Группа Коксетера

Группа, которая допускает формальное описание в терминах размышлений

В математике группа Коксетера , названная в честь HSM Coxeter , является абстрактной группой , которая допускает формальное описание в терминах отражений (или калейдоскопических зеркал ). Действительно, конечные группы Коксетера являются в точности конечными евклидовыми группами отражений ; например, группа симметрии каждого правильного многогранника является конечной группой Коксетера. Однако не все группы Коксетера конечны, и не все могут быть описаны в терминах симметрий и евклидовых отражений. Группы Коксетера были введены в 1934 году как абстракции групп отражений, ^[1] а конечные группы Коксетера были классифицированы в 1935 году. ^[2]

Группы Коксетера находят применение во многих областях математики. Примерами конечных групп Коксетера являются группы симметрии правильных многогранников и группы Вейля простых алгебр Ли . Примерами бесконечных групп Коксетера являются группы треугольников, соответствующие правильным мозаикам евклидовой плоскости и гиперболической плоскости , и группы Вейля бесконечномерных алгебр Каца–Муди . ^{[3] [4] [5]}

Определение

Формально группу Кокстера можно определить как группу с представлением

${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }$

где и является либо целым числом, либо для . Здесь условие означает, что не должно быть наложено никакого отношения вида для любого целого числа . ${\displaystyle m_{ii}=1}$ ${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}\geq 2}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle m_{ij}=\infty }$ ${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m}=1}$ ${\displaystyle m\geq 2}$

Пара , где есть группа Коксетера с образующими называется системой Коксетера . Обратите внимание, что в общем случае однозначно не определяется . Например, группы Коксетера типа и изоморфны, но системы Коксетера не эквивалентны, поскольку первая имеет 3 образующих, а вторая — 1 + 3 = 4 образующих (см. ниже объяснение этой записи). ${\displaystyle (W,S)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle S=\{r_{1},\dots ,r_{n}\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle A_{1}\times A_{3}}$

Из приведенного выше определения можно сразу сделать ряд выводов.

• Это отношение означает, что для всех  ; как таковые, генераторы являются инволюциями . ${\displaystyle m_{ii}=1}$ ${\displaystyle (r_{i}r_{i})^{1}=(r_{i})^{2}=1}$ ${\displaystyle i}$
• Если , то генераторы и коммутируют. Это следует из наблюдения, что ${\displaystyle m_{ij}=2}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{j}}$

${\displaystyle xx=yy=1}$,

вместе с

${\displaystyle xyxy=1}$

подразумевает, что

${\displaystyle xy=x(xyxy)y=(xx)yx(yy)=yx}$.

В качестве альтернативы, поскольку генераторы являются инволюциями, , поэтому . То есть коммутатор и равен 1, или, что эквивалентно , и коммутируют. ${\displaystyle r_{i}=r_{i}^{-1}}$ ${\displaystyle 1=(r_{i}r_{j})^{2}=r_{i}r_{j}r_{i}r_{j}=r_{i}r_{j}r_{i}^{-1}r_{j}^{-1}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{j}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{j}}$

Причина, по которой for указано в определении, заключается в том, что ${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}}$ ${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle yy=1}$,

вместе с

${\displaystyle (xy)^{m}=1}$

уже подразумевает, что

${\displaystyle (yx)^{m}=(yx)^{m}yy=y(xy)^{m}y=yy=1}$.

Альтернативным доказательством этого следствия является наблюдение, что и являются сопряженными числами : действительно . ${\displaystyle (xy)^{k}}$ ${\displaystyle (yx)^{k}}$ ${\displaystyle y(xy)^{k}y^{-1}=(yx)^{k}yy^{-1}=(yx)^{k}}$

Матрица Коксетера и матрица Шлефли

Матрица Кокстера — это симметричная матрица с элементами . Действительно, каждая симметричная матрица с диагональными элементами, равными исключительно 1, и недиагональными элементами в наборе является матрицей Кокстера. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle m_{ij}}$ ${\displaystyle \{2,3,\ldots \}\cup \{\infty \}}$

Матрицу Коксетера можно удобно закодировать с помощью диаграммы Коксетера , следуя следующим правилам.

• Вершины графа помечены индексами генератора.
• Вершины и смежны тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle m_{ij}\geq 3}$
• Ребро помечается значением всякий раз, когда значение равно или больше. ${\displaystyle m_{ij}}$ ${\displaystyle 4}$

В частности, два генератора коммутируют тогда и только тогда, когда они не соединены ребром. Более того, если граф Коксетера имеет два или более связных компонента , ассоциированная группа является прямым произведением групп, ассоциированных с отдельными компонентами. Таким образом, непересекающееся объединение графов Коксетера дает прямое произведение групп Коксетера.

Матрица Коксетера, , связана с матрицей Шлефли с записями , но элементы изменены, будучи пропорциональными скалярному произведению парных генераторов. Матрица Шлефли полезна, поскольку ее собственные значения определяют, является ли группа Коксетера конечного типа (все положительные), аффинного типа (все неотрицательные, по крайней мере один ноль) или неопределенного типа (в противном случае). Неопределенный тип иногда подразделяется далее, например, на гиперболические и другие группы Коксетера. Однако существует несколько неэквивалентных определений для гиперболических групп Коксетера. ${\displaystyle M_{ij}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{ij}=-2\cos(\pi /M_{ij})}$

Пример

Граф , в котором вершины через расположены в ряд, и каждая вершина соединена непомеченным ребром со своими непосредственными соседями, является диаграммой Коксетера симметрической группы ; образующие соответствуют транспозициям . Любые две непоследовательные транспозиции коммутируют, в то время как умножение двух последовательных транспозиций дает 3-цикл : . Следовательно, является частным группы Коксетера, имеющей диаграмму Коксетера . Дальнейшие рассуждения показывают, что это факторное отображение является изоморфизмом. ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S_{n+1}}$ ${\displaystyle (1~~2),(2~~3),\dots ,(n~~n+1)}$ ${\displaystyle (k~~k+1)\cdot (k+1~~k+2)=(k~~k+2~~k+1)}$ ${\displaystyle S_{n+1}}$ ${\displaystyle A_{n}}$

Абстракция рефлексивных групп

Группы Коксетера являются абстракцией групп отражений. Группы Коксетера являются абстрактными группами в том смысле, что они даны посредством представления. С другой стороны, группы отражений являются конкретными в том смысле, что каждый из их элементов является композитом конечного числа геометрических отражений относительно линейных гиперплоскостей в некотором евклидовом пространстве. Технически, группа отражений является подгруппой линейной группы (или различных обобщений), порожденной ортогональными матрицами с определителем -1. Каждый генератор группы Коксетера имеет порядок 2, который абстрагирует геометрический факт, что выполнение отражения дважды является тождеством. Каждое отношение вида , соответствующее геометрическому факту, что для двух гиперплоскостей , встречающихся под углом , композит двух отражений относительно этих гиперплоскостей является поворотом на , который имеет порядок k . ${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{k}}$ ${\displaystyle \pi /k}$ ${\displaystyle 2\pi /k}$

Таким образом, каждая группа отражений может быть представлена ​​как группа Коксетера. ^[1] Обратное утверждение частично верно: каждая конечная группа Коксетера допускает точное представление в виде конечной группы отражений некоторого евклидова пространства. ^[2] Однако не каждая бесконечная группа Коксетера допускает представление в виде группы отражений.

Конечные группы Кокстера были классифицированы. ^[2]

Конечные группы Кокстера

Графы Кокстера неприводимых конечных групп Кокстера

Классификация

Конечные группы Коксетера классифицируются в терминах их диаграмм Коксетера . ^[2]

Конечные группы Коксетера со связанными диаграммами Коксетера состоят из трех однопараметрических семейств возрастающей размерности ( для , для и для ), однопараметрического семейства размерности два ( для ) и шести исключительных групп ( и ). Каждая конечная группа Коксетера является прямым произведением конечного числа этих неприводимых групп. ^[a] ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle I_{2}(p)}$ ${\displaystyle p\geq 5}$ ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},H_{3},}$ ${\displaystyle H_{4}}$

Группы Вейля

Многие, но не все из них, являются группами Вейля, и каждая группа Вейля может быть реализована как группа Кокстера. Группы Вейля — это семейства и исключения , и обозначаются в нотации групп Вейля как ${\displaystyle A_{n},B_{n},}$ ${\displaystyle D_{n},}$ ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},}$ ${\displaystyle I_{2}(6),}$ ${\displaystyle G_{2}.}$

Не-вейлевские группы являются исключениями и , а также те члены семейства , которые не являются исключительно изоморфными группе Вейля (а именно и ). ${\displaystyle H_{3}}$ ${\displaystyle H_{4},}$ ${\displaystyle I_{2}(p)}$ ${\displaystyle I_{2}(3)\cong A_{2},I_{2}(4)\cong B_{2},}$ ${\displaystyle I_{2}(6)\cong G_{2}}$

Это можно доказать, сравнив ограничения на (неориентированные) диаграммы Дынкина с ограничениями на диаграммы Коксетера конечных групп: формально граф Коксетера можно получить из диаграммы Дынкина, отбросив направление ребер и заменив каждое двойное ребро ребром с меткой 4, а каждое тройное ребро ребром с меткой 6. Также обратите внимание, что каждая конечно порожденная группа Коксетера является автоматической группой . ^[6] Диаграммы Дынкина имеют дополнительное ограничение, что единственными разрешенными метками ребер являются 2, 3, 4 и 6, что дает вышеизложенное. Геометрически это соответствует теореме о кристаллографическом ограничении и тому факту, что исключенные многогранники не заполняют пространство или не заполняют плоскость — для додекаэдра (дуально икосаэдра) не заполняет пространство; для 120-ячеечного (дуально 600-ячеечного) не заполняет пространство; для p -угольника , который не замощает плоскость, за исключением или (треугольной, квадратной и шестиугольной мозаики соответственно). ${\displaystyle H_{3},}$ ${\displaystyle H_{4},}$ ${\displaystyle I_{2}(p)}$ ${\displaystyle p=3,4,}$ ${\displaystyle 6}$

Отметим далее, что (направленные) диаграммы Дынкина B _n и C _n порождают одну и ту же группу Вейля (следовательно, группу Коксетера), поскольку они различаются как направленные графы, но совпадают как ненаправленные графы — направление имеет значение для корневых систем, но не для группы Вейля; это соответствует тому, что гиперкуб и кросс-политоп являются различными правильными многогранниками, но имеют одну и ту же группу симметрии.

Характеристики

Некоторые свойства конечных неприводимых групп Коксетера приведены в следующей таблице. Порядок приводимой группы можно вычислить как произведение порядков ее неприводимых подгрупп.

Группы симметрии правильных многогранников

Группа симметрии каждого правильного многогранника является конечной группой Коксетера. Обратите внимание, что двойственные многогранники имеют одну и ту же группу симметрии.

Существует три серии правильных многогранников во всех измерениях. Группа симметрии правильного n -симплекса — это симметрическая группа S n +1 , также известная как группа Коксетера типа A n . Группа симметрии n -куба и _{его двойственного} , n _-кросс - политопа , — это B n _, и известна как гипероктаэдрическая группа .

Исключительные правильные многогранники в измерениях два, три и четыре соответствуют другим группам Коксетера. В двух измерениях диэдральные группы , которые являются группами симметрии правильных многоугольников , образуют ряд I ₂ ( p ), для p ≥ 3. В трех измерениях группа симметрии правильного додекаэдра и его двойственного, правильного икосаэдра , — это H ₃ , известная как полная группа икосаэдра . В четырех измерениях существует три исключительных правильных многогранника: 24-ячейковый , 120-ячейковый и 600-ячейковый . Первый имеет группу симметрии F ₄ , в то время как два других являются двойственными и имеют группу симметрии H ₄ .

Группы Кокстера типа D _n , E ₆ , E ₇ и E ₈ являются группами симметрии некоторых полуправильных многогранников .

Аффинные группы Коксетера

Диаграммы Коксетера для аффинных групп Коксетера

Диаграмма Штифеля для корневой системы ${\displaystyle G_{2}}$

Аффинные группы Коксетера образуют вторую важную серию групп Коксетера. Они сами по себе не конечны, но каждая содержит нормальную абелеву подгруппу, такую ​​что соответствующая фактор-группа конечна. В каждом случае фактор-группа сама является группой Коксетера, а граф Коксетера аффинной группы Коксетера получается из графа Коксетера фактор-группы добавлением еще одной вершины и одного или двух дополнительных ребер. Например, для n  ≥ 2 граф, состоящий из n +1 вершин в окружности, получается из A _n таким образом, а соответствующая группа Коксетера является аффинной группой Вейля для A _n ( аффинной симметрической группой ). Для n  = 2 это можно изобразить как подгруппу группы симметрии стандартной мозаики плоскости равносторонними треугольниками.

В общем случае, если задана корневая система, можно построить соответствующую диаграмму Штифеля , состоящую из гиперплоскостей, ортогональных корням, вместе с определенными трансляциями этих гиперплоскостей. Аффинная группа Коксетера (или аффинная группа Вейля) является тогда группой, порожденной (аффинными) отражениями относительно всех гиперплоскостей в диаграмме. ^[9] Диаграмма Штифеля делит плоскость на бесконечное число связных компонент, называемых альковами , и аффинная группа Коксетера действует свободно и транзитивно на альковах, так же как обычная группа Вейля действует свободно и транзитивно на камерах Вейля. Рисунок справа иллюстрирует диаграмму Штифеля для корневой системы. ${\displaystyle G_{2}}$

Предположим, что есть неприводимая корневая система ранга и пусть будет набором простых корней. Пусть также обозначит наибольший корень. Тогда аффинная группа Коксетера генерируется обычными (линейными) отражениями относительно гиперплоскостей, перпендикулярных , вместе с аффинным отражением относительно трансляции гиперплоскости, перпендикулярной . Граф Коксетера для аффинной группы Вейля — это диаграмма Коксетера–Дынкина для , вместе с одним дополнительным узлом, связанным с . В этом случае одну нишу диаграммы Штифеля можно получить, взяв фундаментальную камеру Вейля и разрезав ее трансляцией гиперплоскости, перпендикулярной . ^[10] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r>1}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}$ ${\displaystyle \alpha _{r+1}}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}$ ${\displaystyle \alpha _{r+1}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \alpha _{r+1}}$ ${\displaystyle \alpha _{r+1}}$

Список аффинных групп Коксетера приведен ниже:

Индекс символа группы на единицу меньше числа узлов в каждом случае, поскольку каждая из этих групп была получена путем добавления узла к графу конечной группы.

Гиперболические группы Коксетера

Существует бесконечно много гиперболических групп Кокстера, описывающих группы отражений в гиперболическом пространстве , в том числе, в частности, группы гиперболического треугольника.

Неприводимые группы Коксетера

Группа Коксетера называется неприводимой, если ее диаграмма Коксетера–Дынкина связна. Каждая группа Коксетера является прямым произведением неприводимых групп, соответствующих компонентам ее диаграммы Коксетера–Дынкина.

Частичные заказы

Выбор генераторов отражения приводит к функции длины ℓ на группе Коксетера, а именно минимальному числу использований генераторов, необходимых для выражения элемента группы; это как раз длина в метрике слов в графе Кэли . Выражение для v с использованием генераторов ℓ ( v ) является сокращенным словом . Например, перестановка (13) в S ₃ имеет два сокращенных слова, (12)(23)(12) и (23)(12)(23). Функция определяет отображение, обобщающее отображение знаков для симметрической группы. ${\displaystyle v\to (-1)^{\ell (v)}}$ ${\displaystyle G\to \{\pm 1\},}$

Используя приведенные слова, можно определить три частичных порядка на группе Коксетера, (правый) слабый порядок , абсолютный порядок и порядок Брюа (названный в честь Франсуа Брюа ). Элемент v превосходит элемент u в порядке Брюа, если некоторое (или, что эквивалентно, любое) приведенное слово для v содержит приведенное слово для u в качестве подстроки, где некоторые буквы (в любой позиции) опущены. В слабом порядке v  ≥  u , если некоторое приведенное слово для v содержит приведенное слово для u в качестве начального сегмента. Действительно, длина слова превращает это в градуированный посет . Диаграммы Хассе , соответствующие этим порядкам, являются объектами изучения и связаны с графом Кэли , определяемым генераторами. Абсолютный порядок определяется аналогично слабому порядку, но с порождающим набором/алфавитом, состоящим из всех сопряженных генераторов Коксетера.

Например, перестановка (1 2 3) в S ₃ имеет только одно сокращенное слово, (12)(23), поэтому охватывает (12) и (23) в порядке Брюа, но охватывает только (12) в слабом порядке.

Гомология

Поскольку группа Коксетера порождается конечным числом элементов порядка 2, ее абелианизация является элементарной абелевой 2-группой , т. е. она изоморфна прямой сумме нескольких копий циклической группы . Это можно переформулировать в терминах первой группы гомологий . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle W}$

Множитель Шура , равный второй группе гомологий , был вычислен в (Ihara & Yokonuma 1965) для конечных групп отражений и в (Yokonuma 1965) для аффинных групп отражений, с более унифицированным описанием, данным в (Howlett 1988). Во всех случаях множитель Шура также является элементарной абелевой 2-группой. Для каждого бесконечного семейства конечных или аффинных групп Вейля ранг стабилизируется при стремлении к бесконечности. ${\displaystyle M(W)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \{W_{n}\}}$ ${\displaystyle M(W_{n})}$ ${\displaystyle n}$

Смотрите также

• Группа Артин–Титс
• Теорема Шевалле–Шепарда–Тодда
• Группа комплексного отражения
• элемент Кокстера
• Алгебра Ивахори–Гекке , квантовая деформация групповой алгебры
• Полином Каждана–Люстига
• Самый длинный элемент группы Коксетера
• Параболическая подгруппа группы отражений
• Сверхразрешимая композиция

Примечания

1. В некоторых контекстах схема именования может быть расширена, чтобы разрешить следующие альтернативные или избыточные имена: , , , , и . ${\displaystyle B_{1}\cong A_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}\cong I_{2}(2)\cong A_{1}\times A_{1}}$ ${\displaystyle I_{2}(3)\cong A_{2}}$ ${\displaystyle I_{2}(4)\cong B_{2}}$ ${\displaystyle H_{2}\cong I_{2}(5)}$ ${\displaystyle D_{3}\cong A_{3}}$
2. индекс 2 подгруппы ${\displaystyle \operatorname {GO} _{4}^{+}(5)}$

Ссылки

1. Coxeter, HSM (1934). «Дискретные группы, порожденные отражениями». Annals of Mathematics . 35 (3): 588–621. CiteSeerX  10.1.1.128.471 . doi :10.2307/1968753. JSTOR  1968753.
2. Coxeter, HSM (январь 1935). «Полное перечисление конечных групп вида ». Журнал Лондонского математического общества : 21–25. doi :10.1112/jlms/s1-10.37.21. ${\displaystyle r_{i}^{2}=(r_{i}r_{j})^{k_{ij}}=1}$
3. Бурбаки, Николас (2002). "4-6". Группы Ли и алгебры Ли . Элементы математики. Springer. ISBN 978-3-540-42650-9. Збл  0983.17001.
4. Хамфрис, Джеймс Э. (1990). Группы отражения и группы Коксетера (PDF) . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 29. Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511623646. ISBN 978-0-521-43613-7. Збл  0725.20028 . Проверено 18 ноября 2023 г.
5. Дэвис, Майкл В. (2007). Геометрия и топология групп Коксетера (PDF) . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13138-2. Збл  1142.20020 . Проверено 18 ноября 2023 г.
6. Бринк, Бригитта; Хоулетт, Роберт Б. (1993). «Свойство конечности и автоматическая структура для групп Коксетера». Mathematische Annalen . 296 (1): 179–190. doi :10.1007/BF01445101. S2CID  122177473. Zbl  0793.20036.
7. Coxeter, HSM (январь 1973). "12.6. Число отражений". Регулярные многогранники . Courier Corporation. ISBN 0-486-61480-8.
8. Уилсон, Роберт А. (2009), "Глава 2", Конечные простые группы , Graduate Texts in Mathematics 251, т. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5
9. Холл 2015 Раздел 13.6
10. Холл 2015 Глава 13, Упражнения 12 и 13

Библиография

• Холл, Брайан С. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение . Graduate Texts in Mathematics. Том 222 (2-е изд.). Springer. ISBN 978-3-319-13466-6.
• Ихара, С.; Йоконума, Такео (1965). «О вторых группах когомологий (множителях Шура) конечных групп отражений» (PDF) . J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. 1 . 11 : 155–171. Zbl  0136.28802. Архивировано из оригинала (PDF) 2013-10-23.
• Хоулетт, Роберт Б. (1988). «О множителях Шура групп Коксетера». J. London Math. Soc . 2. 38 (2): 263–276. doi :10.1112/jlms/s2-38.2.263. Zbl  0627.20019.
• Йоконума, Такео (1965). «О вторых группах когомологий (множителях Шура) бесконечных дискретных групп отражений». J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. 1. 11 : 173–186. hdl :2261/6049. Zbl  0136.28803.

Дальнейшее чтение

• Бьёрнер, Андерс ; Бренти, Франческо (2005). Комбинаторика групп Коксетера. Graduate Texts in Mathematics . Vol. 231. Springer. ISBN 978-3-540-27596-1. Збл  1110.05001.
• Гроув, Ларри К.; Бенсон, Кларк Т. (1985). Конечные группы отражений. Выпускные тексты по математике. Том 99. Springer. ISBN 978-0-387-96082-1.
• Кейн, Ричард (2001). Группы отражений и теория инвариантов. CMS Books in Mathematics. Springer. ISBN 978-0-387-98979-2. Збл  0986.20038.
• Хиллер, Ховард (1982). Геометрия групп Коксетера. Research Notes in Mathematics. Том 54. Питман. ISBN 978-0-273-08517-1. Збл  0483.57002.
• Винберг, Эрнест Б. (1984). "Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах Лобачевского большой размерности". Труды Моск. Мат. Общ . 47 .

Внешние ссылки

• «Группа Коксетера», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. , «Группа Кокстера», MathWorld
• Программное обеспечение Jenn для визуализации графов Кэли конечных групп Кокстера на четырех генераторах