Горизонт — это видимая кривая, которая отделяет поверхность небесного тела от его неба , если смотреть с точки зрения наблюдателя, находящегося на поверхности соответствующего тела или вблизи нее . Эта кривая разделяет все направления обзора в зависимости от того, пересекает ли она поверхность соответствующего тела или нет.
Истинный горизонт — это теоретическая линия, которую можно наблюдать с какой-либо степенью точности только тогда, когда она лежит вдоль относительно гладкой поверхности, такой как поверхность земного океана . Во многих местах эта линия скрыта ландшафтом , а на Земле она также может быть скрыта формами жизни, такими как деревья, и/или человеческими конструкциями, такими как здания. Получающееся в результате пересечение таких препятствий с небом называется видимым горизонтом . На Земле, если смотреть на море с берега, часть моря, ближайшая к горизонту, называется дальней . [1]
Истинный горизонт окружает наблюдателя, и обычно предполагается, что он представляет собой круг, нарисованный на поверхности идеально сферической модели соответствующего небесного тела, т. е. небольшой круг локальной соприкасающейся сферы . По отношению к Земле центр истинного горизонта находится ниже наблюдателя и ниже уровня моря . Его радиус или горизонтальное расстояние от наблюдателя незначительно меняется изо дня в день из-за атмосферной рефракции, на которую сильно влияют погодные условия. Кроме того, чем выше глаза наблюдателя от уровня моря, тем дальше от наблюдателя находится горизонт. Например, в стандартных атмосферных условиях для наблюдателя, уровень глаз которого находится над уровнем моря на 1,70 метра (5 футов 7 дюймов), горизонт находится на расстоянии около 4,7 км (2,9 мили). [2] При наблюдении с очень высоких точек, таких как космическая станция , горизонт находится намного дальше и охватывает гораздо большую площадь поверхности Земли. В этом случае горизонт больше не будет идеальным кругом или даже плоской кривой , такой как эллипс, особенно когда наблюдатель находится над экватором, поскольку поверхность Земли лучше моделировать как сплющенный эллипсоид , чем как сферу.
Слово горизонт происходит от греческого ὁρίζων κύκλος ( horízōn kýklos ) «разделяющий круг», [3] где ὁρίζων происходит от глагола ὁρίζω ( horizō ) «разделять, отделять», [4] который, в свою очередь, происходит от ὅρος ( hóros ) 'граница, ориентир'. [5]
Исторически расстояние до видимого горизонта издавна имело жизненно важное значение для выживания и успешной навигации, особенно на море, поскольку оно определяло максимальную дальность обзора и, следовательно, связи наблюдателя со всеми очевидными последствиями для безопасности и передачи информации, которые это подразумевается диапазон. Это значение уменьшилось с развитием радио и телеграфа , но даже сегодня, при управлении самолетом по правилам визуального полета , для управления самолетом используется метод, называемый полетом по пространству , где пилот использует визуальное соотношение между носом самолета и горизонт для управления самолетом. Пилоты также могут сохранять пространственную ориентацию , ориентируясь на горизонт.
Во многих контекстах, особенно в перспективном рисовании , кривизна Земли не принимается во внимание, и горизонт считается теоретической линией, к которой сходятся точки на любой горизонтальной плоскости (при проецировании на картинную плоскость) по мере увеличения их расстояния от наблюдателя. Для наблюдателей, находящихся на уровне моря, разница между этим геометрическим горизонтом (который предполагает идеально плоскую бесконечную плоскость земли) и истинным горизонтом (который предполагает сферическую поверхность Земли ) незаметна невооруженным глазом. Однако для человека, находящегося на холме высотой 1000 м (3300 футов) с видом на море, истинный горизонт будет примерно на градус ниже горизонтальной линии.
В астрономии горизонт — это горизонтальная плоскость глазами наблюдателя. Это фундаментальная плоскость горизонтальной системы координат , место расположения точек, высота которых равна нулю. Хотя во многом он похож на геометрический горизонт, в этом контексте горизонт можно рассматривать как плоскость в пространстве, а не линию на картинной плоскости.
Без учета влияния атмосферной рефракции расстояние до истинного горизонта от наблюдателя, находящегося вблизи поверхности Земли, составляет около [2]
где h — высота над уровнем моря, а R — радиус Земли .
Выражение можно упростить как:
где константа равна k =3,57 км/м ½ =1,22 мили/фута ½ . В этом уравнении предполагается, что поверхность Земли имеет идеально сферическую форму с R , равным примерно 6371 километру (3959 миль).
Предполагая отсутствие атмосферной рефракции и сферическую Землю с радиусом R = 6371 километр (3959 миль):
На планетах земной группы и других твердых небесных телах с незначительными атмосферными эффектами расстояние до горизонта для «стандартного наблюдателя» варьируется как квадратный корень из радиуса планеты. Так, горизонт на Меркурии находится на 62% дальше от наблюдателя, чем на Земле, на Марсе — 73%, на Луне — 52%, на Мимасе — 18% и так далее.
Если предположить, что Земля представляет собой безликую сферу (а не сплюснутый сфероид ) без атмосферной рефракции, то расстояние до горизонта можно легко вычислить. [6]
Теорема о касательном секущем утверждает, что
Сделайте следующие замены:
где d, D и h измеряются в одних и тех же единицах. Теперь формула становится
или
где R — радиус Земли.
Это же уравнение можно вывести и с помощью теоремы Пифагора . На горизонте луч зрения касается Земли и перпендикулярен радиусу Земли. В результате получается прямоугольный треугольник, в котором сумма радиуса и высоты является гипотенузой. С
обращение ко второму рисунку справа приводит к следующему:
Точную формулу, приведенную выше, можно расширить как:
где R — радиус Земли ( R и h должны быть в одних и тех же единицах измерения). Например, если спутник находится на высоте 2000 км, расстояние до горизонта составит 5430 километров (3370 миль); Если пренебречь вторым членом в скобках, то расстояние составит 5048 километров (3137 миль), что составляет ошибку 7%.
Если наблюдатель находится близко к поверхности Земли, то можно пренебречь h в члене (2 R + h ) , и формула принимает вид:
Используя километры для d и R и метры для h и приняв радиус Земли равным 6371 км, расстояние до горизонта составит
Используя британские единицы измерения , где d и R выражаются в статутных милях (обычно используемых на суше), а h в футах, расстояние до горизонта равно
Если d указано в морских милях , а h в футах, постоянный коэффициент составляет около 1,06, что достаточно близко к 1, поэтому его часто игнорируют, давая:
Эти формулы можно использовать, когда h намного меньше радиуса Земли (6371 км или 3959 миль), включая все виды с любых вершин гор, самолетов или высотных воздушных шаров. При заданных константах точность как метрической, так и британской формулы составляет 1% (о том, как добиться большей точности, см. в следующем разделе). Если h является значимым по отношению к R , как и в случае с большинством спутников, то приближение уже недействительно и требуется точная формула.
Другое соотношение включает расстояние s по большому кругу вдоль дуги над искривленной поверхностью Земли до горизонта; это более непосредственно сравнимо с географическим расстоянием на карте.
Его можно сформулировать через γ в радианах :
затем
Решение для s дает
Расстояние s также можно выразить через расстояние d прямой видимости ; из второго рисунка справа,
замена γ и перестановка дает
Расстояния d и s почти одинаковы, когда высота объекта пренебрежимо мала по сравнению с радиусом (т. е. h ≪ R ).
Когда наблюдатель поднят, зенитный угол горизонта может превышать 90°. Максимальный видимый зенитный угол возникает, когда луч касается поверхности Земли; из треугольника OCG на рисунке справа,
где – высота наблюдателя над поверхностью, – угол наклона горизонта. Он связан с зенитным углом горизонта следующим образом:
Для неотрицательной высоты угол всегда ≥ 90°.
Чтобы вычислить наибольшее расстояние D BL , на котором наблюдатель B может видеть верхнюю часть объекта L над горизонтом, просто сложите расстояния до горизонта от каждой из двух точек:
Например, для наблюдателя B ростом h B =1,70 м, стоящего на земле, горизонт находится на расстоянии D B =4,65 км. Для башни высотой h L =100 м расстояние до горизонта составляет D L =35,7 км. Таким образом, наблюдатель на пляже может видеть вершину башни, если она находится на расстоянии не более D BL = 40,35 км. И наоборот, если наблюдатель на лодке ( h B = 1,7 м) может видеть только верхушки деревьев на близлежащем берегу ( h L = 10 м), то деревья, вероятно, находятся на расстоянии примерно D BL = 16 км.
Ссылаясь на рисунок справа и используя приведенное выше приближение, вершина маяка будет видна наблюдателю в «вороньем гнезде» на вершине мачты лодки, если
где D BL — в километрах, а h B и h L — в метрах.
В качестве другого примера предположим, что наблюдатель, чьи глаза находятся на расстоянии двух метров над уровнем земли, использует бинокль, чтобы посмотреть на отдаленное здание, которое, как он знает, состоит из тридцати этажей , каждый из которых имеет высоту 3,5 метра. Он подсчитывает этажи, которые видит, и обнаруживает, что их всего десять. Вот и двадцать этажей или 70 метров здания скрыты от него кривизной Земли. Отсюда он может вычислить свое расстояние от здания:
что составляет около 35 километров.
Аналогично можно вычислить, какая часть удаленного объекта видна над горизонтом. Предположим, глаз наблюдателя находится на высоте 10 метров над уровнем моря, и он наблюдает за кораблем, находящимся на расстоянии 20 км. Его горизонт:
километрах от него, что составляет примерно 11,3 километра. Корабль находится еще в 8,7 км. Высота точки на корабле, которая только видна наблюдателю, определяется по формуле:
что составляет почти ровно шесть метров. Таким образом, наблюдатель может видеть ту часть корабля, которая находится более чем на шесть метров над уровнем воды. Та часть корабля, которая находится ниже этой высоты, скрыта от него кривизной Земли. Говорят, что в этой ситуации корабль потерпел крушение .
Из-за атмосферной рефракции расстояние до видимого горизонта больше, чем расстояние, основанное на простом геометрическом расчете. Если поверхность земли (или воды) холоднее воздуха над ней, вблизи поверхности образуется холодный плотный слой воздуха, в результате чего свет преломляется вниз при своем движении и, следовательно, в некоторой степени огибает поверхность. кривизна Земли. Обратное происходит, если земля горячее воздуха над ней, как это часто бывает в пустынях, создавая миражи . В качестве приблизительной компенсации рефракции геодезисты, измеряющие расстояния более 100 метров, вычитают 14% из рассчитанной ошибки кривизны и обеспечивают, чтобы линия обзора находилась на расстоянии не менее 1,5 метров от земли, чтобы уменьшить случайные ошибки, вызванные рефракцией.
Если бы Земля была безвоздушным миром, как Луна, приведенные выше расчеты были бы точными. Однако на Земле есть воздушная атмосфера , плотность и показатель преломления которой значительно изменяются в зависимости от температуры и давления. Из-за этого воздух в разной степени преломляет свет, влияя на внешний вид горизонта. Обычно плотность воздуха над поверхностью Земли больше, чем его плотность на больших высотах. Это делает его показатель преломления выше у поверхности, чем на больших высотах, что приводит к тому, что свет, движущийся примерно горизонтально, преломляется вниз. [7] Это делает фактическое расстояние до горизонта больше, чем расстояние, рассчитанное по геометрическим формулам. При стандартных атмосферных условиях разница составляет около 8%. Это изменяет коэффициент 3,57 в метрических формулах, использованных выше, примерно до 3,86. [2] Например, если наблюдатель стоит на берегу моря, его глаза находятся на высоте 1,70 м над уровнем моря, то, согласно простым геометрическим формулам, приведенным над горизонтом, оно должно находиться на расстоянии 4,7 км. На самом деле атмосферная рефракция позволяет наблюдателю видеть на 300 метров дальше, отодвигая истинный горизонт на 5 км от наблюдателя.
Эта поправка может применяться и часто применяется как довольно хорошее приближение, когда атмосферные условия близки к стандартным . Когда условия необычны, это приближение не работает. На рефракцию сильно влияют температурные градиенты, которые могут значительно меняться изо дня в день, особенно над водой. В крайних случаях, обычно весной, когда теплый воздух перекрывает холодную воду, рефракция может позволить свету следовать за поверхностью Земли на сотни километров. Противоположные условия возникают, например, в пустынях, где поверхность очень горячая, поэтому горячий воздух с низкой плотностью находится ниже более холодного воздуха. Это приводит к преломлению света вверх, вызывая эффекты миража , которые делают концепцию горизонта несколько бессмысленной. Поэтому расчетные значения эффектов рефракции в необычных условиях являются приблизительными. [2] Тем не менее, были предприняты попытки рассчитать их более точно, чем простое приближение, описанное выше.
За пределами зрительного диапазона длин волн рефракция будет другой. Для радара (например, для длин волн от 300 до 3 мм, т.е. частот от 1 до 100 ГГц) радиус Земли можно умножить на 4/3, чтобы получить эффективный радиус, дающий коэффициент 4,12 в метрической формуле, т.е. горизонт радара будет равен 15% за геометрическим горизонтом или 7% за визуальным. Коэффициент 4/3 не является точным, так как в визуальном случае рефракция зависит от атмосферных условий.
Если известен профиль плотности атмосферы, расстояние d до горизонта определяется выражением [8]
где R E — радиус Земли, ψ — угол наклона горизонта, а δ — рефракция горизонта. Провал определяется достаточно просто из
где h — высота наблюдателя над Землей, μ — показатель преломления воздуха на высоте наблюдателя, а μ 0 — показатель преломления воздуха у поверхности Земли.
Рефракцию необходимо найти интегрированием
где - угол между лучом и линией, проходящей через центр Земли. Углы ψ и связаны соотношением
Гораздо более простой подход, который дает по существу те же результаты, что и описанное выше приближение первого порядка, использует геометрическую модель, но использует радиус R' = 7/6 R E . Тогда расстояние до горизонта составит [2]
Принимая радиус Земли равным 6371 км, d в км и h в м,
где d в милях и h в футах,
В случае радара обычно R' = 4/3 R E , что дает ( d в км и h в м)
Результаты метода Янга весьма близки к результатам метода Свира и достаточно точны для многих целей.
Горизонт — ключевая особенность картинной плоскости в науке о графической перспективе . Предполагая, что плоскость изображения расположена вертикально относительно земли, а P — это перпендикулярная проекция точки глаза O на плоскость изображения, горизонт определяется как горизонтальная линия, проходящая через P . Точка P — это точка схода линий, перпендикулярных картинке. Если S — еще одна точка на горизонте, то это точка схода для всех линий , параллельных OS . Но Брук Тейлор (1719) указал, что плоскость горизонта, определяемая О , и горизонт аналогичны любой другой плоскости :
Своеобразная геометрия перспективы, когда параллельные линии сходятся на расстоянии, стимулировала развитие проективной геометрии , которая постулирует точку в бесконечности , где сходятся параллельные линии. В своей книге «Геометрия искусства» (2007) Кирсти Андерсен описала эволюцию перспективного рисунка и науки до 1800 года, отметив, что точки схода не обязательно должны быть на горизонте. В главе под названием «Горизонт» Джон Стиллвелл рассказал, как проективная геометрия привела к геометрии инцидентности — современному абстрактному исследованию пересечения прямых. Стиллвелл также затронул основы математики в разделе «Каковы законы алгебры?» «Алгебра точек», первоначально данная Карлом фон Штаудтом для вывода аксиом поля , была деконструирована в двадцатом веке, открыв большое разнообразие математических возможностей. Стиллвелл заявляет