завихренность

Псевдовекторное поле, описывающее локальное вращение континуума вблизи некоторой точки.

В механике сплошной среды завихренность — это псевдовекторное (или аксиально-векторное) поле , которое описывает локальное вращательное движение континуума вблизи некоторой точки (тенденция чего-либо вращаться ^[1] ), как это было бы видно наблюдателю, находящемуся в этой точке, и путешествуя вместе с потоком . Это важная величина в динамической теории жидкостей , которая обеспечивает удобную основу для понимания множества сложных явлений потока, таких как образование и движение вихревых колец . ^{[2] [3]}

Математически завихренность — это ротор скорости потока : [ ^{4] [3]} ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\equiv \nabla \times \mathbf {v} \,,}$

где оператор набла . Концептуально это можно определить, отмечая части континуума в небольшой окрестности рассматриваемой точки и наблюдая за их относительными смещениями по мере движения вдоль потока. Завихренность будет в два раза больше среднего вектора угловой скорости этих частиц относительно их центра масс , ориентированного в соответствии с правилом правой руки . По своему определению вектор завихренности является соленоидальным полем, поскольку ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\omega }}=0.}$

В двумерном потоке всегда перпендикулярно плоскости потока и поэтому может считаться скалярным полем . ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Математическое определение и свойства

Математически завихренность трехмерного потока представляет собой псевдовекторное поле, обычно обозначаемое как ротор поля скорости , описывающее движение сплошной среды. В декартовых координатах : ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v} =\left({\dfrac {\partial v_{z}}{\partial y}}-{\dfrac {\partial v_{y}}{\partial z}},{\dfrac {\partial v_{x}}{\partial z}}-{\dfrac {\partial v_{z}}{\partial x}},{\dfrac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\dfrac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right)\,.\end{aligned}}}$

Другими словами, завихренность показывает, как изменяется вектор скорости при движении на бесконечно малое расстояние в направлении, перпендикулярном ему.

В двумерном потоке, где скорость не зависит от -координаты и не имеет -компоненты, вектор завихренности всегда параллелен -оси и, следовательно, может быть выражен как скалярное поле, умноженное на постоянный единичный вектор : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\hat {z}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v} =\left({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}\,.\end{aligned}}}$

Завихренность также связана с циркуляцией потока (линейный интеграл скорости) по замкнутому пути согласно (классической) теореме Стокса . А именно, для любого бесконечно малого элемента поверхности C с нормальным направлением и площадью циркуляция по периметру представляет собой скалярное произведение где - завихренность в центре . ^[5] ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle dA}$ ${\displaystyle d\Gamma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\cdot (\mathbf {n} \,dA)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle C}$

Поскольку завихренность является аксиальным вектором, ей можно сопоставить антисимметричный тензор второго порядка (так называемый тензор завихренности или вращения), который называется двойственным к . Связь между двумя величинами в индексных обозначениях определяется выражением ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle \Omega _{ij}=\varepsilon _{ijk}\omega _{k},\qquad \omega _{i}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ijk}\Omega _{jk}}$

где – трехмерный тензор Леви-Чивита . Тензор завихренности представляет собой просто антисимметричную часть тензора , т. е. ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ ${\displaystyle \nabla \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}={\frac {1}{2}}\left[\nabla \mathbf {v} -(\nabla \mathbf {v} )^{T}\right]\quad {\text{or}}\quad \Omega _{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}\right).}$

Примеры

В массе континуума, вращающейся как твердое тело, завихренность в два раза превышает вектор угловой скорости этого вращения. Так обстоит дело, например, в центральном ядре вихря Ренкина . ^[6]

Завихренность может быть отличной от нуля, даже когда все частицы движутся по прямым и параллельным траекториям , если есть сдвиг (то есть, если скорость потока меняется поперек линий тока ). Например, при ламинарном потоке внутри трубы постоянного сечения все частицы движутся параллельно оси трубы; но быстрее вблизи этой оси и практически неподвижен у стен. Завихренность будет равна нулю на оси и максимальной вблизи стенок, где сдвиг наибольший.

И наоборот, поток может иметь нулевую завихренность, даже если его частицы движутся по искривленным траекториям. Примером может служить идеальный безвихревой вихрь , в котором большинство частиц вращаются вокруг некоторой прямой оси со скоростью, обратно пропорциональной их расстоянию до этой оси. Небольшой участок континуума, который не пересекает ось, будет вращаться в одном направлении, но сдвигаться в противоположном, так что их средняя угловая скорость вокруг центра масс будет равна нулю.

Другой способ визуализировать завихрение — представить, что мгновенно крошечная часть континуума становится твердой, а остальная часть потока исчезает. Если эта крошечная новая твердая частица вращается, а не просто движется вместе с потоком, то в потоке возникает завихренность. На рисунке ниже левый подрисунок демонстрирует отсутствие завихренности, а правый — наличие завихренности.

Эволюция

Эволюция поля завихренности во времени описывается уравнением завихренности , которое можно вывести из уравнений Навье–Стокса . ^[7]

Во многих реальных течениях, где вязкостью можно пренебречь (точнее, в течениях с большим числом Рейнольдса ), поле завихренности можно моделировать совокупностью дискретных вихрей, причем завихренность пренебрежимо мала всюду, за исключением небольших областей пространства, окружающих оси вихри. Это верно в случае двумерного потенциального потока (т.е. двумерного потока с нулевой вязкостью), и в этом случае поле потока можно смоделировать как комплексное поле на комплексной плоскости .

Завихренность полезна для понимания того, как идеальные потенциальные решения потока могут быть искажены для моделирования реальных потоков. В общем, наличие вязкости вызывает диффузию завихренности от ядер вихрей в общее поле течения; этот поток объясняется диффузионным членом в уравнении переноса завихренности. ^[8]

Вихревые линии и вихревые трубки

Вихревая линия или линия завихрения — это линия, всюду касающаяся локального вектора завихренности. Вихревые линии определяются соотношением ^[9]

${\displaystyle {\frac {dx}{\omega _{x}}}={\frac {dy}{\omega _{y}}}={\frac {dz}{\omega _{z}}}\,,}$

где – вектор завихренности в декартовых координатах . ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})}$

Вихревая трубка — это поверхность в континууме, образованная всеми вихревыми линиями, проходящими через заданную (приводимую) замкнутую кривую в континууме. «Сила» вихревой трубы (также называемая вихревым потоком ) ^[10] представляет собой интеграл завихренности по поперечному сечению трубы и одинакова повсюду вдоль трубы (поскольку завихренность имеет нулевую дивергенцию). Следствием теорем Гельмгольца (или, что то же самое, теоремы Кельвина о циркуляции ) является то, что в невязкой жидкости «сила» вихревой трубы также постоянна во времени. Эффекты вязкости приводят к потерям на трение и зависимости от времени. ^[11]

В трехмерном потоке завихренность (измеряемая объемным интегралом от квадрата ее величины) может усиливаться при удлинении вихревой линии — явление, известное как растяжение вихря . ^[12] Это явление происходит при образовании вихря в вытекающей воде и образовании торнадо восходящими потоками воздуха.

Измерители завихренности

Лопастной вихревой измеритель

Лопастной вихремер изобрел русский инженер-гидротехник А.Я. Милович (1874–1958). В 1913 г. он предложил пробку с четырьмя прикрепленными к ней лопастями как устройство, качественно показывающее величину вертикальной проекции завихренности, и продемонстрировал киносъемку движения поплавка по поверхности воды на модели излучины реки. ^[13]

Измерители завихренности с вращающимися лопастями обычно демонстрируются в учебных фильмах по механике сплошной среды (известные примеры включают «Завихрение» NCFMF ^[14] и «Фундаментальные принципы потока» Института гидравлических исследований Айовы ^[15] ).

Конкретные науки

Воздухоплавание

В аэродинамике распределение подъемной силы над конечным крылом можно аппроксимировать, предполагая, что за каждым сегментом крыла по размаху стоит полубесконечный вихрь. Тогда можно определить силу вихрей, используя критерий отсутствия потока через поверхность крыла. Эта процедура называется методом вихревой панели вычислительной гидродинамики . Затем силы вихрей суммируются, чтобы найти общую приблизительную циркуляцию вокруг крыла. Согласно теореме Кутты-Жуковского , подъемная сила на единицу пролета является произведением циркуляции, воздушной скорости и плотности воздуха.

Науки об атмосфере

Относительная завихренность — это завихренность относительно Земли, вызванная полем скорости воздуха. Это поле скорости воздуха часто моделируется как двумерный поток, параллельный земле, так что вектор относительной завихренности обычно представляет собой скалярную величину вращения, перпендикулярную земле. Завихренность положительна, когда, глядя на поверхность Земли, ветер поворачивает против часовой стрелки. В северном полушарии положительная завихренность называется циклоническим вращением , а отрицательная завихренность — антициклоническим вращением ; в Южном полушарии номенклатура меняется на противоположную.

Абсолютная завихренность вычисляется на основе скорости воздуха относительно инерциальной системы отсчета и, следовательно, включает в себя член, обусловленный вращением Земли, параметр Кориолиса .

Потенциальная завихренность — это абсолютная завихренность, деленная на вертикальное расстояние между уровнями постоянной (потенциальной) температуры (или энтропии ). Абсолютная завихренность воздушной массы изменится, если воздушную массу растянуть (или сжать) в вертикальном направлении, но потенциальная завихренность сохраняется в адиабатическом потоке . Поскольку в атмосфере преобладает адиабатический поток, потенциальная завихренность полезна в качестве приблизительного индикатора воздушных масс в атмосфере в течение нескольких дней, особенно если рассматривать ее на уровнях постоянной энтропии.

Уравнение баротропной завихренности — это самый простой способ прогнозирования движения волн Россби (то есть впадин и гребней с геопотенциальной высотой 500  гПа ) в течение ограниченного промежутка времени (несколько дней). В 1950-х годах это уравнение использовалось в первых успешных программах численного прогнозирования погоды .

В современных моделях численного прогноза погоды и моделях общей циркуляции (МОЦ) завихренность может быть одной из прогнозируемых переменных, и в этом случае соответствующее зависящее от времени уравнение является прогностическим уравнением .

С концепцией завихренности связана спиральность , определяемая как ${\displaystyle H(t)}$

${\displaystyle H(t)=\int _{V}\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dV}$

где интеграл ведется по заданному объему . В науке об атмосфере спиральность движения воздуха важна для прогнозирования суперячейок и потенциальной торнадической активности. ^[16] ${\displaystyle V}$

Смотрите также

• Уравнение баротропной завихренности
• Парадокс Даламбера
• Энстрофия
• Палинстрофия
• Потенциал скорости
• Вихрь
• Вихревая трубка
• Вихревое растяжение
• Подковообразный вихрь
• Вихри на законцовках крыльев

Динамика жидкостей

• Закон Био – Савара
• Тираж
• Уравнения завихренности
• Теорема Кутты – Жуковского

Науки об атмосфере

• Прогностическое уравнение
• Карл-Густав Россби
• Ганс Эртель

Рекомендации

1. Конспекты лекций Вашингтонского университета. Архивировано 16 октября 2015 г., в Wayback Machine.
2. Моффатт, Гонконг (2015), «Гидравлическая динамика», Николас Дж. Хайэм; и другие. (ред.), Princeton Companion to Applied Mathematics , Princeton University Press, стр. 467–476.
3. Гийон, Этьен; Юлен, Жан-Пьер; Пети, Люк; Митеску, Каталин Д. (2001). Физическая гидродинамика . Издательство Оксфордского университета. стр. 105, 268–310. ISBN 0-19-851746-7.
4. Ачесон, ди-джей (1990). Элементарная гидродинамика . Издательство Оксфордского университета. п. 10. ISBN 0-19-859679-0.
5. Клэнси, LJ, Аэродинамика , Раздел 7.11
6. Ачесон (1990), с. 15
7. Гийон и др. (2001), стр. 289–290.
8. Торн, Кип С .; Бландфорд, Роджер Д. (2017). Современная классическая физика: оптика, жидкости, плазма, упругость, теория относительности и статистическая физика . Издательство Принстонского университета. п. 741. ИСБН 9780691159027.
9. Кунду П. и Коэн И. Механика жидкости .
10. Введение в астрофизическую газовую динамику. Архивировано 14 июня 2011 г., в Wayback Machine.
11. Г. К. Бэтчелор, Введение в гидродинамику (1967), раздел 2.6, ISBN издательства Кембриджского университета 0521098173
12. Бэтчелор, раздел 5.2
13. Жуковский Н. Е. (1914). «О движении воды на повороте реки». Математический сборник . 28 .. Перепечатано в: Собрание сочинений. Том. 4. Москва; Ленинград. 1937. стр. 193–216, 231–233 (аннотация на английском языке).{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)«Поплавок профессора Миловича», как называет Жуковский этот вихревой измеритель, схематически изображен на рисунке на стр. 196 Собрания сочинений.
14. Фильмы Национального комитета по механике жидкости. Архивировано 21 октября 2016 г., в Wayback Machine.
15. Фильмы Хантера Роуза - IIHR - Гидронаука и инженерия. Архивировано 21 апреля 2016 г. в Wayback Machine.
16. Шилер, Мартин В.; ван Рис, Вим М.; Кедия, Хридеш; Клекнер, Дастин; Ирвин, Уильям ТМ (2017). «Полное измерение спиральности и ее динамики в вихревых трубках». Наука . 357 (6350): 487–491. Бибкод : 2017Sci...357..487S. дои : 10.1126/science.aam6897 . ISSN  0036-8075. PMID  28774926. S2CID  23287311.

Библиография

• Ачесон, диджей (1990). Элементарная гидродинамика . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-859679-0.
• Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.М. (1987). Механика жидкости (2-е изд.). Эльзевир. ISBN 978-0-08-057073-0.
• Позрикидис, К. (2011). Введение в теоретическую и вычислительную гидродинамику . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-975207-2.
• Гийон, Этьен; Юлен, Жан-Пьер; Пети, Люк; Митеску, Каталин Д. (2001). Физическая гидродинамика . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-851746-7.
• Бэтчелор, Г.К. (2000) [1967], Введение в гидродинамику , издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-66396-2
• Клэнси, LJ (1975), Аэродинамика , Pitman Publishing Limited, Лондонский ISBN 0-273-01120-0 
• « Погодный глоссарий » The Weather Channel Interactive, Inc., 2004 г.
• « Завихренность ». Интегрированное издательство.

дальнейшее чтение

• Окитани, К., « Элементарный учет завихренности и родственные уравнения ». Издательство Кембриджского университета. 30 января 2005 г. ISBN 0-521-81984-9 . 
• Хорен, Александр Ж. , « Завихренность и турбулентность ». Прикладные математические науки, том 103, Springer-Verlag. 1 марта 1994 г. ISBN 0-387-94197-5. 
• Майда, Эндрю Дж. , Андреа Л. Бертоцци, « Завихренность и несжимаемый поток ». Издательство Кембриджского университета; 2002. ISBN 0-521-63948-4. 
• Триттон, DJ , « Физическая гидродинамика ». Ван Ностранд Рейнхольд, Нью-Йорк. 1977. ISBN 0-19-854493-6. 
• Арфкен Г. « Математические методы для физиков », 3-е изд. Academic Press, Орландо, Флорида. 1985. ISBN 0-12-059820-5. 

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В., « Завихрение ». Scienceworld.wolfram.com.
• Досвелл III, Чарльз А., « Букварь по завихренности для применения в суперячейках и торнадо ». Кооперативный институт мезомасштабных метеорологических исследований, Норман, Оклахома.
• Крамер, М.С., « Уравнения Навье – Стокса. Теоремы переноса завихрений: Введение ». Основы механики жидкости.
• Паркер, Дуглас, « ENVI 2210 – Динамика атмосферы и океана, 9: Завихрение ». Школа окружающей среды Университета Лидса. Сентябрь 2001 года.
• Грэм, Джеймс Р. , « Астрономия 202: Астрофизическая газовая динамика ». Астрономический факультет Калифорнийского университета в Беркли .
  • « Уравнение завихренности: несжимаемая и баротропная жидкости ».
  • « Интерпретация уравнения завихренности ».
  • « Теорема Кельвина о завихренности для несжимаемого или баротропного течения ».
• « Сферпак 3.1 ». (включает в себя набор программ vorticity FORTRAN)
• « Мезомасштабное сжимаемое сообщество (MC2) ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} Прогнозы модели в реальном времени ». (Анализ потенциальной завихренности)