Сферические гармоники

Специальные математические функции, определенные на поверхности сферы.

Визуальные представления первых нескольких реальных сферических гармоник. Синие части представляют области, где функция положительна, а желтые части представляют области, где она отрицательна. Расстояние поверхности от начала координат указывает абсолютное значение в угловом направлении . ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle (\theta ,\varphi )}$

В математике и физике сферические гармоники представляют собой особые функции, определяемые на поверхности сферы . Они часто используются при решении уравнений в частных производных во многих научных областях. Список сферических гармоник доступен в Таблице сферических гармоник .

Поскольку сферические гармоники образуют полный набор ортогональных функций и, следовательно, ортонормированный базис , каждую функцию, определенную на поверхности сферы, можно записать как сумму этих сферических гармоник. Это похоже на периодические функции , определенные на окружности, которые можно выразить как сумму круговых функций (синусов и косинусов) через ряд Фурье . Подобно синусам и косинусам в рядах Фурье, сферические гармоники могут быть организованы по (пространственной) угловой частоте , как видно из рядов функций на рисунке справа. Кроме того, сферические гармоники являются базисными функциями для неприводимых представлений SO (3) , группы вращений в трех измерениях, и, таким образом, играют центральную роль в теоретико-групповом обсуждении SO(3).

Сферические гармоники возникают в результате решения уравнения Лапласа в сферических областях. Функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, называются гармониками . Несмотря на свое название, сферические гармоники принимают простейшую форму в декартовых координатах , где их можно определить как однородные полиномы степени , подчиняющиеся уравнению Лапласа. Связь со сферическими координатами возникает сразу, если из упомянутого выше многочлена степени извлечь с помощью однородности коэффициент радиальной зависимости ; оставшийся коэффициент можно рассматривать как функцию сферических угловых координат и только или, что то же самое, единичного вектора ориентации, заданного этими углами. В этом случае их можно рассматривать как угловую часть набора решений уравнения Лапласа в трех измерениях, и эта точка зрения часто используется как альтернативное определение. Однако заметим, что сферические гармоники не являются функциями на сфере, гармоничными относительно оператора Лапласа-Бельтрами для стандартной круглой метрики на сфере: единственными гармоническими функциями в этом смысле на сфере являются константы, поскольку гармонические функции удовлетворять принципу максимума . Сферические гармоники, как функции на сфере, являются собственными функциями оператора Лапласа-Бельтрами (см. раздел «Высшие измерения» ниже). ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle r^{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Особый набор сферических гармоник, обозначаемый или , известен как сферические гармоники Лапласа, поскольку они были впервые введены Пьером Симоном де Лапласом в 1782 году. ^[1] Эти функции образуют ортогональную систему и, таким образом, являются основой для расширения общей функционируют на сфере, как упоминалось выше. ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })}$

Сферические гармоники важны во многих теоретических и практических приложениях, включая представление мультипольных электростатических и электромагнитных полей , электронных конфигураций , гравитационных полей , геоидов , магнитных полей планетарных тел и звезд, а также космического микроволнового фонового излучения . В 3D-компьютерной графике сферические гармоники играют роль в самых разных темах, включая непрямое освещение ( окклюзия окружающей среды , глобальное освещение , заранее вычисленная передача излучения и т. д.) и моделирование 3D-форм.

История

Пьер-Симон Лаплас , 1749–1827 гг.

Сферические гармоники были впервые исследованы в связи с ньютоновским потенциалом закона всемирного тяготения Ньютона в трех измерениях. В 1782 году Пьер-Симон де Лаплас в своей «Небесной механике» определил, что гравитационный потенциал в точке x , связанный с набором точечных масс m _{i ,} расположенных в точках x _i , определяется выражением ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle V(\mathbf {x} )=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} |}}.}$$

Каждый член в приведенном выше суммировании представляет собой индивидуальный ньютоновский потенциал для точечной массы. Незадолго до этого Адриен-Мари Лежандр исследовал разложение ньютоновского потенциала по степеням r = | х | и р ₁ = | х ₁ | . Он обнаружил, что если r ≤ r ₁ , то

$${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} |}}=P_{0}(\cos \gamma ){\frac {1}{r_{1}}}+P_{1}(\cos \gamma ){\frac {r}{r_{1}^{2}}}+P_{2}(\cos \gamma ){\frac {r^{2}}{r_{1}^{3}}}+\cdots }$$

где γ – угол между векторами x и x ₁ . Функции представляют собой полиномы Лежандра и могут быть получены как частный случай сферических гармоник. Впоследствии, в своих мемуарах 1782 года, Лаплас исследовал эти коэффициенты, используя сферические координаты для представления угла γ между x ₁ и x . ( Более подробный анализ см. в разделе «Применение полиномов Лежандра в физике ».) ${\displaystyle P_{i}:[-1,1]\to \mathbb {R} }$

В 1867 году Уильям Томсон (лорд Кельвин) и Питер Гатри Тейт представили твердые сферические гармоники в своем «Трактате о естественной философии» , а также впервые ввели для этих функций название «сферические гармоники». Твердые гармоники представляли собой однородные полиномиальные решения уравнения Лапласа. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.}$$

Уильямом Уэвелломзональных сферических гармоник

Развитие рядов Фурье в XIX веке сделало возможным решение широкого спектра физических задач в прямоугольных областях, таких как решение уравнения теплопроводности и волнового уравнения . Этого можно достичь разложением функций в ряды по тригонометрическим функциям . В то время как тригонометрические функции в ряду Фурье представляют основные формы вибрации струны , сферические гармоники представляют основные формы вибрации сферы почти таким же образом. Многие аспекты теории рядов Фурье можно было бы обобщить, взяв разложения по сферическим гармоникам, а не по тригонометрическим функциям. Более того, аналогично тому, как тригонометрические функции могут быть эквивалентно записаны как комплексные экспоненты , сферические гармоники также имели эквивалентную форму как комплекснозначные функции. Это было благом для решения задач, обладающих сферической симметрией , например, задач небесной механики, первоначально изучавшихся Лапласом и Лежандром.

Преобладание сферических гармоник уже в физике подготовило почву для их дальнейшего значения в зарождении квантовой механики в 20 веке . (Комплекснозначные) сферические гармоники являются собственными функциями квадрата оператора орбитального углового момента. ${\displaystyle S^{2}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle -i\hbar \mathbf {r} \times \nabla ,}$$

квантованныеатомных орбиталей

Сферические гармоники Лапласа

Реальные (лапласовские) сферические гармоники ( сверху вниз) и (слева направо). Зональные, секторальные и тессеральные гармоники изображены вдоль крайнего левого столбца, главной диагонали и в других местах соответственно. (Гармоники отрицательного порядка будут показаны повернутыми вокруг оси z относительно гармоник положительного порядка.) ${\displaystyle Y_{\ell m}}$ ${\displaystyle \ell =0,\dots ,4}$ ${\displaystyle m=0,\dots ,\ell }$ ${\displaystyle Y_{\ell (-m)}}$ ${\displaystyle 90^{\circ }/m}$

Альтернативная картина для реальных сферических гармоник . ${\displaystyle Y_{\ell m}}$

Уравнение Лапласа предполагает, что лапласиан скалярного поля f равен нулю. (Здесь скалярное поле понимается как комплексное, т.е. соответствующее (гладкой) функции .) В сферических координатах это: ^[2] ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.}$$

Рассмотрим задачу поиска решений вида f ( р , θ , φ ) знак равно р ( р ) Y ( θ , φ ) . В результате разделения переменных в результате применения уравнения Лапласа получаются два дифференциальных уравнения:

$${\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)=\lambda ,\qquad {\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=-\lambda .}$$

YY ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ )

$${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}}$$

$${\displaystyle \lambda \sin ^{2}\theta +{\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)=m^{2}}$$

для некоторого числа m . Априори m является комплексной константой, но поскольку Φ должна быть периодической функцией , период которой делит 2 π нацело , m обязательно является целым числом, а Φ является линейной комбинацией комплексных экспонент e ^{± imφ} . Функция решения Y ( θ , φ ) регулярна в полюсах сферы, где θ = 0, π . Наложение этой закономерности на решение Θ второго уравнения в граничных точках области представляет собой задачу Штурма–Лиувилля , которая заставляет параметр λ иметь вид λ = ℓ ( ℓ + 1) для некоторого неотрицательного целого числа с ℓ ≥ | м | ; это также объясняется ниже с точки зрения орбитального углового момента . Кроме того, замена переменных t = cos θ преобразует это уравнение в уравнение Лежандра , решение которого кратно соответствующему полиному Лежандра P^м
_ℓ(потому что θ ) . Наконец, уравнение для R имеет решения вида R ( r ) = A r ^ℓ + B r ^{- ℓ - 1} ; требуя, чтобы решение было регулярным во всей R ³ силы B = 0 . ^[3]

Здесь предполагалось, что решение имеет специальный вид Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ ) . Для данного значения ℓ существует 2 ℓ + 1 независимых решений этого вида, по одному на каждое целое число m с − ℓ ≤ m ≤ ℓ . Эти угловые решения являются произведением тригонометрических функций , представленных здесь в виде комплексной экспоненты , и связанных с ними полиномов Лежандра: ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=Ne^{im\varphi }P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })}$$

которые выполняют

$${\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=-\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$$

Здесь называется сферической гармонической функцией степени ℓ и порядка m , является ассоциированным полиномом Лежандра , N является константой нормализации, ^[4] и θ и φ представляют широту и долготу соответственно. В частности, широта θ или полярный угол колеблется от 0 на Северном полюсе до π /2 на экваторе, до π на Южном полюсе, а долгота φ или азимут может принимать все значения с 0 ≤ φ. < 2 π . Для фиксированного целого числа ℓ каждое решение Y ( θ , φ ) , , проблемы собственных значений ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle P_{\ell }^{m}:[-1,1]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y:S^{2}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y=-\ell (\ell +1)Y}$$

комбинациюr ^ℓ Y ( θ , φ )однородного полинома2 ℓ + 1 ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$

Общее решение уравнения Лапласа в шаре с центром в начале координат представляет собой линейную комбинацию сферических гармонических функций, умноженных на соответствующий масштабный коэффициент r ^ℓ , ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Delta f=0}$

$${\displaystyle f(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),}$$

где являются константами, а коэффициенты r ^ℓ Y _ℓ ^m известны как ( регулярные ) твердые гармоники . Такое разложение справедливо в шаре ${\displaystyle f_{\ell }^{m}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle r<R={\frac {1}{\limsup _{\ell \to \infty }|f_{\ell }^{m}|^{{1}/{\ell }}}}.}$$

Вместо этого для выбираются сплошные гармоники с отрицательными степенями ( нерегулярные сплошные гармоники ). В этом случае необходимо разложить решение известных областей в ряды Лорана (около ) вместо ряда Тейлора (около ), использованного выше, чтобы сопоставить члены и найти коэффициенты разложения в ряды . ${\displaystyle r>R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\setminus \{\mathbf {0} \}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle r=\infty }$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle f_{\ell }^{m}\in \mathbb {C} }$

Орбитальный угловой момент

В квантовой механике сферические гармоники Лапласа понимаются в терминах орбитального углового момента ^[5]

$${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla } )=L_{x}\mathbf {i} +L_{y}\mathbf {j} +L_{z}\mathbf {k} .}$$

; ħ = 1

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}&=-r^{2}\nabla ^{2}+\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}+1\right)r{\frac {\partial }{\partial r}}\\&=-{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{z}&=-i\left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\\&=-i{\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$$

Эти операторы коммутируют и представляют собой плотно определенные самосопряженные операторы во взвешенном гильбертовом пространстве функций f , интегрируемых с квадратом относительно нормального распределения как весовая функция на R ³ :

$${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}|f(x)|^{2}e^{-|x|^{2}/2}\,dx<\infty .}$$

L2 ^— положительный

Если Y — совместная собственная функция L ² и L _z , то по определению

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}Y&=\lambda Y\\L_{z}Y&=mY\end{aligned}}}$$

mλmYφπ

$${\displaystyle \mathbf {L} ^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}}$$

L _xL _yL _zλ ≥ m ²

Обозначим это совместное собственное пространство через E _{λ , m} и определим операторы повышения и понижения через

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{+}&=L_{x}+iL_{y}\\L_{-}&=L_{x}-iL_{y}\end{aligned}}}$$

L ₊L ₋L ²L ₊L ₋L _zспециальной линейной алгеброй Ли ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle [L_{z},L_{+}]=L_{+},\quad [L_{z},L_{-}]=-L_{-},\quad [L_{+},L_{-}]=2L_{z}.}$$

L ₊  : E _{λ , m} → E _{λ , m +1}L ₋  : E _{λ , m} → E _{λ , m −1}Л^к
₊ : E _{λ , m} → E _{λ , m + k}kλ ≥ m ²Y ∈ E _{λ , m}k

$${\displaystyle L_{+}^{k}Y=0.}$$

$${\displaystyle L_{-}L_{+}=\mathbf {L} ^{2}-L_{z}^{2}-L_{z}}$$

$${\displaystyle 0=L_{-}L_{+}^{k}Y=(\lambda -(m+k)^{2}-(m+k))Y.}$$

λ = ℓ ( ℓ + 1)ℓ = m + k

Все вышеизложенное было разработано в представлении сферических координат, но может быть выражено более абстрактно в полном, ортонормированном сферическом кет-базисе . ${\displaystyle \langle \theta ,\varphi |lm\rangle =Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}$

Гармоническое полиномиальное представление

Сферические гармоники можно выразить как ограничение на единичную сферу некоторых полиномиальных функций . В частности, мы говорим, что (комплекснозначная) полиномиальная функция однородна по степени , если ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle p:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \ell }$

$${\displaystyle p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x} )}$$

гармонично, ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \Delta p=0,}$$

_ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \ell }$

$${\displaystyle \mathbf {A} _{\ell }=\left\{{\text{harmonic polynomials }}\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} {\text{ that are homogeneous of degree }}\ell \right\}.}$$

Например, когда , это просто трехмерное пространство всех линейных функций , поскольку любая такая функция автоматически является гармонической. Между тем, когда мы имеем 5-мерное пространство: ${\displaystyle \ell =1}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \ell =2}$

$${\displaystyle \mathbf {A} _{2}=\operatorname {span} _{\mathbb {C} }(x_{1}x_{2},\,x_{1}x_{3},\,x_{2}x_{3},\,x_{1}^{2}-x_{2}^{2},\,x_{1}^{2}-x_{3}^{2}).}$$

Для любого пространство сферических гармоник степени есть просто пространство ограничений на сферу элементов . ^[6] Как было предложено во введении, эта точка зрения, по-видимому, является источником термина «сферическая гармоника» (т.е. ограничение сферы гармонической функции ). ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{\ell }}$

Например, для любой формулы ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$

$${\displaystyle p(x_{1},x_{2},x_{3})=c(x_{1}+ix_{2})^{\ell }}$$

${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle r=1}$

$${\displaystyle p(\theta ,\varphi )=c\sin(\theta )^{\ell }(\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))^{\ell },}$$

$${\displaystyle p(\theta ,\varphi )=c\left({\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}\right)^{\ell }e^{i\ell \varphi }.}$$

соответствующего полинома Лежандра^[7] ${\displaystyle P_{\ell }^{\ell }}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{\ell }(\theta ,\varphi ).}$

Конвенции

Ортогональность и нормализация

Для сферических гармонических функций Лапласа обычно используются несколько различных нормировок . На протяжении всего раздела мы используем стандартное соглашение, согласно которому для (см. соответствующие полиномы Лежандра ) ${\displaystyle S^{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle m>0}$

$${\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}}$$

График сферической гармоники с и и в комплексной плоскости от до с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle \ell =2}$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle \varphi =\pi }$ ${\displaystyle -2-2i}$ ${\displaystyle 2+2i}$

В акустике [ ^8] сферические гармоники Лапласа обычно определяются как (это соглашение используется в этой статье)

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$$

квантовой механике^{[9] [10]}

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}{\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$$

где – ассоциированные полиномы Лежандра без фазы Кондона–Шортли (чтобы не считать фазу дважды). ${\displaystyle P_{\ell }^{m}}$

В обоих определениях сферические гармоники ортонормированы.

$${\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}\,d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'},}$$

δ _ijдельта Кронекераd Ω = sin( θ ) dφ dθ

$${\displaystyle \int {|Y_{\ell }^{m}|^{2}d\Omega }=1.}$$

В дисциплинах геодезии ^[11] и спектрального анализа используются

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1)}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$$

которые обладают единичной мощностью

$${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.}$$

Сообщество магнетиков ^[11] , напротив, использует полунормализованные гармоники Шмидта .

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$$

которые имеют нормировку

$${\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega ={\frac {4\pi }{(2\ell +1)}}\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.}$$

В квантовой механике эта нормализация также иногда используется и называется нормализацией Рака в честь Джулио Рака .

Можно показать, что все приведенные выше нормированные сферические гармонические функции удовлетворяют

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}{}^{*}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi ),}$$

где верхний индекс * обозначает комплексное сопряжение. Альтернативно, это уравнение следует из связи сферических гармонических функций с D-матрицей Вигнера .

Фаза Кондона – Шортли

Один из источников путаницы с определением сферических гармонических функций касается фазового фактора , обычно называемого фазой Кондона – Шортли в литературе по квантовой механике. В сообществе квантовой механики принято либо включать этот фазовый коэффициент в определение связанных полиномов Лежандра , либо добавлять его к определению сферических гармонических функций. Нет необходимости использовать фазу Кондона-Шортли при определении сферических гармонических функций, но ее включение может упростить некоторые квантово-механические операции, особенно применение операторов повышения и понижения . Сообщества геодезистов ^[12] и магнетиков никогда не включают фазовый фактор Кондона–Шортли ни в свои определения сферических гармонических функций, ни в определения связанных с ними полиномов Лежандра. ^[13] ${\displaystyle (-1)^{m}}$

Реальная форма

Реальную основу сферических гармоник можно определить через их комплексные аналоги , положив ${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\ell m}&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{m}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Im [{Y_{\ell }^{|m|}}]&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Re [{Y_{\ell }^{m}}]&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\[4pt]Y_{\ell 0}&{\text{if}}\ m=0\\[4pt]{\dfrac {(-1)^{m}}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}}$$

Реальные сферические гармоники иногда называют тессеральными сферическими гармониками . ^[14] Эти функции обладают теми же свойствами ортонормированности, что и комплексные функции, описанные выше. Действительные сферические гармоники с m > 0 называются косинусными, а с m < 0 — синусоидальными. Причину этого можно увидеть, записав функции через полиномы Лежандра как ${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Y_{\ell m}}$

$${\displaystyle Y_{\ell m}={\begin{cases}\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -|m|)!}{(\ell +|m|)!}}}}\;P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\ \sin(|m|\varphi )&{\text{if }}m<0\\[4pt]{\sqrt {\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )&{\text{if }}m=0\\[4pt]\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\;P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\text{if }}m>0\,.\end{cases}}}$$

Те же самые факторы синуса и косинуса можно увидеть в следующем подразделе, посвященном декартову представлению.

См . здесь список реальных сферических гармоник до и включительно , которые, как видно, согласуются с результатами приведенных выше уравнений. ${\displaystyle \ell =4}$

Использование в квантовой химии

Как известно из аналитических решений атома водорода, собственные функции угловой части волновой функции представляют собой сферические гармоники. Однако решения нерелятивистского уравнения Шредингера без магнитных членов могут быть реализованы. Вот почему вещественные формы широко используются в базисных функциях квантовой химии, поскольку в этом случае программам не требуется использовать комплексную алгебру. Здесь важно отметить, что действительные функции занимают то же пространство, что и комплексные.

Например, как видно из таблицы сферических гармоник , обычные функции p ( ) являются комплексными и смешивают направления осей, но реальные версии — это, по сути, просто x , y и z . ${\displaystyle \ell =1}$

Сферические гармоники в декартовой форме

Сложные сферические гармоники порождают сплошные гармоники , распространяясь от ко всем как однородная функция степени , т. е. устанавливая ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \ell }$

$${\displaystyle R_{\ell }^{m}(v):=\|v\|^{\ell }Y_{\ell }^{m}\left({\frac {v}{\|v\|}}\right)}$$

однородных многочленовявную формулу ${\displaystyle R_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle SO(3)}$ ${\displaystyle R_{\ell }^{m}}$

Производящая функция Герглотца

Если для , принята квантовомеханическая конвенция , то ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle e^{v{\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {r} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {r^{\ell }v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r).}$$

${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle r=|\mathbf {r} |}$

$${\displaystyle {\mathbf {a} }={\mathbf {\hat {z}} }-{\frac {\lambda }{2}}\left({\mathbf {\hat {x}} }+i{\mathbf {\hat {y}} }\right)+{\frac {1}{2\lambda }}\left({\mathbf {\hat {x}} }-i{\mathbf {\hat {y}} }\right).}$$

${\displaystyle \mathbf {a} }$

${\displaystyle \mathbf {a} =[{\frac {1}{2}}({\frac {1}{\lambda }}-\lambda ),-{\frac {i}{2}}({\frac {1}{\lambda }}+\lambda ),1].}$

Существенным свойством является то, что оно равно нулю: ${\displaystyle \mathbf {a} }$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =0.}$$

Достаточно взять и как реальные параметры. Называя эту производящую функцию именем Герглотца , мы следуем Куранту и Гильберту 1962, §VII.7, которые приписывают ее открытие неопубликованным заметкам. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lambda }$

По сути, все свойства сферических гармоник могут быть получены из этой производящей функции. ^[15] Непосредственным преимуществом этого определения является то, что если вектор заменить квантово-механическим оператором вектора спина , таким, который является оператором-аналогом сплошной гармоники , ^[16] можно получить производящую функцию для стандартизированного набора сферических тензоров операторы , : ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })}$ ${\displaystyle r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r)}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })}$

$${\displaystyle e^{v{\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {J} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}{\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} }).}$$

Параллелизм двух определений гарантирует, что 's преобразуются при вращениях (см. ниже) так же, как ' s, что, в свою очередь, гарантирует, что они являются сферическими тензорными операторами, с и , подчиняющимися всем свойствам таких операторов, такие как теорема композиции Клебша-Гордана и теорема Вигнера-Экарта . Более того, они представляют собой стандартизированный набор с фиксированной шкалой или нормализацией. ${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle T_{q}^{(k)}}$ ${\displaystyle k={\ell }}$ ${\displaystyle q=m}$

Отдельная декартова форма

Определение Герглотца дает полиномы, которые при желании можно дополнительно разложить на многочлены и на полиномы и следующим образом (фаза Кондона – Шортли): ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell }^{m}\\Y_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}}=\left[{\frac {2\ell +1}{4\pi }}\right]^{1/2}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}\left(-1\right)^{m}(A_{m}+iB_{m})\\(A_{m}-iB_{m})\end{pmatrix}},\qquad m>0.}$$

m = 0

$${\displaystyle r^{\ell }\,Y_{\ell }^{0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}.}$$

$${\displaystyle A_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos \left((m-p){\frac {\pi }{2}}\right),}$$

$${\displaystyle B_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin \left((m-p){\frac {\pi }{2}}\right),}$$

$${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)=\left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.}$$

${\displaystyle m=0}$

$${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}(z)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor \ell /2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k}.}$$

Фактор по существу представляет собой связанный полином Лежандра , а факторы по существу . ${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)}$ ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle (A_{m}\pm iB_{m})}$ ${\displaystyle e^{\pm im\varphi }}$

Примеры

Используя выражения для , и явно перечисленные выше, получаем: ${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)}$ ${\displaystyle A_{m}(x,y)}$ ${\displaystyle B_{m}(x,y)}$

$${\displaystyle Y_{3}^{1}=-{\frac {1}{r^{3}}}\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}\left(5z^{2}-r^{2}\right)\left(x+iy\right)=-\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}\left(5\cos ^{2}\theta -1\right)\left(\sin \theta e^{i\varphi }\right)}$$

$${\displaystyle Y_{4}^{-2}={\frac {1}{r^{4}}}\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}\left(7z^{2}-r^{2}\right)\left(x-iy\right)^{2}=\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}\left(7\cos ^{2}\theta -1\right)\left(\sin ^{2}\theta e^{-2i\varphi }\right)}$$

здесьздесь

Реальные формы

Используя приведенные выше уравнения для формирования реальных сферических гармоник, видно, что включены только члены (косинусы) и только члены (синусы): ${\displaystyle m>0}$ ${\displaystyle A_{m}}$ ${\displaystyle m<0}$ ${\displaystyle B_{m}}$

$${\displaystyle r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell m}\\Y_{\ell -m}\end{pmatrix}}={\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}A_{m}\\B_{m}\end{pmatrix}},\qquad m>0.}$$

m

$${\displaystyle r^{\ell }\,Y_{\ell 0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}.}$$

Особые случаи и значения

1. При сферические гармоники сводятся к обычным полиномам Лежандра : ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$
   $${\displaystyle Y_{\ell }^{0}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}P_{\ell }(\cos \theta ).}$$
2. Когда , ${\displaystyle m=\pm \ell }$
   $${\displaystyle Y_{\ell }^{\pm \ell }(\theta ,\varphi )={\frac {(\mp 1)^{\ell }}{2^{\ell }\ell !}}{\sqrt {\frac {(2\ell +1)!}{4\pi }}}\sin ^{\ell }\theta \,e^{\pm i\ell \varphi },}$$
   или проще говоря в декартовых координатах,
   $${\displaystyle r^{\ell }Y_{\ell }^{\pm \ell }({\mathbf {r} })={\frac {(\mp 1)^{\ell }}{2^{\ell }\ell !}}{\sqrt {\frac {(2\ell +1)!}{4\pi }}}(x\pm iy)^{\ell }.}$$
3. На северном полюсе, где и не определено, все сферические гармоники, кроме тех, которые исчезают: ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle m=0}$
   $${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(0,\varphi )=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {z} })={\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}\delta _{m0}.}$$

Свойства симметрии

Сферические гармоники обладают глубокими и последовательными свойствами при операциях пространственной инверсии (четности) и вращения.

Паритет

Сферические гармоники имеют определенную четность. То есть они либо четные, либо нечетные относительно обращения относительно начала координат. Инверсия представлена ​​оператором . Тогда, как можно увидеть разными способами (возможно, наиболее просто из производящей функции Герглотца), будучи единичным вектором, ${\displaystyle P\Psi (\mathbf {r} )=\Psi (-\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ).}$$

С точки зрения сферических углов четность преобразует точку с координатами в . Тогда утверждение о четности сферических гармоник имеет вид ${\displaystyle \{\theta ,\varphi \}}$ ${\displaystyle \{\pi -\theta ,\pi +\varphi \}}$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\to Y_{\ell }^{m}(\pi -\theta ,\pi +\varphi )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$$

соответствующие полиномы Лежандра(−1) ^{ℓ + m}(−1) ^m(−1) ^ℓ

Четность продолжает сохраняться для реальных сферических гармоник и для сферических гармоник в более высоких измерениях: применение точечного отражения к сферической гармонике степени ℓ меняет знак в (−1) ^ℓ .

Ротации

Вращение действительной сферической функции с m = 0 и ℓ = 3 . Коэффициенты не равны D-матрицам Вигнера, поскольку показаны действительные функции, но могут быть получены путем переразложения комплексных функций

Рассмотрим вращение вокруг начала координат, которое отправляет единичный вектор в . При этой операции сферическая гармоника определенной степени и порядка превращается в линейную комбинацию сферических гармоник одной и той же степени. То есть, ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }A_{mm'}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} }),}$$

${\displaystyle A_{mm'}}$ ${\displaystyle (2\ell +1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})]^{*}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} }),}$$

D-матрицы Вигнера ${\displaystyle D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \phi _{0}}$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })e^{im\phi _{0}}.}$$

Вращательное поведение сферических гармоник, возможно, является их наиболее существенной особенностью с точки зрения теории групп. Степени обеспечивают базовый набор функций для неприводимого представления группы SO(3) размерности . Многие факты о сферических гармониках (например, теорема сложения), кропотливо доказываемые методами анализа, приобретают более простые доказательства и более глубокое значение с помощью методов симметрии. ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle (2\ell +1)}$

Расширение сферических гармоник

Сферические гармоники Лапласа образуют полный набор ортонормированных функций и, таким образом, образуют ортонормированный базис гильбертова пространства функций , интегрируемых с квадратом . Таким образом, на единичной сфере любую интегрируемую с квадратом функцию можно разложить как линейную комбинацию следующих функций: ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle L_{\mathbb {C} }^{2}(S^{2})}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle f:S^{2}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$$

Это разложение справедливо в смысле среднеквадратичной сходимости — сходимости в L2 сферы — то есть, что

$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\left|f(\theta ,\varphi )-\sum _{\ell =0}^{N}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\right|^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =0.}$$

Коэффициенты разложения являются аналогами коэффициентов Фурье и могут быть получены путем умножения приведенного выше уравнения на комплексно-сопряженную сферическую гармонику, интегрирования по телесному углу Ω и использования приведенных выше соотношений ортогональности. Это строго обосновано базовой теорией гильбертова пространства. Для случая ортонормированных гармоник это дает:

$${\displaystyle f_{\ell }^{m}=\int _{\Omega }f(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )\,d\Omega =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }\,d\theta \,\sin \theta f(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi ).}$$

Если коэффициенты убывают в ℓ достаточно быстро — например, экспоненциально — то ряд также сходится равномерно к f .

Интегрируемую с квадратом функцию также можно разложить по указанным выше действительным гармоникам как сумму ${\displaystyle f:S^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}\,Y_{\ell m}(\theta ,\varphi ).}$$

Сходимость ряда снова имеет место в том же смысле, а именно, действительные сферические гармоники образуют полный набор ортонормированных функций и, таким образом, образуют ортонормированный базис гильбертова пространства функций , интегрируемых с квадратом . Преимущество разложения по действительным гармоническим функциям состоит в том, что для вещественных функций коэффициенты разложения гарантированно вещественные, тогда как их коэффициенты в разложении по (рассматривая их как функции ) не обладают таким свойством. ${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L_{\mathbb {R} }^{2}(S^{2})}$ ${\displaystyle Y_{\ell m}}$ ${\displaystyle f:S^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{\ell m}}$ ${\displaystyle f_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle f:S^{2}\to \mathbb {C} \supset \mathbb {R} }$

Спектральный анализ

Спектр мощности при обработке сигналов

Полная степень функции f определяется в литературе по обработке сигналов как интеграл от квадрата функции, деленный на площадь ее области определения. Используя свойства ортонормированности действительных сферических гармонических функций единичной степени, несложно проверить, что полная степень функции, определенной на единичной сфере, связана с ее спектральными коэффициентами посредством обобщения теоремы Парсеваля (здесь теорема сформулирована для полунормализованных гармоник Шмидта соотношение несколько иное для ортонормированных гармоник):

$${\displaystyle {\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }|f(\Omega )|^{2}\,d\Omega =\sum _{\ell =0}^{\infty }S_{f\!f}(\ell ),}$$

$${\displaystyle S_{f\!f}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }|f_{\ell m}|^{2}}$$

определяется как спектр угловой мощности (для полунормализованных гармоник Шмидта). Аналогичным образом можно определить перекрестную степень двух функций как

$${\displaystyle {\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }f(\Omega )\,g^{\ast }(\Omega )\,d\Omega =\sum _{\ell =0}^{\infty }S_{fg}(\ell ),}$$

$${\displaystyle S_{fg}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}g_{\ell m}^{\ast }}$$

определяется как перекрестный спектр мощности. Если функции f и g имеют нулевое среднее значение (т. е. спектральные коэффициенты f ₀₀ и g ₀₀ равны нулю), то S _ff ( ℓ ) и S _fg ( ℓ ) представляют вклады в дисперсию и ковариацию функции для степени ℓ , соответственно. Обычно спектр (перекрестной) мощности хорошо аппроксимируется степенным законом вида

$${\displaystyle S_{f\!f}(\ell )=C\,\ell ^{\beta }.}$$

Когда β = 0 , спектр «белый», поскольку каждая степень имеет одинаковую мощность. Когда β < 0 , спектр называется «красным», поскольку на низких градусах с длинными волнами мощность больше, чем на более высоких градусах. Наконец, когда β > 0 , спектр называют «синим». Условие на порядок роста S _ff ( ℓ ) связано с порядком дифференцируемости f в следующем разделе.

Свойства дифференцируемости

Свойства дифференцируемости исходной функции f можно также понять с точки зрения асимптотики S _ff ( ℓ ) . В частности, если S _ff ( ℓ ) убывает быстрее, чем любая рациональная функция от ℓ при ℓ → ∞ , то f бесконечно дифференцируема . Если, кроме того, S _ff ( ℓ ) убывает экспоненциально, то f действительно является вещественно-аналитическим на сфере.

Общий метод заключается в использовании теории пространств Соболева . Утверждения, связывающие рост S _ff ( ℓ ) с дифференцируемостью, в этом случае аналогичны аналогичным результатам о росте коэффициентов рядов Фурье . В частности, если

$${\displaystyle \sum _{\ell =0}^{\infty }(1+\ell ^{2})^{s}S_{ff}(\ell )<\infty ,}$$

fH ^s ( S ² )из теоремы вложения Соболеваf

$${\displaystyle S_{ff}(\ell )=O(\ell ^{-s})\quad {\rm {{as\ }\ell \to \infty }}}$$

с

Алгебраические свойства

Теорема сложения

Математический результат, представляющий значительный интерес и полезный, называется теоремой сложения сферических гармоник. Для двух векторов r и r′ со сферическими координатами и соответственно угол между ними определяется соотношением ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle (r',\theta ',\varphi ')}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta '\cos \theta +\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ')}$$

Лежандра

Теорема сложения утверждает ^[17]

где P _ℓ — полином Лежандра степени ℓ . Это выражение справедливо как для вещественных, так и для комплексных гармоник. ^[18] Результат можно доказать аналитически, используя свойства ядра Пуассона в единичном шаре, или геометрически, применив поворот к вектору y так, чтобы он указывал вдоль оси z , а затем непосредственно вычислив правую часть сторона. ^[19]

В частности, когда x = y , это дает теорему Унсёлда ^[20]

$${\displaystyle \sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\mathbf {x} )\,Y_{\ell m}(\mathbf {x} )={\frac {2\ell +1}{4\pi }}}$$

cos ² θ + sin ² θ = 1

В разложении ( 1 ) левая часть является постоянной кратной степени ℓ зональной сферической гармоники . С этой точки зрения можно сделать следующее обобщение на более высокие измерения. Пусть Y _j — произвольный ортонормированный базис пространства H _ℓ сферических гармоник степени ℓ на n -сфере. Тогда зональная гармоника степени ℓ , соответствующая единичному вектору x , разлагается как ^[21] ${\displaystyle P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )}$ ${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}}$

Кроме того, зональная гармоника задается как постоянное кратное соответствующему полиному Гегенбауэра : ${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })}$

Объединение ( 2 ) и ( 3 ) дает ( 1 ) в размерности n = 2 , когда x и y представлены в сферических координатах. Наконец, оценка при x = y дает функциональное тождество

$${\displaystyle {\frac {\dim \mathbf {H} _{\ell }}{\omega _{n-1}}}=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}|Y_{j}({\mathbf {x} })|^{2}}$$

ω _{n −1}n

Правило сокращения

Другое полезное тождество выражает произведение двух сферических гармоник как сумму по сферическим гармоникам ^[22]

$${\displaystyle Y_{a,\alpha }\left(\theta ,\varphi \right)Y_{b,\beta }\left(\theta ,\varphi \right)={\sqrt {\frac {\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)}{4\pi }}}\sum _{c=0}^{\infty }\sum _{\gamma =-c}^{c}\left(-1\right)^{\gamma }{\sqrt {2c+1}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\\alpha &\beta &-\gamma \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\0&0&0\end{pmatrix}}Y_{c,\gamma }\left(\theta ,\varphi \right).}$$

3j-символов ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \gamma }$

Коэффициенты Клебша – Гордана

Коэффициенты Клебша–Гордана — это коэффициенты, возникающие при разложении произведения двух сферических гармоник по самим сферическим гармоникам. Для выполнения по сути одних и тех же вычислений доступны различные методы, включая символ Вигнера 3-jm , коэффициенты Рака и интегралы Слейтера . Абстрактно, коэффициенты Клебша – Гордана выражают тензорное произведение двух неприводимых представлений группы вращений как сумму неприводимых представлений: нормализованные соответствующим образом коэффициенты тогда представляют собой кратности.

Визуализация сферических гармоник

Схематическое изображение единичной сферы и ее узловых линий. равен 0 вдоль m больших кругов, проходящих через полюса, и вдоль ℓ − m кругов одинаковой широты. Функция меняет знак каждый раз, когда пересекает одну из этих линий. ${\displaystyle Y_{\ell m}}$ ${\displaystyle \Re [Y_{\ell m}]}$

Трехмерный цветной график сферических гармоник степени n = 5 . Обратите внимание, что n = ℓ .

Сферические гармоники Лапласа можно визуализировать, рассматривая их « узловые линии », то есть набор точек на сфере где или, альтернативно, где . Узловые линии состоят из ℓ окружностей: есть | м | круги по долготе и ℓ −| м | круги по широтам. Определить количество узловых линий каждого типа можно, посчитав количество нулей в направлениях и соответственно. Рассматривая как функцию от , действительная и мнимая компоненты соответствующих полиномов Лежандра обладают ℓ −| м | нули, каждый из которых образует узловую «линию широты». С другой стороны, если рассматривать тригонометрические функции sin и cos как функцию от 2| м | нули, каждый из которых порождает узловую «линию долготы». ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle \Re [Y_{\ell }^{m}]=0}$ ${\displaystyle \Im [Y_{\ell }^{m}]=0}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Когда порядок сферической гармоники m равен нулю (вверху слева на рисунке), функции сферической гармоники не зависят от долготы и называются зональными . Такие сферические гармоники представляют собой частный случай зональных сферических функций . Когда ℓ = | м | (внизу справа на рисунке), пересечений нуля по широте нет, и функции называются секторальными . В остальных случаях функции проверяют сферу и называются тессеральными .

Более общие сферические гармоники степени ℓ не обязательно являются гармониками базиса Лапласа , и их узловые множества могут иметь довольно общий вид. ^[23] ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$

Список сферических гармоник

Аналитические выражения для первых нескольких ортонормированных сферических гармоник Лапласа , в которых используется фазовое соглашение Кондона – Шортли: ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{\pi }}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{\pi }}}\,\cos \theta \\Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }\\Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\\Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\end{aligned}}}$$

Высшие измерения

Классические сферические гармоники определяются как комплекснозначные функции на единичной сфере внутри трехмерного евклидова пространства . Сферические гармоники можно обобщить на многомерное евклидово пространство следующим образом, что приводит к функциям . ^[24] Пусть P _ℓ обозначает пространство комплекснозначных однородных многочленов степени ℓ от n действительных переменных, рассматриваемых здесь как функции . То есть многочлен p находится в P _ℓ при условии, что для любого действительного числа имеет место ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n-1}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x} ).}$$

Пусть A _ℓ обозначает подпространство P _ℓ , состоящее из всех гармонических многочленов :

$${\displaystyle \mathbf {A} _{\ell }:=\{p\in \mathbf {P} _{\ell }\,\mid \,\Delta p=0\}\,.}$$

сплошные сферические гармоникиH _ℓ

$${\displaystyle S^{n-1}:=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\,\mid \,\left|x\right|=1\}}$$

A _ℓ

$${\displaystyle \mathbf {H} _{\ell }:=\left\{f:S^{n-1}\to \mathbb {C} \,\mid \,{\text{ for some }}p\in \mathbf {A} _{\ell },\,f(\mathbf {x} )=p(\mathbf {x} ){\text{ for all }}\mathbf {x} \in S^{n-1}\right\}.}$$

Имеются следующие свойства:

• Сумма пространств H _ℓ плотна во множестве непрерывных функций относительно равномерной топологии по теореме Стоуна – Вейерштрасса . В результате сумма этих пространств также плотна в пространстве L ² ( S ^{n −1} ) функций, интегрируемых с квадратом на сфере. ^{Таким образом ,} каждая интегрируемая с квадратом функция на сфере однозначно разлагается в ряд сферических гармоник, причем этот ряд сходится в смысле L2 . ${\displaystyle C(S^{n-1})}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$
• Для всех f ∈ H _ℓ имеем
  $${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}f=-\ell (\ell +n-2)f.}$$
  где ∆Sn _{− ¹} — оператор Лапласа– _{^{Бельтрами}} на Sn ^{− 1} . Этот оператор является аналогом угловой части лапласиана в трех измерениях; а именно, лапласиан в n измерениях разлагается как
  $${\displaystyle \nabla ^{2}=r^{1-n}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{n-1}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {n-1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}}$$
• Из теоремы Стокса и предыдущего свойства следует , что пространства H _ℓ ортогональны относительно скалярного произведения из L ² ( S ^{n −1} ) . То есть,
  $${\displaystyle \int _{S^{n-1}}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \Omega =0}$$
  для f ∈ H _ℓ и g ∈ H _k для k ≠ ℓ .
• И наоборот, пространства H _ℓ являются в точности собственными пространствами Δ _{S ^{n −1}} . В частности, применение спектральной теоремы к потенциалу Рисса дает еще одно доказательство того, что пространства H _ℓ попарно ортогональны и полны в L ² ( S ^{n −1} ) . ${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}^{-1}}$
• Каждый однородный многочлен p ∈ P _ℓ однозначно можно записать в виде ^[25]
  $${\displaystyle p(x)=p_{\ell }(x)+|x|^{2}p_{\ell -2}+\cdots +{\begin{cases}|x|^{\ell }p_{0}&\ell {\rm {\ even}}\\|x|^{\ell -1}p_{1}(x)&\ell {\rm {\ odd}}\end{cases}}}$$
  где п _j ∈ A _j . В частности,
  $${\displaystyle \dim \mathbf {H} _{\ell }={\binom {n+\ell -1}{n-1}}-{\binom {n+\ell -3}{n-1}}={\binom {n+\ell -2}{n-2}}+{\binom {n+\ell -3}{n-2}}.}$$

Ортогональный базис сферических гармоник в высших размерностях можно построить индуктивно методом разделения переменных , решив задачу Штурма-Лиувилля для сферического лапласиана

$${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}=\sin ^{2-n}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\sin ^{n-2}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}+\sin ^{-2}\varphi \Delta _{S^{n-2}}}$$

φSn ^{− 1[26]}

$${\displaystyle Y_{\ell _{1},\dots \ell _{n-1}}(\theta _{1},\dots \theta _{n-1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{i\ell _{1}\theta _{1}}\prod _{j=2}^{n-1}{}_{j}{\bar {P}}_{\ell _{j}}^{\ell _{j-1}}(\theta _{j})}$$

| ℓ ₁ | ≤ ℓ ₂ ≤ ⋯ ≤ ℓ _{n −1}− ℓ _{n −1} ( ℓ _{n −1} + n −2)функции Лежандра.

$${\displaystyle {}_{j}{\bar {P}}_{L}^{\ell }(\theta )={\sqrt {{\frac {2L+j-1}{2}}{\frac {(L+\ell +j-2)!}{(L-\ell )!}}}}\sin ^{\frac {2-j}{2}}(\theta )P_{L+{\frac {j-2}{2}}}^{-\left(\ell +{\frac {j-2}{2}}\right)}(\cos \theta )\,.}$$

Связь с теорией представлений

Пространство H _ℓ сферических гармоник степени ℓ является представлением группы симметрии вращений вокруг точки ( SO(3) ) и ее двойного покрытия SU(2) . Действительно, вращения действуют на двумерную сферу , а значит, и на H _ℓ посредством функциональной композиции

$${\displaystyle \psi \mapsto \psi \circ \rho ^{-1}}$$

ψρH _ℓнеприводимым представлением^[27]

Элементы H _ℓ возникают как ограничения на сферу элементов A _ℓ : гармонических многочленов, однородных степени ℓ в трехмерном евклидовом пространстве R ³ . В силу поляризации ψ ∈ Aℓ существуют коэффициенты, симметричные _по индексам, однозначно определяемые требованием ${\displaystyle \psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}}$

$${\displaystyle \psi (x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i_{1}\dots i_{\ell }}\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{\ell }}.}$$

ψтензорбесследнымSO(3) H _ℓсимметричных тензоровℓ ${\displaystyle \psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}}$

В более общем смысле, аналогичные утверждения справедливы и в более высоких измерениях: пространство H _ℓ сферических гармоник на n -сфере является неприводимым представлением SO ( n +1) , соответствующим бесследовым симметричным ℓ -тензорам. Однако, хотя каждое неприводимое тензорное представление SO(2) и SO(3) относится к такому типу, специальные ортогональные группы в более высоких измерениях имеют дополнительные неприводимые представления, которые не возникают таким образом.

Специальные ортогональные группы имеют дополнительные представления спина , которые не являются тензорными представлениями и обычно не являются сферическими гармониками. Исключением являются спиновые представления SO(3): строго говоря, это представления двойного накрытия SU(2) SO(3). В свою очередь, SU(2) отождествляется с группой единичных кватернионов и поэтому совпадает с 3-сферой . Пространства сферических гармоник на 3-сфере являются определенными спиновыми представлениями SO (3) относительно действия кватернионного умножения.

Связь с полусферическими гармониками

Сферические гармоники можно разделить на два набора функций. ^[28] Одна из них — полусферические функции (HSH), ортогональные и полные на полушарии. Другой вариант — дополнительные полусферические гармоники (CHSH).

Обобщения

Симметрии двухсферы , сохраняющие угол , описываются группой преобразований Мёбиуса PSL(2, C ). По отношению к этой группе сфера эквивалентна обычной сфере Римана . Группа PSL(2, C ) изоморфна (собственной) группе Лоренца , и ее действие на двухсфере совпадает с действием группы Лоренца на небесной сфере в пространстве Минковского . Аналог сферических гармоник для группы Лоренца дается гипергеометрическим рядом ; кроме того, сферические гармоники могут быть перевыражены через гипергеометрический ряд, поскольку SO(3) = PSU(2) является подгруппой PSL (2, C ) .

В более общем плане гипергеометрические ряды можно обобщить для описания симметрии любого симметрического пространства ; в частности, гипергеометрические ряды можно построить для любой группы Ли . ^{[29] [30] [31] [32]}

Смотрите также

• Кубическая гармоника (часто используется в расчетах вместо сферических гармоник)
• Цилиндрические гармоники
• Сферическая основа
• Спинорные сферические гармоники
• Спин-взвешенные сферические гармоники
• Теория Штурма – Лиувилля
• Таблица сферических гармоник
• Векторные сферические гармоники
• Атомная орбиталь

Примечания

1. Исторический отчет о различных подходах к сферическим гармоникам в трех измерениях можно найти в главе IV MacRobert 1967. Термин «сферические гармоники Лапласа» широко используется; см. Курант и Гильберт 1962 и Мейер и Бауэр 2004.
2. Подход к сферическим гармоникам, использованный здесь, можно найти в (Courant & Hilbert 1962, §V.8, §VII.5).
3. Физические приложения часто принимают решение, которое исчезает на бесконечности, что делает A = 0 . Это не влияет на угловую часть сферических гармоник.
4. Вайсштейн, Эрик В. «Сферическая гармоника». mathworld.wolfram.com . Проверено 10 мая 2023 г.
5. Эдмондс 1957, §2.5
6. Зал 2013 г., раздел 17.6.
7. Холл 2013. Лемма 17.16.
8. Уильямс, Эрл Г. (1999). Акустика Фурье: звуковое излучение и акустическая голография ближнего поля . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 0080506909. ОСЛК  181010993.
9. Мессия, Альберт (1999). Квантовая механика: два тома в одном переплете (Два тома в одном, полное переиздание). Минеола, Нью-Йорк: Дувр. ISBN 9780486409245.
10. Клод Коэн-Таннуджи; Бернар Диу; Франк Лалоэ (1996). Квантовая механика . Перевод Сьюзен Рид Хемли; и другие. Wiley-Interscience: Wiley. ISBN 9780471569527.
11. Блейкли, Ричард (1995). Теория потенциала в гравитационных и магнитных приложениях . Кембридж, Англия, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 113. ИСБН 978-0521415088.
12. Хейсканен и Мориц, Физическая геодезия, 1967, ур. 1-62
13. Вайсштейн, Эрик В. «Фаза Кондона-Шортли». mathworld.wolfram.com . Проверено 2 ноября 2022 г.
14. Уиттакер и Уотсон 1927, с. 392.
15. См., например, Приложение А Гарга А. «Классическая электродинамика в двух словах» (Princeton University Press, 2012).
16. Ли, Фейфей; Браун, Кэрол; Гарг, Анупам (2013), «Формализм Вейля-Вигнера-Мойала для спина», Europhysical Letters , 102 (6): 60006, arXiv : 1210.4075 , Бибкод : 2013EL....10260006L, doi : 10.1209/0295-5075/ 102/60006, S2CID  119610178
17. Эдмондс, Арканзас (1996). Угловой момент в квантовой механике . Издательство Принстонского университета. п. 63.
18. Это справедливо для любого ортонормированного базиса сферических гармоник степени ℓ . Для гармоник единичной мощности необходимо убрать коэффициент 4 π .
19. Уиттакер и Уотсон 1927, с. 395
20. Унсёльд, 1927 г.
21. Штейн и Вайс 1971, §IV.2
22. Бринк, DM; Сэтчлер, Г. Р. Угловой момент . Издательство Оксфордского университета. п. 146.
23. Еременко, Якобсон и Надирашвили, 2007 г.
24. Соломенцев 2001; Штейн и Вайс 1971, §Iv.2
25. См. Следствие 1.8 Экслера, Шелдона; Рэми, Уэйд (1995), Гармонические полиномы и задачи типа Дирихле
26. Хигучи, Ацуши (1987). «Симметричные тензорные сферические гармоники на N-сфере и их применение к группе де Ситтера SO (N,1)». Журнал математической физики . 28 (7): 1553–1566. Бибкод : 1987JMP....28.1553H. дои : 10.1063/1.527513.
27. Холл 2013. Следствие 17.17.
28. Чжэн Ю, Вэй К, Лян Б, Ли Ю, Чу Икс (23 декабря 2019 г.). «Функции, подобные Цернике, на сферической крышке: принцип и применение при подборе оптических поверхностей и рендеринге графики». Оптика Экспресс . 27 (26): 37180–37195. Бибкод : 2019OExpr..2737180Z. дои : 10.1364/OE.27.037180 . ISSN  1094-4087. ПМИД  31878503.
29. Н. Виленкин, Специальные функции и теория представлений групп , Am. Математика. Соц. Пер., т. 22 (1968).
30. Дж. Д. Талман, Специальные функции, теоретико-групповой подход (на основе лекций Э. П. Вигнера), В. А. Бенджамин, Нью-Йорк (1968).
31. В. Миллер, Симметрия и разделение переменных, Аддисон-Уэсли, Ридинг (1977).
32. А. Вавжиньчик, Представления групп и специальные функции , Польские научные издательства. Варшава (1984).

Рекомендации

Цитированные ссылки

• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1962), Методы математической физики, Том I , Wiley-Interscience.
• Эдмондс, AR (1957), Угловой момент в квантовой механике , Princeton University Press, ISBN 0-691-07912-9
• Ерёменко Александр; Якобсон Дмитрий; Надирашвили, Николай (2007), «Об узловых множествах и узловых областях на S² и R²», Annales de l'Institut Fourier , 57 (7): 2345–2360, doi : 10.5802/aif.2335 , ISSN  0373-0956, MR  2394544
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Спрингер, ISBN 978-1461471158
• МакРоберт, Т.М. (1967), Сферические гармоники: элементарный трактат о гармонических функциях с приложениями , Pergamon Press.
• Мейер, Пауль Герман Эрнст; Бауэр, Эдмонд (2004), Теория групп: приложение к квантовой механике , Дувр, ISBN 978-0-486-43798-9.
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Сферические гармоники», Математическая энциклопедия , EMS Press.
• Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.
• Унсёльд, Альбрехт (1927), «Beiträge zur Quantenmechanik der Atome», Annalen der Physik , 387 (3): 355–393, Бибкод : 1927AnP...387..355U, doi : 10.1002/andp.19273870304.
• Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж.Н. (1927), Курс современного анализа , Издательство Кембриджского университета , стр. 392.

Общие ссылки

• Э. В. Хобсон, Теория сферических и эллипсоидальных гармоник , (1955) Паб Челси. Co., ISBN 978-0-8284-0104-3 . 
• К. Мюллер, Сферические гармоники , (1966) Springer, Конспекты лекций по математике, Vol. 17, ISBN 978-3-540-03600-5 . 
• ЕС Кондон и Г.Х. Шортли, Теория атомных спектров , (1970) Кембридж в University Press, ISBN 0-521-09209-4 , см. главу 3 . 
• Дж. Д. Джексон, Классическая электродинамика , ISBN 0-471-30932-X 
• Альберт Мессия, Квантовая механика , том II. (2000) Дувр. ISBN 0-486-40924-4 . 
• Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007), «Раздел 6.7. Сферические гармоники», Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Д. А. Варшалович, А. Н. Москалев, В. К. Херсонский Квантовая теория углового момента , (1988) World Scientific Publishing Co., Сингапур, ISBN 9971-5-0107-4 
• Вайсштейн, Эрик В. «Сферические гармоники». Математический мир .
• Мэддок, Джон, Сферические гармоники в Boost.Math

Внешние ссылки

• Сферические гармоники в MathWorld
• Трехмерное представление сферических гармоник