Модель Форуи – Блумера

Популярное соотношение оптической дисперсии

Модель Форуи-Блумера. Действительная (синяя сплошная линия) и мнимая (оранжевая пунктирная линия) компоненты комплексного показателя преломления построены для модели с параметрами 1,3 эВ, 1,4910 эВ, 5,2139 эВ, 8,6170 эВ и 1,5256. Эти параметры приближаются к аморфному кремнию. ^[1] ${\displaystyle E_{g}=}$ ${\displaystyle A=}$ ${\displaystyle B=}$ ${\displaystyle C=}$ ${\displaystyle ^{2}}$ ${\displaystyle n_{\infty }=}$

Модель Форуи-Блумера представляет собой математическую формулу частотной зависимости комплексного показателя преломления . Модель можно использовать для подбора показателя преломления аморфных и кристаллических полупроводниковых и диэлектрических материалов при энергиях, близких к их оптической запрещенной зоне или превышающих их . ^{[2] [3] [4] [5] [6]} Дисперсионное соотношение носит имена Рахима Форухи и Айрис Блумер, которые создали модель и интерпретировали физический смысл ее параметров. ^{[1] [7]} Модель является афизической из-за ее неправильного асимптотического поведения и неэрмитового характера. Эти недостатки вдохновили модифицированные версии модели ^{[8] [9] [10]} , а также разработку модели Таука – Лоренца .

Математическая формулировка

Комплексный показатель преломления определяется выражением

${\displaystyle {\tilde {n}}(E)=n(E)+i\kappa (E)}$

где

• ${\displaystyle n}$- это действительная составляющая комплексного показателя преломления, обычно называемого показателем преломления,
• ${\displaystyle \kappa }$— мнимая составляющая комплексного показателя преломления, обычно называемая коэффициентом экстинкции,
• ${\displaystyle E}$– энергия фотона (отнесенная к угловой частоте соотношением ). ${\displaystyle E=\hbar \omega }$

Действительная и мнимая составляющие показателя преломления связаны друг с другом соотношениями Крамерса-Кронига . Форуи и Блумер вывели формулу аморфных материалов. Формула и дополнительный интеграл Крамерса–Кронига имеют вид ^[1] ${\displaystyle \kappa (E)}$

${\displaystyle \kappa (E)={\frac {A\left(E-E_{g}\right)^{2}}{E^{2}-BE+C}}}$

${\displaystyle n(E)=n_{\infty }+{\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\kappa (\xi )-\kappa _{\infty }}{\xi -E}}d\xi }$

где

• ${\displaystyle E_{g}}$это ширина запрещенной зоны материала,
• ${\displaystyle A}$, , , и – подгоночные параметры, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n_{\infty }}$
• ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$обозначает главное значение Коши ,
• ${\displaystyle \kappa _{\infty }=\lim _{E\rightarrow \infty }\kappa (E)=A}$.

${\displaystyle A}$, , и подчиняются ограничениям , , , и . Оценивая интеграл Крамерса-Кронига, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A>0}$ ${\displaystyle B>0}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle 4C-B^{2}>0}$

${\displaystyle n(E)=n_{\infty }+{\frac {B_{0}E+C_{0}}{E^{2}-BE+C}}}$

где

• ${\displaystyle Q={\frac {1}{2}}{\sqrt {4C-B^{2}}}}$,
• ${\displaystyle B_{0}={\frac {A}{Q}}\left(-{\frac {1}{2}}B^{2}+E_{g}B-E_{g}^{2}+C\right)}$,
• ${\displaystyle C_{0}={\frac {A}{Q}}\left({\frac {1}{2}}B\left(E_{g}^{2}+C\right)-2E_{g}C\right)}$.

Модель Форуи-Блумера для кристаллических материалов аналогична модели аморфных материалов. Формулы для и приведены в ^[7] ${\displaystyle n(E)}$ ${\displaystyle \kappa (E)}$

${\displaystyle n(E)=n_{\infty }+\sum _{j}{\frac {B_{0,j}E+C_{0,j}}{E^{2}-B_{j}E+C_{j}}}}$.

${\displaystyle \kappa (E)=\left(E-E_{g}\right)^{2}\sum _{j}{\frac {A_{j}}{E^{2}-B_{j}E+C_{j}}}}$.

где все переменные определяются аналогично аморфному случаю, но с уникальными значениями для каждого значения индекса суммирования . Таким образом, модель аморфных материалов представляет собой частный случай модели кристаллических материалов, когда сумма рассчитывается только за один член. ${\displaystyle j}$

Рекомендации

1. Форухи, А. Рахим; Блумер, Ирис (1986). «Оптические дисперсионные соотношения для аморфных полупроводников и аморфных диэлектриков». Физический обзор B . 34 (10): 7018–7026. Бибкод : 1986PhRvB..34.7018F. doi : 10.1103/PhysRevB.34.7018. ПМИД  9939354 . Проверено 7 ноября 2021 г.
2. Хрисикопулу, П.; Давазоглу, Д.; Трапалис, Хр; Кордас, Г. (1998). «Оптические свойства очень тонких (<100 нм) золь-гель пленок TiO2». Тонкие твердые пленки . 323 (1–2): 188–193. Бибкод : 1998TSF...323..188C. дои : 10.1016/S0040-6090(97)01018-3 . Проверено 16 ноября 2021 г.
3. Лю, ЮК; Се, Дж. Х.; Тунг, СК (2006). «Извлечение оптических констант тонких пленок оксида цинка методом эллипсометрии с использованием различных моделей». Тонкие твердые пленки . 510 (1–2): 32–38. Бибкод : 2006TSF...510...32L. дои :10.1016/j.tsf.2005.10.089 . Проверено 16 ноября 2021 г.
4. Лайдани, Н.; Бартали, Р.; Готтарди, Г.; Андерле, М.; Чейссак, П. (2007). «Параметры оптического поглощения аморфных углеродных пленок из моделей Форуи – Блумера и Таука – Лоренца: сравнительное исследование». Физический журнал: конденсированное вещество . 20 (1): 015216. doi : 10.1088/0953-8984/20/01/015216. S2CID  7359667 . Проверено 16 ноября 2021 г.
5. Торкаман, Нью-Мексико; Ганджханлоу, Ю.; Каземзад, М.; Дабаги, Х.Х.; Кеянпур-Рад, М. (2010). «Кристаллографические параметры и электрооптические константы в тонких пленках ITO». Характеристика материалов . 61 (3): 362–370. дои : 10.1016/j.matchar.2009.12.020 . Проверено 16 ноября 2021 г.
6. Лепер, Филипп; Штукельбергер, Майкл; Нисен, Бьорн; Вернер, Жереми; Филипич, Миха; Мун, Су-Джин; Ням, Джун Хо; Топич, Марко; Де Вольф, Стефан; Баллиф, Кристоф (2015). «Спектры сложного показателя преломления тонких пленок перовскита CH3NH3PbI3, определенные методами спектроскопической эллипсометрии и спектрофотометрии». Журнал физической химии . 6 (1): 66–71. дои : 10.1021/jz502471h. ПМИД  26263093 . Проверено 16 ноября 2021 г.
7. Форухи, А. Рахим; Блумер, Ирис (1988). «Оптические свойства кристаллических полупроводников и диэлектриков». Физический обзор B . 38 (3): 1865–1874. Бибкод : 1988PhRvB..38.1865F. doi :10.1103/PhysRevB.38.1865. ПМИД  9946471 . Проверено 7 ноября 2021 г.
8. МакГахан, Уильям А.; Маковицка, Тим; Хейл, Джеффри; Вуллам, Джон А. (1994). «Модифицированная дисперсионная модель Форуи и Блумера для оптических констант тонких пленок аморфного гидрогенизированного углерода». Тонкие твердые пленки . 253 (1): 57–61. Бибкод : 1994TSF...253...57M. дои : 10.1016/0040-6090(94)90294-1 . Проверено 7 ноября 2021 г.
9. Лю, Юн; Сюй, Банда; Сонг, Ченлу; Вэн, Вэньцзянь; Ду, Пийи; Хан, Гаоронг (2007). «Модификация модели Форуи и Блумера для оптических свойств тонких пленок аморфного кремния». Тонкие твердые пленки . 515 (7): 3910–3913. Бибкод : 2007TSF...515.3910L. дои :10.1016/j.tsf.2006.11.003 . Проверено 16 ноября 2021 г.
10. Форухи, А. Рахим; Блумер, Ирис (2019). «Новые дисперсионные уравнения для изоляторов и полупроводников, действительные от радиоволн до крайнего ультрафиолетового диапазона спектра». Журнал физических коммуникаций . 3 (3): 035022. Бибкод : 2019JPhCo...3c5022F. дои : 10.1088/2399-6528/ab0603 . S2CID  150238695.

Смотрите также

• Уравнение Коши
• Уравнение Селлмейера
• Модель осциллятора Лоренца
• Модель Таука – Лоренца
• Модель осциллятора Бренделя – Бормана