В теоретической физике геометродинамика — это попытка полностью описать пространство-время и связанные с ним явления в терминах геометрии . Технически, ее цель — объединить фундаментальные силы и переформулировать общую теорию относительности как конфигурационное пространство трехмерных метрик по модулю трехмерных диффеоморфизмов . Истоки этой идеи можно найти в работах английского математика Уильяма Кингдона Клиффорда . [1] Эта теория с энтузиазмом продвигалась Джоном Уилером в 1960-х годах, и работа над ней продолжается в 21 веке.
Термин геометродинамика является синонимом общей теории относительности . Более правильно, некоторые авторы используют фразу геометродинамика Эйнштейна для обозначения начальной формулировки общей теории относительности, введенной Арновиттом, Дезером и Мизнером ( формализм ADM ) около 1960 года. В этой переформулировке пространство-время нарезается на пространственные гиперсрезы довольно произвольным [ требуется ссылка ] образом, а уравнение вакуумного поля Эйнштейна переформулируется как уравнение эволюции, описывающее, как, учитывая геометрию начального гиперсреза («начальное значение»), геометрия развивается со «временем». Это требует задания уравнений ограничений , которым должен удовлетворять исходный гиперсрез. Это также включает в себя некоторый «выбор калибровки»; в частности, выбор того, как развивается система координат, используемая для описания геометрии гиперсреза.
Уилер [2] хотел свести физику к геометрии еще более фундаментальным образом, чем переформулировка общей теории относительности с помощью ADM с динамической геометрией, кривизна которой меняется со временем. Он пытается реализовать три концепции:
Он хотел заложить основу квантовой гравитации и объединить гравитацию с электромагнетизмом (сильные и слабые взаимодействия в 1960 году еще не были достаточно хорошо изучены, чтобы их можно было включить).
Уилер ввел понятие геонов , пакетов гравитационных волн, ограниченных компактной областью пространства-времени и удерживаемых вместе гравитационным притяжением энергии (гравитационного) поля самой волны. [3] Уилер был заинтригован возможностью того, что геоны могут влиять на тестовые частицы подобно массивному объекту, отсюда масса без массы .
Уилер также был очень заинтригован тем фактом, что (невращающееся) решение общей теории относительности для точечной массы, вакуум Шварцшильда , имеет природу червоточины . Аналогично, в случае заряженной частицы геометрия решения электровакуума Рейсснера–Нордстрема предполагает, что симметрия между электрическими (которые «заканчиваются» зарядами) и магнитными силовыми линиями (которые никогда не заканчиваются) может быть восстановлена, если силовые линии электрического поля на самом деле не заканчиваются, а только проходят через червоточину в какое-то отдаленное место или даже в другую ветвь вселенной. Джордж Райнич десятилетиями ранее показал, что можно получить тензор электромагнитного поля из электромагнитного вклада в тензор энергии-импульса , который в общей теории относительности напрямую связан с кривизной пространства-времени ; Уилер и Мизнер развили это в так называемую уже объединенную теорию поля , которая частично объединяет гравитацию и электромагнетизм, давая заряд без заряда .
В переформулировке общей теории относительности ADM Уилер утверждал, что полное уравнение поля Эйнштейна может быть восстановлено, как только будет выведено ограничение импульса , и предположил, что это может следовать из одних только геометрических соображений, делая общую теорию относительности чем-то вроде логической необходимости. В частности, кривизна (гравитационное поле) может возникнуть как своего рода «усреднение» по очень сложным топологическим явлениям в очень малых масштабах, так называемой пространственно-временной пене . Это реализовало бы геометрическую интуицию, предложенную квантовой гравитацией, или полем без поля .
Эти идеи захватили воображение многих физиков, хотя сам Уилер быстро разбил некоторые из ранних надежд на свою программу. В частности, фермионы со спином 1/2 оказались сложными для обработки. Для этого нужно обратиться к эйнштейновской единой теории поля системы Эйнштейна–Максвелла–Дирака или, в более общем смысле, системы Эйнштейна–Янга–Миллса–Дирака–Хиггса.
Геометродинамика также привлекала внимание философов, заинтригованных возможностью реализации некоторых идей Декарта и Спинозы о природе пространства.
Совсем недавно Кристофер Ишем , Джереми Баттерфилд и их студенты продолжили развивать квантовую геометродинамику [4], чтобы учесть недавние работы по квантовой теории гравитации и дальнейшие разработки в очень обширной математической теории начальных значений формулировок общей теории относительности. Некоторые из изначальных целей Уилера остаются важными для этой работы, в частности, надежда заложить прочный фундамент для квантовой гравитации. Философская программа также продолжает мотивировать нескольких выдающихся авторов.
Топологические идеи в области гравитации восходят к Риману , Клиффорду и Вейлю и нашли более конкретную реализацию в червоточинах Уилера, характеризуемых инвариантом Эйлера-Пуанкаре . Они возникают в результате присоединения ручек к черным дырам.
С точки зрения наблюдений общая теория относительности (ОТО) Альберта Эйнштейна достаточно хорошо обоснована для Солнечной системы и двойных пульсаров. Однако в ОТО метрика играет двойную роль: измеряет расстояния в пространстве-времени и служит гравитационным потенциалом для связи Кристоффеля . Эта дихотомия, по-видимому, является одним из главных препятствий для квантования гравитации. Артур Стэнли Эддингтон еще в 1924 году в своей книге «Математическая теория относительности» (2-е издание) предложил рассматривать связь как основное поле, а метрику — просто как производное понятие.
Следовательно, изначальное действие в четырех измерениях должно быть построено из топологического действия без метрики, такого как инвариант Понтрягина соответствующей калибровочной связи. Аналогично теории Янга–Миллса , квантование может быть достигнуто путем внесения поправок в определение кривизны и тождества Бьянки с помощью топологических духов. В таком градуированном формализме Картана нильпотентность операторов духов находится на одном уровне с леммой Пуанкаре для внешней производной . Используя формализм антиполя BRST с фиксацией калибровки дуальности, получается согласованное квантование в пространствах двойной дуальной кривизны. Ограничение накладывает решения типа инстантонов на квадрат кривизны «теории Янга-Мильке» гравитации [5] , предложенной в ее аффинной форме еще Вейлем в 1919 году и Янгом в 1974 году. Однако эти точные решения демонстрируют «вакуумное вырождение». Необходимо модифицировать двойную дуальность кривизны посредством членов, разрушающих масштаб, чтобы сохранить уравнения Эйнштейна с индуцированной космологической постоянной частично топологического происхождения в качестве уникального макроскопического «фона».
Такие термины нарушения масштаба возникают более естественно в формализме ограничений, так называемой схеме BF , в которой калибровочная кривизна обозначается как F. В случае гравитации она отходит от специальной линейной группы SL(5, R ) в четырех измерениях, тем самым обобщая ( анти- ) калибровочные теории гравитации де Ситтера . После применения спонтанного нарушения симметрии к соответствующей топологической теории BF снова возникают пространства Эйнштейна с крошечной космологической константой, связанной с масштабом нарушения симметрии. Здесь «фоновая» метрика индуцируется посредством механизма, подобного механизму Хиггса . Конечность такой деформированной топологической схемы может превратиться в асимптотическую безопасность после квантования спонтанно нарушенной модели. [6]
Ричард Дж. Петти полагает, что космологические модели с кручением, но без вращающихся частиц, основанные на теории Эйнштейна–Картана, иллюстрируют ситуацию «(нераспространяющегося) поля без поля» [7] .