Декагон

Форма с десятью сторонами

В геометрии декагон (от греческого δέκα déka и γωνία gonía, «десять углов» ) представляет собой десятисторонний многоугольник или 10-угольник. [ ^1] Общая сумма внутренних углов простого десятиугольника равна 1440°.

Правильный десятиугольник

У правильного десятиугольника все стороны одинаковой длины и каждый внутренний угол всегда равен 144°. ^[1] Его символ Шлефли — {10} ^[2] и также может быть построен как усеченный пятиугольник t{5}, квазиправильный десятиугольник с чередующимися двумя типами ребер.

Декагоны часто появляются в мозаиках с (частичной) 5-кратной симметрией. На изображениях изображен исламский геометрический узор (15 век), иллюстрация из «Harmonices Mundi» Кеплера (1619 г.) и плитка Пенроуза .

Длина стороны

На рисунке изображен правильный десятиугольник с длиной стороны и радиусом описанной окружности . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$

• Треугольник имеет две равные катеты длиной и основание длиной ${\displaystyle E_{10}E_{1}M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$
• Окружность радиуса пересекается в точке (на рисунке не обозначена). ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ]M\,E_{10}[}$ ${\displaystyle P}$
• Теперь треугольник является равнобедренным с вершиной и углами при основании . ${\displaystyle {E_{10}E_{1}P}\;}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle m\angle E_{1}E_{10}P=m\angle E_{10}PE_{1}=72^{\circ }\;}$
• Поэтому . Так и следовательно тоже равнобедренный треугольник с вершиной . Длина его ног равна , значит, длина равна . ${\displaystyle m\angle PE_{1}E_{10}=180^{\circ }-2\cdot 72^{\circ }=36^{\circ }\;}$ ${\displaystyle \;m\angle ME_{1}P=72^{\circ }-36^{\circ }=36^{\circ }\;}$ ${\displaystyle \;E_{1}MP\;}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle [P\,E_{10}]}$ ${\displaystyle R-a}$
• Равнобедренные треугольники имеют равные углы в вершине 36°, поэтому они подобны , следовательно: ${\displaystyle E_{10}E_{1}M\;}$ ${\displaystyle PE_{10}E_{1}\;}$ ${\displaystyle \;{\frac {a}{R}}={\frac {R-a}{a}}}$
• Умножение на знаменатели приводит к квадратному уравнению: ${\displaystyle R,a>0}$ ${\displaystyle \;a^{2}=R^{2}-aR\;}$
• Это уравнение для длины стороны имеет одно положительное решение: ${\displaystyle a\,}$ ${\displaystyle \;a={\frac {R}{2}}(-1+{\sqrt {5}})}$

Таким образом, правильный десятиугольник можно построить с помощью линейки и циркуля .

Дальнейшие выводы

${\displaystyle \;R={\frac {2a}{{\sqrt {5}}-1}}={\frac {a}{2}}({\sqrt {5}}+1)\;}$и базовая высота (т.е. длина ) равна и треугольник имеет площадь: . ${\displaystyle \Delta \,E_{10}E_{1}M\,}$ ${\displaystyle [M\,D]}$ ${\displaystyle h={\sqrt {R^{2}-(a/2)^{2}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;}$ ${\displaystyle A_{\Delta }={\frac {a}{2}}\cdot h={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$

Область

Площадь правильного десятиугольника со стороной a определяется по формуле: [ ^3]

${\displaystyle A={\frac {5}{2}}a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{10}}\right)={\frac {5}{2}}a^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\simeq 7.694208843\,a^{2}}$

С точки зрения апофемы r (см. также вписанный рисунок ) площадь равна:

${\displaystyle A=10\tan \left({\frac {\pi }{10}}\right)r^{2}=2r^{2}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\simeq 3.249196962\,r^{2}}$

С точки зрения радиуса окружности R площадь равна:

${\displaystyle A=5\sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)R^{2}={\frac {5}{2}}R^{2}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\,R^{2}}$

Альтернативная формула: где d — расстояние между параллельными сторонами, или высота, когда одна сторона десятиугольника является основанием, или диаметр вписанной в десятиугольник окружности . По простой тригонометрии , ${\displaystyle A=2.5da}$

${\displaystyle d=2a\left(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\right),}$

и его можно записать алгебраически как

${\displaystyle d=a{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}.}$

Стороны

Правильный десятиугольник имеет 10 сторон и является равносторонним . Имеет 35 диагоналей.

Строительство

Поскольку 10 = 2 × 5, степень, умноженная на удвоенное простое число Ферма , отсюда следует, что правильный десятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки или путем деления ребра пополам правильного пятиугольника . ^[4]

Альтернативный (но аналогичный) метод заключается в следующем:

1. Постройте пятиугольник в круге одним из способов, показанных при построении пятиугольника .
2. Протяните линию от каждой вершины пятиугольника через центр круга к противоположной стороне того же круга. Там, где каждая линия пересекает круг, является вершиной десятиугольника. Другими словами,  изображение правильного пятиугольника при точечном отражении относительно  его центра представляет собой концентрический конгруэнтный  пятиугольник, а оба пятиугольника в сумме имеют вершины концентрического правильного десятиугольника .
3. Пять углов пятиугольника составляют альтернативные углы десятиугольника. Соедините эти точки с соседними новыми точками, чтобы образовать десятиугольник.

Золотое сечение в десятиугольнике

Как в конструкции с заданной описанной окружностью ^[5], так и с заданной длиной стороны определяющим элементом конструкции является золотое сечение, разделяющее отрезок внешним делением .

• В конструкции с данной описанной окружностью дуга окружности вокруг G радиусом GE ₃ образует отрезок AH , деление которого соответствует золотому сечению.

${\displaystyle {\frac {\overline {AM}}{\overline {MH}}}={\frac {\overline {AH}}{\overline {AM}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}}$

• В конструкции с заданной длиной стороны ^[6] дуга окружности вокруг D радиусом DA образует отрезок E ₁₀ F , деление которого соответствует золотому сечению .

${\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}E_{10}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{10}F}}{\overline {E_{1}E_{10}}}}={\frac {R}{a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}}$

Симметрия

Симметрии правильного десятиугольника. Вершины окрашены в соответствии с их положением симметрии. Синие зеркала рисуются через вершины, а фиолетовые — через края. Приказы о вращении даны в центре.

Правильный десятиугольник имеет симметрию Dih ₁₀ , порядок 20. Существует 3 симметрии диэдра подгруппы: Dih ₅ , Dih ₂ и Dih ₁ , а также 4 симметрии циклической группы : Z ₁₀ , Z ₅ , Z ₂ и Z ₁ .

Эти 8 симметрий можно увидеть в 10 различных симметриях декагона, что больше, потому что линии отражения могут проходить либо через вершины, либо через ребра. Джон Конвей маркирует их буквенным и групповым порядком. ^[7] Полная симметрия правильной формы — это r20 , а симметрия не помечена как a1 . Двугранные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i , когда линии отражения проходят как через ребра, так и через вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g в соответствии с их центральными порядками вращения.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g10 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Неправильные десятиугольники с наивысшей симметрией - это d10 , изогональный десятиугольник, построенный из пяти зеркал, которые могут чередовать длинные и короткие ребра, и p10 , изотоксальный декагон, построенный с одинаковой длиной ребер, но вершины чередуют два разных внутренних угла. Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного десятиугольника.

Диссекция

Коксетер утверждает, что любой зоногон (2- метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и одинаковой длины) можно разрезать на m ( m -1)/2 параллелограмма. ^[8] В частности, это верно для правильных многоугольников с четным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для правильного десятиугольника m = 5 , и его можно разделить на 10 ромбов, как показано ниже. Это разложение можно рассматривать как 10 из 80 граней в плоскости проекции многоугольника Петри 5-куба . В основе рассечения лежат 10 из 30 граней ромботриаконтаэдра . Список OEIS : A006245 определяет количество решений как 62, с 2 ориентациями для первой симметричной формы и 10 ориентациями для остальных 6.

Наклон десятиугольника

Косой десятиугольник — это косой многоугольник с 10 вершинами и ребрами, но не расположенный в одной плоскости. Внутренняя часть такого десятиугольника обычно не определена. Косой зигзагообразный десятиугольник имеет вершины, чередующиеся в двух параллельных плоскостях.

Правильный косой десятиугольник является вершинно-транзитивным с равными длинами ребер. В трехмерном измерении это будет зигзагообразный косой декагон, который можно увидеть в вершинах и боковых краях пятиугольной антипризмы , пентаграммной антипризмы и пентаграммной скрещенной антипризмы с той же симметрией D _5d , [2 ⁺ ,10], заказ 20.

Их также можно увидеть в этих четырех выпуклых многогранниках с икосаэдрической симметрией . Многоугольники по периметру этих проекций представляют собой правильные косые десятиугольники.

Полигоны Петри

Правильный косой десятиугольник — это многоугольник Петри для многих многогранников более высокой размерности, показанный в этих ортогональных проекциях на различные плоскости Кокстера : ^[9] Число сторон в многоугольнике Петри равно числу Кокстера h для каждого семейства симметрии.

Смотрите также

• Десятиугольное число и центрированное десятиугольное число , фигурные числа, созданные по образцу десятиугольника.
• Декаграмма — звездчатый многоугольник с тем же положением вершин, что и у обычного десятиугольника.

Рекомендации

1. Sidebotham, Томас Х. (2003), Математика от А до Я: Основное руководство, John Wiley & Sons, стр. 146, ISBN 9780471461630.
2. Веннингер, Магнус Дж. (1974), Модели многогранников, Cambridge University Press, стр. 9, ISBN 9780521098595.
3. Элементы плоской и сферической тригонометрии, Общество содействия распространению христианских знаний, 1850, стр. 59. Обратите внимание, что этот источник использует a в качестве длины ребра и дает аргумент котангенса как угол в градусах, а не в радианах.
4. Ладлоу, Генри Х. (1904), Геометрическое построение правильного десятиугольника и пятиугольника, вписанных в круг, The Open Court Publishing Co..
5. Грин, Генри (1861), Плоская геометрия Евклида, Книги III – VI, Практическое применение, или Градации Евклида, Часть II, Лондон: Simpkin, Marshall, & CO., стр. 116. Проверено 10 февраля 2016 г.
6. Köller, Jürgen (2005), Regelmäßiges Zehneck, → 3. Раздел «Formeln, Ist die Seite a gegeben ...» (на немецком языке). Проверено 10 февраля 2016 г.
7. Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275- 278) 
8. Коксетер , Математические развлечения и очерки, тринадцатое издание, стр.141
9. Коксетер, Правильные многогранники, многоугольник Петри 12.4, стр. 223-226.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Декагон». Математический мир .
• Определение и свойства десятиугольника С интерактивной анимацией