Квадратичная формула

В элементарной алгебре квадратичная формула — это формула , которая дает два решения или корня квадратного уравнения . Существуют и другие способы решения квадратного уравнения вместо использования квадратной формулы, например, заполнение квадрата .

Учитывая общее квадратное уравнение вида

топор^{2}+bx+c=0

где $x$ представляет собой неизвестное, где $a$ , $b$ и $c$ представляют константы , а $a \neq 0$ , квадратичная формула:

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

где символ плюс-минус «±» указывает на то, что квадратное уравнение имеет два решения. ^[1] Написанные отдельно, они становятся:

{\begin{aligned}x_{1}&={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{and}}\\ x_{2}&={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}

Каждое из этих двух решений также называется корнем (или нулем) квадратного уравнения. Геометрически эти корни представляют значения $x$ , при которых любая парабола , явно заданная как $y = ax 2 + bx + c$ , пересекает ось $x$ . ^[2]

Квадратная формула не только является формулой, которая дает нули любой параболы, но и может использоваться для определения оси симметрии параболы ^[3] и количества действительных нулей, содержащихся в квадратном уравнении. ^[4]

Выражение $Δ = b 2 - 4 ac$ известно как дискриминант . Если $a$ , $b$ и $c$ — действительные числа и $a \neq 0$ , то

Когда $b 2 - 4 ac > 0$ , существует два различных действительных корня или решения уравнения $ax 2 + bx + c = 0$ .
Когда $b 2 - 4 ac = 0$ , существует одно повторяющееся вещественное решение.
Когда $b 2 - 4 ac < 0$ , существует два различных комплексных решения, которые являются комплексно-сопряженными друг с другом.

Эквивалентные составы

Квадратную формулу можно также записать как

x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}

x={\frac {1}{a}}\left(-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-ac}}\right)\,.

Поскольку эти формулы позволяют повторно использовать промежуточные значения, их может быть проще использовать при расчетах с помощью калькулятора или вручную. Когда дискриминант отрицательный, участвуют комплексные корни, и квадратичную формулу можно записать как: $b^{2}-4ac$

x=-{\frac {b}{2a}}\pm i{\sqrt {\left|\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}\right|}}={\frac {1}{a}}\left(-{\frac {b}{2}}\pm i{\sqrt {\left|\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-ac\right|}}\right)\,.

метод Мюллера

Менее известная квадратичная формула, также называемая «citardauq», которая используется в методе Мюллера и которую можно найти из формул Виеты , дает (при условии $a \neq 0, c \neq 0$ ) те же корни через уравнение:

x={\frac {-2c}{b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.

Для положительного значения вычитание приводит к отмене стандартной формулы (соответственно отрицательному значению и сложению), что приводит к снижению точности. В этом случае хорошим обходным решением является переход к формуле Мюллера с противоположным знаком. $b$ $b$

Выводы формулы

В литературе доступно множество различных методов вывода квадратичной формулы. Стандартный вариант — простое применение техники завершения квадрата . ^[5]^[6]^[7]^[8] Альтернативные методы иногда проще, чем заполнение квадрата, и могут предложить интересное понимание других областей математики.

Заполнив квадрат

Разделим квадратное уравнение

ax^{2}+bx+c=0

by , что разрешено, поскольку не равно нулю: $a$ $a$

x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0\,.

Вычесть $с / а$ с обеих сторон уравнения, что дает:

x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}\,.

Квадратное уравнение теперь приняло форму, к которой применим метод дополнения квадрата . Фактически, если к обеим частям уравнения добавить константу так, что левая часть станет полным квадратом, квадратное уравнение примет вид:

x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\,,

\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\,.

Соответственно, переставив слагаемые в правой части к общему знаменателю, получим:

\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\,.

Таким образом, площадь завершена. Если дискриминант положителен, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей, получив следующее уравнение: $b^{2}-4ac$

x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\,.

(Фактически, это уравнение остается верным, даже если дискриминант не положителен, поскольку корень дискриминанта интерпретируется как любой из двух его противоположных комплексных корней.)

В этом случае выделение даст квадратичную формулу: $x$

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,.

Существует множество альтернатив этого вывода с небольшими различиями, в основном касающимися манипуляций с . $a$

Более короткий метод

Заполнение квадрата также может быть выполнено с помощью иногда более короткой и простой последовательности: ^[9]

Умножьте каждую сторону на , $4a$
Переставить.
Добавьте к обеим сторонам, чтобы завершить квадрат. $b^{2}$
Левая часть — это квадрат многочлена . $2ax+b$
Возьмите квадратный корень из обеих частей.
Изолировать . $x$

Таким образом, квадратичная формула выводится следующим образом:

{\begin{array}{llllllc}ax^{2}&+&bx&+&c&=&0\\4a^{2}x^{2}&+&4abx&+&4ac&=&0\\4a^{2}x^{2}&+&4abx&&&=&-4ac\\4a^{2}x^{2}&+&4abx&+&b^{2}&=&b^{2}-4ac\\&&(2ax+b)^{2}&&&=&b^{2}-4ac\\[1ex]{\text{ (valid if }}b^{2}-4ac{\text{ is positive)}}&&2ax+b&&&=&\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\[3ex]&&2ax&&&=&-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\[1ex]&&&&x&=&{\dfrac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,.\\[-1ex]\,\end{array}}

Этот вывод квадратичной формулы является древним и был известен в Индии, по крайней мере, еще в 1025 году. ^[10] По сравнению с выводом в стандартном использовании, этот альтернативный вывод избегает дробей и квадратов дробей до последнего шага и, следовательно, не требует перестановку после шага 3 для получения общего знаменателя в правой части. ^[9]

Путем замены

Другой метод – решение заменой. В этом методе мы заменяем . $x=y-{\frac {b}{2a}}$

Тогда так . Расширение доходности и объединение подобных терминов еще больше упрощает это до . Переведя постоянные члены в другую сторону и разделив на a, получим уравнение . Решая относительно y и используя исходное тождество , получаем знакомую квадратичную формулу: . $a(y-{\frac {b}{2a}})^{2}+b(y-{\frac {b}{2a}})+c=0$ $a(y^{2}-{\frac {b}{a}}y+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}})+b(y-{\frac {b}{2a}})+c=0$ $ay^{2}-by+{\frac {b^{2}}{4a}}+by-{\frac {b^{2}}{2a}}+c=0$ $ay^{2}+(c-{\frac {b^{2}}{4a}})=0$ $y^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$ $x=y-{\frac {b}{2a}}$ $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Используя алгебраические тождества

Следующий метод использовался многими историческими математиками: ^[11]

Пусть корнями стандартного квадратного уравнения будут $r 1$ и $r 2$ . Вывод начинается с вспоминания тождества:

(r_{1}-r_{2})^{2}=(r_{1}+r_{2})^{2}-4r_{1}r_{2}\,.

Взяв квадратный корень из обеих частей, получим:

r_{1}-r_{2}=\pm {\sqrt {(r_{1}+r_{2})^{2}-4r_{1}r_{2}}}\,.

Поскольку коэффициент $a \neq 0$ , мы можем разделить стандартное уравнение на $a$ , чтобы получить квадратный многочлен, имеющий те же корни. А именно,

x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=(x-r_{1})(x-r_{2})=x^{2}-(r_{1}+r_{2})x+r_{1}r_{2}\,.

Отсюда мы видим, что сумма корней стандартного квадратного уравнения определяется выражением $— б / а$ , а произведение этих корней определяется выражением $с / а$ . Следовательно, тождество можно переписать как:

r_{1}-r_{2}=\pm {\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-4{\frac {c}{a}}}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{a}}\,.

Сейчас,

r_{1}={\frac {(r_{1}+r_{2})+(r_{1}-r_{2})}{2}}={\frac {-{\frac {b}{a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{a}}}{2}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,.

Поскольку $r 2 = - r 1 - б / а$ , если мы возьмем

r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,;

r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,.

Объединив эти результаты с использованием стандартного сокращения ±, мы получаем, что решения квадратного уравнения имеют вид:

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,.

По резольвентам Лагранжа

Альтернативный способ вывода квадратичной формулы — метод резольвент Лагранжа ^[12] , который является ранней частью теории Галуа . ^[13] Этот метод можно обобщить, чтобы получить корни кубических многочленов и многочленов четвертой степени , и приводит к теории Галуа, которая позволяет понимать решение алгебраических уравнений любой степени с точки зрения группы симметрии их корней, группы Галуа . группа .

Этот подход больше фокусируется на корнях , чем на перестановке исходного уравнения. Учитывая монический квадратичный полином

x^{2}+px+q\,,

x^{2}+px+q=(x-\alpha )(x-\beta )\,,

Увеличение доходности

x^{2}+px+q=x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta \,,

p = -(α + β)

q = αβ

Поскольку порядок умножения не имеет значения, можно поменять местами $α$ и $β$ , и значения $p$ и $q$ не изменятся: можно сказать, что $p$ и $q$ — симметричные многочлены от $α$ и $β$ . Фактически, это элементарные симметричные многочлены : любой симметричный многочлен от $α$ и $β$ можно выразить через $α + β$ и $αβ$ . Подход теории Галуа к анализу и решению многочленов таков: учитывая коэффициенты многочлена, которые являются симметричными функциями в корнях, можно ли «нарушить симметрию» и восстановить корни? Таким образом, решение многочлена степени $n$ связано со способами перестановки (« перестановки ») $n$ членов, которая называется симметрической группой на $n$ буквах и обозначается $S n$ . Для квадратичного многочлена единственный способ переставить два члена — это оставить их в покое или поменять их местами (« транспонировать »), и, таким образом, решение квадратичного многочлена является простым.

Чтобы найти корни $α$ и $β$ , рассмотрим их сумму и разность:

{\begin{aligned}r_{1}&=\alpha +\beta \\r_{2}&=\alpha -\beta \,.\end{aligned}}

Они называются резольвентами Лагранжа многочлена; обратите внимание, что один из них зависит от порядка корней, что является ключевым моментом. Корни из резольвент можно восстановить, обратив приведенные выше уравнения:

{\begin{aligned}\alpha &=\textstyle {\frac {1}{2}}\left(r_{1}+r_{2}\right)\\\beta &=\textstyle {\frac {1}{2}}\left(r_{1}-r_{2}\right)\,.\end{aligned}}

Таким образом, решение резольвент дает исходные корни.

Теперь $r 1 = α + β$ является симметричной функцией относительно $α$ и $β$ , поэтому ее можно выразить через $p$ и $q$ , и фактически $r 1 = - p$ , как отмечалось выше. Но $r 2 = α - β$ не симметричен, поскольку перестановка $α$ и $β$ дает $- r 2 = β - α$ (формально это называется групповым действием симметрической группы корней). Поскольку $r 2$ не симметричен, его нельзя выразить через коэффициенты $p$ и $q$ , поскольку они симметричны относительно корней, а значит, и любое полиномиальное выражение, включающее их. Изменение порядка корней меняет $r 2$ только в −1 раз, и, таким образом, квадрат $r 22 = (α - β) 2$ симметричен относительно корней и, следовательно, выражается через $p$ и $q$ . Используя уравнение

(\alpha -\beta )^{2}=(\alpha +\beta )^{2}-4\alpha \beta

r_{2}^{2}=p^{2}-4q

r_{2}=\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}

Если взять положительный корень, нарушив симметрию, получим:

{\begin{aligned}r_{1}&=-p\\r_{2}&={\sqrt {p^{2}-4q}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\alpha &={\tfrac {1}{2}}\left(-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}\right)\\\beta &={\tfrac {1}{2}}\left(-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}\right)\,.\end{aligned}}

{\tfrac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right)

p = б / а, q = с / а

р 1 / 2 "=" - п / 2 "=" - б / 2 а

r 22 = p 2 - 4 q

Подобный, но более сложный метод работает для кубических уравнений , где есть три резольвенты и квадратное уравнение («разрешающий многочлен»), связывающее $r 2$ и $r 3$ , которое можно решить с помощью квадратного уравнения, и аналогично для уравнения четвертой степени ( степень 4), разрешающий полином которого является кубикой, которую, в свою очередь, можно решить. ^[12] Тот же метод для уравнения пятой степени дает полином 24-й степени, что не упрощает задачу, и, по сути, решения уравнений пятой степени вообще не могут быть выражены с использованием только корней.

Историческое развитие

Самые ранние методы решения квадратных уравнений были геометрическими. Вавилонские клинописные таблички содержат задачи, сводимые к решению квадратных уравнений. ^[14]^{: 34} Египетский берлинский папирус , относящийся к Среднему царству (2050–1650 гг. до н. э.), содержит решение двухчленного квадратного уравнения. ^[15]

Греческий математик Евклид (около 300 г. до н.э.) использовал геометрические методы для решения квадратных уравнений во второй книге своих « Начал» , влиятельного математического трактата. ^[14]^{: 39} Правил для квадратных уравнений появляются в китайской книге « Девять глав математического искусства» около 200 г. до н. э. ^[16]^[17] В своей работе «Арифметика» греческий математик Диофант (около 250 г. н. э.) решал квадратные уравнения методом, более узнаваемым алгебраическим, чем геометрическая алгебра Евклида. ^[14]^{: 39} Его решение дает только один корень, даже если оба корня положительны. ^[18]

Индийский математик Брахмагупта (597–668 гг. н.э.) подробно описал квадратичную формулу в своем трактате «Брахмаспхутасиддханта» , опубликованном в 628 г. н.э. ^[19] , но написанном словами, а не символами. ^[20] Его решение квадратного уравнения $ax 2 + bx = c$ было следующим: «К абсолютному числу, умноженному на четырехкратный [коэффициент] квадрата, прибавьте квадрат [коэффициента] среднего члена; квадратный корень из того же числа за вычетом [коэффициента] среднего члена, разделенный на удвоенный [коэффициент] квадрата, является значением». ^[21] Это эквивалентно:

x={\frac {{\sqrt {c\cdot 4a+b^{2}}}-b}{2a}}\,.

Шридхара^[22]

Персидский математик 9-го века Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми решал квадратные уравнения алгебраическим способом. ^[14]^{: 42} Квадратная формула, охватывающая все случаи, была впервые получена Симоном Стевином в 1594 году. ^[23] В 1637 году Рене Декарт опубликовал «Геометрию» , содержащую частные случаи квадратичной формулы в той форме, которую мы знаем сегодня. ^[24]

Значительное использование

Геометрическое значение

С точки зрения координатной геометрии, парабола — это кривая, координаты $(x, y)$ которой описываются полиномом второй степени, то есть любым уравнением вида:

y=p(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,,

где $p$ представляет собой полином степени 2, а $a 0, a 1$ и $a 2 \neq 0$ являются постоянными коэффициентами, индексы которых соответствуют степени соответствующего члена $.$ Геометрическая интерпретация квадратичной формулы состоит в том, что она определяет точки, в которых парабола пересекает ось $x$ . Кроме того, если квадратичная формула рассматривается как два члена,

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}

симметрии

x = - б / 2 а

\sqrt б 2 - 4 ак. / 2 а

Если бы этот член расстояния уменьшился до нуля, значение оси симметрии было бы значением $x$ единственного нуля; то есть существует только одно возможное решение квадратного уравнения. Алгебраически это означает, что $\sqrt b 2 - 4 ac = 0$ или просто $b 2 - 4 ac = 0$ (где левая часть называется дискриминантом ) . Это один из трех случаев, когда дискриминант указывает, сколько нулей будет иметь парабола. Если дискриминант положителен, расстояние будет ненулевым и будет два решения. Однако существует также случай, когда дискриминант меньше нуля, и это указывает на то, что расстояние будет мнимым – или кратным комплексной единице $i$ , где $i = \sqrt -1$ – и нули параболы будут комплексными числами . Комплексные корни будут комплексно-сопряженными , где действительная часть комплексных корней будет значением оси симметрии. Не будет реальных значений $x$ там, где парабола пересекает ось $x$ .

Размерный анализ

Если константы $a$ , $b$ и/или $c$ не являются безразмерными , то единицы $x$ должны быть равны единицам $б / а$ , из-за требования, чтобы $ax 2$ и $bx$ согласовали свои единицы измерения. Более того, по той же логике, единицы $c$ должны быть равны единицам $Би 2 / а$ , что можно проверить, не находя решения для $x$ . Это может быть мощным инструментом для проверки правильности настройки квадратичного выражения физических величин .