Авраам де Муавр

французский математик (1667–1754)

Авраам де Муавр ( фр. Abraham de Moivre FRS ; 26 мая 1667 — 27 ноября 1754) — французский математик, известный формулой Муавра , связывающей комплексные числа и тригонометрию , а также работами по нормальному распределению и теории вероятностей .

Он переехал в Англию в молодом возрасте из-за религиозных преследований гугенотов во Франции, которые достигли апогея в 1685 году с эдиктом Фонтенбло . ^[1] Он был другом Исаака Ньютона , Эдмунда Галлея и Джеймса Стерлинга . Среди своих соотечественников-гугенотов, изгнанных в Англию, он был коллегой редактора и переводчика Пьера де Мезо .

Де Муавр написал книгу по теории вероятностей «Доктрина шансов» , которую, как говорят, высоко ценили игроки. Де Муавр первым открыл формулу Бине , замкнутое выражение для чисел Фибоначчи, связывающее n- ю степень золотого сечения φ с n-м числом Фибоначчи. Он также был первым, кто постулировал центральную предельную теорему , краеугольный камень теории вероятностей.

Жизнь

Доктрина случайностей , 1756 г.

Ранние годы

Авраам де Муавр родился в Витри-ле-Франсуа в Шампани 26 мая 1667 года. Его отец, Даниэль де Муавр, был хирургом, который верил в ценность образования. Хотя родители Авраама де Муавра были протестантами, он сначала посещал католическую школу Christian Brothers в Витри, которая была необычайно толерантной, учитывая религиозную напряженность во Франции в то время. Когда ему было одиннадцать, родители отправили его в протестантскую академию в Седане , где он провел четыре года, изучая греческий язык под руководством Жака дю Ронделя. Протестантская академия Седана была основана в 1579 году по инициативе Франсуазы де Бурбон, вдовы Анри-Робера де ла Марка.

В 1682 году Протестантская академия в Седане была закрыта, и де Муавр поступил на двухгодичное обучение логике в Сомюре . ​​Хотя математика не входила в его курс, де Муавр самостоятельно прочитал несколько работ по математике, в том числе «Eléments des mathématiques» французского священника-ораторианца и математика Жана Престе и краткий трактат об азартных играх « De Ratiociniis in Ludo Aleae » голландского физика, математика, астронома и изобретателя Христиана Гюйгенса . В 1684 году де Муавр переехал в Париж, чтобы изучать физику, и впервые получил формальное математическое образование на частных уроках у Жака Озанама .

Религиозные преследования во Франции стали суровыми, когда король Людовик XIV издал Эдикт Фонтенбло в 1685 году, который отменил Нантский эдикт , давший французским протестантам существенные права. Он запрещал протестантское богослужение и требовал, чтобы все дети были крещены католическими священниками. Де Муавр был отправлен в Приоре Сен-Мартен-де-Шан, школу, куда власти отправляли детей-протестантов для обучения католичеству.

Неясно, когда де Муавр покинул Приорат Сен-Мартен и переехал в Англию, поскольку записи Приората Сен-Мартена указывают, что он покинул школу в 1688 году, но де Муавр и его брат представились гугенотами, принятыми в Савойскую церковь в Лондоне 28 августа 1687 года.

Средние годы

К моменту прибытия в Лондон де Муавр был компетентным математиком с хорошим знанием многих стандартных текстов. ^[1] Чтобы заработать на жизнь, де Муавр стал частным репетитором математики , посещая своих учеников или преподавая в лондонских кофейнях. Де Муавр продолжил изучение математики после посещения графа Девоншира и просмотра недавней книги Ньютона Principia Mathematica . Просматривая книгу, он понял, что она намного глубже книг, которые он изучал ранее, и он решил прочитать и понять ее. Однако, поскольку ему приходилось совершать длительные прогулки по Лондону, чтобы перемещаться между своими учениками, у де Муавра было мало времени на учебу, поэтому он вырывал страницы из книги и носил их в кармане, чтобы читать между уроками.

Согласно, возможно, апокрифической истории, Ньютон в последние годы своей жизни отсылал людей, задававших ему математические вопросы, к де Муавуру, говоря: «Он знает все эти вещи лучше, чем я». ^[2]

К 1692 году де Муавр подружился с Эдмундом Галлеем , а вскоре после этого и с самим Исааком Ньютоном . В 1695 году Галлей передал первую математическую работу де Муавра, которая возникла из его исследования флюксий в Principia Mathematica , Королевскому обществу . Эта работа была опубликована в Philosophical Transactions в том же году. Вскоре после публикации этой работы де Муавр также обобщил заслуживающую внимания биномиальную теорему Ньютона в многочленную теорему . Королевское общество узнало об этом методе в 1697 году и избрало де Муавра своим членом 30 ноября 1697 года.

После того, как де Муавр был принят, Галлей призвал его обратить внимание на астрономию. В 1705 году де Муавр интуитивно обнаружил, что «центростремительная сила любой планеты напрямую связана с ее расстоянием от центра сил и обратно связана с произведением диаметра эволюты и куба перпендикуляра к касательной». Другими словами, если планета M следует по эллиптической орбите вокруг фокуса F и имеет точку P, где PM касается кривой, а FPM — прямой угол, так что FP — перпендикуляр к касательной, то центростремительная сила в точке P пропорциональна FM/(R*(FP) ³ ), где R — радиус кривизны в точке M. Математик Иоганн Бернулли доказал эту формулу в 1710 году.

Несмотря на эти успехи, де Муавр не смог получить назначение на кафедру математики ни в одном университете, что освободило бы его от зависимости от отнимающего много времени репетиторства, которое обременяло его больше, чем большинство других математиков того времени. По крайней мере, отчасти причиной было предубеждение против его французского происхождения. ^{[3] [4] [5]}

В ноябре 1697 года он был избран членом Королевского общества ^[1] и в 1712 году был назначен в комиссию, созданную обществом, вместе с ММ. Арбетнотом, Хиллом, Галлеем, Джонсом, Мачином, Бернетом, Робартсом, Боне, Астоном и Тейлором для рассмотрения заявлений Ньютона и Лейбница о том, кто открыл исчисление. Полные подробности спора можно найти в статье о споре Лейбница и Ньютона об исчислении .

Всю свою жизнь де Муавр оставался бедным. Сообщается, что он был постоянным клиентом старой кофейни Slaughter's Coffee House , St. Martin's Lane на Cranbourn Street, где он зарабатывал немного денег игрой в шахматы.

Поздние годы

Де Муавр продолжал изучать области вероятности и математики до своей смерти в 1754 году, и несколько дополнительных работ были опубликованы после его смерти. По мере того, как он становился старше, он становился все более вялым и нуждался в большем количестве часов сна. Распространено утверждение, что Де Муавр заметил, что он спал на 15 минут больше каждую ночь, и правильно рассчитал дату своей смерти как день, когда время сна достигло 24 часов, 27 ноября 1754 года. ^[6] В тот день он действительно умер в Лондоне, и его тело было похоронено в церкви Святого Мартина-ин-зе-Филдс , хотя его тело позже было перемещено. Однако утверждение о том, что он предсказал свою собственную смерть, оспаривалось, поскольку не было нигде задокументировано во время ее наступления. ^[7]

Вероятность

Де Муавр был пионером в развитии аналитической геометрии и теории вероятностей, расширив труды своих предшественников, в частности Христиана Гюйгенса и нескольких членов семьи Бернулли. Он также выпустил второй учебник по теории вероятностей, « Учение о шансах: метод вычисления вероятностей событий в игре» . (Первая книга об азартных играх, «Liber de ludo aleae» ( «О бросании кубика» ), была написана Джироламо Кардано в 1560-х годах, но была опубликована только в 1663 году.) Эта книга вышла в четырех изданиях: на латыни в 1711 году и на английском в 1718, 1738 и 1756 годах. В более поздние издания своей книги де Муавр включил свой неопубликованный результат 1733 года, который является первым утверждением приближения к биномиальному распределению в терминах того, что мы сейчас называем нормальной или гауссовой функцией . ^[8] Это был первый метод нахождения вероятности возникновения ошибки заданного размера, когда эта ошибка выражается через изменчивость распределения как единицы, и первая идентификация расчета вероятной ошибки . Кроме того, он применил эти теории к проблемам азартных игр и актуарным таблицам .

Выражение, обычно встречающееся в вероятности, это n !, но до появления калькуляторов вычисление n ! для больших n было трудоемким. В 1733 году де Муавр предложил формулу для оценки факториала как n ! =  cn ^{( n +1/2)} e ^{− n} . Он получил приближенное выражение для константы c, но именно Джеймс Стерлинг обнаружил, что c равно √ 2 π . ^[9]

Де Муавр также опубликовал статью под названием «Аннуитеты на жизнь», в которой он раскрыл нормальное распределение уровня смертности в зависимости от возраста человека. Из этого он вывел простую формулу для аппроксимации дохода, получаемого от ежегодных выплат на основе возраста человека. Это похоже на типы формул, используемых страховыми компаниями сегодня.

Приоритет относительно распределения Пуассона

Некоторые результаты по распределению Пуассона были впервые представлены де Муавром в De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus в Philosophical Transactions of the Royal Society, стр. 219. ^[10] В результате некоторые авторы утверждают, что распределение Пуассона должно носить имя де Муавра. ^{[11] [12]}

Формула Муавра

В 1707 году де Муавр вывел уравнение, из которого можно сделать вывод:

${\displaystyle \cos x={\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n}}$

что он смог доказать для всех положительных целых чисел  n . ^{[13] [14]} В 1722 году он представил уравнения, из которых можно вывести более известную форму формулы Муавра :

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx).\,}$^{[15] [16]}

В 1749 году Эйлер доказал эту формулу для любого действительного n, используя формулу Эйлера , что делает доказательство довольно простым. ^[17] Эта формула важна, поскольку она связывает комплексные числа и тригонометрию . Кроме того, эта формула позволяет вывести полезные выражения для cos( nx ) и sin( nx ) через cos( x ) и sin( x ).

Приближение Стерлинга

Де Муавр изучал вероятность, и его исследования требовали от него вычисления биномиальных коэффициентов, которые, в свою очередь, требовали от него вычисления факториалов. ^{[18] [19]} В 1730 году де Муавр опубликовал свою книгу Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis [Аналитическая смесь рядов и интегралов], которая включала таблицы log ( n !). ^[20] Для больших значений n де Муавр аппроксимировал коэффициенты членов в биномиальном разложении. В частности, если задано положительное целое число n , где n четное и большое, то коэффициент среднего члена (1 + 1) ⁿ аппроксимируется уравнением: ^{[21] [22]}

${\displaystyle {n \choose n/2}={\frac {n!}{(({\frac {n}{2}})!)^{2}}}\approx {2^{n}}{\frac {{2}{\frac {21}{125}}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{{n}^{n}}}}$

19 июня 1729 года Джеймс Стерлинг отправил де Муавуру письмо, в котором проиллюстрировал, как он вычислил коэффициент среднего члена биномиального разложения (a + b) ⁿ для больших значений n. ^{[23] [24]} В 1730 году Стерлинг опубликовал свою книгу Methodus Differentialis [Дифференциальный метод], в которую он включил свой ряд для log( n !): ^[25]

${\displaystyle \log _{10}(n+{\frac {1}{2}})!\approx \log _{10}{\sqrt {2\pi }}+n\log _{10}n-{\frac {n}{\ln 10}},}$

так что для больших , . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi }}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

12 ноября 1733 года де Муавр в частном порядке опубликовал и распространил брошюру — Approximatio ad Summam Terminorum Binomii (a + b) ⁿ in Seriem expansi [Приближение суммы членов биномиального ряда (a + b) ^n, разложенного в ряд], — в которой он признал письмо Стерлинга и предложил альтернативное выражение для центрального члена биномиального разложения. ^[26]

Смотрите также

• Число де Муавра
• Де Муавр квинтик
• Экономическая модель
• Гауссовский интеграл
• Распределение Пуассона

Примечания

1. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Авраам де Муавр», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
2. Беллхаус, Дэвид Р. (2011). Авраам Де Муавр: Установка сцены для классической вероятности и ее приложений . Лондон: Тейлор и Фрэнсис. стр. 99. ISBN 978-1-56881-349-3.
3. Кофлин, Рэймонд Ф.; Зитарелли, Дэвид Э. (1984). Восхождение математики . McGraw-Hill. стр. 437. ISBN 0-07-013215-1К сожалению , поскольку он не был британцем, Де Муавр так и не смог получить должность преподавателя в университете.
4. Юнгникель, Криста ; МакКормах, Рассел (1996). Кавендиш. Мемуары Американского философского общества. Т. 220. Американское философское общество. стр. 52. ISBN 9780871692207. Имея хорошие связи в математических кругах и будучи высоко оцененным за свою работу, он все равно не мог получить хорошую работу. Даже его обращение в англиканскую церковь в 1705 году не могло изменить тот факт, что он был иностранцем.
5. Тантон, Джеймс Стюарт (2005). Энциклопедия математики. Infobase Publishing. стр. 122. ISBN 9780816051243Он надеялся получить должность преподавателя математики, но , как иностранец, ему никогда не предлагали такую ​​должность.
6. Каджори, Флориан (1991). История математики (5-е изд.). Американское математическое общество . стр. 229. ISBN 9780821821022.
7. «Биографические подробности. Действительно ли Авраам де Муавр предсказал свою смерть?».
8. См.:
   • Авраам де Муавр (12 ноября 1733 г.) «Approximatio ad summam terminorum binomii (a + b) ⁿ in seriem expansi» (самоизданная брошюра), 7 страниц.
   • Перевод на английский язык: А. Де Муавр, Доктрина случайностей …, 2-е изд. (Лондон, Англия: H. Woodfall, 1738), стр. 235–243.
9. Пирсон, Карл (1924). «Историческая заметка о происхождении нормальной кривой ошибок». Biometrika . 16 (3–4): 402–404. doi :10.1093/biomet/16.3-4.402.
10. Джонсон, Н. Л., Коц, С., Кемп, AW (1993) Одномерные дискретные распределения (2-е издание). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 , стр. 157 
11. Стиглер, Стивен М. (1982). «Пуассон на распределении Пуассона». Statistics & Probability Letters . 1 : 33–35. doi :10.1016/0167-7152(82)90010-4.
12. Хальд, Андерс; де Муавр, Авраам; МакКлинток, Брюс (1984). «А. де Муавр: «De Mensura Sortis», или «Об измерении случайности».". International Statistical Review/Revue Internationale de Statistique . 1984 (3): 229–262. JSTOR  1403045.
13. Муавр, Аб. де (1707). «Aequationum quarundam potestatis tertiae, quintae, septimae, notae и Superiorum, ad infinitum usque pergendo, in termimis finitis, ad instar Regularum pro Cubicis Quae Vocantur Cardani, Resolutio Analytica» [О некоторых уравнениях третьего, пятого, седьмого, девятого, & высшая степень, вплоть до бесконечности, действуя в конечных терминах в форме правил для кубик, которые Кардано называет разрешением путем анализа.]. Философские труды Лондонского королевского общества (на латыни). 25 (309): 2368–2371. дои : 10.1098/rstl.1706.0037. S2CID  186209627.
    • Перевод на английский язык Ричарда Дж. Пулскампа (2009)
    На стр. 2370 де Муавр заявил, что если ряд имеет вид , где n — любое заданное нечетное целое число (положительное или отрицательное) и где y и a могут быть функциями, то при решении относительно y результатом будет уравнение (2) на той же странице: . Если y = cos x и a = cos nx , то результатом будет ${\displaystyle ny+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}ny^{3}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}ny^{5}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}{\tfrac {25-nn}{6\times 7}}ny^{7}+\cdots =a}$ ${\displaystyle y={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a+{\sqrt {aa-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a-{\sqrt {aa-1}}}}}$ ${\displaystyle \cos x={\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n}}$
    
    • В 1676 году Исаак Ньютон нашел соотношение между двумя хордами, которые были в отношении n к 1; соотношение было выражено рядом выше. Ряд появляется в письме — Epistola prior D. Issaci Newton, Mathescos Professoris in Celeberrima Academia Cantabrigiensi; … — от 13 июня 1676 года от Исаака Ньютона Генри Ольденбургу, секретарю Королевского общества; копия письма была отправлена ​​Готфриду Вильгельму Лейбницу . См. стр. 106 из: Biot, J.-B.; Lefort, F., eds. (1856). Commercium epistolicum J. Collins et aliorum de analysi promota, etc: ou … (на латыни). Париж, Франция: Mallet-Bachelier. стр. 102–112.
    • В 1698 году Муавр вывел тот же ряд. См.: де Муавр, А. (1698). "Метод извлечения корней бесконечного уравнения". Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 20 (240): 190–193. doi : 10.1098/rstl.1698.0034 . S2CID  186214144.; см. стр. 192.
    • В 1730 году де Муавр явно рассмотрел случай, когда функции — это cos θ и cos nθ. См.: Moivre, A. de (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis (на латыни). Лондон, Англия: J. Tonson & J. Watts. стр. 1. Со стр. 1: "Лемма 1. Si sint l & x cosinus arcuum duorum A & B, quorum uterque eodem radio 1 describatur, quorumque prior sit posterioris multiplex in ea ratione quam habet numerus n ad unitatem, tunc erit ." ${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}}$ (Если l и x являются косинусами двух дуг A и B, обе из которых описаны одним и тем же радиусом 1 и из которых первая кратна второй в том же отношении, в каком число n относится к 1, то будет [верно, что] .) Таким образом, если дуга A = n × дуга B, то l = cos A = cos nB и x = cos B. Следовательно ${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}}$ ${\displaystyle \cos B={\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{-1/n}}$
    Смотрите также:
    • Кантор, Мориц (1898). Vorlesungen über Geschichte der Mathematik [ Лекции по истории математики ]. Математическая библиотека Теубериана, Bd. 8-9 (на немецком языке). Том. 3. Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер. п. 624.
    • Браунмюль, А. фон (1901). «Zur Geschichte der Entstehung des sogenannten Moivreschen Satzes» [К истории возникновения так называемой теоремы Муавра]. Библиотека Математика . 3-я серия (на немецком языке). 2 : 97–102.; см. стр. 98.
14. Смит, Дэвид Юджин (1959), Справочник по математике, том 3, Courier Dover Publications, стр. 444, ISBN 9780486646909
15. Moivre, A. de (1722). "De sectione anguli" [О сечении угла] (PDF) . Philosophical Transactions of the Royal Society of London (на латыни). 32 (374): 228–230. doi :10.1098/rstl.1722.0039. S2CID  186210081 . Получено 6 июня 2020 г. .
    • Перевод на английский язык Ричарда Дж. Пулскампа (2009) Архивировано 28 ноября 2020 г. на Wayback Machine
    Из стр. 229:
    «Сидеть x sinus против arcus cujuslibert. [
    Сидеть] t sinus против arcus alterius. [ Сидеть ] 1
    радиус окружности
    . ⁿ + z ^{2 n} = – 2 z ⁿ t 1 – 2 z + zz = – 2 zx Expunctoque z orietur aequatio qua relatio inter x & t determinatur . (Пусть x будет версинусом любой дуги [т.е. x = 1 – cos θ ]. [Пусть] t будет версинусом другой дуги. [Пусть] 1 будет радиусом окружности. И пусть первая дуга к последней [т.е. «другая дуга»] будет как 1 к n [так что t = 1 – cos nθ ], тогда, с двумя предположенными уравнениями, которые можно назвать связанными, 1 – 2 z ⁿ + z ^{2 n} = –2 z ⁿ t 1 – 2 z + zz = – 2 zx . И исключив z , получим уравнение, которым определяется связь между x и t .) То есть, учитывая уравнения 1 – 2 z ⁿ + z ^{2 n} = – 2 z ⁿ (1 – cos n θ) 1 – 2 z + zz = – 2 z (1 – cos θ), используйте квадратную формулу для решения относительно z ⁿ в первом уравнении и для z во втором уравнении. Результат будет: z ⁿ = cos n θ ± i sin n θ и z = cos θ ± i sin θ , откуда сразу следует, что (cos θ ± i sin θ) ⁿ = cos n θ ± i sin n θ. Смотрите также:
    
    
    
    
    
    
    
    • Смит, Дэвид Ойген (1959). Справочник по математике. Том 2. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Dover Publications Inc., стр. 444–446.см. стр. 445, сноска 1.
16. В 1738 году де Муавр использовал тригонометрию для определения n-ных корней действительного или комплексного числа. См.: Муавр, А. де (1738). "De reductione radicalium ad simpliciores terminos, seu de extrahenda radice quacunque data ex binomio , vel . Epistola" [О приведении радикалов к более простым терминам, или об извлечении любого заданного корня из двучлена, или . Буква.]. Философские труды Лондонского королевского общества (на латыни). 40 (451): 463–478. doi :10.1098/rstl.1737.0081. S2CID  186210174. ${\displaystyle a+{\sqrt {+b}}}$ ${\displaystyle a+{\sqrt {-b}}}$ ${\displaystyle a+{\sqrt {+b}}}$ ${\displaystyle a+{\sqrt {-b}}}$ Из стр. 475: «Проблема III. Sit extrahenda radix, cujus index est n, ex binomio невозможно . … illos autem negativos quorum arcus sunt Quadrant Majores». ${\displaystyle a+{\sqrt {-b}}}$ (Задача III. Пусть корень, индекс [т.е. степень] которого равен n, извлечен из комплексного двучлена . Решение. Пусть его корень равен , тогда я определяю ; я также определяю [Примечание: следует читать: ], нарисуйте или представьте себе окружность , радиус которого , и предположим в этом [круге] некоторую дугу A, косинус которой  ; пусть C будет всей окружностью. Предположим, [измеренные] на том же радиусе, косинусы дуг и т. д. до множества [т. е. число] их [т.е. дуг] равно числу n; когда это сделано, остановитесь на этом; тогда косинусов будет столько же, сколько значений величины , которая связана с величиной ; это [т.е. ] всегда будет быть . Не следует пренебрегать, хотя это и упоминалось ранее, [что] те косинусы, дуги которых меньше прямого угла, должны рассматриваться как положительные, а те, дуги которых больше прямого угла, [должны рассматриваться как] отрицательные. .) Смотрите также: ${\displaystyle a+{\sqrt {-b}}}$ ${\displaystyle x+{\sqrt {-y}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{aa+b}}=m}$ ${\displaystyle {\tfrac {n+1}{n}}=p}$ ${\displaystyle {\tfrac {n+1}{2}}=p}$ ${\displaystyle {\sqrt {m}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{{m}^{p}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {A}{n}},{\tfrac {C-A}{n}},{\tfrac {C+A}{n}},{\tfrac {2C-A}{n}},{\tfrac {2C+A}{n}},{\tfrac {3C-A}{n}},{\tfrac {3C+A}{n}}}$
    ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle m-xx}$
    
    
    • Браунмюль, А. фон (1903). Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie [ Лекции по истории тригонометрии ] (на немецком языке). Том. 2. Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер. стр. 76–77.
17. Эйлер (1749). «Исследования комплексных корней уравнений». Мемуары Берлинской академии наук (на французском языке). 5 : 222–288. См. стр. 260–261: « Теорема XIII. §. 70. De quelque puissance qu'on extraye la racine, ou d'une quantité réelle, ou d'une imaginaire de la forme M + N √-1, les racines seront toujours, ou réelles, ou imaginaires de la même forme M + N √-1 » (Теорема XIII. § 70. Для любой степени, либо действительной величины, либо комплексной [единицы] вида M  +  N √−1. , из которого извлекается корень, корни всегда будут либо действительными, либо комплексными одного и того же вида M  +  N √−1.)
18. Де Муавр пытался определить коэффициент среднего члена (1 + 1) ⁿ для больших n с 1721 года или ранее. В своей брошюре от 12 ноября 1733 года – «Approximatio ad Summam Terminorum Binomii ( a  +  b ) ⁿ in Seriem expansi» [Приближение суммы членов бинома ( a  +  b ) ^{n ,} разложенных в ряд] – де Муавр сказал, что он начал работать над этой проблемой 12 лет или более назад: «Duodecim jam sunt anni & amplius cum illud inveneram; … » (Прошло уже дюжина лет или более с тех пор, как я нашел это [т. е. то, что следует]; … ).
    • (Арчибальд, 1926), стр. 677.
    • (де Муавр, 1738), стр. 235.
    Де Муавр приписывал Александру Кумингу (ок. 1690 – 1775), шотландскому аристократу и члену Лондонского королевского общества, мотивацию его поисков приближения центрального члена биномиального разложения в 1721 году. (де Муавр, 1730), стр. 99.
19. Роли де Муавра и Стирлинга в нахождении приближения Стирлинга представлены в:
    • Желинас, Жак (24 января 2017 г.) «Оригинальные доказательства ряда Стирлинга для логарифма (N!)» arxiv.org
    • Ланье, Денис; Троту, Дидье (1998). «Формула Стирлинга» [формула Стирлинга] Комиссии меж-IREM по истории и эпистемологии математики (ред.). Анализ и аналитический демарш: les neveux de Descartes: actes du XIème Colloque inter-IREM d'epistémologie et d'histoire des mathématiques, Реймс, 10 и 11 мая 1996 г. [Анализ и аналитическое рассуждение: «племянники» Декарта: труды 11-й меж-IREM коллоквиум по эпистемологии и истории математики, Реймс, 10–11 мая 1996 г.] (на французском языке). Реймс, Франция: IREM [Институт научных исследований по математике] в Реймсе. стр. 231–286.
20. Moivre, A. de (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis [ Аналитическая подборка рядов и квадратур [т. е. интегралов] ]. Лондон, Англия: J. Tonson & J. Watts. С. 103–104.
21. Со стр. 102 из (Муавр, 1730 г.): «Проблема III. Invenire Coefficientem Termini medii potestatis permagnae & paris, seu invenire rationem quam Coefficiens termini medii habeat ad summam omnium Coefficientium.… ad 1 proxime».
    (Задача 3. Найдите коэффициент при среднем члене [биномиального разложения] для очень большой и четной степени [ n ], или найдите отношение коэффициента при среднем члене к сумме всех коэффициентов.
    Решение. Пусть n — степень, в которую возводится двучлен a  +  b , затем, положив [оба] a и b = 1, отношение среднего члена к его степени ( a  +  b ) ⁿ или 2 ⁿ [Примечание: сумма всех коэффициентов биномиального разложения (1 + 1) ⁿ равна 2 ⁿ .] будет близка к 1. Но когда некоторые ряды для исследования могли быть определены более точно, [но] были проигнорированы из-за отсутствия времени, я затем вычисляю путем повторного интегрирования [и] восстанавливаю для использования конкретные величины, [которые] ранее были проигнорированы; так получилось, что я смог, наконец, заключить, что искомое отношение приблизительно равно или равно 1.) Приближение получено на стр. 124-128 (де Муавр, 1730). ${\displaystyle {\frac {2(n-1)^{n-{\frac {1}{2}}}}{{n}^{n}}}}$
    ${\displaystyle {\frac {2{\frac {21}{125}}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{n^{n}}}}$ ${\displaystyle {\frac {2{\frac {21}{125}}{(1-{\frac {1}{n}})}^{n}}{\sqrt {n-1}}}}$
    ${\displaystyle {\frac {{2}{\frac {21}{125}}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{{n}^{n}}}}$
22. Муавр определил значение константы , аппроксимируя значение ряда, используя только его первые четыре члена. Муавр считал, что ряд сходится, но английский математик Томас Байес (ок. 1701–1761) обнаружил, что ряд на самом деле расходится. Из стр. 127-128 (de Moivre, 1730): "Cum vero perciperem has Series valde implicatas evadere, … conclusi factorem 2.168 seu " (Но когда я задумал [как] избежать этих очень сложных рядов — хотя все они были совершенно суммируемы — я думаю, что [не оставалось] ничего другого, как преобразовать их в бесконечный случай; таким образом, установив m равным бесконечности, тогда сумма первого рационального ряда будет уменьшена до 1/12, сумма второго [будет уменьшена] до 1/360; таким образом, получается, что суммы всех рядов достигаются. Из этого одного ряда и т. д. можно будет отбросить столько членов, сколько захочется; но я решил [сохранить] четыре [члена] этого [ряда], потому что их было достаточно [в качестве] достаточно точного приближения; теперь, когда этот ряд сходится, затем его члены убывают с чередующимися положительными и отрицательными знаками, [и] можно сделать вывод, что первый член 1/12 больше [чем] сумма ряда, или первый член больше [чем] разница, которая существует между всеми положительными членами и всеми отрицательными членами; но этот член следует рассматривать как гиперболический [т. е. натуральный] логарифм; далее, число, соответствующее этому логарифму, составляет около 1,0869 [т. е. ln (1,0869) ≈ 1/12], что при умножении на 2 даст произведение 2,1738, и поэтому [в случае возведения двучлена] в бесконечную степень, обозначенную n, величина будет больше, чем отношение среднего члена двучлена к сумме всех членов, и, переходя к оставшимся членам, обнаружится, что множитель 2,1676 просто меньше [отношения среднего члена к сумме всех членов], и аналогично, что 2,1695 больше, в свою очередь, что 2,1682 немного ниже истинного [значения отношения]; учитывая это, я пришел к выводу, что множитель [равняется] 2,168 или Примечание: множитель, который искал де Муавр, был: (Lanier & Trotoux, 1998), стр. 237. ${\displaystyle \textstyle 2{\frac {21}{125}}}$ ${\textstyle 2{\frac {21}{125}},\ldots }$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{12}}-{\frac {1}{360}}+{\frac {1}{1260}}-{\frac {1}{1680}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {{2.1738}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{n^{n}}}}$ ${\textstyle 2{\frac {21}{125}},\ldots }$ ${\displaystyle {\frac {2e}{\sqrt {2\pi }}}=2.16887\ldots }$
    • Bayes, Thomas (31 декабря 1763 г.). «Письмо покойного преподобного г-на Bayes, FRS, Джону Кантону, MA и FRS». Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 53 : 269–271. doi :10.1098/rstl.1763.0044. S2CID  186214800.
23. (де Муавр, 1730), стр. 170–172.
24. В письме Стирлинга от 19 июня 1729 года де Муавру Стирлинг заявил, что он написал Александру Кумингу "quadrienium circiter abhinc" (около четырех лет назад [т. е. в 1725 году]) о (среди прочего) аппроксимации, используя метод дифференциалов Исаака Ньютона, коэффициента среднего члена биномиального разложения. Стирлинг признал, что де Муавр решил эту задачу несколькими годами ранее: "… ; respondit Illustrissimus vir se dubitare an Problema a Te aliquot ante annos solutum de invenienda Uncia media in quavis dignitate Binonii solvi posset per Differentias". (...; этот выдающийся человек [Александр Каминг] ответил, что он сомневается, можно ли решить с помощью дифференциалов задачу, решенную вами несколькими годами ранее и касающуюся поведения среднего члена любой степени двучлена.) Стерлинг написал, что затем он приступил к исследованию этой задачи, но поначалу его прогресс был медленным.
    • (де Муавр, 1730), стр. 170.
    • Забелл, С. Л. (2005). Симметрия и ее недовольства: очерки истории индуктивной вероятности. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Cambridge University Press. стр. 113. ISBN 9780521444705.
25. См.:
    • Стерлинг, Джеймс (1730). Methodus Differentialis… (на латыни). Лондон: G. Strahan. С. 137. Из стр. 137: «Ceterum si velis summam quotcunque Logarithmorum numerorum naturalam 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. pone z – n esse ultimum numerorum, существует n = ½; & tres vel quatuor Termini hujus Seriei ${\displaystyle zl,z-az-{\frac {a}{24z}}+{\frac {7a}{2880z^{3}}}-{}}$ [Примечание: l, z = log(z)] additi Logarithmocircerentiae Circuli cujus Radius est Unitas, id est, huic 0.39908.99341.79 dabunt summam quaesitam, idque eo smalle Labore quo plures Logarithmi sunt summandi." (Более того, если вам нужна сумма любого количества логарифмов натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., установите z–n в качестве последнего числа, n будет ½; и три или четыре члена этого ряд, добавленный к [половине] логарифма окружности, радиус которой равен единице [т.е. ½ log(2 π )] – то есть [добавленный] к этому: 0,39908,99341,79 – даст сумму [которая] и чем больше логарифмов [которые] необходимо сложить, тем меньше работы это [требует].) Примечание: (См. стр. 135.) = 1/ln(10). ${\displaystyle z\log(z)-az-{\frac {a}{24z}}+{\frac {7a}{2880z^{3}}}-{}}$ ${\displaystyle a=0.434294481903252}$
    • Перевод на английский: Stirling, James (1749). The Differential Method. Перевод Holliday, Francis. London, England: E. Cave. стр. 121.[Примечание: печатник неправильно пронумеровал страницы этой книги, поэтому страница 125 пронумерована как «121», страница 126 — как «122» и так далее до страницы 129.]
26. См.:
    • Арчибальд, RC (октябрь 1926 г.). «Редкая брошюра Муавра и некоторые из его открытий». Isis (на английском и латинском языках). 8 (4): 671–683. doi :10.1086/358439. S2CID  143827655.
    • Английский перевод памфлета появился в: Moivre, Abraham de (1738). The Doctrine of Chances … (2nd ed.). London, England: Self-published. pp. 235–243.

Ссылки

• См. «Miscellanea Analytica» де Муавра (Лондон: 1730), стр. 26–42.
• HJR Murray , 1913. История шахмат . Oxford University Press: стр. 846.
• Шнайдер, И., 2005, «Доктрина шансов» в Grattan-Guinness, И. , ред., Landmark Writings in Western Mathematics . Elsevier: стр. 105–20

Дальнейшее чтение

• "de Moivre, Abraham". Архивировано из оригинала 19 декабря 2007 года . Получено 15 июня 2002 года .
• «Авраам Демуавр»  . Британская энциклопедия . Том. VII (9-е изд.). 1878. с. 60.
• Доктрина случая на MathPages.
• Биография (PDF), Биография Абрахама Де Муавра, написанная Мэтью Мэти , переведенная, аннотированная и дополненная .
• де Муавр, О законе нормальной вероятности