Декагон

Форма с десятью сторонами

В геометрии декагон (от греч. δέκα déka и γωνία gonía, «десять углов») — десятисторонний многоугольник или 10-угольник. ^[1] Общая сумма внутренних углов простого декагона составляет 1440° .

Правильный десятиугольник

Правильный десятиугольник имеет все стороны одинаковой длины, а каждый внутренний угол всегда равен 144°. ^[1] Его символ Шлефли — {10} ^[2], и его также можно построить как усеченный пятиугольник , t{5}, квазиправильный десятиугольник с чередующимися двумя типами ребер.

Декагоны часто появляются в мозаиках с (частичной) 5-кратной симметрией. На изображениях показан исламский геометрический узор (15 век), иллюстрация из Harmonices Mundi Кеплера (1619) и мозаика Пенроуза .

Длина стороны

На рисунке изображен правильный десятиугольник с длиной стороны и радиусом описанной окружности . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$

• Треугольник имеет два катета одинаковой длины и основание длиной ${\displaystyle E_{10}E_{1}M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$
• Окружность с радиусом пересекается в точке (на рисунке не обозначена). ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ]M\,E_{10}[}$ ${\displaystyle P}$
• Теперь треугольник является равнобедренным с вершиной и углами при основании . ${\displaystyle {E_{10}E_{1}P}\;}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle m\angle E_{1}E_{10}P=m\angle E_{10}PE_{1}=72^{\circ }\;}$
• Следовательно . Итак и следовательно также является равнобедренным треугольником с вершиной . Длина его катетов равна , поэтому длина равна . ${\displaystyle m\angle PE_{1}E_{10}=180^{\circ }-2\cdot 72^{\circ }=36^{\circ }\;}$ ${\displaystyle \;m\angle ME_{1}P=72^{\circ }-36^{\circ }=36^{\circ }\;}$ ${\displaystyle \;E_{1}MP\;}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle [P\,E_{10}]}$ ${\displaystyle R-a}$
• Равнобедренные треугольники и имеют равные углы по 36° при вершине, поэтому они подобны , следовательно: ${\displaystyle E_{10}E_{1}M\;}$ ${\displaystyle PE_{10}E_{1}\;}$ ${\displaystyle \;{\frac {a}{R}}={\frac {R-a}{a}}}$
• Умножение со знаменателями приводит к квадратному уравнению: ${\displaystyle R,a>0}$ ${\displaystyle \;a^{2}=R^{2}-aR\;}$
• Это уравнение для длины стороны имеет одно положительное решение: ${\displaystyle a\,}$ ${\displaystyle \;a={\frac {R}{2}}(-1+{\sqrt {5}})}$

Итак, правильный десятиугольник можно построить с помощью линейки и циркуля .

Дальнейшие выводы

${\displaystyle \;R={\frac {2a}{{\sqrt {5}}-1}}={\frac {a}{2}}({\sqrt {5}}+1)\;}$а высота основания (т.е. длина ) равна , а площадь треугольника: . ${\displaystyle \Delta \,E_{10}E_{1}M\,}$ ${\displaystyle [M\,D]}$ ${\displaystyle h={\sqrt {R^{2}-(a/2)^{2}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;}$ ${\displaystyle A_{\Delta }={\frac {a}{2}}\cdot h={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$

Область

Площадь правильного десятиугольника со стороной длиной a определяется по формуле: ^[3]

${\displaystyle A={\frac {5}{2}}a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{10}}\right)={\frac {5}{2}}a^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\simeq 7.694208843\,a^{2}}$

В терминах апофемы r (см. также вписанный рисунок ) площадь равна:

${\displaystyle A=10\tan \left({\frac {\pi }{10}}\right)r^{2}=2r^{2}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\simeq 3.249196962\,r^{2}}$

В терминах радиуса описанной окружности R площадь равна:

${\displaystyle A=5\sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)R^{2}={\frac {5}{2}}R^{2}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\,R^{2}}$

Альтернативная формула - где d - расстояние между параллельными сторонами, или высота, когда десятиугольник стоит на одной стороне как на основании, или диаметр вписанной окружности десятиугольника . С помощью простой тригонометрии , ${\displaystyle A=2.5da}$

${\displaystyle d=2a\left(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\right),}$

и это можно записать алгебраически как

${\displaystyle d=a{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}.}$

Строительство

Так как 10 = 2 × 5, степень двойки, умноженная на простое число Ферма , то отсюда следует, что правильный десятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки или путем деления ребра правильного пятиугольника пополам . [ ^4]

Альтернативный (но похожий) метод заключается в следующем:

1. Постройте пятиугольник в окружности одним из способов, показанных в разделе «Построение пятиугольника» .
2. Продлим линию из каждой вершины пятиугольника через центр окружности к противоположной стороне этой же окружности. Точка, где каждая линия пересекает окружность, является вершиной десятиугольника. Другими словами,  изображение правильного пятиугольника при точечном симметрировании относительно  его центра является концентрическим равным  пятиугольником, а два пятиугольника имеют в сумме вершины концентрического правильного десятиугольника .
3. Пять углов пятиугольника образуют чередующиеся углы десятиугольника. Соедините эти точки с соседними новыми точками, чтобы сформировать десятиугольник.

Золотое сечение в декагоне

Как в построении с данной описанной окружностью ^[5], так и в построении с данной длиной стороны определяющим элементом построения является золотое сечение, делящее отрезок внешней частью .

• В построении с данной описанной окружностью дуга окружности вокруг G с радиусом _GE3 образует отрезок AH , деление которого соответствует золотому сечению.

${\displaystyle {\frac {\overline {AM}}{\overline {MH}}}={\frac {\overline {AH}}{\overline {AM}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}}$

• В построении с заданной длиной стороны ^[6] дуга окружности вокруг D с радиусом DA образует отрезок E ₁₀ F , деление которого соответствует золотому сечению .

${\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}E_{10}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{10}F}}{\overline {E_{1}E_{10}}}}={\frac {R}{a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}}$

Симметрия

Симметрии правильного десятиугольника. Вершины окрашены в соответствии с их позициями симметрии. Синие зеркала проведены через вершины, а фиолетовые зеркала — через ребра. Порядки вращения даны в центре.

Правильный десятиугольник имеет симметрию Dih ₁₀ , порядок 20. Существует 3 подгруппы диэдральных симметрий: Dih ₅ , Dih ₂ и Dih ₁ , а также 4 циклические группы симметрии: Z ₁₀ , Z ₅ , Z ₂ и Z ₁ .

Эти 8 симметрий можно увидеть в 10 различных симметриях на декагоне, большем числе, поскольку линии отражений могут проходить либо через вершины, либо через ребра. Джон Конвей обозначает их буквой и порядком группы. ^[7] Полная симметрия правильной формы — r20 , и ни одна симметрия не обозначена a1 . Диэдральные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i , когда линии отражений проходят как через ребра, так и через вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены как g для их центральных порядков инерции.

Каждая подгруппа симметрии допускает одну или несколько степеней свободы для нерегулярных форм. Только подгруппа g10 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные ребра .

Неправильные декагоны с наивысшей симметрией — это d10 , изогональный декагон, построенный пятью зеркалами, которые могут чередовать длинные и короткие ребра, и p10 , изотоксальный декагон, построенный с равными длинами ребер, но вершинами, чередующими два разных внутренних угла. Эти две формы являются дуальными друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного декагона.

Вскрытие

Коксетер утверждает, что каждый зоногон (2 m -угольник, противоположные стороны которого параллельны и имеют одинаковую длину) можно разрезать на m ( m -1)/2 параллелограммов. ^[8] В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для правильного десятиугольника m = 5, и его можно разбить на 10 ромбов, примеры показаны ниже. Это разложение можно рассматривать как 10 из 80 граней в плоскости проекции многоугольника Петри 5-куба . Разрезание основано на 10 из 30 граней ромбического триаконтаэдра . Список OEIS : A006245 определяет число решений как 62, с 2 ориентациями для первой симметричной формы и 10 ориентациями для остальных 6.

Косой десятиугольник

Косой десятиугольник — это косой многоугольник с 10 вершинами и ребрами, но не лежащий на одной плоскости. Внутренность такого десятиугольника обычно не определена. Косой зигзагообразный десятиугольник имеет вершины, чередующиеся между двумя параллельными плоскостями.

Правильный косой декагон является вершинно-транзитивным с равными длинами сторон. В 3-х измерениях это будет зигзагообразный косой декагон и может быть виден в вершинах и боковых ребрах пентагональной антипризмы , пентаграммической антипризмы и пентаграммической скрещенной антипризмы с той же симметрией D _5d , [2 ⁺ ,10], порядок 20.

Их также можно увидеть в этих четырех выпуклых многогранниках с икосаэдрической симметрией . Многоугольники по периметру этих проекций являются правильными косыми десятиугольниками.

Петри полигоны

Правильный косой десятиугольник является многоугольником Петри для многих многогранников более высокой размерности, показанных в следующих ортогональных проекциях на различных плоскостях Коксетера : ^[9] Число сторон многоугольника Петри равно числу Коксетера , h , для каждого семейства симметрии.

Смотрите также

• Десятиугольное число и центрированное десятиугольное число , фигурные числа, смоделированные на основе десятиугольника
• Декаграмма — звездчатый многоугольник с теми же положениями вершин, что и у правильного десятиугольника.

Ссылки

1. Sidebotham, Thomas H. (2003), Математика от А до Я: Базовое руководство, John Wiley & Sons, стр. 146, ISBN 9780471461630.
2. Веннингер, Магнус Дж. (1974), Модели многогранников, Cambridge University Press, стр. 9, ISBN 9780521098595.
3. Элементы плоской и сферической тригонометрии, Общество содействия христианскому знанию, 1850, стр. 59. Обратите внимание, что этот источник использует a в качестве длины ребра и дает аргумент котангенса как угол в градусах, а не в радианах.
4. Ладлоу, Генри Х. (1904), Геометрическое построение правильного десятиугольника и пятиугольника, вписанных в окружность, The Open Court Publishing Co..
5. Грин, Генри (1861), Плоская геометрия Евклида, книги III–VI, Практически применяемая, или Градации в Евклиде, часть II, Лондон: Simpkin, Marshall, & CO., стр. 116. Получено 10 февраля 2016 г.
6. Köller, Jürgen (2005), Regelmäßiges Zehneck, → 3. Раздел «Formeln, Ist die Seite a gegeben ...» (на немецком языке). Получено 10 февраля 2016 г.
7. Джон Х. Конвей, Хайди Бергиль, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275-278) 
8. Коксетер , Математические развлечения и эссе, тринадцатое издание, стр. 141
9. Коксетер, Правильные многогранники, 12,4-многоугольник Петри, стр. 223-226.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Декагон». MathWorld .
• Определение и свойства десятиугольника С интерактивной анимацией