В четырехмерной геометрии выпрямленный 5-ячеечный представляет собой однородный 4-многогранник, состоящий из 5 правильных тетраэдрических и 5 правильных октаэдрических ячеек . Каждое ребро имеет один тетраэдр и два октаэдра. В каждой вершине есть два тетраэдра и три октаэдра. Всего у него 30 граней треугольника, 30 ребер и 10 вершин. Каждая вершина окружена 3 октаэдрами и 2 тетраэдрами; вершинная фигура представляет собой треугольную призму .
Топологически при его высшей симметрии [3,3,3] существует только одна геометрическая форма, содержащая 5 правильных тетраэдров и 5 выпрямленных тетраэдров (что геометрически совпадает с правильным октаэдром). Он также топологически идентичен сегментохорону тетраэдра-октаэдра. [ нужны разъяснения ]
Вершинная фигура выпрямленной 5-клетки представляет собой однородную треугольную призму , образованную тремя октаэдрами по бокам и двумя тетраэдрами на противоположных концах. [1]
Несмотря на то же количество вершин, что и ячейки (10), и то же количество ребер, что и грани (30), выпрямленная 5-ячейка не является самодвойственной, поскольку вершинная фигура (однородная треугольная призма) не является двойственной фигуре. клетки полихорона.
В матрице конфигурации показаны все счетчики инцидентов между элементами. Диагональные числа f-вектора получаются с помощью конструкции Витхоффа , разделяющей полный групповой порядок на подгруппу путем удаления одного зеркала за раз. [2]
Вместе с симплексом и 24-клеточным эта форма и ее двойник (многогранник с десятью вершинами и десятью гранями треугольной бипирамиды ) были одними из первых известных 2-простых 2-симплициальных 4-многогранников. Это означает, что все его двумерные грани и все двумерные грани его двойника являются треугольниками. В 1997 году Том Брейден нашел еще одну двойную пару примеров, склеив вместе две выпрямленные 5-ячеечные клетки; с тех пор было построено бесконечное количество 2-простых 2-симплициальных многогранников. [3] [4]
Это один из трех полуправильных 4-многогранников, состоящих из двух или более ячеек, которые являются платоновыми телами , обнаруженных Торольдом Госсетом в его статье 1900 года. Он назвал его тетраоктаэдром, поскольку он состоит из ячеек тетраэдра и октаэдра . [5]
Э. Л. Эльте идентифицировал его в 1912 году как полуправильный многогранник, назвав его tC 5 .
Декартовы координаты вершин выпрямленной 5-ячейки с центром в начале координат и длиной ребра 2:
Проще говоря, вершины выпрямленной 5-ячейки можно расположить на гиперплоскости в 5-мерном пространстве как перестановки (0,0,0,1,1) или (0,0,1,1,1). Эту конструкцию можно рассматривать как положительные ортантные грани выпрямленного пентакросса или биректифицированного пентеракта соответственно.
Выпрямленная 5-ячейка — это вершинная фигура 5-демикуба и реберная фигура однородного 2 21 многогранника .
Выпуклая оболочка выпрямленной 5-клетки и ее двойника (того же большого радиуса) представляет собой неоднородный полихорон, состоящий из 30 ячеек: 10 тетраэдров , 20 октаэдров (в виде треугольных антипризм) и 20 вершин. Его вершинная фигура представляет собой раздвоенный треугольник .
Выпрямленный 5-клеточный — это один из 9 однородных 4-многогранников , построенных из группы [3,3,3] Кокстера .
Выпрямленный 5-клеточный является вторым в размерном ряду полуправильных многогранников . Каждый прогрессивный однородный многогранник строится как вершинная фигура предыдущего многогранника. Торольд Госсет определил эту серию в 1900 году как содержащую все правильные грани многогранников, содержащие все симплексы и ортоплексы ( тетраэдры и октаэдры в случае выпрямленной 5-ячейки). Символ Кокстера для выпрямленной 5-клеточной ячейки равен 0 21 .