преобразование Галилея

Понятие в физике и математике

В физике преобразование Галилея используется для преобразования координат двух систем отсчета , которые отличаются только постоянным относительным движением в рамках конструкций ньютоновской физики . Эти преобразования вместе с пространственными вращениями и перемещениями в пространстве и времени образуют неоднородную группу Галилея (предполагаемую далее). Без перемещений в пространстве и времени группа является однородной группой Галилея . Группа Галилея — это группа движений теории относительности Галилея , действующих в четырех измерениях пространства и времени, образующих геометрию Галилея . Это точка зрения пассивной трансформации . В специальной теории относительности однородные и неоднородные преобразования Галилея заменяются соответственно преобразованиями Лоренца и преобразованиями Пуанкаре ; и наоборот, групповое сжатие в классическом пределе преобразований Пуанкаре c → ∞ приводит к преобразованиям Галилея.

Приведенные ниже уравнения физически действительны только в рамках Ньютона и неприменимы к системам координат, движущимся относительно друг друга со скоростями, приближающимися к скорости света .

Галилей сформулировал эти понятия в своем описании равномерного движения . ^[1] Тема была мотивирована его описанием движения шара, катящегося по рампе , с помощью которого он измерил численное значение ускорения силы тяжести вблизи поверхности Земли .

Перевод

Стандартная конфигурация систем координат для преобразований Галилея.

Хотя преобразования названы в честь Галилея, именно абсолютное время и пространство в понимании Исаака Ньютона обеспечивают область их определения. По сути, преобразования Галилея воплощают интуитивное представление о сложении и вычитании скоростей как векторов .

Обозначения ниже описывают связь при преобразовании Галилея между координатами ( x , y , z , t ) и ( x ', y ', z ', t ') одного произвольного события, измеренного в двух системах координат S и S' в равномерном относительном движении ( скорость v ) в их общих направлениях x и x ' , причем их пространственные начала совпадают в момент времени t = t ' = 0 : ^{[2] [3] [4] [5]}

${\displaystyle x'=x-vt}$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=z}$

${\displaystyle t'=t.}$

Обратите внимание, что последнее уравнение справедливо для всех преобразований Галилея с точностью до добавления константы и выражает предположение об универсальном времени, независимом от относительного движения различных наблюдателей.

На языке линейной алгебры это преобразование считается отображением сдвига и описывается матрицей, действующей на вектор. При движении параллельно оси x трансформация действует только на две составляющие:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}}$

Хотя матричные представления не являются строго необходимыми для преобразования Галилея, они предоставляют средства для прямого сравнения с методами преобразования в специальной теории относительности.

Преобразования Галилея

Симметрии Галилея можно однозначно записать как композицию вращения , перемещения и равномерного движения пространства -времени. ^[6] Пусть x представляет точку в трехмерном пространстве, а t - точку в одномерном времени. Общая точка в пространстве-времени задается упорядоченной парой ( x , t ) .

Равномерное движение со скоростью v определяется выражением

${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +t\mathbf {v} ,t),}$

где v ∈ р ³ . Перевод предоставлен

${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +\mathbf {a} ,t+s),}$

где а € Р ³ и s € Р . Вращение задается формулой

${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (R\mathbf {x} ,t),}$

где R  : R3 → R3 — ортогональное преобразование ^{. _ [6]}

Как группа Ли , группа преобразований Галилея имеет размерность 10. ^[6]

Галилейская группа

Два преобразования Галилея G ( R , v , a , s ) и G ( R' , v ', a ', s ') составляют третье преобразование Галилея,

грамм ( р ′, v ′, а ′, s ′) ⋅ грамм ( р , v , а , s ) знак равно грамм ( р ′ р , р ′ v + v ′, р ′ а + а ′ + v ′ s , s ′ + s ) .

Набор всех преобразований Галилея Gal(3) образует группу с композицией в качестве групповой операции.

Группу иногда представляют как матричную группу с пространственно-временными событиями ( x , t , 1) в виде векторов, где ^t — вещественное число, а x ∈ R3 — положение в пространстве. Действие задается ^[7 ]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}R&v&a\\0&1&s\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Rx+vt+a\\t+s\\1\end{pmatrix}},}$

где s вещественное число, а v , x , a ∈ R3 и ^R — матрица вращения . Композиция преобразований затем осуществляется путем умножения матриц . При обсуждении следует проявлять осторожность, ограничиваясь ли связной группой компонент ортогональных преобразований.

Gal(3) имеет именованные подгруппы. Компонент идентичности обозначается SGal(3) .

Пусть m представляет матрицу преобразования с параметрами v , R , s , a :

• ${\displaystyle \{m:R=I_{3}\},}$анизотропные превращения.
• ${\displaystyle \{m:s=0\},}$изохронные преобразования.
• ${\displaystyle \{m:s=0,v=0\},}$пространственные евклидовы преобразования.
• ${\displaystyle G_{1}=\{m:s=0,a=0\},}$равномерно специальные преобразования/однородные преобразования, изоморфные евклидовым преобразованиям.
• ${\displaystyle G_{2}=\{m:v=0,R=I_{3}\}\cong \left(\mathbf {R} ^{4},+\right),}$сдвиги происхождения/трансляции в ньютоновском пространстве-времени.
• ${\displaystyle G_{3}=\{m:s=0,a=0,v=0\}\cong \mathrm {SO} (3),}$вращения (системы отсчета) (см. SO(3) ), компактная группа.
• ${\displaystyle G_{4}=\{m:s=0,a=0,R=I_{3}\}\cong \left(\mathbf {R} ^{3},+\right),}$равномерные движения/ускорения кадра.

Параметры s , v , R охватывают десять измерений . Поскольку преобразования непрерывно зависят от s , v , R , a , Gal(3) является непрерывной группой , также называемой топологической группой.

Структуру Gal(3) можно понять путем восстановления по подгруппам. Требуется полупрямая комбинация продуктов ( ) групп. ${\displaystyle A\rtimes B}$

1. ${\displaystyle G_{2}\triangleleft \mathrm {SGal} (3)}$( G2 _— нормальная подгруппа )
2. ${\displaystyle \mathrm {SGal} (3)\cong G_{2}\rtimes G_{1}}$
3. ${\displaystyle G_{4}\trianglelefteq G_{1}}$
4. ${\displaystyle G_{1}\cong G_{4}\rtimes G_{3}}$
5. ${\displaystyle \mathrm {SGal} (3)\cong \mathbf {R} ^{4}\rtimes (\mathbf {R} ^{3}\rtimes \mathrm {SO} (3)).}$

Происхождение в групповом сокращении

Алгебра Ли группы Галилея натянута на H , Pi _, C i _и L _ij ( антисимметричный тензор ) , подчиняясь коммутационным соотношениям , где

${\displaystyle [H,P_{i}]=0}$

${\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0}$

${\displaystyle [L_{ij},H]=0}$

${\displaystyle [C_{i},C_{j}]=0}$

${\displaystyle [L_{ij},L_{kl}]=i[\delta _{ik}L_{jl}-\delta _{il}L_{jk}-\delta _{jk}L_{il}+\delta _{jl}L_{ik}]}$

${\displaystyle [L_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]}$

${\displaystyle [L_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]}$

${\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}\,\!}$

${\displaystyle [C_{i},P_{j}]=0~.}$

H — генератор сдвигов времени ( гамильтониан ), Pi _— генератор сдвигов ( оператор импульса ), C _​​i — генератор безвращенных преобразований Галилея (буст Галилея), ^[8] и L _ij — генератор вращений ( оператор углового момента ).

Эта алгебра Ли рассматривается как специальный классический предел алгебры группы Пуанкаре в пределе c → ∞ . Технически группа Галилея представляет собой знаменитое групповое сокращение группы Пуанкаре (которая, в свою очередь, является групповым сокращением группы де Ситтера SO(1,4) ). ^[9] Формально, переименовав генераторы импульса и наддува последних как в

Р ₀ ↦ Н / с

К _я ↦ c ⋅ C _я ,

где c — скорость света (или любая ее неограниченная функция), коммутационные соотношения (структурные константы) в пределе c → ∞ принимают соотношения первых. Идентифицированы генераторы временных трансляций и вращений. Также обратите внимание на групповые инварианты L _mn L ^mn и P _i P ⁱ .

В матричной форме для d = 3 можно рассмотреть регулярное представление (встроенное в GL(5; R ) , из которого оно может быть получено одним групповым сжатием, минуя группу Пуанкаре),

${\displaystyle iH=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad }$ ${\displaystyle i{\vec {a}}\cdot {\vec {P}}=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&a_{1}\\0&0&0&0&a_{2}\\0&0&0&0&a_{3}\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad }$ ${\displaystyle i{\vec {v}}\cdot {\vec {C}}=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&v_{1}&0\\0&0&0&v_{2}&0\\0&0&0&v_{3}&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad }$ ${\displaystyle i\theta _{i}\epsilon ^{ijk}L_{jk}=\left({\begin{array}{ccccc}0&\theta _{3}&-\theta _{2}&0&0\\-\theta _{3}&0&\theta _{1}&0&0\\\theta _{2}&-\theta _{1}&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right)~.}$

Тогда бесконечно малый групповой элемент равен

${\displaystyle G(R,{\vec {v}},{\vec {a}},s)=1\!\!1_{5}+\left({\begin{array}{ccccc}0&\theta _{3}&-\theta _{2}&v_{1}&a_{1}\\-\theta _{3}&0&\theta _{1}&v_{2}&a_{2}\\\theta _{2}&-\theta _{1}&0&v_{3}&a_{3}\\0&0&0&0&s\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right)+\ ...~.}$

Центральное расширение группы Галилея

Можно рассмотреть ^[10] центральное расширение алгебры Ли группы Галилея, натянутое на H ′, P ′ _i , C ′ _i , L ′ _ij и оператор M : Так называемая алгебра Баргмана получается наложением , такой, что M лежит в центре , т.е. коммутирует со всеми остальными операторами. ${\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}}$

В полном объеме эта алгебра имеет вид

${\displaystyle [H',P'_{i}]=0\,\!}$

${\displaystyle [P'_{i},P'_{j}]=0\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},H']=0\,\!}$

${\displaystyle [C'_{i},C'_{j}]=0\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},L'_{kl}]=i[\delta _{ik}L'_{jl}-\delta _{il}L'_{jk}-\delta _{jk}L'_{il}+\delta _{jl}L'_{ik}]\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},P'_{k}]=i[\delta _{ik}P'_{j}-\delta _{jk}P'_{i}]\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},C'_{k}]=i[\delta _{ik}C'_{j}-\delta _{jk}C'_{i}]\,\!}$

${\displaystyle [C'_{i},H']=iP'_{i}\,\!}$

и наконец

${\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}~.}$

где появляется новый параметр . Это расширение и проективные представления , которые оно обеспечивает, определяются его групповыми когомологиями . ${\displaystyle M}$

Смотрите также

• Галилеева инвариантность
• Теория представлений группы Галилея
• Формулировка ковариантного тензора Галилея
• Группа Пуанкаре
• группа Лоренца
• Лагранжевы и эйлеровы координаты

Примечания

1. Галилей 1638i, 191–196 (на итальянском языке)
   Галилей 1638e, (на английском языке)
   Коперник и др. 2002, стр. 515–520.
2. Молд 2002, Глава 2 §2.6, с. 42
3. Лернер 1996, глава 38 §38.2, с. 1046,1047
4. Serway & Jewett 2006, Глава 9 §9.1, стр. 261
5. Хоффманн 1983, глава 5, с. 83
6. Арнольд 1989, с. 6
7. [1] Наджафика и Фороф, 2009 г.
8. Унгар, А.А. (2006). За пределами закона сложения Эйнштейна и его гироскопической прецессии Томаса: теория гирогрупп и гировекторных пространств (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. п. 336. ИСБН 978-0-306-47134-6.Выдержка со страницы 336
9. Гилмор 2006 г.
10. Баргманн 1954 г.

Рекомендации

• Арнольд, VI (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. п. 6. ISBN 0-387-96890-3.
• Баргманн, В. (1954). «Об унитарных лучевых представлениях непрерывных групп». Анналы математики . 2. 59 (1): 1–46. дои : 10.2307/1969831. JSTOR  1969831.
• Коперник, Николай ; Кеплер, Иоганнес ; Галилей, Галилей ; Ньютон, Исаак ; Эйнштейн, Альберт (2002). Хокинг, Стивен (ред.). На плечах гигантов: великие труды физики и астрономии . Филадельфия, Лондон: Running Press . стр. 515–520. ISBN 0-7624-1348-4.
• Галилей, Галилей (1638i). Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno á Due Nuoue Science (на итальянском языке). Лейден: Эльзевир . стр. 191–196.
• Галилей, Галилей (1638e). Беседы и математические демонстрации, относящиеся к двум новым наукам [ Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze ]. Переведено на английский в 1914 году Генри Крю и Альфонсо де Сальвио.
• Гилмор, Роберт (2006). Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения . Дуврские книги по математике. Дуврские публикации . ISBN 0486445291.
• Хоффманн, Банеш (1983), Относительность и ее корни, Scientific American Books, ISBN 0-486-40676-8, Глава 5, с. 83
• Лернер, Лоуренс С. (1996), Физика для ученых и инженеров, том. 2, Jones and Bertlett Publishers, Inc, ISBN 0-7637-0460-1, Глава 38 §38.2, с. 1046,1047
• Моулд, Ричард А. (2002), Основная теория относительности, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95210-1, глава 2 §2.6, с. 42
• Наджафика, Мехди; Форо, Ахмад-Реза (2009). «Галилеева геометрия движений» (PDF) . Прикладные науки . 11 : 91–105.
• Сервей, Раймонд А.; Джуэтт, Джон В. (2006), Принципы физики: текст, основанный на исчислении (4-е изд.), Брукс / Коул - Thomson Learning, Bibcode : 2006ppcb.book.....J, ISBN 0-534-49143-Х, Глава 9 §9.1, с. 261