Обширный набор линий

Понятие в алгебраической геометрии

В математике отличительной чертой алгебраической геометрии является то, что некоторые линейные расслоения на проективном многообразии можно считать «положительными», а другие — «отрицательными» (или смесью этих двух). Наиболее важным понятием положительности является понятие обильного линейного расслоения, хотя существует несколько родственных классов линейных расслоений. Грубо говоря, свойства положительности линейного расслоения связаны с наличием множества глобальных сечений . Понимание обильных линейных расслоений на заданном многообразии X равнозначно пониманию различных способов отображения X в проективное пространство . Ввиду соответствия между линейными расслоениями и дивизорами (построенными из подмногообразий коразмерности -1) существует эквивалентное понятие обильного дивизора .

Более подробно, линейное расслоение называется свободным от базовых точек , если оно имеет достаточно сечений, чтобы дать морфизм проективному пространству. Линейное расслоение является полуобильным, если некоторая его положительная степень свободна от базовых точек; полуобильность является своего рода «неотрицательностью». Более строго, линейное расслоение на полном многообразии X является очень обильным , если оно имеет достаточно сечений, чтобы дать замкнутое погружение (или «вложение») X в проективное пространство. Линейное расслоение является обильным, если некоторая его положительная степень является очень обильной.

Обильное линейное расслоение на проективном многообразии X имеет положительную степень на каждой кривой в X. Обратное утверждение не совсем верно, но существуют исправленные версии обратного утверждения, критерии обильности Накаи–Мойшезона и Клеймана.

Введение

Обратный путь линейного расслоения и делители гиперплоскости

При заданном морфизме схем векторное расслоение ( или , в более общем смысле, когерентный пучок на Y ) имеет обратный путь к X , где проекция является проекцией на первую координату (см. Пучок модулей#Операции ). Обратный путь векторного расслоения является векторным расслоением того же ранга. В частности, обратный путь линейного расслоения является линейным расслоением. (Короче говоря, слой в точке x в X является слоем E в f ( x ).) ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle p\colon E\to Y}$ ${\displaystyle f^{*}E=\{(x,e)\in X\times E,\;f(x)=p(e)\}}$ ${\displaystyle p'\colon f^{*}E\to X}$ ${\displaystyle f^{*}E}$

Понятия, описанные в данной статье, связаны с этой конструкцией в случае морфизма в проективное пространство.

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} ^{n},}$

с E = O (1) линейное расслоение на проективном пространстве , глобальные сечения которого являются однородными многочленами степени 1 (то есть линейными функциями) от переменных . Линейное расслоение O (1) также может быть описано как линейное расслоение, связанное с гиперплоскостью в (потому что нулевое множество сечения O (1) является гиперплоскостью). Если f является замкнутым погружением, например, то отсюда следует, что пулбэк является линейным расслоением на X, связанным с гиперплоским сечением (пересечением X с гиперплоскостью в ). ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{*}O(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Связки линий без базовой точки

Пусть X — схема над полем k (например, алгебраическое многообразие) с линейным расслоением L. (Линейное расслоение также можно назвать обратимым пучком .) Пусть — элементы k - векторного пространства глобальных сечений L. Нулевое множество каждого сечения — замкнутое подмножество X ; пусть U — открытое подмножество точек, в которых хотя бы одно из не равно нулю. Тогда эти сечения определяют морфизм ${\displaystyle a_{0},...,a_{n}}$ ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {P} _{k}^{n},\ x\mapsto [a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)].}$

Более подробно: для каждой точки x из U , слой L над x является 1-мерным векторным пространством над полем вычетов k ( x ). Выбор базиса для этого слоя превращает в последовательность из n +1 чисел, не все из которых равны нулю, и, следовательно, в точку в проективном пространстве. Изменение выбора базиса масштабирует все числа на одну и ту же ненулевую константу, и поэтому точка в проективном пространстве не зависит от выбора. ${\displaystyle a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)}$

Более того, этот морфизм обладает тем свойством, что ограничение L на U изоморфно обратному отображению . ^[1] ${\displaystyle f^{*}O(1)}$

Базисное множество линейного расслоения L на схеме X — это пересечение нулевых множеств всех глобальных сечений L . Линейное расслоение L называется свободным от базисных точек , если его базисное множество пусто. То есть для каждой точки x из X существует глобальное сечение L , которое отлично от нуля в x . Если X является собственным над полем k , то векторное пространство глобальных сечений имеет конечную размерность; размерность называется . ^[2] Таким образом, свободное от базисных точек линейное расслоение L определяет морфизм над k , где , заданный выбором базиса для . Не делая выбора, это можно описать как морфизм ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle h^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle n=h^{0}(X,L)-1}$ ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} (H^{0}(X,L))}$

из X в пространство гиперплоскостей в , канонически связанное с расслоением линий без базисных точек L. Этот морфизм обладает тем свойством, что L является обратным проецированием . ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle f^{*}O(1)}$

Наоборот, для любого морфизма f из схемы X в проективное пространство над k , обратный линейный пучок не имеет базовых точек. Действительно, O (1) не имеет базовых точек на , потому что для каждой точки y в существует гиперплоскость, не содержащая y . Следовательно, для каждой точки x в X существует сечение s O (1) над , которое не равно нулю в f ( x ), а обратный пучок s является глобальным сечением , которое не равно нулю в x . Короче говоря, обратные линейные пучки без базовых точек — это в точности те, которые можно выразить как обратный пучок O (1) некоторым морфизмом в проективное пространство. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{*}O(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{*}O(1)}$

Nef, глобально сгенерированный, полудостаточный

Степень линейного расслоения L на собственной кривой C над k определяется как степень дивизора ( s ) любого ненулевого рационального сечения s кривой L. Коэффициенты этого дивизора положительны в точках, где s обращается в нуль, и отрицательны, где s имеет полюс. Следовательно, любое линейное расслоение L на кривой C, такое, что имеет неотрицательную степень (потому что сечения L над C , в отличие от рациональных сечений, не имеют полюсов). ^[3] В частности, каждое линейное расслоение без базисных точек на кривой имеет неотрицательную степень. В результате линейное расслоение без базисных точек L на любой собственной схеме X над полем является nef , что означает, что L имеет неотрицательную степень на каждой (неприводимой) кривой в X. ^[4 ] ${\displaystyle H^{0}(C,L)\neq 0}$

В более общем случае пучок F -модулей на схеме X называется глобально порожденным, если существует множество I глобальных сечений такое, что соответствующий морфизм ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle s_{i}\in H^{0}(X,F)}$

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}O_{X}\to F}$

пучков сюръективно. ^[5] Линейное расслоение генерируется глобально тогда и только тогда, когда оно не имеет базовых точек.

Например, каждый квазикогерентный пучок на аффинной схеме глобально порожден. ^[6] Аналогично, в комплексной геометрии теорема Картана A утверждает, что каждый когерентный пучок на многообразии Штейна глобально порожден.

Линейное расслоение L на правильной схеме над полем является полуобильным, если существует положительное целое число r , такое, что тензорная мощность не имеет базисной точки. Полуобильное линейное расслоение является nef (по соответствующему факту для линейных расслоений без базисной точки). ^[7] ${\displaystyle L^{\otimes r}}$

Очень обширные связки линий

Линейное расслоение L на собственной схеме X над полем k называется очень обильным , если оно не имеет базисных точек и соответствующий морфизм

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} _{k}^{n}}$

является замкнутым погружением. Здесь . Эквивалентно, L очень обильно, если X может быть вложено в проективное пространство некоторой размерности над k таким образом, что L является ограничением линейного расслоения O (1) на X . ^[8] Последнее определение используется для определения очень обильности для линейного расслоения на собственной схеме над любым коммутативным кольцом . ^[9] ${\displaystyle n=h^{0}(X,L)-1}$

Название «очень обильный» было введено Александром Гротендиком в 1961 году. ^{[10] Ранее в контексте} линейных систем делителей использовались различные названия .

Для очень обильного линейного расслоения L на собственной схеме X над полем с ассоциированным морфизмом f степень L на кривой C в X равна степени f ( C ) как кривой в . Таким образом, L имеет положительную степень на каждой кривой в X (потому что каждое подмногообразие проективного пространства имеет положительную степень). ^[11 ] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Определения

Обильные обратимые пучки на квазикомпактных схемах

В обычных схемах чаще всего используются обширные пучки линий, но их можно определить и в гораздо более широком смысле.

Пусть X — схема, и пусть — обратимый пучок на X . Для каждого пусть обозначает идеальный пучок редуцированной подсхемы, поддерживаемый только в x . Для определим Эквивалентно, если обозначает поле вычетов в x (рассматриваемое как небоскребный пучок, поддерживаемый в x ), то где — образ s в тензорном произведении. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$ $${\displaystyle X_{s}=\{x\in X\colon s_{x}\not \in {\mathfrak {m}}_{x}{\mathcal {L}}_{x}\}.}$$ ${\displaystyle \kappa (x)}$ $${\displaystyle X_{s}=\{x\in X\colon {\bar {s}}_{x}\neq 0\in \kappa (x)\otimes {\mathcal {L}}_{x}\},}$$ ${\displaystyle {\bar {s}}_{x}}$

Fix . Для каждого s ограничение является свободным -модулем, тривиализированным ограничением s , что означает, что морфизм умножения на s является изоморфизмом. Множество всегда открыто, а морфизм включения является аффинным морфизмом. Несмотря на это, не обязательно является аффинной схемой. Например, если , то открыто в себе и аффинно над собой, но в общем случае не аффинно. ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{X_{s}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X_{s}}\to {\mathcal {L}}|_{X_{s}}}$ ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle X_{s}\to X}$ ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle s=1\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle X_{s}=X}$

Предположим, что X является квазикомпактным. Тогда является обильным , если для каждого существует и такое, что и является аффинной схемой. ^[12] Например, тривиальное линейное расслоение является обильным тогда и только тогда, когда X является квазиаффинным . ^[13] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$ ${\displaystyle x\in X_{s}}$ ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

В общем случае неверно, что каждое является аффинным. Например, если для некоторой точки O , и если является ограничением на X , то и имеют одинаковые глобальные сечения, а неисчезающее множество сечения является аффинным тогда и только тогда, когда соответствующее сечение содержит O . ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle X=\mathbf {P} ^{2}\setminus \{O\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$

Необходимо разрешить степени в определении. Фактически, для каждого N возможно, что неаффинно для каждого с . Действительно, предположим, что Z — конечное множество точек в , и . Исчезающие множества сечений являются плоскими кривыми степени N . Принимая Z за достаточно большое множество точек в общем положении, мы можем гарантировать, что никакая плоская кривая степени N (и, следовательно, любой более низкой степени) не содержит все точки Z . В частности, их неисчезающие множества все неаффинны. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$ ${\displaystyle n\leq N}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle X=\mathbf {P} ^{2}\setminus Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)|_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes N}}$

Определим . Пусть обозначает структурный морфизм. Существует естественный изоморфизм между гомоморфизмами -алгебр и эндоморфизмами градуированного кольца S . Тождественный эндоморфизм S соответствует гомоморфизму . Применение функтора производит морфизм из открытой подсхемы X , обозначаемой , в . ${\displaystyle \textstyle S=\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$ ${\displaystyle p\colon X\to \operatorname {Spec} \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \textstyle p^{*}({\tilde {S}})\to \bigoplus _{n\geq 0}{\mathcal {L}}^{\otimes n}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} }$ ${\displaystyle G(\varepsilon )}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

Основная характеристика обильных обратимых пучков гласит, что если X является квазикомпактной квазиотделимой схемой и является обратимым пучком на X , то следующие утверждения эквивалентны: ^[14] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$достаточно.
2. Открытые множества , где и , образуют основу топологии X . ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$ ${\displaystyle n\geq 0}$
3. Открытые множества, обладающие свойством аффинности, где и , образуют основу топологии X . ${\displaystyle X_{s}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$ ${\displaystyle n\geq 0}$
4. ${\displaystyle G(\varepsilon )=X}$и морфизм представляет собой доминирующее открытое погружение. ${\displaystyle G(\varepsilon )\to \operatorname {Proj} S}$
5. ${\displaystyle G(\varepsilon )=X}$и морфизм является гомеоморфизмом базового топологического пространства X с его образом. ${\displaystyle G(\varepsilon )\to \operatorname {Proj} S}$
6. Для любого квазикогерентного пучка на X каноническое отображение сюръективно. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {F}}}$
7. Для любого квазикогерентного пучка идеалов на X каноническое отображение сюръективно. ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {J}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {J}}}$
8. Для любого квазикогерентного пучка идеалов на X каноническое отображение сюръективно. ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {J}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {J}}}$
9. Для каждого квазикогерентного пучка конечного типа на X существует целое число такое, что для порождается его глобальными сечениями. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes n}}$
10. Для любого квазикогерентного пучка конечного типа на X существуют целые числа и такие, что изоморфны частному от деления . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{k}}$
11. Для любого квазикогерентного пучка идеалов конечного типа на X существуют целые числа и такие, что изоморфны частному от деления . ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{k}}$

На правильных схемах

Когда X — разделённое и конечного типа над аффинной схемой, обратимый пучок является обильным тогда и только тогда, когда существует положительное целое число r, такое что тензорная мощность является очень обильной. ^{[15] [16]} В частности, правильная схема над R имеет обильное линейное расслоение тогда и только тогда, когда она проективна над R. Часто эта характеристика принимается за определение обильности. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes r}}$

Остальная часть этой статьи будет сосредоточена на обильности на собственных схемах над полем, поскольку это самый важный случай. Обильное линейное расслоение на собственной схеме X над полем имеет положительную степень на каждой кривой в X , согласно соответствующему утверждению для очень обильных линейных расслоений.

Дивизор Картье D на собственной схеме X над полем k называется обильным, если соответствующее линейное расслоение O ( D ) является обильным. (Например, если X является гладким над k , то дивизор Картье можно отождествить с конечной линейной комбинацией замкнутых подмногообразий коразмерности 1 в X с целыми коэффициентами.)

Ослабление понятия «очень обильный» до «обильный» дает гибкую концепцию с широким спектром различных характеристик. Первый момент заключается в том, что тензорное умножение больших степеней обильного линейного расслоения с любым когерентным пучком дает пучок со многими глобальными сечениями. Точнее, линейное расслоение L на собственной схеме X над полем (или, в более общем смысле, над нётеровым кольцом ) является обильным тогда и только тогда, когда для каждого когерентного пучка F на X существует целое число s такое, что пучок глобально генерируется для всех . Здесь s может зависеть от F . ^{[17] [18]} ${\displaystyle F\otimes L^{\otimes r}}$ ${\displaystyle r\geq s}$

Другая характеристика обильности, известная как теорема Картана – Серра – Гротендика , дается в терминах когерентных пучковых когомологий . А именно, линейное расслоение L на собственной схеме X над полем (или, в более общем смысле, над нётеровым кольцом) является обильным тогда и только тогда, когда для каждого когерентного пучка F на X существует целое число s такое, что

${\displaystyle H^{i}(X,F\otimes L^{\otimes r})=0}$

для всех и всех . ^{[19] [18]} В частности, высокие степени обильного линейного расслоения убивают когомологии в положительных степенях. Это следствие называется теоремой Серра об исчезновении , доказанной Жан-Пьером Серром в его статье 1955 года Faisceaux algébriques cohérents . ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle r\geq s}$

Примеры/Непримеры

• Тривиальное линейное расслоение на проективном многообразии X положительной размерности не имеет базовых точек, но не является обильным. В более общем случае, для любого морфизма f из проективного многообразия X в некоторое проективное пространство над полем обратное линейное расслоение всегда не имеет базовых точек, тогда как L является обильным тогда и только тогда, когда морфизм f конечен (то есть все слои f имеют размерность 0 или являются пустыми ). ^[20] ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle L=f^{*}O(1)}$
• Для целого числа d пространство сечений линейного расслоения O ( d ) над является комплексным векторным пространством однородных многочленов степени d от переменных x , y . В частности, это пространство равно нулю при d < 0. Для морфизм в проективное пространство, заданный O ( d ), есть ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}$ ${\displaystyle d\geq 0}$

${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{d}}$

к

${\displaystyle [x,y]\mapsto [x^{d},x^{d-1}y,\ldots ,y^{d}].}$

Это замкнутое погружение для , с образом рациональной нормальной кривой степени d в . Следовательно, O ( d ) не имеет базисных точек тогда и только тогда, когда , и очень обилен тогда и только тогда, когда . Отсюда следует, что O ( d ) обилен тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle d\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}}$ ${\displaystyle d\geq 0}$ ${\displaystyle d\geq 1}$ ${\displaystyle d\geq 1}$

• Для примера, где «обильный» и «очень обильный» различны, пусть X будет гладкой проективной кривой рода 1 ( эллиптической кривой ) над C , и пусть p будет комплексной точкой X. Пусть O ( p ) будет ассоциированным линейным расслоением степени 1 на X. Тогда комплексное векторное пространство глобальных сечений O ( p ) имеет размерность 1, натянутое на сечение, которое исчезает в p . ^[21] Таким образом, базисное множество O ( p ) равно p . С другой стороны, O (2 p ) не имеет базисных точек, а O ( dp ) очень обилен для (давая вложение X как эллиптической кривой степени d в ). Следовательно, O ( p ) обилен, но не очень обилен. Кроме того, O (2 p ) обилен и не имеет базисных точек, но не очень обилен; ассоциированный морфизм в проективное пространство является разветвленным двойным покрытием . ${\displaystyle d\geq 3}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{d-1}}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{1}}$
• На кривых более высокого рода существуют обильные линейные расслоения L , для которых каждое глобальное сечение равно нулю. (Но высокие кратные L имеют много сечений, по определению.) Например, пусть X — гладкая плоская четвертая кривая (степени 4 в ) над C , и пусть p и q — различные комплексные точки X . Тогда линейное расслоение обильно, но имеет . ^[22] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle L=O(2p-q)}$ ${\displaystyle H^{0}(X,L)=0}$

Критерии полноты пучков линий

Теория пересечений

Чтобы определить, является ли заданное линейное расслоение на проективном многообразии X обильным, часто наиболее полезными оказываются следующие числовые критерии (в терминах чисел пересечения). Это эквивалентно вопросу, когда дивизор Картье D на X обильным, имея в виду, что связанное линейное расслоение O ( D ) обильно. Число пересечения можно определить как степень линейного расслоения O ( D ), ограниченную C . В другом направлении, для линейного расслоения L на проективном многообразии первый класс Черна означает связанный дивизор Картье (определенный с точностью до линейной эквивалентности), делитель любого ненулевого рационального сечения L . ${\displaystyle D\cdot C}$ ${\displaystyle c_{1}(L)}$

На гладкой проективной кривой X над алгебраически замкнутым полем k линейное расслоение L является очень обильным тогда и только тогда, когда для всех k - рациональных точек x , y в X . ^[23] Пусть g будет родом X . По теореме Римана–Роха каждое линейное расслоение степени не менее 2g +  1 удовлетворяет этому условию и, следовательно, является очень обильным. В результате линейное расслоение на кривой является обильным тогда и только тогда, когда оно имеет положительную степень. ^[24] ${\displaystyle h^{0}(X,L\otimes O(-x-y))=h^{0}(X,L)-2}$

Например, каноническое расслоение кривой X имеет степень 2 g  − 2, и поэтому оно обильно тогда и только тогда, когда . Кривые с обильным каноническим расслоением образуют важный класс; например, над комплексными числами это кривые с метрикой отрицательной кривизны . Каноническое расслоение очень обильно тогда и только тогда, когда и кривая не является гиперэллиптическим . ^[25] ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle g\geq 2}$

Критерий Накаи–Мойшезона (названный в честь Ёсиказу Накаи (1963) и Бориса Мойшезона (1964)) утверждает, что линейное расслоение L на собственной схеме X над полем является обильным тогда и только тогда, когда для каждого ( неприводимого ) замкнутого подмногообразия Y многообразия X ( Y не может быть точкой). ^[26] В терминах дивизоров дивизор Картье D является обильным тогда и только тогда, когда для каждого (ненульмерного) подмногообразия Y многообразия X. Для кривой X это означает, что дивизор является обильным тогда и только тогда, когда он имеет положительную степень. Для поверхности X этот критерий утверждает, что дивизор D является обильным тогда и только тогда, когда его индекс самопересечения положителен и каждая кривая C на X имеет . ${\displaystyle \int _{Y}c_{1}(L)^{{\text{dim}}(Y)}>0}$ ${\displaystyle D^{{\text{dim}}(Y)}\cdot Y>0}$ ${\displaystyle D^{2}}$ ${\displaystyle D\cdot C>0}$

Критерий Клеймана

Чтобы сформулировать критерий Клеймана (1966), пусть X будет проективной схемой над полем. Пусть будет действительным векторным пространством 1-циклов (действительных линейных комбинаций кривых в X ) по модулю численной эквивалентности, что означает, что два 1-цикла A и B равны в тогда и только тогда, когда каждое линейное расслоение имеет одинаковую степень на A и на B . По теореме Нерона–Севери действительное векторное пространство имеет конечную размерность. Критерий Клеймана утверждает, что линейное расслоение L на X является обильным тогда и только тогда, когда L имеет положительную степень на каждом ненулевом элементе C замыкания конуса кривых NE( X ) в . (Это немного сильнее, чем утверждение, что L имеет положительную степень на каждой кривой.) Эквивалентно , линейное расслоение является обильным тогда и только тогда, когда его класс в двойственном векторном пространстве находится внутри nef-конуса . ^[27] ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle N^{1}(X)}$

Критерий Клеймана в общем случае недействителен для правильных (а не проективных) схем X над полем, хотя он выполняется, если X является гладким или, в более общем случае, Q -факториальным. ^[28]

Линейное расслоение на проективном многообразии называется строго nef , если оно имеет положительную степень на каждой кривой Нагата (1959). и Дэвид Мамфорд построили линейные расслоения на гладких проективных поверхностях, которые являются строго nef, но не обильными. Это показывает, что условие не может быть опущено в критерии Накаи–Мойшезона, и необходимо использовать замыкание NE( X ) вместо NE( X ) в критерии Клеймана. ^[29] Каждое nef линейное расслоение на поверхности имеет , а примеры Нагаты и Мамфорда имеют . ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}>0}$ ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}\geq 0}$ ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=0}$

К. С. Сешадри показал, что линейное расслоение L на правильной схеме над алгебраически замкнутым полем является обильным тогда и только тогда, когда существует положительное действительное число ε такое, что deg( L | _C ) ≥ ε m ( C ) для всех (неприводимых) кривых C в X , где m ( C ) — максимальная кратность в точках C . ^[30]

Несколько характеристик обильности справедливы в более общем случае для линейных расслоений на собственном алгебраическом пространстве над полем k . В частности, критерий Накаи-Мойшезона справедлив в этой общности. ^[31] Критерий Картана-Серра-Гротендика справедлив даже в более общем случае для собственного алгебраического пространства над нётеровым кольцом R. ^[32] (Если собственное алгебраическое пространство над R имеет обильное линейное расслоение, то оно фактически является проективной схемой над R. ) Критерий Клеймана недействителен для собственных алгебраических пространств X над полем, даже если X является гладким. ^[33]

Открытость простора

На проективной схеме X над полем критерий Клеймана подразумевает, что обильность является открытым условием для класса R -дивизора ( R -линейной комбинации дивизоров Картье) в , с его топологией, основанной на топологии действительных чисел. ( R -дивизор определяется как обильный, если он может быть записан как положительная линейная комбинация обильных дивизоров Картье. ^[34] ) Элементарный частный случай: для обильного дивизора H и любого дивизора E существует положительное действительное число b такое, что обильно для всех действительных чисел a, модуль которых меньше b . В терминах дивизоров с целыми коэффициентами (или линейных расслоений) это означает, что nH + E обильно для всех достаточно больших положительных целых чисел n . ${\displaystyle N^{1}(X)}$ ${\displaystyle H+aE}$

Обильность также является открытым условием в совершенно ином смысле, когда многообразие или линейное расслоение варьируется в алгебраическом семействе. А именно, пусть будет собственным морфизмом схем, и пусть L будет линейным расслоением на X . Тогда множество точек y в Y , таких что L обильно на слое, открыто (в топологии Зарисского ). Более строго, если L обильно на одном слое , то существует аффинная открытая окрестность U точки y , такая что L обильно на над U . ^[35] ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X_{y}}$ ${\displaystyle X_{y}}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$

Другие характеристики изобилия у Клеймана

Клейман также доказал следующие характеристики обильности, которые можно рассматривать как промежуточные шаги между определением обильности и численными критериями. А именно, для линейного расслоения L на собственной схеме X над полем следующие условия эквивалентны: ^[36]

• L достаточно.
• Для каждого (неприводимого) подмногообразия положительной размерности существует положительное целое число r и сечение , которое не равно тождественно нулю, но обращается в нуль в некоторой точке Y . ${\displaystyle Y\subset X}$ ${\displaystyle s\in H^{0}(Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})}$
• Для каждого (неприводимого) подмногообразия положительной размерности голоморфные эйлеровы характеристики степеней L на Y стремятся к бесконечности: ${\displaystyle Y\subset X}$

${\displaystyle \chi (Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})\to \infty }$как . ${\displaystyle r\to \infty }$

Обобщения

Обширные векторные пучки

Робин Хартшорн определил векторное расслоение F на проективной схеме X над полем как обильное , если линейное расслоение на пространстве гиперплоскостей в F является обильным. ^[37] ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (F)}$

Несколько свойств обильных линейных расслоений распространяются на обильные векторные расслоения. Например, векторное расслоение F обильно тогда и только тогда, когда высокие симметричные степени F убивают когомологии когерентных пучков для всех . ^[38] Кроме того, класс Черна обильного векторного расслоения имеет положительную степень на каждом r -мерном подмногообразии X , для . ^[39] ${\displaystyle H^{i}}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle c_{r}(F)}$ ${\displaystyle 1\leq r\leq {\text{rank}}(F)}$

Большие линейные связки

Полезным ослаблением обильности, особенно в бирациональной геометрии , является понятие большого линейного расслоения . Линейное расслоение L на проективном многообразии X размерности n над полем называется большим, если существует положительное действительное число a и положительное целое число, такие что для всех . Это максимально возможная скорость роста для пространств сечений степеней L в том смысле, что для каждого линейного расслоения L на X существует положительное число b с для всех j > 0. ^[40] ${\displaystyle j_{0}}$ ${\displaystyle h^{0}(X,L^{\otimes j})\geq aj^{n}}$ ${\displaystyle j\geq j_{0}}$ ${\displaystyle h^{0}(X,L^{\otimes j})\leq bj^{n}}$

Существует несколько других характеристик больших линейных расслоений. Во-первых, линейное расслоение является большим тогда и только тогда, когда существует положительное целое число r, такое что рациональное отображение из X в , заданное сечениями , является бирациональным на его образ. ^[41] Кроме того, линейное расслоение L является большим тогда и только тогда, когда оно имеет положительную тензорную степень, которая является тензорным произведением обильного линейного расслоения A и эффективного линейного расслоения B (что означает, что ). ^[42] Наконец, линейное расслоение является большим тогда и только тогда, когда его класс в находится внутри конуса эффективных делителей. ^[43] ${\displaystyle \mathbb {P} (H^{0}(X,L^{\otimes r}))}$ ${\displaystyle L^{\otimes r}}$ ${\displaystyle H^{0}(X,B)\neq 0}$ ${\displaystyle N^{1}(X)}$

Величина может рассматриваться как бирационально инвариантный аналог обильности. Например, если — доминантное рациональное отображение между гладкими проективными многообразиями той же размерности, то обратный путь большого линейного расслоения на Y является большим на X. (На первый взгляд, обратный путь — это только линейное расслоение на открытом подмножестве X , где f — морфизм, но это однозначно распространяется на линейное расслоение на всем X. ) Для обильных линейных расслоений можно сказать только, что обратный путь обильного линейного расслоения конечным морфизмом является обильным. ^[20] ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

Пример: Пусть X будет раздутием проективной плоскости в точке над комплексными числами. Пусть H будет обратным протягиванием к X прямой на , и пусть E будет исключительной кривой раздутия . Тогда дивизор H + E большой, но не обильный (или даже nef) на X , потому что ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \pi \colon X\to \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle (H+E)\cdot E=E^{2}=-1<0.}$

Эта отрицательность также подразумевает , что базисное место H + E (или любого положительного кратного) содержит кривую E. Фактически, это базисное место равно E.

Относительная обильность

При наличии квазикомпактного морфизма схем обратимый пучок L на X называется обильным относительно f или f -обильным , если выполняются следующие эквивалентные условия: ^{[44] [45]} ${\displaystyle f:X\to S}$

1. Для каждого открытого аффинного подмножества ограничение L на является обильным (в обычном смысле). ${\displaystyle U\subset S}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$
2. f является квазиразделенным и существует открытое погружение, индуцированное отображением присоединения : ${\displaystyle X\hookrightarrow \operatorname {Proj} _{S}({\mathcal {R}}),\,{\mathcal {R}}:=f_{*}\left(\bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}\right)}$

   ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {R}}\to \bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}}$.

3. Условие 2. без «открытого».

Условие 2 (приблизительно) гласит, что X может быть открыто компактифицировано до проективной схемы с (а не просто до собственной схемы). ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)=L}$

Смотрите также

Общая алгебраическая геометрия

• Алгебраическая геометрия проективных пространств
• Разнообразие Фано : разнообразие, канонический пучок которого является анти-обильным
• Большая теорема Мацусаки
• Дивизориальная схема : схема, допускающая достаточное семейство линейных расслоений.

Простор в сложной геометрии

• Голоморфное векторное расслоение
• Теорема вложения Кодаиры : на компактном комплексном многообразии обильность и положительность совпадают.
• Теорема об исчезновении Кодаиры
• Теорема Лефшеца о гиперплоскости : обильный дивизор в комплексном проективном многообразии X топологически подобен X.

Примечания

1. Хартшорн (1977), Теорема II.7.1.
2. Хартсхорн (1977), Теорема III.5.2; (тег 02O6).
3. Хартшорн (1977), Лемма IV.1.2.
4. Лазарсфельд (2004), Пример 1.4.5.
5. тег 01AM.
6. Хартшорн (1977), Пример II.5.16.2.
7. Лазарсфельд (2004), Определение 2.1.26.
8. Хартшорн (1977), раздел II.5.
9. тег 02NP.
10. Гротендик, EGA II, Определение 4.2.2.
11. Хартшорн (1977), Предложение I.7.6 и Пример IV.3.3.2.
12. тег 01PS.
13. тег 01QE.
14. EGA II, Теорема 4.5.2 и Предложение 4.5.5.
15. EGA II, Предложение 4.5.10.
16. тег 01VU.
17. Хартшорн (1977), Теорема II.7.6
18. Лазарсфельд (2004), Теорема 1.2.6.
19. Хартшорн (1977), Предложение III.5.3
20. Лазарсфельд (2004), Теорема 1.2.13.
21. Хартшорн (1977), Пример II.7.6.3.
22. Хартшорн (1977), Упражнение IV.3.2(b).
23. Хартсхорн (1977), Предложение IV.3.1.
24. Хартшорн (1977), Следствие IV.3.3.
25. Хартшорн (1977), Предложение IV.5.2.
26. Лазарсфельд (2004), Теорема 1.2.23, Замечание 1.2.29; Клейман (1966), Теорема III.1.
27. Лазарсфельд (2004), Теоремы 1.4.23 и 1.4.29; Клейман (1966), Теорема IV.1.
28. Фудзино (2005), Следствие 3.3; Лазарсфельд (2004), Замечание 1.4.24.
29. Лазарсфельд (2004), Пример 1.5.2.
30. Лазарсфельд (2004), Теорема 1.4.13; Хартшорн (1970), Теорема I.7.1.
31. Коллар (1990), Теорема 3.11.
32. тег 0D38.
33. Коллар (1996), Глава VI, Приложение, Упражнение 2.19.3.
34. Лазарсфельд (2004), Определение 1.3.11.
35. Лазарсфельд (2004), Теорема 1.2.17 и ее доказательство.
36. Лазарсфельд (2004), Пример 1.2.32; Клейман (1966), Теорема III.1.
37. Лазарсфельд (2004), Определение 6.1.1.
38. Лазарсфельд (2004), Теорема 6.1.10.
39. Лазарсфельд (2004), Теорема 8.2.2.
40. Лазарсфельд (2004), Следствие 2.1.38.
41. Лазарсфельд (2004), раздел 2.2.A.
42. Лазарсфельд (2004), Следствие 2.2.7.
43. Лазарсфельд (2004), Теорема 2.2.26.
44. тег 01VG.
45. Гротендик и Дьедонне, 1961, предложение 4.6.3.

Источники

• Фудзино, Осаму (2005), «О конусе Клеймана-Мори», Труды Японской академии, Серия A, Математические науки , 81 (5): 80–84, arXiv : math/0501055 , Bibcode : 2005math......1055F, doi : 10.3792/pjaa.81.80 , MR  2143547
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961), «Элементы алгебраической геометрии: II. Étude globale élémentaire de quelques classs de morphismes», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 8 , doi : 10.1007/bf02699291, MR  0217084
• Хартсхорн, Робин (1970), Обильные подмногообразия алгебраических многообразий , Lecture Notes in Mathematics, т. 156, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0067839, ISBN 978-3-540-05184-8, МР  0282977
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Клейман, Стивен Л. (1966), «К численной теории обилия», Annals of Mathematics , вторая серия, 84 (3): 293–344, doi :10.2307/1970447, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970447, MR  0206009
• Коллар, Янош (1990), «Проективность полных модулей», Журнал дифференциальной геометрии , 32 , doi : 10.4310/jdg/1214445046 , MR  1064874
• Коллар, Янош (1996), Рациональные кривые на алгебраических многообразиях , Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03276-3, ISBN 978-3-642-08219-1, МР  1440180
• Лазарсфельд, Роберт (2004), Позитивность в алгебраической геометрии (2 тома) , Берлин: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-642-18808-4, ISBN 3-540-22533-1, МР  2095471
• Нагата, Масаёси (1959), «О 14-й проблеме Гильберта», American Journal of Mathematics , 81 (3): 766–772, doi :10.2307/2372927, JSTOR  2372927, MR  0154867
• «Раздел 29.37 (01VG): Относительно большие пучки — проект Stacks»
• Проект Stacks, тег 01AM
• Проект «Стеки», тег 01PS
• Проект «Стеки», тег 01QE
• Проект «Стеки», тег 01VU
• Проект «Стеки», тег 02NP
• Проект «Стекс», тег 02O6
• Проект «Стеки», тег 0D38

Внешние ссылки

• Проект «Стекс»