Гиперболоид

Неограниченная квадратичная поверхность

В геометрии гиперболоид вращения , иногда называемый круговым гиперболоидом , — это поверхность , полученная вращением гиперболы вокруг одной из ее главных осей . Гиперболоид — это поверхность, полученная из гиперболоида вращения путем его деформации с помощью направленных масштабирований или, в более общем смысле, аффинного преобразования .

Гиперболоид — это квадратичная поверхность , то есть поверхность, определяемая как нулевое множество многочлена второй степени от трёх переменных. Среди квадратичных поверхностей гиперболоид характеризуется тем, что не является конусом или цилиндром , имеет центр симметрии и пересекает множество плоскостей в гиперболы. Гиперболоид имеет три попарно перпендикулярные оси симметрии и три попарно перпендикулярные плоскости симметрии .

Для гиперболоида можно выбрать декартову систему координат так, что гиперболоид будет определяться одним из следующих уравнений: или Оси координат являются осями симметрии гиперболоида, а начало координат является центром симметрии гиперболоида. В любом случае гиперболоид асимптотичен к конусу уравнений: $${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1,}$$ $${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1.}$$ $${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0.}$$

Гиперболоид вращения имеет место тогда и только тогда , когда В противном случае оси определены однозначно ( с точностью до замены осей x и y ). ${\displaystyle a^{2}=b^{2}.}$

Существует два вида гиперболоидов. В первом случае ( +1 в правой части уравнения): однополостный гиперболоид , также называемый гиперболическим гиперболоидом . Это связная поверхность , которая имеет отрицательную гауссову кривизну в каждой точке. Это означает, что вблизи каждой точки пересечение гиперболоида и его касательной плоскости в точке состоит из двух ветвей кривой, которые имеют различные касательные в этой точке. В случае однополостного гиперболоида эти ветви кривых являются прямыми , и, таким образом, однополостный гиперболоид является дважды линейчатой ​​поверхностью.

Во втором случае ( −1 в правой части уравнения): двухполостный гиперболоид , также называемый эллиптическим гиперболоидом . Поверхность имеет две связные компоненты и положительную гауссову кривизну в каждой точке. Поверхность выпукла в том смысле, что касательная плоскость в каждой точке пересекает поверхность только в этой точке.

Параметрические представления

Анимация гиперболоида вращения

Декартовы координаты для гиперболоидов можно определить аналогично сферическим координатам , сохраняя азимутальный угол θ ∈ [0, 2 π ) , но изменяя наклон v в гиперболические тригонометрические функции :

Одноповерхностный гиперболоид: v ∈ (−∞, ∞) $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cosh v\cos \theta \\y&=b\cosh v\sin \theta \\z&=c\sinh v\end{aligned}}}$$

Двухповерхностный гиперболоид: v ∈ [0, ∞) $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sinh v\cos \theta \\y&=b\sinh v\sin \theta \\z&=\pm c\cosh v\end{aligned}}}$$

Однополостный гиперболоид: порождение вращающейся гиперболы (вверху) и линии (внизу: красной или синей)

Однополостный гиперболоид: плоские сечения

Следующее параметрическое представление включает однополостные гиперболоиды, двухполостные гиперболоиды и их общий граничный конус, каждый из которых имеет ось симметрии: ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle \mathbf {x} (s,t)=\left({\begin{array}{lll}a{\sqrt {s^{2}+d}}\cos t\\b{\sqrt {s^{2}+d}}\sin t\\cs\end{array}}\right)}$$

• Для одного получаем гиперболоид из одной полосы, ${\displaystyle d>0}$
• Для гиперболоида из двух полос и ${\displaystyle d<0}$
• Для двойного конуса. ${\displaystyle d=0}$

Параметрическое представление гиперболоида с другой осью координат в качестве оси симметрии можно получить, переставив положение члена в соответствующий компонент в уравнении выше. ${\displaystyle cs}$

Обобщенные уравнения

В более общем случае произвольно ориентированный гиперболоид с центром в точке v определяется уравнением , где A — матрица , а x , v — векторы . $${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathrm {T} }A(\mathbf {x} -\mathbf {v} )=1,}$$

Собственные векторы A определяют главные направления гиперболоида, а собственные значения A являются обратными величинами квадратов полуосей: , и . Однополостный гиперболоид имеет два положительных собственных значения и одно отрицательное собственное значение. Двуполостный гиперболоид имеет одно положительное собственное значение и два отрицательных собственных значения. ${\displaystyle {1/a^{2}}}$ ${\displaystyle {1/b^{2}}}$ ${\displaystyle {1/c^{2}}}$

Характеристики

Однополостный гиперболоид

Линии на поверхности

• Гиперболоид из одной полосы содержит два пучка линий. Это дважды линейчатая поверхность .

Если гиперболоид имеет уравнение , то линии ${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1}$

$${\displaystyle g_{\alpha }^{\pm }:\mathbf {x} (t)={\begin{pmatrix}a\cos \alpha \\b\sin \alpha \\0\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-a\sin \alpha \\b\cos \alpha \\\pm c\end{pmatrix}}\ ,\quad t\in \mathbb {R} ,\ 0\leq \alpha \leq 2\pi \ }$$находятся на поверхности.

В случае, если гиперболоид является поверхностью вращения и может быть получен вращением одной из двух прямых или , которые наклонены к оси вращения (см. рисунок). Это свойство называется теоремой Рена . [ ^1] Более распространенным способом получения однополостного гиперболоида вращения является вращение гиперболы вокруг ее малой полуоси (см. рисунок; вращение гиперболы вокруг ее другой оси дает двухполостную гиперболу вращения). ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle g_{0}^{+}}$ ${\displaystyle g_{0}^{-}}$

Однополостный гиперболоид проективно эквивалентен гиперболическому параболоиду .

Сечения плоскости

Для простоты рассматриваются плоские сечения единичного гиперболоида с уравнением . Поскольку гиперболоид в общем положении является аффинным образом единичного гиперболоида, результат применим и к общему случаю. ${\displaystyle \ H_{1}:x^{2}+y^{2}-z^{2}=1}$

• Плоскость с наклоном меньше 1 (1 — наклон линий на гиперболоиде) пересекается по эллипсу , ${\displaystyle H_{1}}$
• Плоскость с наклоном, равным 1, содержащая начало координат, пересекается по паре параллельных прямых , ${\displaystyle H_{1}}$
• Плоскость с наклоном, равным 1, не содержащая начало координат, пересекается по параболе , ${\displaystyle H_{1}}$
• Тангенциальная плоскость пересекается по паре пересекающихся прямых , ${\displaystyle H_{1}}$
• Некасательная плоскость с наклоном больше 1 пересекается по гиперболе . ^[2] ${\displaystyle H_{1}}$

Очевидно, что любой однополостный гиперболоид вращения содержит окружности. Это также верно, но менее очевидно, в общем случае (см. круговое сечение ).

Двуполостный гиперболоид

Двуполостный гиперболоид: генерация вращением гиперболы

Двуполостный гиперболоид: плоские сечения

Двуполостный гиперболоид не содержит прямых. Обсуждение плоских сечений можно провести для единичного двуполостного гиперболоида с уравнением , которое может быть получено вращением гиперболы вокруг одной из ее осей (той, которая пересекает гиперболу) $${\displaystyle H_{2}:\ x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1.}$$

• Плоскость с наклоном меньше 1 (1 — наклон асимптот образующей гиперболы) пересекается либо по эллипсу , либо по точке , либо не пересекается вообще, ${\displaystyle H_{2}}$
• Плоскость с наклоном, равным 1, содержащая начало координат (середину гиперболоида), не пересекает , ${\displaystyle H_{2}}$
• Плоскость с наклоном, равным 1, не содержащая начало координат, пересекается по параболе , ${\displaystyle H_{2}}$
• Плоскость с наклоном больше 1 пересекается по гиперболе . ^[3] ${\displaystyle H_{2}}$

Очевидно, что любой двуполостный гиперболоид вращения содержит окружности. Это также верно, но менее очевидно, в общем случае (см. круговое сечение ).

Замечание: Двуполостный гиперболоид проективно эквивалентен сфере.

Другие свойства

Симметрии

Гиперболоиды с уравнениями : $${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1}$$

• точка симметрична началу координат,
• симметричны координатным плоскостям и
• вращательно симметричный относительно оси z и симметричный относительно любой плоскости, содержащей ось z, в случае (гиперболоида вращения). ${\displaystyle a=b}$

Кривизна

В то время как гауссова кривизна однополостного гиперболоида отрицательна, гауссова кривизна двухполостного гиперболоида положительна. Несмотря на свою положительную кривизну, двухполостный гиперболоид с другой, надлежащим образом выбранной метрикой, также может быть использован в качестве модели для гиперболической геометрии.

В более чем трех измерениях

Мнимые гиперболоиды часто встречаются в математике высших измерений. Например, в псевдоевклидовом пространстве используется квадратичная форма : Когда c — любая константа , то часть пространства, заданная называется гиперболоидом . Вырожденный случай соответствует c = 0 . $${\displaystyle q(x)=\left(x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}\right)-\left(x_{k+1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right),\quad k<n.}$$ $${\displaystyle \lbrace x\ :\ q(x)=c\rbrace }$$

В качестве примера рассмотрим следующий отрывок: ^[4]

... векторы скорости всегда лежат на поверхности, которую Минковский называет четырехмерным гиперболоидом, поскольку, выраженная в терминах чисто действительных координат ( y ₁ , ..., y ₄ ) , ее уравнение имеет вид y²
₁+ у²
₂+ у²
₃− у²
₄= −1 , аналогично гиперболоиду y²
₁+ у²
₂− у²
₃= −1 трехмерного пространства. ^[6]

Однако в этом контексте также используется термин «квазисфера», поскольку сфера и гиперболоид имеют некоторую общность (см. § Отношение к сфере ниже).

Гиперболоидные конструкции

Однополостные гиперболоиды используются в строительстве, а структуры называются гиперболоидными структурами . Гиперболоид — это дважды линейчатая поверхность ; таким образом, его можно построить с помощью прямых стальных балок, что дает прочную конструкцию с меньшими затратами, чем другие методы. Примерами служат градирни , особенно электростанций , и многие другие структуры .

• Галерея однополостных гиперболоидных конструкций
• 
  Аджигольский маяк , Украина , 1911 год.
• 
  Первая запатентованная в 1916 году градирня Ван Итерсона компании DSM Emma в Херлене , Нидерланды , 1918 г.
• 
  Башня порта Кобе , Япония , 1963 год.
• 
  Планетарий Джеймса С. Макдоннелла в Научном центре Сент-Луиса , Сент-Луис , Миссури , 1963 год.
• 
  Диспетчерская вышка международного аэропорта Ньюкасла , Ньюкасл-апон-Тайн , Англия , 1967 год.
• 
  Башня электропередачи Ештед , Чехия , 1968 год.
• 
  Собор Бразилиа , Бразилия , 1970 год.
• 
  Гиперболоидная водонапорная башня с тороидальным резервуаром, Цеханув , Польша , 1972 г.
• 
  Зал Роя Томсона , Торонто , Канада , 1982.
• 
  Градирня THTR -300 для ныне выведенного из эксплуатации ториевого ядерного реактора в Хамм -Уэнтропе, Германия , 1983 год.
• 
  Мост на Корпорейшн -стрит , Манчестер , Англия , 1999.
• 
  Смотровая башня Киллесберг , Штутгарт , Германия , 2001 год.
• 
  BMW Welt (BMW World), музей и место проведения мероприятий, Мюнхен , Германия , 2007.
• 
  Телебашня Гуанчжоу , Китай , 2010.
• 
  Водонапорная башня Эссар-ле-Руа, Франция .

Отношение к сфере

В 1853 году Уильям Роуэн Гамильтон опубликовал свои «Лекции о кватернионах» , включавшие представление бикватернионов . Следующий отрывок со страницы 673 показывает, как Гамильтон использует алгебру бикватернионов и векторы из кватернионов для создания гиперболоидов из уравнения сферы :

... уравнение единичной сферы ρ ² + 1 = 0 , и заменим вектор ρ на бивекторную форму , например σ + τ √ −1 . Уравнение сферы тогда распадается на систему из двух следующих,

σ ² - τ ² + 1 знак равно 0 , S . στ = 0 ;

и предлагает нам рассматривать σ и τ как два действительных и прямоугольных вектора, таких что

T τ = ( T σ ² − 1 ) ^1/2 .

Отсюда легко вывести, что если мы предположим σ || λ , где λ — вектор в заданном положении, то новый действительный вектор σ + τ будет заканчиваться на поверхности двуполостного и равностороннего гиперболоида ; и что если, с другой стороны, мы предположим τ || λ , то геометрическое место конечности действительного вектора σ + τ будет равносторонним, но однополостным гиперболоидом . Изучение этих двух гиперболоидов, таким образом, очень просто связано через бикватернионы с изучением сферы; ...

В этом отрывке S — оператор, задающий скалярную часть кватерниона, а T — «тензор», теперь называемый нормой , кватерниона.

Современный взгляд на объединение сферы и гиперболоида использует идею конического сечения как среза квадратичной формы . Вместо конической поверхности требуются конические гиперповерхности в четырехмерном пространстве с точками p = ( w , x , y , z ) ∈ R4 ^, определяемыми квадратичными формами . Сначала рассмотрим коническую гиперповерхность

• ${\displaystyle P=\left\{p\;:\;w^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\right\}}$и
• ${\displaystyle H_{r}=\lbrace p\ :\ w=r\rbrace ,}$которая является гиперплоскостью .

Тогда есть сфера с радиусом r . С другой стороны, коническая гиперповерхность ${\displaystyle P\cap H_{r}}$

${\displaystyle Q=\lbrace p\ :\ w^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}\rbrace }$при условии, что является гиперболоидом. ${\displaystyle Q\cap H_{r}}$

В теории квадратичных форм единичная квазисфера — это подмножество квадратичного пространства X, состоящее из x ∈ X, таких, что квадратичная норма x равна единице. ^[7]

Смотрите также

Шуховская гиперболоидная башня (1898 г.) в Выксе , Россия

• Пространство Де Ситтера
• Эллипсоид
• Список поверхностей
• Параболоид / Гиперболический параболоид
• Регулус
• Вращение осей
• Разделенный кватернион § Профиль
• Перевод осей

Ссылки

1. К. Штрубекер: Vorlesungen der Darstellenden Geometry. Ванденхук и Рупрехт, Геттинген, 1967, с. 218
2. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometry (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 116
3. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometry (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 МБ), S. 122
4. Томас Хокинс (2000) Возникновение теории групп Ли: эссе по истории математики, 1869—1926 , §9.3 «Математизация физики в Гёттингене», см. стр. 340, Springer ISBN  0-387-98963-3
5. Уолтер, Скотт А. (1999), «Неевклидов стиль теории относительности Минковского», в J. Gray (ред.), Символическая Вселенная: Геометрия и физика 1890-1930 , Oxford University Press, стр. 91–127
6. Минковский использовал термин «четырехмерный гиперболоид» только один раз, в посмертно опубликованной машинописной рукописи, и это было нестандартное использование, поскольку гиперболоид Минковского является трехмерным подмногообразием четырехмерного пространства Минковского ^[5] ${\displaystyle M^{4}.}$
7. Ян Р. Портеус (1995) Алгебры Клиффорда и классические группы , страницы 22, 24 и 106, Cambridge University Press ISBN 0-521-55177-3 

• Вильгельм Блашке (1948) Analytische Geometrie , Kapital V: «Quadriken», Wolfenbutteler Verlagsanstalt.
• Дэвид А. Брэннан, М. Ф. Эсплен и Джереми Дж. Грей (1999) Геометрия , стр. 39–41 Издательство Кембриджского университета .
• HSM Coxeter (1961) Введение в геометрию , стр. 130, John Wiley & Sons .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболоид». MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Однополостный гиперболоид». MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. "Двуполостный гиперболоид". MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Эллиптический гиперболоид». MathWorld .