Виртуальная работа

Работа, совершаемая силой для перемещения частицы вдоль виртуального перемещения

В механике виртуальная работа возникает при применении принципа наименьшего действия к изучению сил и движения механической системы . Работа силы, действующей на частицу, когда она движется вдоль смещения , различна для разных смещений. Среди всех возможных смещений, которые может совершить частица, называемых виртуальными смещениями , одно будет минимизировать действие. Таким образом, это смещение является смещением, которому следует частица в соответствии с принципом наименьшего действия.

Работа силы, действующей на частицу при виртуальном перемещении, называется виртуальной работой.

Исторически виртуальная работа и связанное с ней вариационное исчисление были сформулированы для анализа систем твердых тел ^[1], но они также были разработаны для изучения механики деформируемых тел ^{[2] .}

История

Принцип виртуальной работы всегда использовался в той или иной форме со времен античности при изучении статики. Он использовался греками, средневековыми арабами и латинянами, а также итальянцами эпохи Возрождения как «закон рычага». ^[3] Идея виртуальной работы использовалась многими известными физиками 17-го века, такими как Галилей, Декарт, Торричелли, Валлис и Гюйгенс, в разной степени общности при решении задач по статике. ^[3] Работая с концепциями Лейбница, Иоганн Бернулли систематизировал принцип виртуальной работы и сделал явной концепцию бесконечно малого смещения. Он был способен решать задачи как для твердых тел, так и для жидкостей. Версия закона виртуальной работы Бернулли появилась в его письме Пьеру Вариньону в 1715 году, которое позже было опубликовано во втором томе «Nouvelle mécanique ou Statique» Вариньона в 1725 году. Эта формулировка принципа сегодня известна как принцип виртуальных скоростей и обычно рассматривается как прототип современных принципов виртуальной работы. ^[3] В 1743 году Д'Аламбер опубликовал свой «Traité de Dynamique» , где он применил принцип виртуальной работы, основанный на работе Бернулли, для решения различных задач динамики. Его идея состояла в том, чтобы преобразовать динамическую задачу в статическую, введя инерционную силу . ^[4] В 1768 году Лагранж представил принцип виртуальной работы в более эффективной форме, введя обобщенные координаты, и представил его как альтернативный принцип механики, с помощью которого можно было бы решить все проблемы равновесия. Систематическое изложение программы Лагранжа по применению этого подхода ко всей механике, как статической, так и динамической, по сути принципа Даламбера , было дано в его «Аналитической механике» 1788 года. ^[3] Хотя Лагранж представил свою версию принципа наименьшего действия до этой работы, он признал принцип виртуальной работы более фундаментальным, главным образом потому, что его можно было принять в качестве основы для всей механики, в отличие от современного понимания, что наименьшее действие не учитывает неконсервативные силы. ^[3]

Обзор

Если сила действует на частицу, когда она движется из точки в точку , то для каждой возможной траектории, которую может принять частица, можно вычислить общую работу, выполненную силой вдоль пути. Принцип виртуальной работы , который является формой принципа наименьшего действия, примененного к этим системам, утверждает, что путь, фактически пройденный частицей, — это тот путь, для которого разность между работой вдоль этого пути и других близлежащих путей равна нулю (в первом порядке). Формальная процедура вычисления разности функций, вычисленных на близлежащих путях, является обобщением производной, известной из дифференциального исчисления, и называется вариационным исчислением . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Рассмотрим точечную частицу, которая движется по траектории, описываемой функцией, из точки , где , в точку , где . Возможно, что частица движется из в по близлежащей траектории, описываемой функцией , где называется вариацией . Вариация удовлетворяет требованию . Скалярные компоненты вариации , и называются виртуальными смещениями. Это можно обобщить на произвольную механическую систему, определяемую обобщенными координатами , . В этом случае вариация траектории определяется виртуальными смещениями , . ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t=t_{0})}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t=t_{1})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)+\delta \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \delta \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \delta \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \delta \mathbf {r} (t_{0})=\delta \mathbf {r} (t_{1})=0}$ ${\displaystyle \delta r_{1}(t)}$ ${\displaystyle \delta r_{2}(t)}$ ${\displaystyle \delta r_{3}(t)}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2,...,n}$ ${\displaystyle q_{i}(t)}$ ${\displaystyle \delta q_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2,...,n}$

Виртуальная работа — это общая работа, выполненная приложенными силами и силами инерции механической системы, когда она движется через набор виртуальных перемещений. При рассмотрении сил, приложенных к телу в статическом равновесии, принцип наименьшего действия требует, чтобы виртуальная работа этих сил была равна нулю.

Математическая обработка

Рассмотрим частицу P, которая движется из точки A в точку B по траектории r ( t ) , в то время как к ней приложена сила F ( r ( t )) . Работа, совершаемая силой F, определяется интегралом , где d r — дифференциальный элемент вдоль кривой, которая является траекторией P , а v — ее скорость. Важно отметить, что значение работы W зависит от траектории r ( t ) . $${\displaystyle W=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}~dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} ~dt,}$$

Теперь рассмотрим частицу P, которая снова движется из точки A в точку B , но на этот раз она движется по близлежащей траектории, которая отличается от r ( t ) на вариацию δ r ( t ) = ε h ( t ) , где ε — масштабная константа, которую можно сделать сколь угодно малой, а h ( t ) — произвольная функция, удовлетворяющая условию _h ( t0 ) = h ( t1 ) = 0. Предположим , что сила F ( r ( t ) + ε h ( t )) такая же, как _F ( r ( t )) . Работа, совершаемая силой, задается интегралом. Вариация работы δW , связанная с этим близлежащим путем, известная как виртуальная работа , может быть вычислена как $${\displaystyle {\bar {W}}=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d(\mathbf {r} +\varepsilon \mathbf {h} )=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {d(\mathbf {r} (t)+\varepsilon \mathbf {h} (t))}{dt}}~dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot (\mathbf {v} +\varepsilon {\dot {\mathbf {h} }})~dt.}$$ $${\displaystyle \delta W={\bar {W}}-W=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\mathbf {F} \cdot \varepsilon {\dot {\mathbf {h} }})~dt.}$$

Если нет ограничений на движение P , то для полного описания положения P в любой момент времени t требуется 3 параметра . Если есть k ( k ≤ 3 ) сил ограничений, то требуется n = (3 − k ) параметров. Следовательно, мы можем определить n обобщенных координат q _i ( t ) ( i = 1,..., n ) и выразить r ( t ) и δ r = ε h ( t ) через обобщенные координаты. То есть, Тогда производная вариации δ r = ε h ( t ) задается выражением, тогда мы имеем $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n};t),}$$ $${\displaystyle \mathbf {h} (t)=\mathbf {h} (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n};t).}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\delta \mathbf {r} ={\frac {d}{dt}}\varepsilon \mathbf {h} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i},}$$ $${\displaystyle \delta W=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i}\right)dt=\sum _{i=1}^{n}\left(\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i}~dt\right).}$$

Требование, чтобы виртуальная работа была равна нулю для произвольной вариации δ r ( t ) = ε h ( t ) эквивалентно набору требований Члены Q _i называются обобщенными силами, связанными с виртуальным перемещением δ r . $${\displaystyle Q_{i}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}=0,\quad i=1,\ldots ,n.}$$

Статическое равновесие

Статическое равновесие — это состояние, в котором чистая сила и чистый крутящий момент, действующие на систему, равны нулю. Другими словами, как линейный импульс , так и угловой момент системы сохраняются. Принцип виртуальной работы гласит, что виртуальная работа приложенных сил равна нулю для всех виртуальных движений системы из статического равновесия . Этот принцип можно обобщить таким образом, чтобы включить трехмерные вращения : виртуальная работа приложенных сил и приложенных моментов равна нулю для всех виртуальных движений системы из статического равновесия. То есть , где F _i , i = 1, 2, ..., m и M _j , j = 1, 2, ..., n — приложенные силы и приложенные моменты соответственно, а δ r _i , i = 1, 2, ..., m и δ φ _j , j = 1, 2, ..., n — виртуальные перемещения и виртуальные вращения соответственно. $${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot \delta \mathbf {\phi } _{j}=0,}$$

Предположим, что система состоит из N частиц и имеет f ( f ≤ 6 N ) степеней свободы . Достаточно использовать только f координат, чтобы дать полное описание движения системы, поэтому f обобщенных координат q _k , k = 1, 2, ..., f определяются таким образом, что виртуальные движения могут быть выражены в терминах этих обобщенных координат . То есть, $${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f};t),\quad i=1,2,\dots ,m;}$$ $${\displaystyle \delta \phi _{j}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f};t),\quad j=1,2,\dots ,n.}$$

Виртуальная работа затем может быть перепараметризована обобщенными координатами : где обобщенные силы Q _k определяются как Кейн ^[5] показывает, что эти обобщенные силы также могут быть сформулированы в терминах отношения производных по времени. То есть, $${\displaystyle \delta W=\sum _{k=1}^{f}\left[\left(\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\phi } _{j}}{\partial q_{k}}}\right)\delta q_{k}\right]=\sum _{k=1}^{f}Q_{k}\delta q_{k},}$$ $${\displaystyle Q_{k}=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\phi } _{j}}{\partial q_{k}}},\quad k=1,2,\dots ,f.}$$ $${\displaystyle Q_{k}=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\omega } _{j}}{\partial {\dot {q}}_{k}}},\quad k=1,2,\dots ,f.}$$

Принцип виртуальной работы требует, чтобы виртуальная работа, совершаемая в системе силами F _i и моментами M _j, обращалась в нуль, если она находится в равновесии . Следовательно, обобщенные силы Q _k равны нулю, то есть $${\displaystyle \delta W=0\quad \Rightarrow \quad Q_{k}=0\quad k=1,2,\dots ,f.}$$

Силы ограничения

Важным преимуществом принципа виртуальной работы является то, что для определения механики системы необходимы только силы, которые выполняют работу, когда система движется через виртуальное смещение . В механической системе есть много сил, которые не выполняют работу во время виртуального смещения , что означает, что их не нужно учитывать в этом анализе. Два важных примера: (i) внутренние силы в твердом теле и (ii) силы ограничения в идеальном соединении .

Ланцош ^[1] представляет это как постулат: «Виртуальная работа сил реакции всегда равна нулю для любого виртуального смещения , которое находится в гармонии с заданными кинематическими ограничениями». Аргументация такова. Принцип виртуальной работы гласит, что в равновесии виртуальная работа сил, приложенных к системе, равна нулю. Законы Ньютона гласят, что в равновесии приложенные силы равны и противоположны реакции, или силам ограничения. Это означает, что виртуальная работа сил ограничения также должна быть равна нулю.

Закон рычага

Рычаг моделируется как жесткий стержень , соединенный с наземной рамой шарнирным соединением, называемым точкой опоры. Рычаг приводится в действие путем приложения входной силы F _A в точке A, расположенной по координатному вектору r _A на стержне. Затем рычаг оказывает выходную силу F _B в точке B, расположенной по координатному вектору r _B . Вращение рычага вокруг точки опоры P определяется углом поворота θ .

Это гравюра из журнала «Mechanics Magazine», изданного в Лондоне в 1824 году.

Пусть вектор координат точки P , определяющий точку опоры, равен r _P , и введем длины , которые являются расстояниями от точки опоры до входной точки A и до выходной точки B соответственно. $${\displaystyle a=|\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{P}|,\quad b=|\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{P}|,}$$

Теперь введем единичные векторы e _A и e _B от точки опоры к точкам A и B , так что Это обозначение позволяет нам определить скорость точек A и B как где e _A ^⊥ и e _B ^⊥ — единичные векторы, перпендикулярные e _A и e _B соответственно. $${\displaystyle \mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{P}=a\mathbf {e} _{A},\quad \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{P}=b\mathbf {e} _{B}.}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{A}={\dot {\theta }}a\mathbf {e} _{A}^{\perp },\quad \mathbf {v} _{B}={\dot {\theta }}b\mathbf {e} _{B}^{\perp },}$$

Угол θ является обобщенной координатой, которая определяет конфигурацию рычага, поэтому, используя приведенную выше формулу для сил, приложенных к механизму с одной степенью свободы, обобщенная сила определяется как $${\displaystyle Q=\mathbf {F} _{A}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{A}}{\partial {\dot {\theta }}}}-\mathbf {F} _{B}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{B}}{\partial {\dot {\theta }}}}=a(\mathbf {F} _{A}\cdot \mathbf {e} _{A}^{\perp })-b(\mathbf {F} _{B}\cdot \mathbf {e} _{B}^{\perp }).}$$

Теперь обозначим как F _A и F _B компоненты сил, перпендикулярные радиальным сегментам PA и PB . Эти силы определяются следующим образом: Это обозначение и принцип виртуальной работы дают формулу для обобщенной силы: $${\displaystyle F_{A}=\mathbf {F} _{A}\cdot \mathbf {e} _{A}^{\perp },\quad F_{B}=\mathbf {F} _{B}\cdot \mathbf {e} _{B}^{\perp }.}$$ $${\displaystyle Q=aF_{A}-bF_{B}=0.}$$

Отношение выходной силы F _B к входной силе F _A представляет собой механическое преимущество рычага и получается из принципа виртуальной работы как $${\displaystyle MA={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {a}{b}}.}$$

Это уравнение показывает, что если расстояние a от точки опоры до точки A , где приложена входная сила, больше, чем расстояние b от точки опоры до точки B , где приложена выходная сила, то рычаг усиливает входную силу. Если же верно обратное, то есть расстояние от точки опоры до входной точки A меньше, чем от точки опоры до выходной точки B , то рычаг уменьшает величину входной силы.

Это закон рычага , который был доказан Архимедом с помощью геометрических рассуждений. ^[6]

Зубчатая передача

Зубчатая передача формируется путем установки шестерен на раму таким образом, чтобы зубья шестерен входили в зацепление. Зубья шестерен спроектированы так, чтобы окружности зацепления шестерен катились друг по другу без проскальзывания, что обеспечивает плавную передачу вращения от одной шестерни к другой. Для этого анализа мы рассматриваем зубчатую передачу, которая имеет одну степень свободы, что означает, что угловое вращение всех шестерен в зубчатой ​​передаче определяется углом входной шестерни.

Иллюстрация из «Обучения механического транспорта в армейском корпусе» (1911 г.), рис. 112 Передача движения и силы зубчатыми колесами, составной поезд

Размер шестерен и последовательность, в которой они входят в зацепление, определяют отношение угловой скорости ω _A входной шестерни к угловой скорости ω _B выходной шестерни, известное как передаточное отношение или передаточное отношение зубчатой ​​передачи. Пусть R будет передаточным отношением, тогда $${\displaystyle {\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}=R.}$$

Входной крутящий момент T _{A ,} действующий на входную шестерню G _{A ,} преобразуется зубчатой ​​передачей в выходной крутящий момент T _{B ,} создаваемый выходной шестерней G _B . Если предположить, что шестерни жесткие и что нет потерь в зацеплении зубьев шестерен, то для анализа статического равновесия зубчатой ​​передачи можно использовать принцип виртуальной работы.

Пусть угол θ входной шестерни будет обобщенной координатой зубчатой ​​передачи, тогда передаточное отношение R зубчатой ​​передачи определяет угловую скорость выходной шестерни относительно входной шестерни, то есть $${\displaystyle \omega _{A}=\omega ,\quad \omega _{B}=\omega /R.}$$

Приведенная выше формула для принципа виртуальной работы с приложенными крутящими моментами дает обобщенную силу $${\displaystyle Q=T_{A}{\frac {\partial \omega _{A}}{\partial \omega }}-T_{B}{\frac {\partial \omega _{B}}{\partial \omega }}=T_{A}-T_{B}/R=0.}$$

Механическое преимущество зубчатой ​​передачи представляет собой отношение выходного крутящего момента T _B к входному крутящему моменту T _A , и приведенное выше уравнение дает $${\displaystyle MA={\frac {T_{B}}{T_{A}}}=R.}$$

Таким образом, передаточное отношение зубчатой ​​передачи также определяет ее механическое преимущество. Это показывает, что если входная шестерня вращается быстрее выходной шестерни, то зубчатая передача усиливает входной крутящий момент. И если входная шестерня вращается медленнее выходной шестерни, то зубчатая передача уменьшает входной крутящий момент.

Динамическое равновесие твердых тел

Если принцип виртуальной работы для приложенных сил используется на отдельных частицах твердого тела , то этот принцип можно обобщить для твердого тела: когда твердое тело, находящееся в равновесии, подвергается виртуальным совместимым перемещениям, то общая виртуальная работа всех внешних сил равна нулю; и наоборот, если общая виртуальная работа всех внешних сил, действующих на твердое тело, равна нулю, то тело находится в равновесии .

Если система не находится в статическом равновесии, Д'Аламбер показал, что введение членов ускорения законов Ньютона в качестве сил инерции позволяет обобщить этот подход для определения динамического равновесия. Результатом является форма Д'Аламбера принципа виртуальной работы, которая используется для вывода уравнений движения для механической системы твердых тел.

Выражение «совместимые смещения» означает, что частицы остаются в контакте и смещаются вместе, так что работа, выполняемая парами межчастичных сил действия/реакции, компенсируется. Различные формы этого принципа были приписаны Иоганну (Жану) Бернулли (1667–1748) и Даниилу Бернулли (1700–1782).

Обобщенные силы инерции

Пусть механическая система построена из n твердых тел, B _i , i = 1,...,n, и пусть результирующей приложенных к каждому телу сил являются пары сила-момент, F _i и T _i , i = 1,..., n . Обратите внимание, что эти приложенные силы не включают силы реакции в местах соединения тел. Наконец, предположим, что скорость V _i и угловые скорости ω _i , i = 1,..., n , для каждого твердого тела определяются одной обобщенной координатой q. Говорят, что такая система твердых тел имеет одну степень свободы .

Рассмотрим одно твердое тело, которое движется под действием результирующей силы F и крутящего момента T , с одной степенью свободы, определяемой обобщенной координатой q. Предположим, что точкой отсчета для результирующей силы и крутящего момента является центр масс тела, тогда обобщенная сила инерции Q*, связанная с обобщенной координатой q, определяется как Эта сила инерции может быть вычислена из кинетической энергии твердого тела, используя формулу $${\displaystyle Q^{*}=-(M\mathbf {A} )\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}-([I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega )\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}.}$$ $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} +{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }},}$$ $${\displaystyle Q^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial T}{\partial q}}\right).}$$

Система из n твердых тел с m обобщенными координатами имеет кинетическую энергию , которую можно использовать для вычисления m обобщенных сил инерции ^[7] $${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{i}\cdot \mathbf {V} _{i}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}_{i}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}_{i}\right),}$$ $${\displaystyle Q_{j}^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Форма принципа виртуальной работы Даламбера

Форма принципа виртуальной работы Даламбера гласит, что система твердых тел находится в динамическом равновесии, когда виртуальная работа суммы приложенных сил и сил инерции равна нулю для любого виртуального смещения системы. Таким образом, динамическое равновесие системы из n твердых тел с m обобщенными координатами требует, чтобы для любого набора виртуальных смещений δq _j . Это условие дает m уравнений, которые также можно записать как Результатом является набор из m уравнений движения, которые определяют динамику системы твердых тел, известных как уравнения Лагранжа или обобщенные уравнения движения . $${\displaystyle \delta W=(Q_{1}+Q_{1}^{*})\delta q_{1}+\dots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})\delta q_{m}=0,}$$ $${\displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Если обобщенные силы Q _j выводятся из потенциальной энергии V ( q ₁ ,..., q _m ), то эти уравнения движения принимают вид $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

В этом случае введем лагранжиан , L = T − V , так что эти уравнения движения примут вид Они известны как уравнения Эйлера-Лагранжа для системы с m степенями свободы, или уравнения Лагранжа второго рода . $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Принцип виртуальной работы деформируемого тела

Рассмотрим теперь свободную диаграмму тела деформируемого тела , которая состоит из бесконечного числа дифференциальных кубов. Давайте определим два несвязанных состояния для тела:

• -Состояние : показывает внешние поверхностные силы T , объемные силы f и внутренние напряжения в равновесии. ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$
• -Состояние : показывает непрерывные смещения и постоянные деформации . ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}^{*}}$

Верхний индекс * подчеркивает, что эти два состояния не связаны между собой. За исключением указанных выше условий, нет необходимости указывать, являются ли какие-либо из состояний реальными или виртуальными.

Теперь представьте, что силы и напряжения в -состоянии подвергаются смещениям и деформациям в -состоянии: Мы можем вычислить общую виртуальную (мнимую) работу, совершаемую всеми силами, действующими на грани всех кубов, двумя различными способами: ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$

• Во-первых, суммируя работу, выполняемую силами, действующими на отдельные общие грани (рис. c): Поскольку материал испытывает совместимые перемещения , такая работа компенсируется, и остается только виртуальная работа, выполняемая поверхностными силами T (которые равны напряжениям на гранях кубов, в силу равновесия). ${\displaystyle F_{A}}$
• Во-вторых, вычисляя чистую работу, выполняемую напряжениями или силами, такими как , которые действуют на отдельный куб, например, для одномерного случая на рис. (c): где использовалось соотношение равновесия и пренебрегалось членом второго порядка. ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle F_{B}}$ $${\displaystyle F_{B}\left(u^{*}+{\frac {\partial u^{*}}{\partial x}}dx\right)-F_{A}u^{*}\approx {\frac {\partial u^{*}}{\partial x}}\sigma dV+u^{*}{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}dV=\epsilon ^{*}\sigma dV-u^{*}fdV}$$ ${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial x}}+f=0}$
  Интегрирование по всему телу дает: – Работа, совершаемая силами тела f . $${\displaystyle \int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{*T}{\boldsymbol {\sigma }}\,dV}$$

Приравнивая два результата, получаем принцип виртуальной работы для деформируемого тела:

где полная внешняя виртуальная работа выполняется T и f . Таким образом,

Правую часть ( d , e ) часто называют внутренней виртуальной работой. Тогда принцип виртуальной работы гласит: Внешняя виртуальная работа равна внутренней виртуальной работе, когда уравновешенные силы и напряжения подвергаются не связанным, но последовательным смещениям и деформациям . Он включает принцип виртуальной работы для твердых тел как особый случай, когда внутренняя виртуальная работа равна нулю.

Доказательство эквивалентности принципа виртуальной работы и уравнения равновесия

Начнем с рассмотрения общей работы, совершаемой поверхностным натяжением тела, подвергающегося указанной деформации: $${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} \cdot \mathbf {T} dS=\int _{S}\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} dS}$$

Применив теорему о расходимости к правой части, получаем: $${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot n} dS=\int _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)dV}$$

Теперь перейдем к индексной записи для простоты вывода. $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)dV&=\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(u_{i}\sigma _{ij}\right)dV\\&=\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}+u_{i}{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}\right)dV\end{aligned}}}$$

Чтобы продолжить вывод, подставим в уравнение равновесия . Тогда ${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}+f_{i}=0}$ $${\displaystyle \int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}+u_{i}{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}\right)dV=\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV}$$

Первый член в правой части необходимо разбить на симметричную часть и косую часть следующим образом: где — деформация, соответствующая заданному полю смещения. Второе с конца равенство следует из того факта, что матрица напряжений симметрична, а произведение косой матрицы и симметричной матрицы равно нулю. $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV&=\int _{V}\left({\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\right]\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left(\left[\epsilon _{ij}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\right]\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left(\epsilon _{ij}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left({\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} \right)dV\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$

Теперь подведем итог. Мы показали с помощью приведенного выше вывода, что $${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot T} dS=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}dV-\int _{V}\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} dV}$$

Переместим второй член из правой части уравнения в левую: $${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot T} dS+\int _{V}\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} dV=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}dV}$$

Физическая интерпретация приведенного выше уравнения заключается в том, что внешняя виртуальная работа равна внутренней виртуальной работе, когда уравновешенные силы и напряжения подвергаются не связанным, но последовательным смещениям и деформациям .

Для практического применения:

• Чтобы установить равновесие реальных напряжений и сил, мы используем согласованные виртуальные смещения и деформации в уравнении виртуальной работы.
• Для того чтобы задать согласованные смещения и деформации, мы используем уравновешенные виртуальные напряжения и силы в уравнении виртуальной работы.

Эти два общих сценария порождают два часто упоминаемых вариационных принципа. Они действительны независимо от поведения материала.

Принцип виртуальных перемещений

В зависимости от цели мы можем специфицировать уравнение виртуальной работы. Например, чтобы вывести принцип виртуальных перемещений в вариационных обозначениях для поддерживаемых тел, мы указываем:

• Виртуальные смещения и деформации как вариации реальных смещений и деформаций с использованием вариационных обозначений, таких как и ${\displaystyle \delta \ \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} ^{*}}$ ${\displaystyle \delta \ {\boldsymbol {\epsilon }}\equiv {\boldsymbol {\epsilon }}^{*}}$
• Виртуальные смещения равны нулю на той части поверхности, которая имеет заданные смещения, и, таким образом, работа, совершаемая реакциями, равна нулю. Остаются только внешние поверхностные силы на той части, которая совершает работу. ${\displaystyle S_{t}}$

Уравнение виртуальной работы тогда становится принципом виртуальных перемещений:

Это соотношение эквивалентно набору уравнений равновесия, записанных для дифференциального элемента в деформируемом теле, а также граничных условий напряжения на части поверхности. Наоборот, ( f ) может быть достигнуто, хотя и нетривиальным образом, начиная с дифференциальных уравнений равновесия и граничных условий напряжения на и действуя аналогично ( a ) и ( b ). ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle S_{t}}$

Поскольку виртуальные смещения автоматически совместимы, когда они выражены в терминах непрерывных , однозначных функций , мы часто упоминаем только необходимость согласованности между деформациями и смещениями. Принцип виртуальной работы также действителен для больших реальных смещений; однако, уравнение ( f ) тогда будет записано с использованием более сложных мер напряжений и деформаций.

Принцип виртуальных сил

Здесь мы указываем:

• Виртуальные силы и напряжения как вариации реальных сил и напряжений.
• Виртуальные силы равны нулю на той части поверхности, на которой заданы силы, и, таким образом, только поверхностные (реакционные) силы (на которой заданы смещения) будут выполнять работу. ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle S_{u}}$

Уравнение виртуальной работы становится принципом виртуальных сил:

Это соотношение эквивалентно набору уравнений совместности деформаций, а также граничных условий перемещения на детали . Оно имеет и другое название: принцип дополнительной виртуальной работы. ${\displaystyle S_{u}}$

Альтернативные формы

Специализацией принципа виртуальных сил является метод единичной фиктивной силы , который очень полезен для вычисления перемещений в структурных системах. Согласно принципу Даламбера , включение инерционных сил в качестве дополнительных объемных сил даст уравнение виртуальной работы, применимое к динамическим системам. Более обобщенные принципы могут быть получены следующим образом:

• допуская вариации всех величин.
• использование множителей Лагранжа для наложения граничных условий и/или ослабления условий, указанных в двух состояниях.

Они описаны в некоторых источниках.

Среди множества энергетических принципов в строительной механике принцип виртуальной работы заслуживает особого места из-за своей общности, которая приводит к мощным приложениям в структурном анализе , механике деформируемого твердого тела и методе конечных элементов в строительной механике .

Смотрите также

• Метод гибкости
• Метод единичной фиктивной силы
• Метод конечных элементов в строительной механике
• Вариационное исчисление
• Лагранжева механика
• Принцип Мюллера-Бреслау
• Принцип Даламбера

Ссылки

1. C. Lánczos, Вариационные принципы механики, 4-е изд., General Publishing Co., Канада, 1970
2. Дайм, CL и И. Х. Шеймс, Механика твердого тела: вариационный подход , McGraw-Hill, 1973.
3. Capecchi, Danilo (2012). История законов о виртуальной работе . Научные сети. Исторические исследования. Т. 42. Милан: Springer Milan. doi : 10.1007/978-88-470-2056-6. ISBN 978-88-470-2055-9.
4. Рене Дюгас, История механики, Courier Corporation, 2012
5. TR Kane и DA Levinson, Динамика: теория и приложения, McGraw-Hill, Нью-Йорк, 1985
6. Usher, AP (1929). История механических изобретений. Harvard University Press (перепечатано Dover Publications 1988). стр. 94. ISBN 978-0-486-14359-0. OCLC  514178 . Получено 7 апреля 2013 г. .
7. TR Kane и DA Levinson, Динамика, теория и приложения, McGraw-Hill, Нью-Йорк, 2005.

Внешние ссылки

• Примеры применения принципа виртуальной работы

Библиография

• Бате, К. Дж. «Процедуры конечных элементов», Prentice Hall, 1996. ISBN 0-13-301458-4 
• Чарльтон, Т.М. Энергетические принципы в теории структур , Oxford University Press, 1973. ISBN 0-19-714102-1 
• Дайм, К. Л. и Шеймс И. Х., Механика твердого тела: вариационный подход , McGraw-Hill, 1973.
• Гринвуд, Дональд Т. Классическая динамика , Dover Publications Inc., 1977, ISBN 0-486-69690-1 
• Ху, Х. Вариационные принципы теории упругости с приложениями , Тейлор и Фрэнсис, 1984. ISBN 0-677-31330-6 
• Лангхаар, Х. Л. Энергетические методы в прикладной механике , Кригер, 1989.
• Редди, Дж. Н. Энергетические принципы и вариационные методы в прикладной механике , John Wiley, 2002. ISBN 0-471-17985-X 
• Шамес, И. Х. и Дайм, К. Л. Энергетические и конечноэлементные методы в строительной механике , Тейлор и Фрэнсис, 1995, ISBN 0-89116-942-3 
• Таухерт, TR Энергетические принципы в строительной механике , McGraw-Hill, 1974. ISBN 0-07-062925-0 
• Васидзу, К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности , Pergamon Pr, 1982. ISBN 0-08-026723-8 
• Вундерлих, В. Механика конструкций: вариационные и вычислительные методы , CRC, 2002. ISBN 0-8493-0700-7