Скорость

Скорость и направление движения

Скорость — это скорость в сочетании с направлением движения объекта . Скорость — это фундаментальное понятие в кинематике , разделе классической механики , описывающем движение тел.

Скорость — это физическая векторная величина : для ее определения необходимы как величина, так и направление. Скалярное абсолютное значение ( величина ) скорости называется скоростью , являясь последовательной производной единицей, величина которой измеряется в СИ ( метрической системе ) как метры в секунду (м/с или м⋅с ⁻¹ ). Например, «5 метров в секунду» — это скаляр, тогда как «5 метров в секунду на восток» — это вектор. Если происходит изменение скорости, направления или и того, и другого, то говорят, что объект испытывает ускорение .

Определение

Средняя скорость

Средняя скорость объекта за определенный период времени — это изменение его положения , деленное на продолжительность периода, математически выражаясь как ^[1] ${\displaystyle \Delta s}$ ${\displaystyle \Delta t}$ $${\displaystyle {\bar {v}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}.}$$

Мгновенная скорость

Пример графика зависимости скорости от времени и взаимосвязи между скоростью v на оси y, ускорением a (три зеленые касательные линии представляют значения ускорения в различных точках вдоль кривой) и смещением s (желтая область под кривой).

Мгновенная скорость объекта — это предельная средняя скорость, когда временной интервал приближается к нулю. В любой конкретный момент времени t ее можно рассчитать как производную положения по времени: ^[2] $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta {\boldsymbol {s}}}{\Delta t}}={\frac {d{\boldsymbol {s}}}{dt}}.}$$

Из этого производного уравнения в одномерном случае видно, что площадь под графиком скорости от времени ( v от t ) — это смещение s . В терминах исчисления интеграл функции скорости v ( t ) — это функция смещения s ( t ) . На рисунке это соответствует желтой области под кривой. s = ∫ v d t . {\displaystyle {\boldsymbol {s}}=\int {\boldsymbol {v}}\ dt.}

Хотя концепция мгновенной скорости на первый взгляд может показаться нелогичной, ее можно рассматривать как скорость, с которой объект будет продолжать двигаться, если прекратит ускоряться в этот момент.

Разница между скоростью и быстротой

Кинематические величины классической частицы: масса m , положение r , скорость v , ускорение a .

Хотя термины скорость и величавость часто используются в разговорной речи как взаимозаменяемые для обозначения того, насколько быстро движется объект, в научных терминах они различны. Скорость, скалярная величина вектора скорости, обозначает только то, насколько быстро движется объект, в то время как скорость указывает как на скорость, так и на направление объекта. ^{[3] [4] [5]}

Чтобы иметь постоянную скорость , объект должен иметь постоянную скорость в постоянном направлении. Постоянное направление ограничивает движение объекта по прямой траектории, таким образом, постоянная скорость означает движение по прямой линии с постоянной скоростью.

Например, автомобиль, движущийся с постоянной скоростью 20 километров в час по круговой траектории, имеет постоянную скорость, но не имеет постоянной скорости, поскольку его направление меняется. Следовательно, автомобиль считается испытывающим ускорение.

Единицы

Поскольку производная положения по времени дает изменение положения (в метрах ), деленное на изменение времени (в секундах ), скорость измеряется в метрах в секунду (м/с).

Уравнение движения

Средняя скорость

Скорость определяется как скорость изменения положения относительно времени, которую также можно назвать мгновенной скоростью, чтобы подчеркнуть отличие от средней скорости. В некоторых приложениях может потребоваться средняя скорость объекта, то есть постоянная скорость, которая обеспечит такое же результирующее смещение, как и переменная скорость в том же интервале времени, v ( t ) , в течение некоторого периода времени Δ t . Среднюю скорость можно рассчитать как: ^{[6] [7]}

v ¯ = Δ x Δ t = ∫ t 0 t 1 v ( t ) d t t 1 − t 0 . {\displaystyle \mathbf {\bar {v}} ={\frac {\Delta \mathbf {x} }{\Delta t}}={\frac {\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {v} (t)dt}{t_{1}-t_{0}}}.}

Средняя скорость всегда меньше или равна средней скорости объекта. Это можно увидеть, поняв, что в то время как расстояние всегда строго увеличивается, смещение может увеличиваться или уменьшаться по величине, а также менять направление.

В терминах графика зависимости смещения от времени ( x от t ) мгновенную скорость (или просто скорость) можно рассматривать как наклон касательной к кривой в любой точке , а среднюю скорость — как наклон секущей между двумя точками с координатами t , равными границам периода времени для средней скорости.

Особые случаи

• Когда частица движется с различными равномерными скоростями v ₁ , v ₂ , v ₃ , ..., v _n в различные интервалы времени t ₁ , t ₂ , t ₃ , ..., t _n соответственно, то средняя скорость за все время путешествия определяется как $${\displaystyle {\bar {v}}={v_{1}t_{1}+v_{2}t_{2}+v_{3}t_{3}+\dots +v_{n}t_{n} \over t_{1}+t_{2}+t_{3}+\dots +t_{n}}}$$

Если t ₁ = t ₂ = t ₃ = ... = t , то средняя скорость определяется как среднее арифметическое скоростей $${\displaystyle {\bar {v}}={v_{1}+v_{2}+v_{3}+\dots +v_{n} \over n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{v_{i}}}$$

• Когда частица движется на различные расстояния s ₁ , s ₂ , s ₃ ,..., s _n со скоростями v ₁ , v ₂ , v ₃ ,..., v _n соответственно, то средняя скорость частицы на всем расстоянии определяется как ^[8]

$${\displaystyle {\bar {v}}={s_{1}+s_{2}+s_{3}+\dots +s_{n} \over t_{1}+t_{2}+t_{3}+\dots +t_{n}}={{s_{1}+s_{2}+s_{3}+\dots +s_{n}} \over {{s_{1} \over v_{1}}+{s_{2} \over v_{2}}+{s_{3} \over v_{3}}+\dots +{s_{n} \over v_{n}}}}}$$Если s ₁ = s ₂ = s ₃ = ... = s , то средняя скорость определяется гармоническим средним скоростей ^[8] $${\displaystyle {\bar {v}}=n\left({1 \over v_{1}}+{1 \over v_{2}}+{1 \over v_{3}}+\dots +{1 \over v_{n}}\right)^{-1}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{v_{i}}}\right)^{-1}.}$$

Связь с ускорением

Хотя скорость определяется как скорость изменения положения, часто принято начинать с выражения для ускорения объекта . Как видно из трех зеленых касательных линий на рисунке, мгновенное ускорение объекта в момент времени является наклоном касательной к кривой графика v ( t ) в этой точке. Другими словами, мгновенное ускорение определяется как производная скорости по времени: ^{[9] a = d v d} t . {\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}.}

Отсюда скорость выражается как площадь под графиком ускорения a ( t ) против времени. Как и выше, это делается с использованием концепции интеграла:

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\int {\boldsymbol {a}}\ dt.}$$

Постоянное ускорение

В частном случае постоянного ускорения скорость можно изучить с помощью уравнений Сувата . Рассматривая a как равный некоторому произвольному постоянному вектору, это показывает, что v — скорость в момент времени t , а u — скорость в момент времени t = 0. Объединив это уравнение с уравнением Сувата x = u t + a t ² /2 , можно связать смещение и среднюю скорость следующим образом: Также можно вывести выражение для скорости, не зависящей от времени, известное как уравнение Торричелли , следующим образом: где v = | v | и т. д. $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}t}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\frac {({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})}{2}}t={\boldsymbol {\bar {v}}}t.}$$ $${\displaystyle v^{2}={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {v}}=({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}t)\cdot ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}t)=u^{2}+2t({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})+a^{2}t^{2}}$$ $${\displaystyle (2{\boldsymbol {a}})\cdot {\boldsymbol {x}}=(2{\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {u}}t+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {a}}t^{2})=2t({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})+a^{2}t^{2}=v^{2}-u^{2}}$$ $${\displaystyle \therefore v^{2}=u^{2}+2({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}})}$$

Приведенные выше уравнения справедливы как для ньютоновской механики , так и для специальной теории относительности . Разница между ньютоновской механикой и специальной теорией относительности заключается в том, как разные наблюдатели описывают одну и ту же ситуацию. В частности, в ньютоновской механике все наблюдатели соглашаются относительно значения t, а правила преобразования положения создают ситуацию, в которой все неускоряющиеся наблюдатели описывают ускорение объекта одинаковыми значениями. Ни одно из них не верно для специальной теории относительности. Другими словами, можно вычислить только относительную скорость.

Величины, зависящие от скорости

Импульс

В классической механике второй закон Ньютона определяет импульс p как вектор, являющийся произведением массы и скорости объекта, математически задаваемый как p = m v {\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}}, где m — масса объекта.

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия движущегося объекта зависит от его скорости и определяется уравнением ^[10] E k = 1 2 m v 2 {\displaystyle E_{\text{k}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}} где E _k — кинетическая энергия. Кинетическая энергия — скалярная величина, поскольку она зависит от квадрата скорости.

Сопротивление (сопротивление жидкости)

В гидродинамике сопротивление — это сила, действующая в направлении, противоположном относительному движению любого объекта, движущегося по отношению к окружающей жидкости. Сила сопротивления зависит от квадрата скорости и определяется как F D = 1 2 ρ v 2 C D A {\displaystyle F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}\,C_{D}\,A} где ${\displaystyle F_{D}}$

• ${\displaystyle \rho }$плотность жидкости, ^[11 ]
• ${\displaystyle v}$это скорость объекта относительно жидкости,
• ${\displaystyle A}$- площадь поперечного сечения , а
• ${\displaystyle C_{D}}$коэффициент сопротивления – безразмерное число .

Скорость убегания

Скорость убегания — это минимальная скорость, необходимая баллистическому объекту для того, чтобы покинуть массивное тело, такое как Земля. Она представляет собой кинетическую энергию, которая при добавлении к гравитационной потенциальной энергии объекта (которая всегда отрицательна) равна нулю. Общая формула для скорости убегания объекта на расстоянии r от центра планеты с массой M выглядит следующим образом: ^[12] где G — гравитационная постоянная , а g — ускорение свободного падения . Скорость убегания с поверхности Земли составляет около 11 200 м/с и не зависит от направления объекта. Это делает «скорость убегания» несколько неправильным термином, поскольку более правильным термином было бы «скорость убегания»: любой объект, достигающий скорости такой величины, независимо от атмосферы, покинет окрестности базового тела, если только он не пересечется с чем-либо на своем пути. $${\displaystyle v_{\text{e}}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {2gr}},}$$

Фактор Лоренца специальной теории относительности

В специальной теории относительности безразмерный фактор Лоренца появляется часто и определяется как ^[13] γ = 1 1 − v 2 c 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} где γ — фактор Лоренца, а c — скорость света.

Относительная скорость

Относительная скорость — это измерение скорости между двумя объектами, определенное в одной системе координат. Относительная скорость является фундаментальной как в классической, так и в современной физике, поскольку многие системы в физике имеют дело с относительным движением двух или более частиц.

Рассмотрим объект A, движущийся с вектором скорости v , и объект B с вектором скорости w ; эти абсолютные скорости обычно выражаются в одной и той же инерциальной системе отсчета . Тогда скорость объекта A относительно объекта B определяется как разность двух векторов скорости: Аналогично, относительная скорость объекта B, движущегося со скоростью w , относительно объекта A, движущегося со скоростью v , равна: Обычно выбирается та инерциальная система отсчета, в которой последний из двух упомянутых объектов находится в покое. $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{A{\text{ relative to }}B}={\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {w}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{B{\text{ relative to }}A}={\boldsymbol {w}}-{\boldsymbol {v}}}$$

В ньютоновской механике относительная скорость не зависит от выбранной инерциальной системы отсчета. Это уже не так в специальной теории относительности , в которой скорости зависят от выбора системы отсчета.

Скалярные скорости

В одномерном случае ^[14] скорости являются скалярами, и уравнение имеет вид: если два объекта движутся в противоположных направлениях, или: если два объекта движутся в одном направлении. $${\displaystyle v_{\text{rel}}=v-(-w),}$$ $${\displaystyle v_{\text{rel}}=v-(+w),}$$

Системы координат

Декартовы координаты

В многомерных декартовых системах координат скорость разбивается на компоненты, которые соответствуют каждой размерной оси системы координат. В двумерной системе, где есть ось x и ось y, соответствующие компоненты скорости определяются как ^[15]

$${\displaystyle v_{x}=dx/dt,}$$

$${\displaystyle v_{y}=dy/dt.}$$

Двумерный вектор скорости тогда определяется как . Величина этого вектора представляет скорость и находится по формуле расстояния как ${\displaystyle {\textbf {v}}=<v_{x},v_{y}>}$

$${\displaystyle |v|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}.}$$

В трехмерных системах, где имеется дополнительная ось z, соответствующая компонента скорости определяется как

$${\displaystyle v_{z}=dz/dt.}$$

Трехмерный вектор скорости определяется как , его величина также представляет скорость и определяется как ${\displaystyle {\textbf {v}}=<v_{x},v_{y},v_{z}>}$

$${\displaystyle |v|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}.}$$

В то время как некоторые учебники используют подстрочные обозначения для определения декартовых компонентов скорости, другие используют , , и для осей -, - и - соответственно. ^[16] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Полярные координаты

Представление радиальной и тангенциальной составляющих скорости в различные моменты прямолинейного движения с постоянной скоростью объекта вокруг наблюдателя O (соответствует, например, проезду автомобиля по прямой улице вокруг пешехода, стоящего на тротуаре). Радиальную составляющую можно наблюдать благодаря эффекту Доплера , тангенциальная составляющая вызывает видимые изменения положения объекта.

В полярных координатах двумерная скорость описывается радиальной скоростью , определяемой как компонент скорости от или к началу координат, и поперечной скоростью , перпендикулярной радиальной. ^{[17] [18]} Обе возникают из угловой скорости , которая является скоростью вращения вокруг начала координат (при этом положительные величины представляют вращение против часовой стрелки, а отрицательные величины представляют вращение по часовой стрелке в правой системе координат).

Радиальная и траверсная скорости могут быть получены из декартовых векторов скорости и смещения путем разложения вектора скорости на радиальную и поперечную составляющие. Поперечная скорость является компонентом скорости вдоль окружности с центром в начале координат. где $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}_{T}+{\boldsymbol {v}}_{R}}$$

• ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{T}}$поперечная скорость
• ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{R}}$— лучевая скорость.

Радиальная скорость (или величина радиальной скорости) представляет собой скалярное произведение вектора скорости и единичного вектора в радиальном направлении. где — положение, а — радиальное направление. $${\displaystyle v_{R}={\frac {{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {r}}}{\left|{\boldsymbol {r}}\right|}}={\boldsymbol {v}}\cdot {\hat {\boldsymbol {r}}}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {r}}}}$

Поперечная скорость (или величина поперечной скорости) — это величина векторного произведения единичного вектора в радиальном направлении и вектора скорости. Это также скалярное произведение скорости и поперечного направления или произведение угловой скорости и радиуса (величина положения). таким образом, что ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle v_{T}={\frac {|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|}{|{\boldsymbol {r}}|}}={\boldsymbol {v}}\cdot {\hat {\boldsymbol {t}}}=\omega |{\boldsymbol {r}}|}$$ $${\displaystyle \omega ={\frac {|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|}{|{\boldsymbol {r}}|^{2}}}.}$$

Угловой момент в скалярной форме равен массе, умноженной на расстояние до начала координат, умноженной на поперечную скорость, или, что эквивалентно, массе, умноженной на квадрат расстояния, умноженный на угловую скорость. Соглашение о знаках для углового момента такое же, как и для угловой скорости. где $${\displaystyle L=mrv_{T}=mr^{2}\omega }$$

• ${\displaystyle m}$это масса
• ${\displaystyle r=|{\boldsymbol {r}}|.}$

Выражение известно как момент инерции . Если силы действуют только в радиальном направлении с обратной квадратичной зависимостью, как в случае гравитационной орбиты , угловой момент постоянен, а поперечная скорость обратно пропорциональна расстоянию, угловая скорость обратно пропорциональна квадрату расстояния, а скорость, с которой выметается площадь, постоянна. Эти соотношения известны как законы Кеплера движения планет . ${\displaystyle mr^{2}}$

Смотрите также

• Четырехскоростная (релятивистская версия скорости для пространства-времени Минковского )
• Групповая скорость
• Гиперскорость
• Фазовая скорость
• Собственная скорость (в теории относительности, использующей время путешественника вместо времени наблюдателя)
• Быстрота (вариант аддитивной скорости на релятивистских скоростях)
• Конечная скорость
• Поле скоростей
• График зависимости скорости от времени

Примечания

• Роберт Резник и Джерл Уокер, Основы физики , Wiley; 7-е издание (16 июня 2004 г.). ISBN  0-471-23231-9 .

Ссылки

1. "Лекции Фейнмана по физике, том I, гл. 8: Движение". www.feynmanlectures.caltech.edu . Получено 05.01.2024 .
2. Дэвид Холлидей; Роберт Резник; Джерл Уокер (2021). Основы физики, расширенные (12-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 71. ISBN 978-1-119-77351-1.Выдержка из страницы 71
3. Ричард П. Оленик; Том М. Апостол; Дэвид Л. Гудштейн (2008). Механическая вселенная: введение в механику и тепло (иллюстрированное, переизданное издание). Cambridge University Press. стр. 84. ISBN 978-0-521-71592-8.Выдержка из страницы 84
4. Майкл Дж. Кардамоне (2007). Фундаментальные концепции физики. Universal-Publishers. стр. 5. ISBN 978-1-59942-433-0.Выдержка из страницы 5
5. Джерри Д. Уилсон; Энтони Дж. Буффа; Бо Лу (2022). College Physics Essentials, восьмое издание (двухтомный комплект) (иллюстрированное издание). CRC Press. стр. 40. ISBN 978-1-351-12991-6.Выдержка из страницы 40
6. Дэвид Холлидей; Роберт Резник; Джерл Уокер (2021). Основы физики, расширенные (12-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 70. ISBN 978-1-119-77351-1.Выдержка из страницы 70
7. Адриан Баннер (2007). Спасатель исчисления: все инструменты, необходимые для преуспевания в исчислении (иллюстрированное издание). Princeton University Press. стр. 350. ISBN 978-0-691-13088-0.Выдержка из страницы 350
8. Giri & Bannerjee (2002). Статистические инструменты и методы. Academic Publishers. стр. 4. ISBN 978-81-87504-39-9.Выдержка из страницы 4
9. Бекир Караоглу (2020). Классическая физика: двухсеместровый учебник. Springer Nature. стр. 41. ISBN 978-3-030-38456-2.Выдержка из страницы 41
10. Дэвид Холлидей; Роберт Резник; Джерл Уокер (2010). Основы физики, главы 33-37. John Wiley & Sons. стр. 1080. ISBN 978-0-470-54794-6.Выдержка из страницы 1080
11. Для атмосферы Земли плотность воздуха можно найти с помощью барометрической формулы . Она составляет 1,293 кг/м ³ при 0 °C и 1 атмосфере .
12. Джим Брейтхаупт (2000). Новое понимание физики для продвинутого уровня (иллюстрированное издание). Нельсон Торнс. стр. 231. ISBN 978-0-7487-4314-8.Выдержка из страницы 231
13. Эккехард В. Мильке (2022). Современные аспекты теории относительности. World Scientific. стр. 98. ISBN 978-981-12-4406-3.Выдержка из страницы 98
14. Основной принцип
15. "Лекции Фейнмана по физике. Том I. Гл. 9: Законы динамики Ньютона". www.feynmanlectures.caltech.edu . Получено 04.01.2024 .
16. Уайт, FM (2008). Механика жидкостей . The McGraw Hill Companies,.
17. Э. Грэм; Эйдан Берроуз; Брайан Голтер (2002). Механика, том 6 (иллюстрированное издание). Heinemann. стр. 77. ISBN 978-0-435-51311-5.Выдержка из страницы 77
18. Anup Goel; HJ Sawant (2021). Инженерная механика. Технические публикации. стр. 8. ISBN 978-93-332-2190-0.Выдержка из страницы 8

Внешние ссылки

• Скорость и ускорение
• Введение в механизмы ( Университет Карнеги-Меллона )