная атомной, формируется внутренними магнитными спин-орбитальными взаимодействиями и взаимодействиями с кристаллическими электрическими полями . ^[8] Такая структура называется тонкой электронной структурой . Для редкоземельных ионов спин-орбитальные взаимодействия намного сильнее взаимодействий кристаллического электрического поля (КЭП). ^[9] Сильная спин-орбитальная связь делает J относительно хорошим квантовым числом, поскольку первый возбужденный мультиплет находится по крайней мере на ~130 мэВ (1500 К) выше первичного мультиплета. Результатом является то, что его заполнение при комнатной температуре (300 К) пренебрежимо мало. В этом случае (2 J + 1) -кратно вырожденный первичный мультиплет, расщепленный внешним КЭП, можно рассматривать как основной вклад в анализ свойств таких систем. В случае приближенных расчетов для базиса , чтобы определить, какой мультиплет является первичным, применяются принципы Хунда , известные из атомной физики: ${\displaystyle |J,J_{z}\rangle }$

• Основное состояние структуры термов имеет максимальное значение S, допускаемое принципом исключения Паули .
• Основное состояние имеет максимально допустимое значение L с максимальным S.
• Первичный мультиплет имеет соответствующее J = | L − S |, когда оболочка заполнена менее чем наполовину, и J = L + S , когда заполнение больше.

S , L и J основного мультиплета определяются правилами Хунда . Основной мультиплет вырожден на 2 J + 1 — его вырождение снимается взаимодействиями CEF и магнитными взаимодействиями. Взаимодействия CEF и магнитные взаимодействия напоминают, в некотором роде, эффект Штарка и эффект Зеемана, известные из атомной физики . Энергии и собственные функции дискретной тонкой электронной структуры получаются путем диагонализации (2 J + 1)-мерной матрицы. Тонкую электронную структуру можно непосредственно обнаружить многими различными спектроскопическими методами, включая эксперименты по неупругому рассеянию нейтронов (INS). Случай сильных кубических взаимодействий CEF ^[10] (для ионов переходных металлов 3 d ) образует группу уровней (например, T _{2 g} , A _{2 g} ), которые частично расщепляются спин-орбитальными взаимодействиями и (если имеют место) взаимодействиями CEF с более низкой симметрией. Энергии и собственные функции дискретной тонкой электронной структуры (для низшего члена) получаются путем диагонализации (2 L + 1)(2 S + 1)-мерной матрицы. При нулевой температуре ( T = 0 K) занято только низшее состояние. Магнитный момент при T = 0 K равен моменту основного состояния. Это позволяет оценить полный, спиновый и орбитальный моменты. Собственные состояния и соответствующие собственные функции могут быть найдены путем прямой диагонализации матрицы гамильтониана, содержащей кристаллическое поле и спин-орбитальные взаимодействия. Принимая во внимание термическую заселенность состояний, устанавливается термическая эволюция свойств одного иона соединения. Этот метод основан на теории эквивалентных операторов ^[11], определяемой как КЭФ, расширенная термодинамическими и аналитическими расчетами, определяемой как дополнение теории КЭФ путем включения термодинамических и аналитических расчетов. ${\displaystyle |\Gamma _{n}\rangle }$

Примеры эффективных гамильтонианов

Зоны дырок объемного (3D) полупроводника цинковой обманки будут разделены на тяжелые и легкие дырки (которые образуют квадруплет в -точке зоны Бриллюэна) и отщепленную зону ( дублет). Включая две зоны проводимости ( дублет в -точке), система описывается эффективной восьмизонной моделью Кона и Латтинжера . Если интерес представляет только вершина валентной зоны (например, когда , уровень Ферми измеряется от вершины валентной зоны), правильная четырехзонная эффективная модель имеет вид где - параметры Латтинжера (аналогичные единой эффективной массе однозонной модели электронов) и - матрицы углового момента 3/2 ( - масса свободного электрона). В сочетании с намагниченностью этот тип спин-орбитального взаимодействия будет искажать электронные зоны в зависимости от направления намагниченности, тем самым вызывая магнитокристаллическую анизотропию (особый тип магнитной анизотропии ). Если полупроводник к тому же не обладает инверсионной симметрией, то дырочные зоны будут демонстрировать кубическое расщепление Дрессельхауса. В пределах четырех зон (легкие и тяжелые дырки) доминирующим членом является ${\displaystyle \Delta _{0}}$ ${\displaystyle \Gamma _{8}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma _{7}}$ ${\displaystyle \Gamma _{6}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle E_{\text{F}}\ll \Delta _{0}}$ $${\displaystyle H_{\text{KL}}(k_{\text{x}},k_{\text{y}},k_{\text{z}})=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[\left(\gamma _{1}+{{\tfrac {5}{2}}\gamma _{2}}\right)k^{2}-2\gamma _{2}\left(J_{\text{x}}^{2}k_{\text{x}}^{2}+J_{\text{y}}^{2}k_{\text{y}}^{2}+J_{\text{z}}^{2}k_{\text{z}}^{2}\right)-2\gamma _{3}\sum _{m\neq n}J_{m}J_{n}k_{m}k_{n}\right]}$$ ${\displaystyle \gamma _{1,2,3}}$ ${\displaystyle J_{{\text{x}},{\text{y}},{\text{z}}}}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle H_{{\text{D}}3}=b_{41}^{8{\text{v}}8{\text{v}}}[(k_{\text{x}}k_{\text{y}}^{2}-k_{\text{x}}k_{\text{z}}^{2})J_{\text{x}}+(k_{\text{y}}k_{\text{z}}^{2}-k_{\text{y}}k_{\text{x}}^{2})J_{\text{y}}+(k_{\text{z}}k_{\text{x}}^{2}-k_{\text{z}}k_{\text{y}}^{2})J_{\text{z}}]}$$

где материальный параметр для GaAs (см. стр. 72 в книге Винклера, согласно более поздним данным константа Дрессельхауза в GaAs равна 9 эВÅ ³ ; ^[12] полный гамильтониан будет ). Двумерный электронный газ в асимметричной квантовой яме (или гетероструктуре) будет испытывать взаимодействие Рашбы. Соответствующий двухзонный эффективный гамильтониан равен где — единичная матрица 2 × 2, матрицы Паули и эффективная масса электрона. Спин-орбитальная часть гамильтониана параметризуется , иногда называемым параметром Рашбы (его определение несколько различается), что связано с асимметрией структуры. ${\displaystyle b_{41}^{8{\text{v}}8{\text{v}}}=-81.93\,{\text{meV}}\cdot {\text{nm}}^{3}}$ ${\displaystyle H_{\text{KL}}+H_{{\text{D}}3}}$ $${\displaystyle H_{0}+H_{\text{R}}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}}\sigma _{0}+\alpha (k_{\text{y}}\sigma _{\text{x}}-k_{\text{x}}\sigma _{\text{y}})}$$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{{\text{x}},{\text{y}}}}$ ${\displaystyle m^{*}}$ ${\displaystyle H_{\text{R}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

Выражения выше для спин-орбитального взаимодействия связывают матрицы спина и с квазиимпульсом , и с векторным потенциалом переменного электрического поля посредством замены Пайерлса . Они являются членами низшего порядка теории возмущений Латтинжера–Кона k·p по степеням . Следующие члены этого разложения также производят члены, которые связывают операторы спина электронной координаты . Действительно, векторное произведение инвариантно относительно инверсии времени. В кубических кристаллах оно имеет симметрию вектора и приобретает смысл спин-орбитального вклада в оператор координаты. Для электронов в полупроводниках с узкой щелью между зонами проводимости и тяжелой дырки Яфет вывел уравнение ^{[13] [14]} где — масса свободного электрона, а — -фактор, должным образом перенормированный для спин-орбитального взаимодействия. Этот оператор связывает спин электрона непосредственно с электрическим полем через энергию взаимодействия . ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\textstyle \mathbf {k} =-i\nabla -{\frac {e}{\hbar c}}\mathbf {A} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\times {\mathbf {k} })}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{\text{SO}}}$ ${\displaystyle E_{\rm {G}}}$ $${\displaystyle {\mathbf {r} }_{\text{SO}}={\frac {\hbar ^{2}g}{4m_{0}}}\left({\frac {1}{E_{\rm {G}}}}+{\frac {1}{E_{\rm {G}}+\Delta _{0}}}\right)({\boldsymbol {\sigma }}\times {\mathbf {k} })}$$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbf {S} ={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle -e(\mathbf {r} _{\text{SO}}\cdot \mathbf {E} )}$

Колеблющееся электромагнитное поле

Электрический дипольный спиновый резонанс (EDSR) представляет собой связь электронного спина с осциллирующим электрическим полем. Подобно электронному спиновому резонансу (ESR), в котором электроны могут возбуждаться электромагнитной волной с энергией, заданной эффектом Зеемана , в EDSR резонанс может быть достигнут, если частота связана с расщеплением энергетической зоны, заданным спин-орбитальной связью в твердых телах. В то время как в ESR связь достигается через магнитную часть ЭМ волны с магнитным моментом электрона, ESDR представляет собой связь электрической части со спином и движением электронов. Этот механизм был предложен для управления спином электронов в квантовых точках и других мезоскопических системах . ^[15]

Смотрите также

• Угловая связь импульса
• Диаграммы углового момента (квантовая механика)
• Электрический дипольный спиновый резонанс
• Сопряжение Кугеля–Хомского
• Ягненок сдвиг
• Релятивистский момент импульса
• Сферическая основа
• Эффект Старка

Сноски

1. На самом деле это электрическое поле в системе покоя ядра, но большой разницы нет. ${\displaystyle v\ll c}$

Ссылки

1. Томас, Ллевеллин Х. (1926). «Движение вращающегося электрона». Nature . 117 (2945): 514. Bibcode :1926Natur.117..514T. doi : 10.1038/117514a0 . ISSN  0028-0836. S2CID  4084303.
2. Л. Фёппль и П. Дж. Даниэль, Zur Kinematik des Born'schen starren Körpers , Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 519 (1913).
3. Мёллер, К. (1952). Теория относительности. Лондон: Oxford at the Clarendon Press. С. 53–56.
4. Джордж П. Фишер (1971). "Электрический дипольный момент движущегося магнитного диполя" . American Journal of Physics . 39 (12): 1528–1533. Bibcode :1971AmJPh..39.1528F. doi :10.1119/1.1976708 . Получено 14 мая 2023 .
5. Гриффитс, Дэвид Дж.; Хниздо, В. (2013). «Парадокс Мансурипура». American Journal of Physics . 81 (8): 570–574. arXiv : 1303.0732 . Bibcode : 2013AmJPh..81..570G. doi : 10.1119/1.4812445. ISSN  0002-9505. S2CID  119277926.
6. А. Абрагам и Б. Блини (1970). Электронный парамагнитный резонанс переходных ионов . Clarendon Press, Оксфорд.
7. JS Griffith (1970). Теория ионов переходных металлов . Теория ионов переходных металлов, Cambridge University Press.
8. Мулак, Дж.; Гаек, З. (2000). Эффективный потенциал кристаллического поля . Elsevier Science Ltd, Кидлингтон, Оксфорд, Великобритания.
9. Фулде. Справочник по физике и химии редкоземельных элементов. Том 2. North-Holland. Inc. (1979).
10. Радвански, Р. Дж.; Михальски, Р.; Ропка, З.; Блаут, А. (1 июля 2002 г.). «Взаимодействия кристаллического поля и магнетизм в интерметаллических соединениях редкоземельных переходных металлов». Physica B. 319 ( 1–4): 78–89. Bibcode : 2002PhyB..319...78R. doi : 10.1016/S0921-4526(02)01110-9.
11. Ватанабэ, Хироши (1966). Операторные методы в теории лигандного поля . Prentice-Hall.
12. Крич, Якоб Дж.; Гальперин, Бертран И. (2007). "Кубическая спин-орбитальная связь Дрессельхауса в двумерных электронных квантовых точках". Physical Review Letters . 98 (22): 226802. arXiv : cond-mat/0702667 . Bibcode : 2007PhRvL..98v6802K. doi : 10.1103/PhysRevLett.98.226802. PMID  17677870. S2CID  7768497.
13. Яфет, И. (1963), g-факторы и спин-решеточная релаксация электронов проводимости , Физика твердого тела, т. 14, Elsevier, стр. 1–98, doi :10.1016/s0081-1947(08)60259-3, ISBN 9780126077148
14. EI Rashba и VI Sheka, Электрические дипольные спиновые резонансы, в: Ландау Уровневая спектроскопия , (Северная Голландия, Амстердам) 1991, стр. 131; https://arxiv.org/abs/1812.01721
15. Рашба, Эммануэль И. (2005). «Спиновая динамика и спиновый транспорт». Журнал сверхпроводимости . 18 (2): 137–144. arXiv : cond-mat/0408119 . Bibcode :2005JSup...18..137R. doi :10.1007/s10948-005-3349-8. ISSN  0896-1107. S2CID  55016414.

Учебники

• Кондон, Эдвард У. и Шортли, ГХ (1935). Теория атомных спектров. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-09209-8.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Prentice Hall.
• Ландау, Лев ; Лифшиц, Евгений . "§72. Тонкая структура атомных уровней". Квантовая механика: Нерелятивистская теория, том 3 .
• Ю, Питер Ю.; Кардона, Мануэль (1995). Основы полупроводников . Springer.
• Винклер, Роланд (2003). Эффекты спин-орбитальной связи в двумерных электронных и дырочных системах . Springer.

Дальнейшее чтение

• Manchon, Aurelien; Koo, Hyun Cheol; Nitta, Junsaku; Frolov, SM; Duine, RA (2015). «Новые перспективы спин-орбитальной связи Рашбы». Nature . 14 (9): 871–82. arXiv : 1507.02408 . Bibcode :2015NatMa..14..871M. doi :10.1038/nmat4360. PMID  26288976. S2CID  24116488.
• Рашба, Эммануэль И. (2016). "Спин-орбитальная связь становится глобальной" (PDF) . Журнал физики: конденсированное вещество . 28 (42): 421004. Bibcode :2016JPCM...28P1004R. doi :10.1088/0953-8984/28/42/421004. PMID  27556280. S2CID  206047842.