Волновое уравнение

Волновое уравнение — это линейное уравнение в частных производных второго порядка для описания волн или полей стоячих волн , таких как механические волны (например, волны на воде , звуковые волны и сейсмические волны ) или электромагнитные волны (включая световые волны). Оно возникает в таких областях, как акустика , электромагнетизм и гидродинамика .

В этой статье рассматриваются волны в классической физике . Квантовая физика часто использует волновое уравнение на основе оператора как релятивистское волновое уравнение .

Введение

Волновое уравнение — это гиперболическое уравнение в частных производных , описывающее волны, включая бегущие и стоячие волны ; последние можно рассматривать как линейные суперпозиции волн, бегущих в противоположных направлениях. В этой статье основное внимание уделяется скалярному волновому уравнению, описывающему волны в скалярах скалярными функциями $u = u (x, y, z, t)$ временной переменной $t$ (переменной, представляющей время) и одной или нескольких пространственных переменных $x, y, z$ (переменных, представляющих положение в обсуждаемом пространстве). В то же время существуют векторные волновые уравнения, описывающие волны в векторах, такие как волны для электрического поля, магнитного поля и магнитного векторного потенциала и упругих волн. По сравнению с векторными волновыми уравнениями, скалярное волновое уравнение можно рассматривать как частный случай векторных волновых уравнений; в декартовой системе координат скалярное волновое уравнение — это уравнение, которому должна удовлетворять каждая компонента (для каждой оси координат, например, компонент x для оси x ) векторной волны без источников волн в рассматриваемой области (т. е. пространстве и времени). Например, в декартовой системе координат для представления волны электрического векторного поля при отсутствии источников волн каждая компонента оси координат ( i = x , y , z ) должна удовлетворять скалярному волновому уравнению. Другие решения скалярного волнового уравнения $u$ предназначены для физических величин в скалярах, таких как давление в жидкости или газе, или смещение вдоль некоторого определенного направления частиц колеблющегося твердого тела от их положений покоя (равновесия). $(E_{x},E_{y},E_{z})$ ${\vec {E}}$ $E_{i}$

Скалярное волновое уравнение имеет вид

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)$

где

$c$ — фиксированный неотрицательный действительный коэффициент , представляющий скорость распространения волны
$u$ — скалярное поле , представляющее смещение или, в более общем смысле, сохраняющуюся величину (например, давление или плотность ).
$x$ , $y$ и $z$ — три пространственные координаты, а $t$ — временная координата.

Уравнение утверждает, что в любой заданной точке вторая производная по времени пропорциональна сумме вторых производных по пространству, причем константа пропорциональности равна квадрату скорости волны. $u$ $u$

Используя обозначения векторного исчисления , волновое уравнение можно записать компактно как или где двойной нижний индекс обозначает частную производную второго порядка по времени, — оператор Лапласа и оператор Даламбера , определяемый как: $u_{tt}=c^{2}\Дельта u,$ $\Box u=0,$ $\Дельта$ $\Коробка$ $u_{tt}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},\qquad \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}},\qquad \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta .$

Решение этого (двустороннего) волнового уравнения может быть довольно сложным. Тем не менее, его можно проанализировать как линейную комбинацию простых решений, которые являются синусоидальными плоскими волнами с различными направлениями распространения и длинами волн, но все с одинаковой скоростью распространения $c$ . Этот анализ возможен, поскольку волновое уравнение линейно и однородно, так что любое кратное решение также является решением, а сумма любых двух решений снова является решением. Это свойство называется принципом суперпозиции в физике.

Волновое уравнение само по себе не определяет физическое решение; уникальное решение обычно получается путем постановки задачи с дополнительными условиями, такими как начальные условия , которые предписывают амплитуду и фазу волны. Другой важный класс задач возникает в замкнутых пространствах, заданных граничными условиями , для которых решения представляют собой стоячие волны , или гармоники , аналогичные гармоникам музыкальных инструментов.

Волновое уравнение в одном пространственном измерении

Волновое уравнение в одном пространственном измерении можно записать следующим образом: Это уравнение обычно описывается как имеющее только одно пространственное измерение $x$ , поскольку единственной другой независимой переменной является время $t$ . ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.$

Вывод

Волновое уравнение в одном пространственном измерении может быть выведено в различных физических условиях. Наиболее известно, что его можно вывести для случая струны, вибрирующей в двумерной плоскости, при этом каждый из ее элементов тянется в противоположных направлениях силой натяжения . [ ^2]

Другая физическая установка для вывода волнового уравнения в одном пространственном измерении использует закон Гука . В теории упругости закон Гука является приближением для некоторых материалов, утверждая, что величина, на которую деформируется материальное тело ( деформация ), линейно связана с силой, вызывающей деформацию (напряжение ) .

закон Гука

Волновое уравнение в одномерном случае можно вывести из закона Гука следующим образом: представьте себе массив маленьких грузов массой $m,$ соединенных между собой безмассовыми пружинами длиной $h$ . Пружины имеют коэффициент жесткости $k$ :

Здесь зависимая переменная $u (x)$ измеряет расстояние от равновесия массы, расположенной в точке $x$ , так что $u (x)$ по сути измеряет величину возмущения (т. е. деформации), которая перемещается в упругом материале. Результирующая сила, действующая на массу $m$ в точке $x + h,$ равна: ${\begin{aligned}F_{\text{Гук}}&=F_{x+2h}-F_{x}=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)]-k[u(x+h,t)-u(x,t)].\end{aligned}}$

Приравнивая последнее уравнение к

${\begin{aligned}F_{\text{Ньютон}}&=m\,a(t)=m\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t),\end{aligned}}$

уравнение движения для груза в точке $x + h$ получается следующим образом: Если массив грузов состоит из $N$ грузов, равномерно распределенных по длине $L$ $=$ $Nh$ общей массы $M$ $=$ $Nm$ , а общая жесткость массива $K$ $=$ $k$ $/$ $N$ , то мы можем записать приведенное выше уравнение в виде ${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t)={\frac {k}{m}}[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)].$

${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t)={\frac {KL^{2}}{M}}{\frac {[u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t)]}{h^{2}}}.$

Принимая предел $N \to \infty, h \to 0$ и предполагая гладкость, получаем что следует из определения второй производной . $KL$ $2$ $/$ $M$ — квадрат скорости распространения в этом конкретном случае. ${\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {KL^{2}}{M}}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}},$

Стрессовый пульс в баре

В случае импульса напряжения, распространяющегося продольно через стержень, стержень действует подобно бесконечному числу пружин, соединенных последовательно, и может рассматриваться как расширение уравнения, выведенного для закона Гука. Однородный стержень, т. е. стержень постоянного поперечного сечения, изготовленный из линейно-упругого материала, имеет жесткость $K,$ определяемую выражением, где $A$ — площадь поперечного сечения, а $E$ — модуль Юнга материала. Волновое уравнение принимает вид $K={\frac {EA}{L}},$ ${\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {EAL}{M}}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}.$

$AL$ равен объему стержня, и поэтому где $ρ$ — плотность материала. Волновое уравнение сводится к ${\frac {AL}{M}}={\frac {1}{\rho }},$ ${\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {E}{\rho }}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}.$

Скорость волны напряжения в стержне, таким образом, равна . ${\sqrt {E/\rho }}$

Общее решение

Алгебраический подход

Для одномерного волнового уравнения можно найти относительно простое общее решение. Определение новых переменных ^[3] изменяет волновое уравнение , что приводит к общему решению ${\begin{aligned}\xi &=x-ct,\\\eta &=x+ct\end{aligned}}$ ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}(x,t)=0,$ $u(x,t)=F(\xi )+G(\eta )=F(x-ct)+G(x+ct).$

Другими словами, решение представляет собой сумму функции $F,$ бегущей вправо , и функции $G,$ бегущей влево . «Бегущая» означает, что форма этих отдельных произвольных функций относительно $x$ остается постоянной, однако функции переносятся влево и вправо со временем со скоростью $c$ . Это было выведено Жаном Лероном Д'Аламбером . ^[4]

Другой способ получить этот результат — разложить волновое уравнение на множители с использованием двух дифференциальных операторов первого порядка: Затем для нашего исходного уравнения мы можем определить и найти, что мы должны иметь $\left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0.$ $v\equiv {\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}},$ ${\frac {\partial v}{\partial t}}-c{\frac {\partial v}{\partial x}}=0.$

Это уравнение адвекции можно решить, интерпретируя его как говорящее нам, что производная $v$ по направлению в направлении $(1, -c)$ равна 0. Это означает, что значение $v$ постоянно на характерных линиях вида $x + ct = x 0$ , и, таким образом, $v$ должно зависеть только от $x + ct$ , то есть иметь вид $H (x + ct)$ . Затем, чтобы решить первое (неоднородное) уравнение, связывающее $v$ с $u$ , мы можем заметить, что его однородное решение должно быть функцией вида $F (x - ct)$ , по логике, аналогичной вышеизложенной. Угадывая частное решение вида $G (x + ct)$ , мы находим, что

$\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]G(x+ct)=H(x+ct).$

Расширяя левую часть, переставляя члены, а затем используя замену переменных $s = x + ct,$ упрощаем уравнение до

$G'(s)={\frac {H(s)}{2c}}.$

Это означает, что мы можем найти частное решение $G$ желаемой формы путем интегрирования. Таким образом, мы снова показали, что $u$ подчиняется $u (x, t) = F (x - ct) + G (x + ct)$ . ^[5]

Для задачи с начальными значениями можно определить произвольные функции $F$ и $G,$ удовлетворяющие начальным условиям: $u(x,0)=f(x),$ $u_{t}(x,0)=g(x).$

Результатом является формула Даламбера : $u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)\,ds.$

В классическом смысле, если $f (x) \in C k$ , а $g (x) \in C k -1$ , то $u (t, x) \in C k$ . Однако формы волн $F$ и $G$ могут быть также обобщенными функциями , такими как дельта-функция. В этом случае решение можно интерпретировать как импульс, который движется вправо или влево.

Основное волновое уравнение является линейным дифференциальным уравнением , и поэтому оно будет придерживаться принципа суперпозиции . Это означает, что чистое смещение, вызванное двумя или более волнами, является суммой смещений, которые были бы вызваны каждой волной в отдельности. Кроме того, поведение волны можно проанализировать, разбив волну на компоненты, например, преобразование Фурье разбивает волну на синусоидальные компоненты.

Собственные моды плоской волны

Другой способ решения одномерного волнового уравнения — сначала проанализировать его собственные моды частоты . Так называемая собственная мода — это решение, которое колеблется во времени с четко определенной постоянной угловой частотой $ω$ , так что временная часть волновой функции принимает вид $e - iωt = cos(ωt) - i sin(ωt)$ , а амплитуда является функцией $f (x)$ пространственной переменной $x$ , что дает разделение переменных для волновой функции: $u_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}f(x).$

Это дает обыкновенное дифференциальное уравнение для пространственной части $f (x)$ : ${\frac {\partial ^{2}u_{\omega }}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left(e^{-i\omega t}f(x)\right)=-\omega ^{2}e^{-i\omega t}f(x)=c^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(e^{-i\omega t}f(x)\right).$

Следовательно, которое является именно уравнением собственных значений для $f$ $($ $x$ $)$ , отсюда и название собственная мода. Известное как уравнение Гельмгольца , оно имеет хорошо известные решения в виде плоских волн с волновым числом $k$ $=$ $ω$ $/$ $c$ . ${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=-\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}f(x),$ $f(x)=Ae^{\pm ikx},$

Полная волновая функция для этой собственной моды представляет собой линейную комбинацию , где комплексные числа $A$ , $B$ зависят в общем случае от любых начальных и граничных условий задачи. $u_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}\left(Ae^{-ikx}+Be^{ikx}\right)=Ae^{-i(kx+\omega t)}+Be^{i(kx-\omega t)},$

Собственные моды полезны при построении полного решения волнового уравнения, поскольку каждая из них эволюционирует во времени тривиально с фазовым множителем, так что полное решение может быть разложено в разложение собственных мод : или в терминах плоских волн, что точно так же, как в алгебраическом подходе. Функции $s$ $\pm$ $($ $ω$ $)$ известны как компонент Фурье и определяются начальными и граничными условиями. Это так называемый метод частотной области , альтернативный прямым распространениям во временной области , таким как метод FDTD , волнового пакета $u$ $($ $x$ $,$ $t$ $)$ , который является полным для представления волн при отсутствии замедлений времени. Полнота разложения Фурье для представления волн при наличии замедлений времени была оспорена решениями с чирп -волнами, допускающими изменение времени $ω$ . ^[6] Решения с ЛЧМ-волнами, по-видимому, особенно очевидны из очень больших, но ранее необъяснимых радиолокационных остатков в аномалии пролета и отличаются от синусоидальных решений тем, что их можно принять на любом расстоянии только при пропорционально смещенных частотах и замедлениях времени, соответствующих прошлым состояниям ЛЧМ-сигнала источника. $e^{-i\omega t},$ $u(x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }s(\omega )u_{\omega }(x,t)\,d\omega ,$ ${\begin{aligned}u(x,t)&=\int _{-\infty }^{\infty }s_{+}(\omega )e^{-i(kx+\omega t)}\,d\omega +\int _{-\infty }^{\infty }s_{-}(\omega )e^{i(kx-\omega t)}\,d\omega \\&=\int _{-\infty }^{\infty }s_{+}(\omega )e^{-ik(x+ct)}\,d\omega +\int _{-\infty }^{\infty }s_{-}(\omega )e^{ik(x-ct)}\,d\omega \\&=F(x-ct)+G(x+ct),\end{aligned}}$

Векторные волновые уравнения в трехмерном пространстве

Векторные волновые уравнения (из которых можно напрямую вывести скалярные волновые уравнения) можно получить, применив равновесие сил к бесконечно малому элементу объема. В однородном континууме (декартовы координаты ) с постоянным модулем упругости векторное упругое отклонение вызывает тензор напряжений . Локальное равновесие а) силы натяжения из-за отклонения и б) силы инерции, вызванной локальным ускорением, можно записать как Объединяя плотность и модуль упругости, получаем скорость звука (материальный закон). После вставки следует известное определяющее волновое уравнение для однородной среды: ^[7] (Примечание: вместо векторных можно использовать только скалярные , т. е. волны распространяются только вдоль оси, а скалярное волновое уравнение следует как .) $\mathbf {x}$ $E$ $\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)$ $\mathbf {T} =E\nabla \mathbf {u}$ $\operatorname {div} \mathbf {T} =\nabla \cdot (E\nabla \mathbf {u} )=E\Delta \mathbf {u}$ $\mathbf {u}$ $\rho \partial ^{2}\mathbf {u} /\partial t^{2}$ $\partial ^{2}\mathbf {u} /\partial t^{2}$ $\rho {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}-E\Delta \mathbf {u} =\mathbf {0} .$ $\rho$ $E,$ $c={\sqrt {E/\rho }}$ ${\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}-c^{2}\Delta \mathbf {u} ={\boldsymbol {0}}.$ $\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t),$ $u(x,t)$ $x$ ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0$

Вышеприведенное векторное уравнение в частных производных 2-го порядка дает два взаимно независимых решения. Из квадратичного члена скорости видно, что существуют две волны, бегущие в противоположных направлениях , и они возможны, отсюда и название «уравнение двух волн». Для распространения плоской продольной волны можно показать, что синтез двух уравнений односторонних волн приводит к общему уравнению двухсторонних волн. Для специального уравнения двух волн с оператором Даламбера получается: ^[8] Для это упрощается до Поэтому векторное уравнение односторонних волн 1-го порядка с волнами, бегущими в заранее определенном направлении распространения, получается ^[9] как $c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}$ $+c$ $-c$ $\nabla \mathbf {c} =\mathbf {0} ,$ $\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\mathbf {c} \cdot \nabla \right)\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {c} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+(\mathbf {c} \cdot \nabla )\mathbf {c} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+(\mathbf {c} \cdot \nabla )^{2}\right)\mathbf {u} =\mathbf {0} .$ $\nabla \mathbf {c} =\mathbf {0} ,$ $\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+c^{2}\Delta \right)\mathbf {u} =\mathbf {0} .$ $\mathbf {c}$ ${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}-\mathbf {c} \cdot \nabla \mathbf {u} =\mathbf {0} .$

Скалярное волновое уравнение в трех пространственных измерениях

Решение задачи начального значения для волнового уравнения в трех пространственных измерениях может быть получено из соответствующего решения для сферической волны. Затем результат может быть использован для получения того же решения в двух пространственных измерениях.

Сферические волны

Для получения решения с постоянными частотами применим преобразование Фурье , которое преобразует волновое уравнение в эллиптическое уравнение в частных производных вида: $\Psi (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\Psi (\mathbf {r} ,\omega )e^{-i\omega t}\,d\omega ,$ $\left(\nabla ^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,\omega )=0.$

Это уравнение Гельмгольца , которое можно решить с помощью разделения переменных . В сферических координатах это приводит к разделению радиальных и угловых переменных, записывая решение как: ^[10] Угловая часть решения принимает форму сферических гармоник , а радиальная функция удовлетворяет: независимо от , причем . Подстановка преобразует уравнение в которое является уравнением Бесселя . $\Psi (\mathbf {r} ,\omega )=\sum _{l,m}f_{lm}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi ).$ $\left[{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d}{dr}}+k^{2}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\right]f_{l}(r)=0.$ $m$ $k^{2}=\omega ^{2}/c^{2}$ $f_{l}(r)={\frac {1}{\sqrt {r}}}u_{l}(r),$ $\left[{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}+k^{2}-{\frac {(l+{\frac {1}{2}})^{2}}{r^{2}}}\right]u_{l}(r)=0,$

Пример

Рассмотрим случай $l = 0.$ Тогда угловая зависимость отсутствует, а амплитуда зависит только от радиального расстояния, т. е. $Ψ(r, t) \to u (r, t)$ . В этом случае волновое уравнение сводится к ^{[ необходимо разъяснение ]} или $\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,t)=0,$ $\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u(r,t)=0.$

Это уравнение можно переписать как где величина $ru$ удовлетворяет одномерному волновому уравнению. Следовательно, существуют решения в форме , где $F$ и $G$ являются общими решениями одномерного волнового уравнения и могут быть интерпретированы как соответственно исходящая и входящая сферические волны. Исходящая волна может быть сгенерирована точечным источником , и они делают возможными резкие сигналы, форма которых изменяется только за счет уменьшения амплитуды по мере увеличения $r$ (см. иллюстрацию сферической волны вверху справа). Такие волны существуют только в случаях пространства с нечетными размерами. ^[^{необходима цитата}^] ${\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial r^{2}}}=0,$ $u(r,t)={\frac {1}{r}}F(r-ct)+{\frac {1}{r}}G(r+ct),$

Физические примеры решений трехмерного волнового уравнения, обладающих угловой зависимостью, см. в разделе Дипольное излучение .

Монохроматическая сферическая волна

Хотя слово «монохроматический» не совсем точно, поскольку оно относится к световому или электромагнитному излучению с четко определенной частотой, суть в том, чтобы обнаружить собственную моду волнового уравнения в трех измерениях. Следуя выводу в предыдущем разделе о собственных модах плоских волн, если мы снова ограничим наши решения сферическими волнами, которые колеблются во времени с четко определенной постоянной угловой частотой $ω$ , то преобразованная функция $ru (r, t)$ имеет просто плосковолновые решения: или $ru(r,t)=Ae^{i(\omega t\pm kr)},$ $u(r,t)={\frac {A}{r}}e^{i(\omega t\pm kr)}.$

Отсюда можно заметить, что пиковая интенсивность сферического волнового колебания, характеризуемая как квадрат амплитуды волны, падает со скоростью, пропорциональной $1/$ $r$ $2$ , что является примером закона обратных квадратов . $I=|u(r,t)|^{2}={\frac {|A|^{2}}{r^{2}}},$

Решение общей задачи с начальными значениями

Волновое уравнение линейно относительно $u$ и остается неизменным при переносах в пространстве и времени. Поэтому мы можем генерировать большое разнообразие решений, перенося и суммируя сферические волны. Пусть $φ (ξ, η, ζ)$ будет произвольной функцией трех независимых переменных, и пусть сферическая волновая форма $F$ будет дельта-функцией . Пусть семейство сферических волн имеет центр в $(ξ, η, ζ)$ , и пусть $r$ будет радиальным расстоянием от этой точки. Таким образом

$r^{2}=(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}.$

Если $u$ — суперпозиция таких волн с весовой функцией $φ$ , то знаменатель $4$ $πc$ является удобным. $u(t,x,y,z)={\frac {1}{4\pi c}}\iiint \varphi (\xi ,\eta ,\zeta ){\frac {\delta (r-ct)}{r}}\,d\xi \,d\eta \,d\zeta ;$

Из определения дельта-функции $u$ также можно записать как, где $α$ , $β$ и $γ$ — координаты на единичной сфере $S$ , а $ω$ — элемент площади на $S.$ Этот результат интерпретируется так, что $u$ $($ $t$ $,$ $x$ $)$ — это $t$ , умноженное на среднее значение $φ$ на сфере радиуса $ct$ с центром в точке $x$ : $u(t,x,y,z)={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\varphi (x+ct\alpha ,y+ct\beta ,z+ct\gamma )\,d\omega ,$ $u(t,x,y,z)=tM_{ct}[\phi ].$

Из этого следует, что $u(0,x,y,z)=0,\quad u_{t}(0,x,y,z)=\phi (x,y,z).$

Среднее значение является четной функцией $t$ , и, следовательно, если то $v(t,x,y,z)={\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}tM_{ct}[\psi ]{\big )},$ $v(0,x,y,z)=\psi (x,y,z),\quad v_{t}(0,x,y,z)=0.$

Эти формулы дают решение для задачи начального значения для волнового уравнения. Они показывают, что решение в заданной точке $P$ , заданной $(t, x, y, z),$ зависит только от данных о сфере радиуса $ct$ , которая пересекается световым конусом , проведенным назад от $P.$ Оно не зависит от данных о внутренней части этой сферы. Таким образом, внутренняя часть сферы является лакуной для решения. Это явление называется принципом Гюйгенса . Оно верно только для нечетных чисел размерности пространства, где для одного измерения интегрирование выполняется по границе интервала относительно меры Дирака. ^[11]^[12]

Скалярное волновое уравнение в двух пространственных измерениях

В двух пространственных измерениях волновое уравнение имеет вид

$u_{tt}=c^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right).$

Мы можем использовать трехмерную теорию для решения этой проблемы, если мы рассмотрим $u$ как функцию в трех измерениях, которая независима от третьего измерения. Если

$u(0,x,y)=0,\quad u_{t}(0,x,y)=\phi (x,y),$

тогда формула трехмерного решения становится

$u(t,x,y)=tM_{ct}[\phi ]={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\phi (x+ct\alpha ,\,y+ct\beta )\,d\omega ,$

где $α$ и $β$ — первые две координаты на единичной сфере, а $d ω$ — элемент площади на сфере. Этот интеграл можно переписать как двойной интеграл по кругу $D$ с центром $(x, y)$ и радиусом $ct :$

$u(t,x,y)={\frac {1}{2\pi c}}\iint _{D}{\frac {\phi (x+\xi ,y+\eta )}{\sqrt {(ct)^{2}-\xi ^{2}-\eta ^{2}}}}d\xi \,d\eta .$

Очевидно, что решение в точке $(t, x, y)$ зависит не только от данных о световом конусе, но и от данных, которые находятся внутри этого конуса. $(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}=c^{2}t^{2},$

Скалярное волновое уравнение в общей размерности и формулы Кирхгофа

Мы хотим найти решения для $u tt - Δ u = 0$ для $u : R n \times (0, \infty) \to R$ с $u (x, 0) = g (x)$ и $u t (x, 0) = h (x)$ . ^[13]

Нечетные размеры

Предположим, что $n \geq 3$ — нечетное целое число, и $g \in C m +1 (R n)$ , $h \in C m (R n)$ для $m = (n + 1)/2$ . Пусть $γ n = 1 \times 3 \times 5 \times \dots \times (n - 2)$ и пусть

$u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}g\,dS\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}h\,dS\right)\right]$

Затем

$u\in C^{2}{\big (}\mathbf {R} ^{n}\times [0,\infty ){\big )}$ ,
$u_{tt}-\Delta u=0$ в , $\mathbf {R} ^{n}\times (0,\infty )$
$\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)=g(x^{0})$ ,
$\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)=h(x^{0})$ .

Даже размеры

Предположим, что $n \geq 2$ — четное целое число и $g \in C m +1 (R n)$ , $h \in C m (R n)$ , для $m = (n + 2)/2$ . Пусть $γ n = 2 \times 4 \times \dots \times n$ и пусть

$u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {g}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {h}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)\right]$

затем

$u \in C2 (Rn \times [0, \infty ))$
$u tt - Δ u = 0$ в $R n \times (0, \infty)$
$\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)=g(x^{0})$
$\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)=h(x^{0})$

Функция Грина

Рассмотрим неоднородное волновое уравнение в размерностях. Изменяя масштаб времени, мы можем задать скорость волны . $1+D$ $(\partial _{tt}-c^{2}\nabla ^{2})u=s(t,x)$ $c=1$

Поскольку волновое уравнение имеет порядок 2 по времени, существует два импульсных отклика : импульс ускорения и импульс скорости. Эффект наложения импульса ускорения заключается во внезапном изменении скорости волны . Эффект наложения импульса скорости заключается во внезапном изменении смещения волны . $(\partial _{tt}-\nabla ^{2})u=s(t,x)$ $\partial _{t}u$ $u$

Для импульса ускорения, где - дельта-функция Дирака . Решение этого случая называется функцией Грина для волнового уравнения. $s(t,x)=\delta ^{D+1}(t,x)$ $\delta$ $G$

Для импульса скорости, , поэтому, если мы решим функцию Грина , решение для этого случая будет просто . ^[^{необходима цитата}^] $s(t,x)=\partial _{t}\delta ^{D+1}(t,x)$ $G$ $\partial _{t}G$

принцип Дюамеля

Основное применение функций Грина — решение задач с начальными условиями по принципу Дюамеля как для однородного, так и для неоднородного случая.

При наличии функции Грина и начальных условий решение однородного волнового уравнения равно ^[14] , где звездочка — это свертка в пространстве. Более конкретно, для неоднородного случая решение имеет один дополнительный член за счет свертки по пространству-времени: $G$ $u(0,x),\partial _{t}u(0,x)$ $u=(\partial _{t}G)\ast u+G\ast \partial _{t}u$ $u(t,x)=\int (\partial _{t}G)(t,x-x')u(0,x')dx'+\int G(t,x-x')(\partial _{t}u)(0,x')dx'.$ $\iint _{t'<t}G(t-t',x-x')s(t',x')dt'dx'.$

Решение с помощью преобразования Фурье

С помощью преобразования Фурье , член может быть интегрирован по теореме о вычетах . Это потребовало бы от нас слегка возмущать интеграл либо на , либо на , поскольку это несобственный интеграл. Одно возмущение дает прямое решение, а другое — обратное решение. ^[15] Прямое решение дает Интеграл может быть решен путем аналитического продолжения ядра Пуассона , что дает ^[14]^[16] где — половина площади поверхности -мерной гиперсферы . ^[16] ${\hat {G}}(\omega )={\frac {1}{-\omega _{0}^{2}+\omega _{1}^{2}+\cdots +\omega _{D}^{2}}},\quad G(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{D+1}}}\int {\hat {G}}(\omega )e^{+i\omega _{0}t+i{\vec {\omega }}\cdot {\vec {x}}}d\omega _{0}d{\vec {\omega }}.$ $\omega _{0}$ $+i\epsilon$ $-i\epsilon$ $G(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{D}}}\int {\frac {\sin(\|{\vec {\omega }}\|t)}{\|{\vec {\omega }}\|}}e^{i{\vec {\omega }}\cdot {\vec {x}}}d{\vec {\omega }},\quad \partial _{t}G(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{D}}}\int \cos(\|{\vec {\omega }}\|t)e^{i{\vec {\omega }}\cdot {\vec {x}}}d{\vec {\omega }}.$ $G(t,x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}{\frac {C_{D}}{D-1}}\operatorname {Im} \left[\|x\|^{2}-(t-i\epsilon )^{2}\right]^{-(D-1)/2}$ $C_{D}=\pi ^{-(D+1)/2}\Gamma ((D+1)/2)$ $(D+1)$

Решения в конкретных измерениях

Мы можем связать функцию Грина в измерениях с функцией Грина в измерениях. ^[17] $D$ $D+n$

Уменьшение размеров

Учитывая функцию и решение дифференциального уравнения в размерностях, мы можем тривиально расширить его до размерностей, установив дополнительные размерности постоянными: Поскольку функция Грина строится из и , функция Грина в размерностях интегрируется до функции Грина в размерностях : $s(t,x)$ $u(t,x)$ $(1+D)$ $(1+D+n)$ $n$ $s(t,x_{1:D},x_{D+1:D+n})=s(t,x_{1:D}),\quad u(t,x_{1:D},x_{D+1:D+n})=u(t,x_{1:D}).$ $f$ $u$ $(1+D+n)$ $(1+D)$ $G_{D}(t,x_{1:D})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}G_{D+n}(t,x_{1:D},x_{D+1:D+n})d^{n}x_{D+1:D+n}.$

Увеличение размеров

Функция Грина в размерностях может быть связана с функцией Грина в размерностях. По сферической симметрии, Интегрируя в полярных координатах, где в последнем равенстве мы сделали замену переменных . Таким образом, получаем рекуррентное соотношение $D$ $D+2$ $G_{D}(t,r)=\int _{\mathbb {R} ^{2}}G_{D+2}(t,{\sqrt {r^{2}+y^{2}+z^{2}}})dydz.$ $G_{D}(t,r)=2\pi \int _{0}^{\infty }G_{D+2}(t,{\sqrt {r^{2}+q^{2}}})qdq=2\pi \int _{r}^{\infty }G_{D+2}(t,q')q'dq',$ $q'={\sqrt {r^{2}+q^{2}}}$ $G_{D+2}(t,r)=-{\frac {1}{2\pi r}}\partial _{r}G_{D}(t,r).$

Решения вД = 1, 2, 3

Когда , подынтегральное выражение в преобразовании Фурье — это функция sinc , где — знаковая функция , а — единичная ступенчатая функция . Одно решение — это прямое решение, другое — обратное решение. $D=1$ ${\begin{aligned}G_{1}(t,x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\frac {\sin(|\omega |t)}{|\omega |}}e^{i\omega x}d\omega \\&={\frac {1}{2\pi }}\int \operatorname {sinc} (\omega )e^{i\omega {\frac {x}{t}}}d\omega \\&={\frac {\operatorname {sgn}(t-x)+\operatorname {sgn}(t+x)}{4}}\\&={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\theta (t-|x|)\quad t>0\\-{\frac {1}{2}}\theta (-t-|x|)\quad t<0\end{cases}}\end{aligned}}$ $\operatorname {sgn}$ $\theta$

Измерение может быть поднято, чтобы получить случай и аналогично для обратного решения. Это может быть интегрировано вниз по одному измерению, чтобы получить случай $D=3$ $G_{3}(t,r)={\frac {\delta (t-r)}{4\pi r}}$ $D=2$ $G_{2}(t,r)=\int _{\mathbb {R} }{\frac {\delta (t-r)}{4\pi {\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}dz={\frac {\theta (t-r)}{2\pi {\sqrt {t^{2}-r^{2}}}}}$

Волновые фронты и следы

В этом случае решение функции Грина представляет собой сумму двух волновых фронтов, движущихся в противоположных направлениях. $D=1$ ${\frac {\operatorname {sgn}(t-x)}{4}}+{\frac {\operatorname {sgn}(t+x)}{4}}$

В нечетных измерениях прямое решение отлично от нуля только при . По мере увеличения измерений форма волнового фронта становится все более сложной, включая высшие производные дельта-функции Дирака. Например, ^[17] где , и скорость волны восстанавливается. $t=r$ ${\begin{aligned}&G_{1}={\frac {1}{2c}}\theta (\tau )\\&G_{3}={\frac {1}{4\pi c^{2}}}{\frac {\delta (\tau )}{r}}\\&G_{5}={\frac {1}{8\pi ^{2}c^{2}}}\left({\frac {\delta (\tau )}{r^{3}}}+{\frac {\delta ^{\prime }(\tau )}{cr^{2}}}\right)\\&G_{7}={\frac {1}{16\pi ^{3}c^{2}}}\left(3{\frac {\delta (\tau )}{r^{4}}}+3{\frac {\delta ^{\prime }(\tau )}{cr^{3}}}+{\frac {\delta ^{\prime \prime }(\tau )}{c^{2}r^{2}}}\right)\end{aligned}}$ $\tau =t-r$ $c$

В четных измерениях прямое решение отлично от нуля в , вся область за фронтом волны становится отличной от нуля, называемой следом . След имеет уравнение: ^[17] Сам фронт волны также включает в себя все более высокие производные дельта-функции Дирака. $r\leq t$ $G_{D}(t,x)=(-1)^{1+D/2}{\frac {1}{(2\pi )^{D/2}}}{\frac {1}{c^{D}}}{\frac {\theta (t-r/c)}{\left(t^{2}-r^{2}/c^{2}\right)^{(D-1)/2}}}$

Это означает, что общий принцип Гюйгенса — смещение волны в точке пространства-времени зависит только от состояния в точках при прохождении характерных лучей — выполняется только в нечетных измерениях. Физическая интерпретация заключается в том, что сигналы, передаваемые волнами, остаются неискаженными в нечетных измерениях, но искажаются в четных. ^[18]^{: 698} $(t,x)$ $(t,x)$

Гипотеза Адамара утверждает, что этот обобщенный принцип Гюйгенса все еще справедлив во всех нечетных измерениях, даже когда коэффициенты в волновом уравнении больше не являются постоянными. Это не совсем верно, но верно для определенных семейств коэффициентов ^[18]^{: 765}

Проблемы с границами

Одно пространственное измерение

Отражение и пропускание на границе двух сред

Для падающей волны, распространяющейся из одной среды (где скорость волны равна $c 1$ ) в другую среду (где скорость волны равна $c 2$ ), одна часть волны перейдет во вторую среду, в то время как другая часть отразится обратно в другом направлении и останется в первой среде. Амплитуду прошедшей волны и отраженной волны можно рассчитать, используя условие непрерывности на границе.

Рассмотрим компонент падающей волны с угловой частотой ω $,$ который имеет форму волны При $t$ $= 0$ падающая волна достигает границы между двумя средами при $x$ $= 0.$ Следовательно, соответствующая отраженная волна и прошедшая волна будут иметь формы волн Условие непрерывности на границе имеет вид Это дает уравнения , и мы имеем отражательную способность и пропускательную способность Когда $c$ $2$ $<$ $c$ $1$ , отраженная волна имеет изменение фазы отражения 180°, поскольку $B$ $/$ $A$ $< 0.$ Сохранение энергии можно проверить с помощью Приведенное выше обсуждение справедливо для любого компонента, независимо от его угловой частоты $ω$ . $u^{\text{inc}}(x,t)=Ae^{i(k_{1}x-\omega t)},\quad A\in \mathbb {C} .$ $u^{\text{refl}}(x,t)=Be^{i(-k_{1}x-\omega t)},\quad u^{\text{trans}}(x,t)=Ce^{i(k_{2}x-\omega t)},\quad B,C\in \mathbb {C} .$ $u^{\text{inc}}(0,t)+u^{\text{refl}}(0,t)=u^{\text{trans}}(0,t),\quad u_{x}^{\text{inc}}(0,t)+u_{x}^{\text{ref}}(0,t)=u_{x}^{\text{trans}}(0,t).$ $A+B=C,\quad A-B={\frac {k_{2}}{k_{1}}}C={\frac {c_{1}}{c_{2}}}C,$ ${\frac {B}{A}}={\frac {c_{2}-c_{1}}{c_{2}+c_{1}}},\quad {\frac {C}{A}}={\frac {2c_{2}}{c_{2}+c_{1}}}.$ ${\frac {B^{2}}{c_{1}}}+{\frac {C^{2}}{c_{2}}}={\frac {A^{2}}{c_{1}}}.$

Предельный случай $c 2 = 0$ соответствует «закрепленному концу», который не движется, тогда как предельный случай $c 2 \to \infty$ соответствует «свободному концу».

Формулировка Штурма–Лиувилля

Гибкая струна, натянутая между двумя точками $x = 0$ и $x = L,$ удовлетворяет волновому уравнению для $t > 0$ и $0 < x < L.$ В граничных точках $u$ может удовлетворять различным граничным условиям. Общая форма, подходящая для приложений, имеет вид

${\begin{aligned}-u_{x}(t,0)+au(t,0)&=0,\\u_{x}(t,L)+bu(t,L)&=0,\end{aligned}}$

где $a$ и $b$ неотрицательны. Случай, когда $u$ должно исчезать в конечной точке (т.е. "фиксированный конец"), является пределом этого условия, когда соответствующие $a$ или $b$ стремятся к бесконечности. Метод разделения переменных заключается в поиске решений этой задачи в специальной форме $u(t,x)=T(t)v(x).$

Следствием этого является то, что ${\frac {T''}{c^{2}T}}={\frac {v''}{v}}=-\lambda .$

Собственное значение $λ$ должно быть определено так, чтобы существовало нетривиальное решение краевой задачи ${\begin{aligned}v''+\lambda v=0,&\\-v'(0)+av(0)&=0,\\v'(L)+bv(L)&=0.\end{aligned}}$

Это частный случай общей проблемы теории Штурма–Лиувилля . Если $a$ и $b$ положительны, то все собственные значения положительны, а решения являются тригонометрическими функциями. Решение, удовлетворяющее квадратично-интегрируемым начальным условиям для $u$ и $u t,$ можно получить из разложения этих функций в соответствующий тригонометрический ряд.

Несколько пространственных измерений

Одномерная теория начальных граничных значений может быть расширена на произвольное число пространственных измерений. Рассмотрим область $D$ в $m$ -мерном $x-$ пространстве с границей $B.$ Тогда волновое уравнение должно быть удовлетворено, если $x$ находится в $D$ , и $t > 0.$ На границе $D$ решение $u$ должно удовлетворять

${\frac {\partial u}{\partial n}}+au=0,$

где $n$ — единичная внешняя нормаль к $B$ , а $a$ — неотрицательная функция, определенная на $B.$ Случай, когда $u$ обращается в нуль на $B,$ является предельным случаем для $приближающейся$ бесконечности. Начальные условия:

$u(0,x)=f(x),\quad u_{t}(0,x)=g(x),$

где $f$ и $g$ определены в $D$ . Эту задачу можно решить, разложив $f$ и $g$ по собственным функциям лапласиана в $D$ , которые удовлетворяют граничным условиям. Таким образом, собственная функция $v$ удовлетворяет

$\nabla \cdot \nabla v+\lambda v=0$

в $D$ , и

${\frac {\partial v}{\partial n}}+av=0$

на $Б.$

В случае двух пространственных измерений собственные функции можно интерпретировать как моды колебаний барабанной перепонки, натянутой на границу $B.$ Если $B$ — круг, то эти собственные функции имеют угловую составляющую, которая является тригонометрической функцией полярного угла $θ$ , умноженного на функцию Бесселя (целочисленного порядка) радиальной составляющей. Более подробная информация содержится в уравнении Гельмгольца .

Если граница представляет собой сферу в трех пространственных измерениях, то угловые компоненты собственных функций являются сферическими гармониками , а радиальные компоненты — функциями Бесселя полуцелого порядка.

Неоднородное волновое уравнение в одном измерении

Неоднородное волновое уравнение в одном измерении имеет начальные условия $u_{tt}(x,t)-c^{2}u_{xx}(x,t)=s(x,t)$ $u(x,0)=f(x),$ $u_{t}(x,0)=g(x).$

Функцию $s (x, t)$ часто называют функцией источника, поскольку на практике она описывает воздействие источников волн на среду, несущую их. Физические примеры функций источника включают силу, движущую волну по струне, или плотность заряда или тока в калибровке Лоренца электромагнетизма .

Один из методов решения задачи начального значения (с начальными значениями, как указано выше) состоит в том, чтобы воспользоваться особым свойством волнового уравнения в нечетном числе пространственных измерений, а именно тем, что его решения уважают причинность. То есть, для любой точки $(x i, t i)$ значение $u (x i, t i)$ зависит только от значений $f (x i + ct i)$ и $f (x i - ct i)$ и значений функции $g (x)$ между $(x i - ct i)$ и $(x i + ct i)$ . Это можно увидеть в формуле Даламбера , приведенной выше, где эти величины являются единственными, которые в ней появляются. Физически, если максимальная скорость распространения равна $c$ , то никакая часть волны, которая не может распространиться до данной точки за данное время, не может повлиять на амплитуду в той же точке и в то же время.

С точки зрения поиска решения это свойство причинности означает, что для любой заданной точки на рассматриваемой прямой единственная область, которую необходимо рассмотреть, — это область, охватывающая все точки, которые могут причинно влиять на рассматриваемую точку. Обозначим область, которая причинно влияет на точку $(x i, t i),$ как $R C$ . Предположим, что мы интегрируем неоднородное волновое уравнение по этой области: $\iint _{R_{C}}{\big (}c^{2}u_{xx}(x,t)-u_{tt}(x,t){\big )}\,dx\,dt=\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt.$

Чтобы значительно упростить это, мы можем использовать теорему Грина для упрощения левой части и получить следующее: $\int _{L_{0}+L_{1}+L_{2}}{\big (}{-}c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx{\big )}=\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt.$

Левая сторона теперь представляет собой сумму трех линейных интегралов вдоль границ области причинности. Их оказывается довольно легко вычислить: $\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}-u_{t}(x,0)\,dx=-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx.$

В приведенном выше выражении член, который необходимо интегрировать по времени, исчезает, поскольку рассматриваемый временной интервал равен нулю, поэтому $dt = 0$ .

Для двух других сторон области стоит отметить, что $x \pm ct$ является константой, а именно $x i \pm ct i$ , где знак выбран соответствующим образом. Используя это, мы можем получить соотношение $d x \pm c d t = 0$ , снова выбрав правильный знак: ${\begin{aligned}\int _{L_{1}}{\big (}{-}c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx{\big )}&=\int _{L_{1}}{\big (}cu_{x}(x,t)\,dx+cu_{t}(x,t)\,dt{\big )}\\&=c\int _{L_{1}}\,du(x,t)\\&=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i}).\end{aligned}}$

И аналогично для конечного граничного сегмента: ${\begin{aligned}\int _{L_{2}}{\big (}{-}c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx{\big )}&=-\int _{L_{2}}{\big (}cu_{x}(x,t)\,dx+cu_{t}(x,t)\,dt{\big )}\\&=-c\int _{L_{2}}\,du(x,t)\\&=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i}).\end{aligned}}$

Сложив три результата и подставив их обратно в исходный интеграл, получим ${\begin{aligned}\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt&=-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})\\&=2cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx.\end{aligned}}$

Решая относительно $u (x i, t i)$ , приходим к $u(x_{i},t_{i})={\frac {f(x_{i}+ct_{i})+f(x_{i}-ct_{i})}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t_{i}}\int _{x_{i}-c(t_{i}-t)}^{x_{i}+c(t_{i}-t)}s(x,t)\,dx\,dt.$

В последнем уравнении последовательности границы интеграла по функции источника были сделаны явными. Рассматривая это решение, которое справедливо для всех выборов $(x i, t i),$ совместимых с волновым уравнением, становится ясно, что первые два члена — это просто формула Даламбера, как указано выше, как решение однородного волнового уравнения в одном измерении. Разница заключается в третьем члене, интеграле по источнику.

Дальнейшие обобщения

Упругие волны

Уравнение упругой волны (также известное как уравнение Навье–Коши ) в трех измерениях описывает распространение волн в изотропной однородной упругой среде. Большинство твердых материалов являются упругими, поэтому это уравнение описывает такие явления, как сейсмические волны в Земле и ультразвуковые волны, используемые для обнаружения дефектов в материалах. Хотя это уравнение линейно, оно имеет более сложную форму, чем приведенные выше уравнения, поскольку оно должно учитывать как продольное, так и поперечное движение: где: $\rho {\ddot {\mathbf {u} }}=\mathbf {f} +(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ),$

λ

μ

— так называемые параметры Ламе, описывающие упругие свойства среды,

ρ

— плотность,

f

— функция источника (движущая сила),

u

— вектор смещения.

Используя $\nabla \times (\nabla \times u) = \nabla(\nabla \cdot u) - \nabla \cdot \nabla u = \nabla(\nabla \cdot u) - ∆ u$ , уравнение упругой волны можно переписать в более общей форме уравнения Навье–Коши.

Обратите внимание, что в уравнении упругой волны и сила, и смещение являются векторными величинами. Таким образом, это уравнение иногда называют векторным волновым уравнением. Для облегчения понимания читатель заметит, что если $f$ и $\nabla \cdot u$ приравнять к нулю, это становится (фактически) уравнением Максвелла для распространения электрического поля $E$ , которое имеет только поперечные волны.

Дисперсионное соотношение

В дисперсионных волновых явлениях скорость распространения волны изменяется в зависимости от длины волны, что отражается дисперсионным соотношением

$\omega =\omega (\mathbf {k} ),$

где $ω$ — угловая частота , а $k$ — волновой вектор, описывающий решения плоской волны . Для световых волн дисперсионное соотношение имеет вид $ω = \pm c | k |$ , но в общем случае постоянная скорость $c$ заменяется переменной фазовой скоростью :

$v_{\text{p}}={\frac {\omega (k)}{k}}.$

Смотрите также

Примечания

^ ab Шпайзер, Дэвид. Открытие принципов механики 1600–1800 , стр. 191 (Базель: Birkhäuser, 2008).
^ Типлер, Пол и Моска, Ген. Физика для ученых и инженеров, Том 1: Механика, колебания и волны; Термодинамика , стр. 470–471 (Macmillan, 2004).
^ Эрик В. Вайсштейн . «Раствор Даламбера». Математический мир . Проверено 21 января 2009 г.
^
Даламбер (1747) «Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration» (Исследования кривой, которую образует натянутый шнур, [когда] приводится в состояние вибрации), Histoire de l'académie royale des Sciences et belles lettres де Берлин , вып. 3, с. 214–219.
- См. Также: Д'Аламбер (1747) «Suite des recherches sur la Courbe que forme une corde tenduë mise en vibration» (Дальнейшие исследования кривой, которую образует натянутая струна, [когда] приводится в состояние вибрации), Histoire de l'académie royale. des Sciences et belles lettres de Berlin , vol. 3, с. 220–249.
- См. также: Д'Аламбер (1750) «Дополнение к памяти sur la Courbe que forme une corde Tenduë Mise En Vibration», Histoire de l'académie royale des Sciences et belles lettres de Berlin , vol. 6, с. 355–360.
^ "Линейные волновые уравнения первого и второго порядка" (PDF) . math.arizona.edu . Архивировано из оригинала (PDF) 2017-12-15.
^ V. Guruprasad (2015). "Наблюдательные данные для режимов бегущей волны, несущих сдвиги, пропорциональные расстоянию". EPL . 110 (5): 54001. arXiv : 1507.08222 . Bibcode : 2015EL....11054001G. doi : 10.1209/0295-5075/110/54001. S2CID 42285652.
^ Bschorr, Oskar; Raida, Hans-Joachim (апрель 2021 г.). «Уравнение сферической односторонней волны». Акустика . 3 (2): 309–315. doi : 10.3390/acoustics3020021 . Текст скопирован из этого источника, который доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International.
^ Райда, Ханс-Иоахим (октябрь 2022 г.). «Оператор односторонней волны». Акустика . 4 (4): 885–893. doi : 10.3390/acoustics4040053 .
^ Bschorr, Oskar; Raida, Hans-Joachim (декабрь 2021 г.). «Факторизованные односторонние волновые уравнения». Акустика . 3 (4): 714–722. doi : 10.3390/acoustics3040045 .
^ Джексон, Джон Дэвид (14 августа 1998 г.). Классическая электродинамика (3-е изд.). Wiley. стр. 425. ISBN 978-0-471-30932-1.
^ Атья, Ботт и Гординг 1970, стр. 109–189.
^ Атья, Ботт и Гардинг 1973, стр. 145–206.
↑ Эванс 2010, стр. 70–80.
^ ab Barnett, Alex H. (28 декабря 2006 г.). "Функции Грина для волнового уравнения" (PDF) . users.flatironinstitute.org . Получено 25 августа 2024 г. .
^ "Зеленая функция волнового уравнения" (PDF) . julian.tau.ac.il . Получено 2024-09-03 .
^ ab Тейлор, Майкл Э. (2023), Тейлор, Майкл Э. (ред.), «Уравнение Лапласа и волновое уравнение», Уравнения с частными производными I: Основная теория , Прикладные математические науки, т. 115, Cham: Springer International Publishing, стр. 137–205, doi : 10.1007/978-3-031-33859-5_2, ISBN 978-3-031-33859-5, получено 2024-08-20
^ abc Судак, Гарри; Тирстен, Мартин С. (1993-05-01). «Следы и волны в N измерениях». Американский журнал физики . 61 (5): 395–401. Bibcode : 1993AmJPh..61..395S. doi : 10.1119/1.17230. ISSN 0002-9505.
^ ab Курант, Ричард; Гильберт, Дэвид (2009). Методы математической физики. 2: Уравнения с частными производными / Р. Курант (2-е предыдущее издание). Weinheim: Wiley-VCH. ISBN 978-0-471-50439-9.

Ссылки

Атья, М. Ф.; Ботт, Р.; Гординг, Л. (1970). «Лакуны для гиперболических дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами I». Acta Mathematica . 124 : 109–189. doi :10.1007/BF02394570. ISSN 0001-5962.
Атья, М. Ф.; Ботт, Р.; Гординг, Л. (1973). «Лакуны для гиперболических дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. II». Acta Mathematica . 131 : 145–206. doi :10.1007/BF02392039. ISSN 0001-5962.
Р. Курант, Д. Гильберт, Методы математической физики, т. II . Interscience (Wiley) Нью-Йорк, 1962.
Эванс, Лоуренс К. (2010). Уравнения с частными производными (PDF) . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4974-3.
«Линейные волновые уравнения», EqWorld: Мир математических уравнений.
«Нелинейные волновые уравнения», EqWorld: Мир математических уравнений.
Уильям К. Лейн, «MISN-0-201 Волновое уравнение и его решения», Проект PHYSNET .

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме Волновое уравнение .

Нелинейные волновые уравнения Стивена Вольфрама и Роба Кнаппа, Nonlinear Wave Equation Explorer от Wolfram Demonstrations Project .
Математические аспекты волновых уравнений обсуждаются на вики-сайте Dispersive PDE, архивировано 25 апреля 2007 г. на Wayback Machine .
Грэм В. Гриффитс и Уильям Э. Шиссер (2009). Линейные и нелинейные волны. Scholarpedia, 4(7):4308. doi:10.4249/scholarpedia.4308