Геодезический многогранник — это выпуклый многогранник , состоящий из треугольников . Обычно они имеют икосаэдрическую симметрию , то есть имеют 6 треугольников в вершине , за исключением 12 вершин, в которых находится 5 треугольников. Они являются двойственными к соответствующим многогранникам Голдберга , из которых все, кроме самого маленького (который является правильным додекаэдром ), имеют в основном шестиугольные грани.
Геодезические многогранники являются хорошим приближением к сфере для многих целей и появляются во многих различных контекстах. Наиболее известными могут быть геодезические купола , полусферические архитектурные сооружения, разработанные Бакминстером Фуллером , в честь которых названы геодезические многогранники. Геодезические сетки , используемые в геодезии, также имеют геометрию геодезических многогранников. Капсиды некоторых вирусов имеют форму геодезических многогранников, [1] [2] а некоторые пыльцевые зерна основаны на геодезических многогранниках. [3] Молекулы фуллерена имеют форму многогранников Голдберга . Геодезические многогранники доступны в виде геометрических примитивов в программном пакете для 3D-моделирования Blender , который называет их икосферами : они являются альтернативой УФ-сфере , имея более регулярное распределение. [4] [5] Конструкция Голдберга –Коксетера является расширением концепций, лежащих в основе геодезических многогранников.
В «Сферических моделях » Магнуса Веннингера многогранникам даны геодезические обозначения в виде {3, q +} b , c , где {3, q } — символ Шлефли для правильного многогранника с треугольными гранями и q -валентными вершинами. Символ + указывает на увеличивающуюся валентность вершин. b , c представляют собой описание подразделения, где 1,0 представляет базовую форму. Существует 3 класса симметрии форм: {3,3+} 1,0 для тетраэдра , {3,4+} 1,0 для октаэдра и {3,5+} 1,0 для икосаэдра .
Двойственная нотация для многогранников Голдберга — { q +,3} b , c , с вершинами валентности 3, с q -угольными и шестиугольными гранями. Существует 3 класса симметрии форм: {3+,3} 1,0 для тетраэдра , {4+,3} 1,0 для куба и {5+,3} 1,0 для додекаэдра .
Значения b , c делятся на три класса:
Подразделения в классе III здесь не просто выстраиваются в линию с исходными ребрами. Подсетки можно извлечь, посмотрев на треугольную мозаику , расположив большой треугольник поверх вершин сетки и пройдя пути из одной вершины b шагов в одном направлении, и повернуть, либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки, а затем еще c шагов к следующей первичной вершине.
Например, икосаэдр — это {3,5+} 1,0 , а пентакисдодекаэдр — {3,5+} 1,1, рассматривается как правильный додекаэдр с пятиугольными гранями, разделенными на 5 треугольников.
Первичная грань подразделения называется главным многогранным треугольником (PPT) или структурой разбиения . Расчет одного PPT позволяет создать всю фигуру.
Частота геодезического многогранника определяется суммой ν = b + c . Гармоника является подчастотой и может быть любым целым делителем ν . Класс II всегда имеет гармонику 2, так как ν = 2 b .
Число триангуляции равно T = b 2 + bc + c 2 . Это число, умноженное на число исходных граней, выражает, сколько треугольников будет иметь новый многогранник.
Число элементов задается числом триангуляции . Два различных геодезических многогранника могут иметь одинаковое число элементов, например, {3,5+} 5,3 и {3,5+} 7,0 оба имеют T=49.
Геодезические многогранники строятся путем деления граней более простых многогранников, а затем проецирования новых вершин на поверхность сферы. Геодезический многогранник имеет прямые ребра и плоские грани, которые приближаются к сфере, но его также можно сделать сферическим многогранником ( тесселляцией на сфере ) с истинно геодезическими криволинейными ребрами на поверхности сферы и сферическими треугольными гранями.
В этом случае {3,5+} 3,0 , с частотой и числом триангуляции , каждая из четырех версий многоугольника имеет 92 вершины (80 там, где соединяются шесть ребер, и 12 там, где соединяются пять), 270 ребер и 180 граней.
Геодезические многогранники являются двойственными многогранникам Голдберга . Многогранники Голдберга также связаны тем, что применение оператора kis (деление граней на треугольники с центральной точкой) создает новые геодезические многогранники, а усечение вершин геодезического многогранника создает новый многогранник Голдберга. Например, Голдберг G(2,1) kised становится {3,5+} 4,1 , а усечение этого становится G(6,3). И аналогично {3,5+} 2,1 truncated становится G(4,1), а этот kised становится {3,5+} 6,3 .
Книга Магнуса Веннингера « Сферические модели» исследует эти подразделения при построении моделей многогранников . После объяснения конструкции этих моделей он объяснил использование им треугольных сеток для разметки узоров, с закрашенными или исключенными из моделей треугольниками. [6]
