Группоид Ли

В математике группоид Ли — это группоид, в котором множество объектов и множество морфизмов являются многообразиями , все операции над категориями (источник и цель, композиция, отображение , присваивающее тождество, и инверсия) являются гладкими, а операции над источниками и целями ${\displaystyle \operatorname {Ob} }$ ${\displaystyle \operatorname {Mor} }$

${\displaystyle s,t:\operatorname {Mor} \to \operatorname {Ob} }$

являются погружениями .

Таким образом, группоид Ли можно рассматривать как «многообъектное обобщение» группы Ли , точно так же, как группоид является многообъектным обобщением группы . Соответственно, в то время как группы Ли предоставляют естественную модель для (классических) непрерывных симметрий , группоиды Ли часто используются в качестве модели для (и возникают из) обобщенных, точечно-зависимых симметрий. ^[1] Расширяя соответствие между группами Ли и алгебрами Ли, группоиды Ли являются глобальными аналогами алгеброидов Ли .

Группоиды Ли были введены Чарльзом Эресманном ^{[2] [3]} под названием дифференцируемые группоиды .

Определение и основные понятия

Группоид Ли состоит из

• два гладких многообразия и ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$
• два сюръективных погружения (называемых, соответственно, исходной и целевой проекциями) ${\displaystyle s,t:G\to M}$
• карта (называемая картой умножения или композиции), где мы используем обозначение ${\displaystyle m:G^{(2)}:=\{(g,h)\mid s(g)=t(h)\}\to G}$ ${\displaystyle gh:=m(g,h)}$
• карта (называемая единичной картой или картой включения объектов), где мы используем обозначение ${\displaystyle u:M\to G}$ ${\displaystyle 1_{x}:=u(x)}$
• карта (называемая инверсией ), где мы используем обозначение ${\displaystyle i:G\to G}$ ${\displaystyle g^{-1}:=i(g)}$

такой что

• композиция удовлетворяет и для каждого , для которого композиция определена ${\displaystyle s(gh)=s(h)}$ ${\displaystyle t(gh)=t(g)}$ ${\displaystyle g,h\in G}$
• композиция ассоциативна , т.е. для каждого , для которого композиция определена ${\displaystyle g(hl)=(gh)l}$ ${\displaystyle g,h,l\in G}$
• ${\displaystyle u}$работает как тождество , т.е. для каждого и и для каждого ${\displaystyle s(1_{x})=t(1_{x})=x}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle g1_{s(g)}=g}$ ${\displaystyle 1_{t(g)}g=g}$ ${\displaystyle g\in G}$
• ${\displaystyle i}$работает как обратная функция , т.е. и для каждого . ${\displaystyle g^{-1}g=1_{s(g)}}$ ${\displaystyle gg^{-1}=1_{t(g)}}$ ${\displaystyle g\in G}$

Используя язык теории категорий , группоид Ли можно более компактно определить как группоид (т. е. небольшую категорию , где все морфизмы обратимы), такой, что множества объектов и морфизмов являются многообразиями, отображения , , , и являются гладкими, а и являются субмерсиями. Таким образом, группоид Ли — это не просто группоидный объект в категории гладких многообразий : нужно задать дополнительное свойство, что и являются субмерсиями. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$

Группоиды Ли часто обозначаются как , где две стрелки представляют источник и цель. Обозначение также часто используется, особенно когда подчеркивается симплициальная структура соответствующего нерва . ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$

Чтобы включить более естественные примеры, многообразие в общем случае не обязано быть хаусдорфовым или удовлетворять второй счетности (в то время как и все другие пространства являются таковыми). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$

Альтернативные определения

Первоначальное определение Эресманна требовало , чтобы и обладали гладкой структурой, такой, что только является гладким и отображения и являются субиммерсиями (т.е. имеют локально постоянный ранг ). Такое определение оказалось слишком слабым и было заменено Прадинесом на то, которое используется в настоящее время. ^[4] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g\mapsto 1_{s(g)}}$ ${\displaystyle g\mapsto 1_{t(g)}}$

Хотя некоторые авторы ^[5] ввели более слабые определения, которые не требовали и быть субмерсиями, эти свойства являются основополагающими для развития всей теории Ли группоидов и алгеброидов. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$

Первые свойства

Тот факт, что исходное и целевое отображение группоида Ли являются гладкими погружениями, имеет некоторые непосредственные последствия: ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

• -волокна , -волокна и множество составляемых морфизмов являются подмногообразиями ; ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s^{-1}(x)\subseteq G}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t^{-1}(x)\subseteq G}$ ${\displaystyle G^{(2)}\subseteq G\times G}$
• отображение инверсии является диффеоморфизмом ; ${\displaystyle i}$
• единичная карта представляет собой гладкое вложение ; ${\displaystyle u}$
• группы изотропии являются группами Ли ; ${\displaystyle G_{x}}$
• орбиты являются погруженными подмногообразиями ; ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}\subseteq M}$
• -волокно в точке является главным -расслоением над орбитой в этой точке. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s^{-1}(x)}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle G_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}}$

Подобъекты и морфизмы

Подгруппоид Ли группоида Ли — это подгруппоид (т.е. подкатегория категории ) с дополнительным требованием, что это погруженное подмногообразие. Что касается подкатегории, подгруппоид (Ли) называется широким , если . Любой группоид Ли имеет два канонических широких подгруппоида: ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle H\rightrightarrows N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\subseteq G}$ ${\displaystyle N=M}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

• единичный/тождественный подгруппоид Ли ; ${\displaystyle u(M)=\{1_{x}\in G\mid x\in M\}}$
• внутренний подгруппоид , т.е. расслоение изотропных групп (которые, однако, в общем случае могут не быть гладкими). ${\displaystyle IG:=\{g\in G\mid s(g)=t(g)\}}$

Нормальный подгруппоид Ли — это широкий подгруппоид Ли внутри такой, что для любого с , имеем . Таким образом, группы изотропии являются нормальными подгруппами групп изотропии . ${\displaystyle H\subseteq G}$ ${\displaystyle IG}$ ${\displaystyle h\in H,g\in G}$ ${\displaystyle s(h)=t(h)=s(g)}$ ${\displaystyle ghg^{-1}\in H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

Морфизм группоидов Ли между двумя группоидами Ли и является морфизмом группоидов (т. е. функтором между категориями и ), где и являются гладкими. Ядро морфизма между группоидами Ли над одним и тем же базовым многообразием автоматически является нормальным подгруппоидом Ли. ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle H\rightrightarrows N}$ ${\displaystyle F:G\to H,f:M\to N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ker(F):=\{g\in G\mid F(g)=1_{s(g)}\}}$

Фактор имеет естественную группоидную структуру, такую ​​что проекция является группоидным морфизмом; однако, в отличие от факторов групп Ли , может не быть группоидом Ли в общем случае. Соответственно, теоремы об изоморфизме для группоидов не могут быть специализированы для всей категории группоидов Ли, а только для специальных классов. ^[6] ${\displaystyle G/\ker(F)\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G\to G/\ker(F)}$ ${\displaystyle G/\ker(F)}$

Группоид Ли называется абелевым, если его изотропные группы Ли являются абелевыми . По тем же причинам, что и выше, в то время как определение абелианизации группы распространяется на теоретико-множественные группоиды, в случае Ли аналог фактора может не существовать или быть гладким. ^[7] ${\displaystyle G^{ab}=G/(IG,IG)}$

Бисекции

Бисекция группоида Ли — это гладкое отображение, такое что и является диффеоморфизмом . Чтобы преодолеть отсутствие симметрии между источником и целью, бисекция может быть эквивалентно определена как подмногообразие, такое что и являются диффеоморфизмами; связь между двумя определениями задается формулой . ^[8] ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle b:M\to G}$ ${\displaystyle s\circ b=id_{M}}$ ${\displaystyle t\circ b}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B\subseteq G}$ ${\displaystyle s_{\mid B}:B\to M}$ ${\displaystyle t_{\mid B}:B\to M}$ ${\displaystyle B=b(M)}$

Множество делений пополам образует группу , в которой умножение определяется как , а инверсия определяется как Обратите внимание, что определение дано таким образом, что если и , то и . ${\displaystyle b_{1}\cdot b_{2}}$ $${\displaystyle (b_{1}\cdot b_{2})(x):=b_{1}(b_{2}(x))b_{2}(x).}$$ $${\displaystyle b_{1}^{-1}(x):=i\circ b_{1}\left((t\circ b_{2})^{-1}(x)\right)}$$ ${\displaystyle t\circ b_{1}=\phi _{1}}$ ${\displaystyle t\circ b_{2}=\phi _{2}}$ ${\displaystyle t\circ (b_{1}\cdot b_{2})=\phi _{1}\circ \phi _{2}}$ ${\displaystyle t\circ b_{1}^{-1}=\phi _{1}^{-1}}$

Группе бисекций можно придать компактно-открытую топологию , а также (бесконечномерную) структуру многообразия Фреше , совместимую со структурой группы, что превращает ее в группу Фреше-Ли.

Локальное биссектриса определяется аналогично, но умножение между локальными бисекциями, конечно, определено лишь частично. ${\displaystyle b:U\subseteq M\to G}$

Примеры

Тривиальные и экстремальные случаи

• Группоиды Ли с одним объектом — это то же самое, что и группы Ли. ${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$
• Для любого многообразия существует группоид Ли, называемый парным группоидом , с ровно одним морфизмом из любого объекта в любой другой. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$
• Два предыдущих примера являются частными случаями тривиального группоида со структурными отображениями , , , и . ${\displaystyle M\times G\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle s(x,g,y)=y}$ ${\displaystyle t(x,g,y)=x}$ ${\displaystyle m((x,g,y),(y,h,z))=(x,gh,z)}$ ${\displaystyle u(x)=(x,1,x)}$ ${\displaystyle i(x,g,y)=(y,g^{-1},x)}$
• Для любого многообразия существует группоид Ли , называемый единичным группоидом , с единственным морфизмом из одного объекта в себя, а именно тождеством, и без морфизмов между различными объектами. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u(M)\rightrightarrows M}$
• В более общем смысле группоиды Ли с являются тем же самым, что и расслоение групп Ли (не обязательно локально тривиальное). Например, любое векторное расслоение является расслоением абелевых групп, поэтому оно, в частности, является (n абелевым) группоидом Ли. ${\displaystyle s=t}$

Конструкции из других группоидов Ли

• Для любого группоида Ли и сюръективной субмерсии существует группоид Ли , называемый его группоидом обратного вытягивания или индуцированным группоидом , где содержит тройки такие, что и , а умножение определяется с помощью умножения . Например, обратный вытягивание парного группоида является парным группоидом . ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \mu :N\to M}$ ${\displaystyle \mu ^{*}G\rightrightarrows N}$ ${\displaystyle \mu ^{*}G\subseteq N\times G\times N}$ ${\displaystyle (x,g,y)}$ ${\displaystyle s(g)=\mu (y)}$ ${\displaystyle t(g)=\mu (x)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$
• Для любых двух группоидов Ли и существует группоид Ли , называемый их прямым произведением , такой, что морфизмы группоидов и являются сюръективными субмерсиями. ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows M_{1}}$ ${\displaystyle G_{2}\rightrightarrows M_{2}}$ ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}\rightrightarrows M_{1}\times M_{2}}$ ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}\to \mathrm {pr} _{M_{1}}^{*}G_{1}}$ ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}\to \mathrm {pr} _{M_{2}}^{*}G_{2}}$
• Для любого группоида Ли существует группоид Ли , называемый его касательным группоидом , полученный путем рассмотрения касательного расслоения и и дифференциала структурных отображений. ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle TG\rightrightarrows TM}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$
• Для любого группоида Ли существует группоид Ли , называемый его кокасательным группоидом , полученный путем рассмотрения кокасательного расслоения , двойственного к алгеброиду Ли (см. ниже), и подходящих структурных отображений, включающих дифференциалы левых и правых переносов. ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle T^{*}G\rightrightarrows A^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$
• Для любого группоида Ли существует группоид Ли , называемый его струйным группоидом , полученный путем рассмотрения k-струй локальных биссекций (с гладкой структурой, унаследованной от струйного расслоения ) и установки , , , и . ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle J^{k}G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s:G\to M}$ ${\displaystyle s(j_{x}^{k}b)=x}$ ${\displaystyle t(j_{x}^{k}b)=t(b(x))}$ ${\displaystyle m(j_{t(b(x))}^{k}b_{1},j_{x}^{k}b_{2})=j_{x}^{k}(b_{1}\cdot b_{2})}$ ${\displaystyle u(x)=j_{x}^{k}u}$ ${\displaystyle i(j_{x}^{k}b)=j_{t(b(x))}^{k}b^{-1}}$

Примеры из дифференциальной геометрии

• При наличии погружения существует группоид Ли , называемый группоидом погружения или расслоенным парным группоидом , структурные отображения которого индуцируются из парного группоида (условие, что является погружением, обеспечивает гладкость ). Если является точкой, то восстанавливается парный группоид. ${\displaystyle \mu :M\to N}$ ${\displaystyle M\times _{\mu }M:=\{(x,y)\in M\times M\mid \mu (x)=\mu (y)\}\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle M\times _{\mu }M}$ ${\displaystyle N}$
• Для данной группы Ли, действующей на многообразии , существует группоид Ли , называемый группоидом действия или группоидом трансляции , с одним морфизмом для каждой тройки с . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle g\in G,x,y\in M}$ ${\displaystyle gx=y}$
• Для любого векторного расслоения существует группоид Ли , называемый общим линейным группоидом , с морфизмами между, являющимися линейными изоморфизмами между слоями и . Например, если — тривиальное векторное расслоение ранга , то — группоид действия. ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle GL(E)\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle x,y\in M}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle E_{y}}$ ${\displaystyle E=M\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle GL(E)\rightrightarrows M}$
• Любое главное расслоение со структурной группой определяет группоид Ли , где действует на пары покомпонентно, называемый калибровочным группоидом . Умножение определяется через совместимых представителей, как в парном группоиде. ${\displaystyle P\to M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (P\times P)/G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (p,q)\in P\times P}$
• Любое слоение на многообразии определяет два группоида Ли, (или ) и , называемые соответственно монодромным/гомотопным/фундаментальным группоидом и группоидом голономии , морфизмы которых состоят из гомотопических , соответственно голономических , классов эквивалентности путей, целиком лежащих в листе . Например, когда — тривиальное слоение только с одним листом, восстанавливаются соответственно фундаментальный группоид и парный группоид . С другой стороны, когда — простое слоение, т. е. слоение (связанными) слоями субмерсии , его группоид голономии — это в точности группоид субмерсии , но его группоид монодромии может даже не быть хаусдорфовым из-за общего критерия в терминах исчезающих циклов. ^[9] В общем случае многие элементарные слоения порождают монодромные и голономные группоиды, которые не являются хаусдорфовыми. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {Mon} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \Pi _{1}({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu :M\to N}$ ${\displaystyle M\times _{\mu }M}$
• Для любой псевдогруппы существует группоид Ли , называемый ее ростковым группоидом , наделенный топологией пучка и структурными отображениями, аналогичными отображениям струйного группоида. Это еще один естественный пример группоида Ли, чье пространство стрелок не является ни хаусдорфовым, ни счетным во второй степени. ${\displaystyle \Gamma \subseteq \mathrm {Diff} _{loc}(M)}$ ${\displaystyle G=\mathrm {Germ} (\Gamma )\rightrightarrows M}$

Важные классы группоидов Ли

Обратите внимание, что некоторые из следующих классов имеют смысл уже в категории теоретико-множественных или топологических группоидов .

Транзитивные группоиды

Группоид Ли является транзитивным (в старой литературе также называемым связным), если он удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

• существует только одна орбита;
• между любыми двумя объектами существует по крайней мере морфизм;
• отображение (также известное как якорь ) является сюръективным. ${\displaystyle (s,t):G\to M\times M}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

Калибровочные группоиды представляют собой прототипические примеры транзитивных группоидов Ли: действительно, любой транзитивный группоид Ли изоморфен калибровочному группоиду некоторого главного расслоения, а именно -расслоения , для любой точки . Например: ${\displaystyle G_{x}}$ ${\displaystyle t:s^{-1}(x)\to M}$ ${\displaystyle x\in M}$

• тривиальный группоид Ли транзитивен и возникает из тривиального главного -расслоения . Как частные случаи, группы Ли и парные группоиды тривиально транзитивны и возникают, соответственно, из главного -расслоения и из главного -расслоения ; ${\displaystyle M\times G\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times M\to M}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$ ${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\to {*}}$ ${\displaystyle \{e\}}$ ${\displaystyle M\to M}$
• группоид действия транзитивен тогда и только тогда, когда действие группы транзитивно , и в таком случае он возникает из главного расслоения со структурной группой — группой изотропии (в произвольной точке); ${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G\to M}$
• общий линейный группоид является транзитивным и возникает из расслоения фреймов ; ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle Fr(E)\to M}$
• Группоиды обратного хода, реактивные группоиды и касательные группоиды транзитивны тогда и только тогда, когда транзитивны. ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

В качестве менее тривиального примера соответствия между транзитивными группоидами Ли и главными расслоениями рассмотрим фундаментальный группоид (связного) гладкого многообразия . Это, естественно, топологический группоид, который, кроме того, транзитивен; можно видеть, что изоморфен калибровочному группоиду универсального покрытия . Соответственно, наследует гладкую структуру, которая превращает его в группоид Ли. ${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$

Группоиды субмерсий являются примером нетранзитивных группоидов Ли, орбиты которых в точности являются слоями . ${\displaystyle M\times _{\mu }M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \mu }$

Более сильное понятие транзитивности требует, чтобы якорь был сюръективной субмерсией. Такое условие также называется локальной тривиальностью , поскольку становится локально изоморфным (как группоид Ли) тривиальному группоиду над любым открытым (как следствие локальной тривиальности главных расслоений). ^[6] ${\displaystyle (s,t):G\to M\times M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U\subseteq M}$

Когда пространство является счетно-вторым, транзитивность подразумевает локальную тривиальность. Соответственно, эти два условия эквивалентны для многих примеров, но не для всех: например, если является транзитивной псевдогруппой, ее группоид ростка транзитивен, но не локально тривиален. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {Germ} (\Gamma )}$

Правильные группоиды

Группоид Ли называется собственным, если является собственным отображением. Как следствие ${\displaystyle (s,t):G\to M\times M}$

• все группы изотропии компактны ; ${\displaystyle G}$
• все орбиты являются замкнутыми подмногообразиями; ${\displaystyle G}$
• пространство орбит является хаусдорфовым . ${\displaystyle M/G}$

Например:

• Группа Ли является собственной тогда и только тогда, когда она компактна;
• парные группоиды всегда правильные;
• Группоиды единиц всегда правильные;
• группоид действия является правильным тогда и только тогда, когда действие является правильным ;
• фундаментальный группоид является собственным тогда и только тогда, когда фундаментальные группы конечны .

Как видно выше, правильность для группоидов Ли является «правильным» аналогом компактности для групп Ли. Можно также рассмотреть более «естественные» условия, например, потребовать, чтобы исходное отображение было правильным (тогда называется s-правильным ), или чтобы все пространство было компактным (тогда называется компактным ), но эти требования оказываются слишком строгими для многих примеров и приложений. ^[10] ${\displaystyle s:G\to M}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

Этальные группоиды

Группоид Ли называется эталь , если он удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

• размеры и равны; ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle s}$является локальным диффеоморфизмом ;
• все -волокна дискретны ${\displaystyle s}$

В результате этого -волокна, группы изотропии и орбиты также становятся дискретными. ${\displaystyle t}$

Например:

• Группа Ли является этальной тогда и только тогда, когда она дискретна;
• парные группоиды никогда не являются этальными;
• единичные группоиды всегда этальные;
• группоид действия является этальным тогда и только тогда, когда он дискретен; ${\displaystyle G}$
• Зародышевые группоиды псевдогрупп всегда являются этальны.

Эффективные группоиды

Этальный группоид называется эффективным , если для любых двух локальных биссекций условие влечет . Например: ${\displaystyle b_{1},b_{2}}$ ${\displaystyle t\circ b_{1}=t\circ b_{2}}$ ${\displaystyle b_{1}=b_{2}}$

• Группы Ли эффективны тогда и только тогда, когда они тривиальны;
• Группоиды единиц всегда эффективны;
• Группоид действия эффективен, если -действие свободно и дискретно. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

В общем случае любой эффективный этальный группоид возникает как зародышевый группоид некоторой псевдогруппы. ^[11] Однако можно дать и (более сложное) определение эффективности, которое не предполагает этального свойства.

Группоиды, связанные с источником

Группоид Ли называется -связным , если все его -слои связны . Аналогично говорят о -односвязных группоидах (когда -слои просто связны ) или исходно-k-связных группоидах (когда -слои k-связны , т.е. первые гомотопические группы тривиальны). ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k}$

Обратите внимание, что все пространство стрелок не должно удовлетворять какой-либо гипотезе связности. Однако, если является исходно -связным группоидом Ли над -связным многообразием, то оно само автоматически -связно. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$

Например

• Группы Ли являются -связанными относительно источника тогда и только тогда, когда они -связаны; ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$
• парный группоид является истоково -связанным тогда и только тогда, когда является -связанным; ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$
• Группоиды единиц всегда связаны источником; ${\displaystyle k}$
• Группоиды действия связаны с источником тогда и только тогда, когда они связаны с источником; ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$
• Группоиды монодромии (следовательно, и фундаментальные группоиды) являются исходно односвязными;
• калибровочный группоид, связанный с главным расслоением, является истоково -связанным тогда и только тогда, когда полное пространство истоков связно. ${\displaystyle P\to M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle P}$

Дальнейшие связанные концепции

Действия и основные связки

Напомним, что действие группоида на множестве вдоль функции определяется через набор отображений для каждого морфизма между . Соответственно, действие группоида Ли на многообразии вдоль гладкого отображения состоит из действия группоида, где отображения гладкие. Конечно, для каждого существует индуцированное гладкое действие группы изотропии на слое . ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mu :P\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(x)\to \mu ^{-1}(y),\quad p\mapsto g\cdot p}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle x,y\in M}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mu :P\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(x)\to \mu ^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle G_{x}}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(x)}$

Если задан группоид Ли , главное -расслоение состоит из -пространства и -инвариантной сюръективной субмерсии, такой что является диффеоморфизмом. Эквивалентные (но более сложные) определения могут быть даны с использованием -значных коциклов или локальных тривиализаций. ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :P\to N}$ $${\displaystyle P\times _{N}G\to P\times _{\pi }P,\quad (p,g)\mapsto (p,p\cdot g)}$$ ${\displaystyle G}$

Когда — группоид Ли над точкой, восстанавливаются, соответственно, стандартные действия группы Ли и главные расслоения . ${\displaystyle G}$

Представления

Представление группоида Ли состоит из действия группоида Ли на векторном расслоении , такого , что действие является послойно линейным, т.е. каждая биекция является линейным изоморфизмом. Эквивалентно, представление на может быть описано как морфизм группоида Ли из в общий линейный группоид . ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \pi :E\to M}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)\to \pi ^{-1}(y)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle GL(E)}$

Конечно, любое волокно становится представлением группы изотропии . В более общем смысле, представления транзитивных группоидов Ли однозначно определяются представлениями их групп изотропии посредством построения ассоциированного векторного расслоения . ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle G_{x}}$

Примеры представлений группоидов Ли включают в себя следующее:

• представления групп Ли восстанавливают стандартные представления групп Ли ${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$
• представления парных группоидов являются тривиальными векторными расслоениями ${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$
• представления единичных группоидов являются векторными расслоениями ${\displaystyle M\rightrightarrows M}$
• представления группоида действия - эквивариантные векторные расслоения ${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G}$
• представления фундаментальных группоидов — это векторные расслоения, снабженные плоскими связями ${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$

Множество классов изоморфизма представлений группоида Ли имеет естественную структуру полукольца с прямыми суммами и тензорными произведениями векторных расслоений. ${\displaystyle \mathrm {Rep} (G)}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

Дифференцируемые когомологии

Понятие дифференцируемых когомологий для групп Ли естественным образом обобщается и на группоиды Ли: определение опирается на симплициальную структуру нерва , рассматриваемую как категория. ${\displaystyle N(G)_{n}=G^{(n)}}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

Точнее, напомним, что пространство состоит из строк составных морфизмов, т.е. ${\displaystyle G^{(n)}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle G^{(n)}:=\{(g_{1},\ldots ,g_{n})\in G\times \ldots \times G\mid s(g_{i})=t(g_{i+1})\quad \forall i=1,\ldots ,n-1\},}$

и рассмотрите карту . ${\displaystyle t^{(n)}=t\circ \mathrm {pr} _{1}:G^{(n)}\to M,(g_{1},\ldots ,g_{n})\mapsto t(g_{1})}$

Дифференцируемая -коцепь с коэффициентами в некотором представлении является гладким сечением векторного расслоения пулбэка . Обозначим через пространство таких -коцепей ${\displaystyle n}$ и рассмотрим дифференциал , определяемый как ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle (t^{(n)})^{*}E\to G^{(n)}}$ ${\displaystyle C^{n}(G,E)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d_{n}:C^{n}(G,E)\to C^{n+1}(G,E)}$

${\displaystyle d_{n}(c)(g_{1},\ldots ,g_{n+1}):=g_{1}\cdot c(g_{2},\ldots ,g_{n+1})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}c(g_{1},\ldots ,g_{i}g_{i+1},\ldots ,g_{n+1})+(-1)^{n+1}c(g_{1},\ldots ,g_{n}).}$

Тогда становится коцепным комплексом , а его когомологии, обозначаемые как , называются дифференцируемыми когомологиями с коэффициентами в . Обратите внимание, что, поскольку дифференциал в нулевой степени равен , всегда имеем . ${\displaystyle (C^{n}(G,E),d^{n})}$ ${\displaystyle H_{d}^{n}(G,E)}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle d_{0}(c)(g)=g\cdot c(s(g))-c(t(g))}$ ${\displaystyle H_{d}^{0}(G,E)=\ker(d_{0})=\Gamma (E)^{G}}$

Конечно, дифференцируемые когомологии как группоида Ли совпадают со стандартными дифференцируемыми когомологиями как группы Ли (в частности, для дискретных групп восстанавливаются обычные групповые когомологии ). С другой стороны, для любого собственного группоида Ли можно доказать, что для любого . ^[12] ${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle H_{d}^{n}(G,E)=0}$ ${\displaystyle n>0}$

Алгеброид Ли группоида Ли

Любой группоид Ли имеет ассоциированный алгеброид Ли , полученный с помощью конструкции, аналогичной той, которая сопоставляет алгебру Ли любой группе Лиː ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle A\to M}$

• векторное расслоение — это вертикальное расслоение относительно исходного отображения, ограниченное элементами, касательными к тождествам, т.е. ; ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle A:=\ker(ds)_{\mid M}}$
• скобка Ли получается путем отождествления с левоинвариантными векторными полями на и переноса их скобки Ли в ; ${\displaystyle \Gamma (A)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$
• Якорная карта — это дифференциал целевой карты, ограниченный . ${\displaystyle A\to TM}$ ${\displaystyle t:G\to M}$ ${\displaystyle A}$

Соответствие между группой Ли и алгеброй Ли в некоторой степени распространяется и на группоиды Ли: первые две теоремы Ли (также известные как теорема о подгруппах–подалгебрах и теорема о гомоморфизмах) действительно могут быть легко адаптированы к этой ситуации.

В частности, как и в стандартной теории Ли, для любого s-связного группоида Ли существует единственный (с точностью до изоморфизма) s-односвязный группоид Ли с тем же алгеброидом Ли , и локальный диффеоморфизм , который является морфизмом группоида. Например, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}\to G}$

• Для любого связного многообразия его парный группоид является s-связным, но не s-односвязным, в то время как его фундаментальный группоид является. Они оба имеют один и тот же алгеброид Ли, а именно касательное расслоение , а локальный диффеоморфизм задается как . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle TM\to M}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(M)\to M\times M}$ ${\displaystyle [\gamma ]\mapsto (\gamma (0),\gamma (1))}$
• для любого слоения на его группоид голономии является s-связным, но не s-односвязным, в то время как его группоид монодромии является. Они оба имеют один и тот же алгеброид Ли, а именно алгеброид слоения , и локальный диффеоморфизм задается как (поскольку гомотопические классы меньше голономических). ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \mathrm {Mon} ({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to M}$ ${\displaystyle \mathrm {Mon} ({\mathcal {F}})\to \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle [\gamma ]\mapsto [\gamma ]}$

Однако аналога третьей теоремы Ли не существует ː хотя несколько классов алгеброидов Ли интегрируемы, существуют примеры алгеброидов Ли, например, связанные с теорией расслоения , которые не допускают интегрирующего группоида Ли. ^[13] Общие препятствия к существованию такой интеграции зависят от топологии . ^[14] ${\displaystyle G}$

Морита эквивалентность

Как обсуждалось выше, стандартное понятие (изо)морфизма группоидов (рассматриваемых как функторы между категориями ) естественным образом ограничивается группоидами Ли. Однако существует более грубое понятие эквивалентности, называемое эквивалентностью Мориты, которое является более гибким и полезным в приложениях.

Во-первых, отображение Мориты (также известное как слабая эквивалентность или существенная эквивалентность) между двумя группоидами Ли и состоит из морфизма группоидов Ли из G в H, который, кроме того, полностью точен и существенно сюръективен (адаптируя эти категориальные понятия к гладкому контексту). Мы говорим, что два группоида Ли и являются эквивалентными по Морите тогда и только тогда, когда существует третий группоид Ли вместе с двумя отображениями Мориты из G в K и из H в K. ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$ ${\displaystyle H_{1}\rightrightarrows H_{0}}$ ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$ ${\displaystyle H_{1}\rightrightarrows H_{0}}$ ${\displaystyle K_{1}\rightrightarrows K_{0}}$

Более явное описание эквивалентности Мориты (например, полезное для проверки того, что это отношение эквивалентности ) требует существования двух сюръективных субмерсий и вместе с левым -действием и правым -действием, коммутирующих друг с другом и образующих главное би-расслоение. ^[15] ${\displaystyle P\to G_{0}}$ ${\displaystyle P\to H_{0}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$

Морита инвариантность

Многие свойства группоидов Ли, например, быть собственным, быть хаусдорфовым или быть транзитивным, являются инвариантами Мориты. С другой стороны, быть этальным не является инвариантом Мориты.

Кроме того, эквивалентность Мориты между и сохраняет их поперечную геометрию , т.е. она индуцирует: ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$ ${\displaystyle H_{1}\rightrightarrows H_{0}}$

• гомеоморфизм между пространствами орбит и ; ${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$ ${\displaystyle H_{0}/H_{1}}$
• изоморфизм между группами изотропии в соответствующих точках и ; ${\displaystyle G_{x}\cong H_{y}}$ ${\displaystyle x\in G_{0}}$ ${\displaystyle y\in H_{0}}$
• изоморфизм между нормальными представлениями групп изотропии в соответствующих точках и . ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}\cong {\mathcal {N}}_{y}}$ ${\displaystyle x\in G_{0}}$ ${\displaystyle y\in H_{0}}$

Наконец, дифференцируемые когомологии двух Морита-эквивалентных группоидов Ли изоморфны. ^[12]

Примеры

• Изоморфные группоиды Ли тривиально эквивалентны по Морите.
• Две группы Ли эквивалентны по Морите тогда и только тогда, когда они изоморфны как группы Ли.
• Два единичных группоида эквивалентны по Морите тогда и только тогда, когда базовые многообразия диффеоморфны.
• Любой транзитивный группоид Ли эквивалентен по Морите своим группам изотропии.
• Для данного группоида Ли и сюръективной субмерсии группоид обратного протягивания эквивалентен по Морите группоиду . ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \mu :N\to M}$ ${\displaystyle \mu ^{*}G\rightrightarrows N}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$
• При наличии свободного и собственного действия группы Ли на (следовательно, фактор является многообразием) группоид действия эквивалентен по Морите единичному группоиду . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M/G}$ ${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle u(M/G)\rightrightarrows M/G}$
• Группоид Ли эквивалентен по Морите этальному группоиду тогда и только тогда, когда все изотропные группы дискретны. ^[16] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Конкретный пример последнего примера выглядит следующим образом. Пусть M — гладкое многообразие и открытое покрытие . Его группоид Чеха определяется непересекающимися объединениями и , где . Исходное и целевое отображение определяются как вложения и , а умножение очевидно, если мы читаем как подмножества M (совместимые точки в и на самом деле совпадают в и также лежат в ). Группоид Чеха на самом деле является группоидом обратного притяжения при очевидном погружении единичного группоида . Таким образом, группоиды Чеха, связанные с различными открытыми покрытиями , эквивалентны по Морите. ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$ ${\displaystyle G_{0}:=\bigsqcup _{\alpha }U_{\alpha }}$ ${\displaystyle G_{1}:=\bigsqcup _{\alpha ,\beta }U_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle U_{\alpha \beta }=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\subset M}$ ${\displaystyle s:U_{\alpha \beta }\to U_{\alpha }}$ ${\displaystyle t:U_{\alpha \beta }\to U_{\beta }}$ ${\displaystyle U_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle U_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle U_{\beta \gamma }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U_{\alpha \gamma }}$ ${\displaystyle p:G_{0}\to M}$ ${\displaystyle M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle M}$

Гладкие стеки

Исследование структуры пространства орбит группоида Ли приводит к понятию гладкого стека. Например, пространство орбит является гладким многообразием, если группы изотропии тривиальны (как в примере группоида Чеха), но оно не является гладким в общем случае. Решение состоит в том, чтобы обратить проблему и определить гладкий стек как класс Морита-эквивалентности группоидов Ли. Естественные геометрические объекты, живущие на стеке, являются геометрическими объектами на группоидах Ли, инвариантными относительно Морита-эквивалентности: примером являются когомологии группоидов Ли.

Поскольку понятие гладкого стека является довольно общим, очевидно, что все гладкие многообразия являются гладкими стеками. Другие классы примеров включают орбифолды , которые являются (классами эквивалентности) собственными этальными группоидами Ли, и пространства орбит слоений.

Ссылки

1. Вайнштейн, Алан (1996-02-03). "Группоиды: объединение внутренней и внешней симметрии" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 43 : 744–752. arXiv : math/9602220 .
2. Эресманн, Чарльз (1959). «Категории топологические и дифференцируемые категории» [Топологические категории и дифференцируемые категории] (PDF) . Colloque de Géométrie différentielle globale (на французском языке). CBRM, Брюссель: 137–150.
3. Эресманн, Чарльз (1963). «Структурированные категории». Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure (на французском языке). 80 (4): 349–426. дои : 10.24033/asens.1125 .
4. Прадин, Жан (1966). «Теория лжи для дифференцируемых группоидов. Отношения между собственными локальными и глобальными группами» [Теория лжи для дифференцируемых группоидов. Отношения между локальными и глобальными свойствами. ЧР акад. наук. Париж (на французском языке). 263 : 907–910 — через Галлику .
5. Кумпера, Антонио; Спенсер, Дональд Клейтон (2016-03-02). Уравнения Ли, т. I. Princeton University Press. doi :10.1515/9781400881734. ISBN 978-1-4008-8173-4.
6. Mackenzie, K. (1987). Группоиды Ли и алгеброиды Ли в дифференциальной геометрии. Серия заметок к лекциям Лондонского математического общества. Кембридж: Cambridge University Press. doi : 10.1017/cbo9780511661839. ISBN 978-0-521-34882-9.
7. Контрерас, Иван; Фернандес, Руи Лоха (28.06.2021). «Интеграция родов, абелианизация и расширенная монодромия». Международные уведомления по математическим исследованиям . 2021 (14): 10798–10840. arXiv : 1805.12043 . doi : 10.1093/imrn/rnz133 . ISSN  1073-7928.
8. Альберт, Клод; Дазор, Пьер; Вайнштейн, Алан (1987). «Groupoïdes Symplectiques» [Симплектические группоиды]. Паб. Кафедра математики. Лион (на французском языке) (2A): 1–62 – через NUMDAM  [fr] .
9. Куэста, Ф. Алькальде; Гектор, Г. (1 сентября 1997 г.). «Feuilletages en Surfaces, Cycles évanouissants et variétés de Poisson» [Слоения на поверхностях, исчезающие циклы и многообразия Пуассона]. Monatshefte für Mathematik (на французском языке). 124 (3): 191–213. дои : 10.1007/BF01298244. ISSN  1436-5081. S2CID  119369484.
10. Крайник, Мариус ; Лоха Фернандес, Руи ; Мартинес Торрес, Дэвид (01 ноября 2019 г.). «Многообразия Пуассона компактных типов (ПМКТ 1)». Journal für die reine und angewandte Mathematik (Журнал Крелля) . 2019 (756): 101–149. arXiv : 1510.07108 . doi : 10.1515/crelle-2017-0006. ISSN  1435-5345. S2CID  7668127.
11. Хефлигер, Андре (1 декабря 1958). «Structures feuilletées et cohomologie à valeur dans un faisceau de groupoïdes» [Слоистые структуры и когомологии, принимающие значения в пучке группоидов]. Commentarii Mathematici Helvetici (на французском языке). 32 (1): 248–329. дои : 10.1007/BF02564582. ISSN  1420-8946. S2CID  121138118.
12. Крайник, Мариус (31 декабря 2003 г.). «Дифференцируемые и алгеброидные когомологии, изоморфизмы Ван Эста и характеристические классы». Комментарии по математике Helvetici . 78 (4): 681–721. arXiv : math/0008064 . дои : 10.1007/s00014-001-0766-9 . ISSN  0010-2571.
13. Алмейда, Руи; Молино, Пьер (1985). «Suites d'Atiyah et feuilletages transversalement complets» [последовательности Атьи и поперечно полные слоения]. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I (на французском языке). 300 :13–15 — через Галлику .
14. Crainic, Marius ; Fernandes, Rui (2003-03-01). «Интегрируемость скобок Ли». Annals of Mathematics . 157 (2): 575–620. arXiv : math/0105033 . doi : 10.4007/annals.2003.157.575 . ISSN  0003-486X.
15. дель Ойо, Матиас (2013). «Группоиды Ли и их орбипространства». Португальская математика . 70 (2): 161–209. arXiv : 1212.6714 . дои : 10.4171/PM/1930. ISSN  0032-5155.
16. Crainic, Marius ; Moerdijk, Ieke (2001-02-10). "Foliation Groupoids and Their Cyclic Homology". Advances in Mathematics . 157 (2): 177–197. arXiv : math/0003119 . doi : 10.1006/aima.2000.1944 . ISSN  0001-8708.

Книги

• Вайнштейн, А. (1996). «Группоиды: объединение внутренней и внешней симметрии» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 43 : 744–752. arXiv : math/9602220 .
• Маккензи, К. (1987). Группоиды Ли и алгеброиды Ли в дифференциальной геометрии . Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511661839. ISBN 9780521348829.
• MacKenzie, KCH (2005). Общая теория группоидов Ли и алгеброидов Ли . Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9781107325883. ISBN 9781107325883.
• Crainic, M.; Fernandes, RL (2011). "Лекции по интегрируемости скобок Ли" (PDF) . Монографии по геометрии и топологии . 17 : 1–107. arXiv : math/0611259 .
• Moerdijk, I.; Mrcun, J. (2003). Введение в слоения и группоиды Ли . Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511615450. ISBN 9780521831970.