Закон Планка

Спектральная плотность света, излучаемого абсолютно черным телом

Закон Планка точно описывает излучение черного тела. Здесь показано семейство кривых для разных температур. Классическая (черная) кривая расходится с наблюдаемой интенсивностью на высоких частотах (короткие длины волн).

В физике закон Планка ( также закон излучения Планка ^{[1] : 1305} ) описывает спектральную плотность электромагнитного излучения, испускаемого черным телом в тепловом равновесии при заданной температуре T , когда нет чистого потока вещества или энергии между телом и окружающей средой. ^[2]

В конце 19 века физики не могли объяснить, почему наблюдаемый спектр излучения черного тела , который к тому времени был точно измерен, значительно расходился на более высоких частотах с предсказанным существующими теориями. В 1900 году немецкий физик Макс Планк эвристически вывел формулу для наблюдаемого спектра, предположив, что гипотетический электрически заряженный осциллятор в полости, содержащей излучение черного тела, может изменять свою энергию только на минимальное приращение, E , которое было пропорционально частоте связанной с ним электромагнитной волны . В то время как Планк изначально считал гипотезу о разделении энергии на приращения математическим ухищрением, введенным просто для того, чтобы получить правильный ответ, другие физики, включая Альберта Эйнштейна, основывались на его работе, и теперь признано, что понимание Планка имеет фундаментальное значение для квантовой теории .

Закон

Каждое физическое тело спонтанно и непрерывно испускает электромагнитное излучение , а спектральная яркость тела, B _ν , описывает спектральную мощность излучения на единицу площади, на единицу телесного угла и на единицу частоты для определенных частот излучения. Соотношение, заданное законом излучения Планка, приведенным ниже, показывает, что с ростом температуры общая излучаемая энергия тела увеличивается, а пик излучаемого спектра смещается в сторону более коротких длин волн. ^[3] Согласно закону распределения Планка, спектральная плотность энергии (энергия на единицу объема на единицу частоты) при данной температуре определяется как: ^{[4] [5]} в качестве альтернативы, закон может быть выражен для спектральной яркости тела для частоты ν при абсолютной температуре T, заданной как: ^{[6] [7] [8]} где k _B - постоянная Больцмана , h - постоянная Планка , а c - скорость света в среде, будь то материал или вакуум. Единицы измерения спектральной яркости B _ν в системе СГС : эрг · с ⁻¹ · ср ⁻¹ · см ⁻² · Гц ⁻¹ . Термины B и u связаны друг с другом коэффициентом ⁠ $${\displaystyle u_{\nu }(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}}$$ $${\displaystyle B_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}}$$ 4π/с⁠ поскольку B не зависит от направления, а излучение распространяется со скоростью c . Спектральная яркость также может быть выражена на единицу длины волны λ вместо единицы частоты. Кроме того, закон может быть выражен в других терминах, таких как число фотонов, испускаемых на определенной длине волны, или плотность энергии в объеме излучения.

В пределе низких частот (т.е. больших длин волн) закон Планка стремится к закону Рэлея–Джинса , тогда как в пределе высоких частот (т.е. малых длин волн) он стремится к приближению Вина .

Макс Планк разработал закон в 1900 году, используя только эмпирически определенные константы, и позднее показал, что, выраженный как распределение энергии, он является единственным устойчивым распределением для излучения в термодинамическом равновесии . ^[2] Как распределение энергии, он является одним из семейства распределений теплового равновесия, которое включает распределение Бозе-Эйнштейна , распределение Ферми-Дирака и распределение Максвелла-Больцмана .

Излучение черного тела

Солнце приближается к черному телу-излучателю. Его эффективная температура составляет около5777 К .

Черное тело — это идеализированный объект, который поглощает и испускает все частоты излучения. Вблизи термодинамического равновесия испускаемое излучение близко описывается законом Планка, и из-за его зависимости от температуры , излучение Планка называется тепловым излучением, так что чем выше температура тела, тем больше излучения оно испускает на каждой длине волны.

Планковское излучение имеет максимальную интенсивность на длине волны, которая зависит от температуры тела. Например, при комнатной температуре (~300  K ) тело испускает тепловое излучение, которое в основном является инфракрасным и невидимым. При более высоких температурах количество инфракрасного излучения увеличивается и может ощущаться как тепло, и испускается больше видимого излучения, поэтому тело светится заметно красным. При более высоких температурах тело становится ярко-желтым или сине-белым и испускает значительное количество коротковолнового излучения, включая ультрафиолетовое и даже рентгеновское . Поверхность Солнца (~6000 K ) испускает большое количество как инфракрасного, так и ультрафиолетового излучения; его излучение достигает пика в видимом спектре. Этот сдвиг из-за температуры называется законом смещения Вина .

Планковское излучение — это наибольшее количество излучения, которое может испускать со своей поверхности любое тело, находящееся в тепловом равновесии, независимо от его химического состава или структуры поверхности. ^[9] Прохождение излучения через границу раздела между средами можно охарактеризовать излучательной способностью границы раздела (отношением фактической яркости к теоретической яркости Планка), обычно обозначаемой символом ε . В целом оно зависит от химического состава и физической структуры, температуры, длины волны, угла прохождения и поляризации . [ ^10] Излучательная способность естественной границы раздела всегда находится в диапазоне от ε = 0 до 1.

Тело, которое взаимодействует с другой средой, которая имеет ε = 1 и поглощает все падающее на нее излучение, называется черным телом. Поверхность черного тела можно смоделировать небольшим отверстием в стенке большого ограждения, которое поддерживается при равномерной температуре с непрозрачными стенками, которые на каждой длине волны не являются идеально отражающими. В состоянии равновесия излучение внутри этого ограждения описывается законом Планка, как и излучение, выходящее из малого отверстия.

Подобно тому, как распределение Максвелла-Больцмана является уникальным распределением максимальной энтропии энергии для газа материальных частиц при тепловом равновесии, так и распределение Планка является таковым для газа фотонов . ^{[11] [12]} В отличие от материального газа, где играют роль масса и число частиц, спектральная яркость, давление и плотность энергии фотонного газа при тепловом равновесии полностью определяются температурой.

Если фотонный газ не является планковским, второй закон термодинамики гарантирует, что взаимодействия (между фотонами и другими частицами или даже, при достаточно высоких температурах, между самими фотонами) приведут к изменению распределения энергии фотонов и приближению его к распределению Планка. При таком подходе к термодинамическому равновесию фотоны создаются или уничтожаются в правильных количествах и с правильными энергиями, чтобы заполнить полость с распределением Планка, пока они не достигнут равновесной температуры. Это как если бы газ был смесью субгазов, по одному на каждый диапазон длин волн, и каждый субгаз в конечном итоге достигает общей температуры.

Величина B _ν ( ν , T ) представляет собой спектральную яркость как функцию температуры и частоты. Она имеет единицы измерения Вт · м ⁻² · ср ⁻¹ · Гц ⁻¹ в системе СИ . Бесконечно малое количество мощности B _ν ( ν , T ) cos θ dA d Ω dν излучается в направлении, описываемом углом θ от нормали к поверхности из бесконечно малой площади поверхности dA в бесконечно малый телесный угол d Ω в бесконечно малой полосе частот шириной dν с центром на частоте ν . Полная мощность, излучаемая в любой телесный угол, является интегралом B ν ( ν , T ) по этим трем величинам _и определяется законом Стефана-Больцмана . Спектральная яркость планковского излучения черного тела имеет одинаковое значение для любого направления и угла поляризации, поэтому черное тело называют ламбертовским излучателем .

Разные формы

Закон Планка может встречаться в нескольких формах в зависимости от соглашений и предпочтений различных научных областей. Различные формы закона спектральной яркости суммированы в таблице ниже. Формы слева чаще всего встречаются в экспериментальных областях , в то время как формы справа чаще всего встречаются в теоретических областях .

В формулировке дробной полосы пропускания, , и интегрирование выполняется относительно . ${\textstyle x={\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}={\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}}$ ${\textstyle \mathrm {d} (\ln x)=\mathrm {d} (\ln \nu )={\frac {\mathrm {d} \nu }{\nu }}=-{\frac {\mathrm {d} \lambda }{\lambda }}=-\mathrm {d} (\ln \lambda )}$

Закон Планка можно также записать через спектральную плотность энергии ( u ), умножив B на ⁠4π/с⁠ : ^[17] $${\displaystyle u_{i}(T)={\frac {4\pi }{c}}B_{i}(T).}$$

Эти распределения представляют спектральную яркость черных тел — мощность, излучаемую излучающей поверхностью, на единицу проецируемой площади излучающей поверхности, на единицу телесного угла , на спектральную единицу (частоту, длину волны, волновое число или их угловые эквиваленты, или дробную частоту или длину волны). Поскольку яркость изотропна ( т. е. не зависит от направления), мощность, излучаемая под углом к ​​нормали , пропорциональна проецируемой площади и, следовательно, косинусу этого угла согласно закону косинуса Ламберта , и является неполяризованной .

Соответствие между формами спектральных переменных

Различные спектральные переменные требуют различных соответствующих форм выражения закона. В общем случае нельзя преобразовывать различные формы закона Планка, просто заменяя одну переменную другой, поскольку это не будет учитывать, что различные формы имеют различные единицы. Длина волны и единицы частоты являются обратными.

Соответствующие формы выражения связаны, поскольку они выражают один и тот же физический факт: для определенного физического спектрального приращения излучается соответствующее определенное физическое приращение энергии.

Это так, независимо от того, выражается ли это через приращение частоты, d ν , или, соответственно, длины волны, d λ , или дробной ширины полосы, d ν / ν или d λ / λ . Введение знака минус может указывать на то, что приращение частоты соответствует уменьшению длины волны.

Для того, чтобы преобразовать соответствующие формы так, чтобы они выражали одну и ту же величину в одних и тех же единицах, мы умножаем на спектральный прирост. Затем, для конкретного спектрального прироста, может быть записан конкретный физический прирост энергии, что приводит к $${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)\,d\lambda =-B_{\nu }(\nu (\lambda ),T)\,d\nu ,}$$ $${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)=-{\frac {d\nu }{d\lambda }}B_{\nu }(\nu (\lambda ),T).}$$

Также, ν ( λ ) = ⁠с/λ⁠ , так что ⁠дν/дλ⁠ = − ⁠с/λ2^​⁠ . Подстановка дает соответствие между формой частоты и длиной волны, с их различными размерами и единицами. ^{[15] [18]} Следовательно, $${\displaystyle {\frac {B_{\lambda }(T)}{B_{\nu }(T)}}={\frac {c}{\lambda ^{2}}}={\frac {\nu ^{2}}{c}}.}$$

Очевидно, что расположение пика спектрального распределения для закона Планка зависит от выбора спектральной переменной. Тем не менее, в некотором смысле, эта формула означает, что форма спектрального распределения не зависит от температуры, согласно закону смещения Вина, как подробно описано ниже в § Свойства §§ Процентили .

Форма дробной полосы пропускания связана с другими формами следующим образом ^[16]

${\displaystyle B_{\ln x}=\nu B_{\nu }=\lambda B_{\lambda }}$.

Первая и вторая константы излучения

В приведенных выше вариантах закона Планка для длины волны и волнового числа используются термины 2 hc ² и ⁠хк/к _Б⁠ которые включают только физические константы. Следовательно, эти термины могут рассматриваться как сами физические константы, ^[19] и поэтому называются первой радиационной константой c _{1 L} и второй радиационной константой c ₂ с

с _{1 L} = 2 hc ²

и

с ₂ = ⁠хк/к _Б⁠ .

Используя константы излучения, можно упростить вариант закона Планка, описывающий длину волны , а также соответственно упростить вариант, описывающий волновое число . $${\displaystyle L(\lambda ,T)={\frac {c_{1L}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1}}}$$

L здесь используется вместо B , поскольку это символ SI для спектральной яркости . L в c _{1 L} относится к этому. Эта ссылка необходима, поскольку закон Планка можно переформулировать так, чтобы дать спектральную светимость M ( λ , T ) вместо спектральной яркости L ( λ , T ) , в этом случае c ₁ заменяет c _{1 L} , с

с ₁ = 2π hc ² ,

так что закон Планка для спектральной лучистой светимости можно записать как $${\displaystyle M(\lambda ,T)={\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1}}}$$

По мере совершенствования методов измерения Генеральная конференция по мерам и весам пересмотрела свою оценку c ₂ ; подробности см . в Планковском месте § Международная температурная шкала .

Физика

Замораживание высокоэнергетических осцилляторов

Закон Планка описывает уникальное и характерное спектральное распределение электромагнитного излучения в термодинамическом равновесии, когда нет чистого потока материи или энергии. ^[2] Его физику легче всего понять, рассматривая излучение в полости с жесткими непрозрачными стенками. Движение стенок может влиять на излучение. Если стенки не непрозрачны, то термодинамическое равновесие не изолировано. Интересно объяснить, как достигается термодинамическое равновесие. Существует два основных случая: (a) когда приближение к термодинамическому равновесию происходит при наличии материи, когда стенки полости несовершенно отражают для каждой длины волны или когда стенки идеально отражают, в то время как полость содержит небольшое черное тело (это был основной случай, рассмотренный Планком); или (b) когда приближение к равновесию происходит при отсутствии материи, когда стенки идеально отражают для всех длин волн, а полость не содержит материи. Для материи, не заключенной в такую ​​полость, тепловое излучение можно приблизительно объяснить соответствующим использованием закона Планка.

Классическая физика привела, через теорему о равнораспределении , к ультрафиолетовой катастрофе , предсказанию, что общая интенсивность излучения черного тела бесконечна. Если дополнить ее классически неоправданным предположением, что по какой-то причине излучение конечно, классическая термодинамика дает объяснение некоторым аспектам распределения Планка, таким как закон Стефана-Больцмана и закон смещения Вина . Для случая присутствия материи квантовая механика дает хорошее объяснение, как указано ниже в разделе, озаглавленном «Коэффициенты Эйнштейна». Этот случай рассматривал Эйнштейн, и в настоящее время он используется в квантовой оптике. ^{[20] [21]} Для случая отсутствия материи необходима квантовая теория поля, поскольку нерелятивистская квантовая механика с фиксированным числом частиц не дает достаточного объяснения.

Фотоны

Квантово-теоретическое объяснение закона Планка рассматривает излучение как газ безмассовых, незаряженных, бозонных частиц, а именно фотонов, находящихся в термодинамическом равновесии . Фотоны рассматриваются как носители электромагнитного взаимодействия между электрически заряженными элементарными частицами. Число фотонов не сохраняется. Фотоны создаются или уничтожаются в правильных числах и с правильными энергиями, чтобы заполнить полость с распределением Планка. Для фотонного газа в термодинамическом равновесии внутренняя плотность энергии полностью определяется температурой; более того, давление полностью определяется внутренней плотностью энергии. Это отличается от случая термодинамического равновесия для материальных газов, для которых внутренняя энергия определяется не только температурой, но и, независимо, соответствующим числом различных молекул, и снова независимо, конкретными характеристиками различных молекул. Для различных материальных газов при данной температуре давление и внутренняя плотность энергии могут изменяться независимо, поскольку различные молекулы могут независимо нести различные энергии возбуждения.

Закон Планка возникает как предел распределения Бозе-Эйнштейна , распределения энергии, описывающего невзаимодействующие бозоны в термодинамическом равновесии. В случае безмассовых бозонов, таких как фотоны и глюоны , химический потенциал равен нулю, и распределение Бозе-Эйнштейна сводится к распределению Планка. Существует еще одно фундаментальное равновесное распределение энергии: распределение Ферми-Дирака , которое описывает фермионы , такие как электроны, в тепловом равновесии. Эти два распределения различаются, поскольку несколько бозонов могут занимать одно и то же квантовое состояние, в то время как несколько фермионов не могут. При низких плотностях число доступных квантовых состояний на частицу велико, и эта разница становится несущественной. В пределе низкой плотности распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака сводятся к распределению Максвелла-Больцмана .

Закон Кирхгофа теплового излучения

Закон теплового излучения Кирхгофа — это краткое и краткое описание сложной физической ситуации. Ниже приводится вводный набросок этой ситуации, и он весьма далек от строгого физического аргумента. Целью здесь является только суммирование основных физических факторов в ситуации и основных выводов.

Спектральная зависимость теплового излучения

Существует разница между кондуктивной теплопередачей и лучистой теплопередачей . Лучистая теплопередача может быть отфильтрована так, чтобы пропускать только определенную полосу частот излучения.

Общеизвестно, что чем горячее становится тело, тем больше тепла оно излучает на каждой частоте.

В полости непрозрачного тела с жесткими стенками, которые не являются идеально отражающими на любой частоте, в термодинамическом равновесии существует только одна температура, и она должна быть общей для излучения каждой частоты.

Можно представить себе две такие полости, каждая из которых находится в своем изолированном лучистом и термодинамическом равновесии. Можно представить себе оптическое устройство, которое допускает лучистый перенос тепла между двумя полостями, отфильтрованный для пропускания только определенной полосы частот излучения. Если значения спектральных излучений излучений в полостях различаются в этой полосе частот, можно ожидать, что тепло будет передаваться от более горячего к более холодному. Можно предложить использовать такой отфильтрованный перенос тепла в такой полосе для приведения в действие тепловой машины. Если два тела имеют одинаковую температуру, второй закон термодинамики не позволяет тепловой машине работать. Можно сделать вывод, что для температуры, общей для двух тел, значения спектральных излучений в полосе пропускания также должны быть общими. Это должно выполняться для каждой полосы частот. ^{[22] [23] [24]} Это стало ясно Бальфуру Стюарту, а затем Кирхгофу. Бальфур Стюарт экспериментально обнаружил, что из всех поверхностей поверхность, покрытая сажей, испускает наибольшее количество теплового излучения для каждого качества излучения, оцениваемого с помощью различных фильтров.

Размышляя теоретически, Кирхгоф пошел немного дальше и указал, что это подразумевает, что спектральная яркость, как функция частоты излучения, любой такой полости в термодинамическом равновесии должна быть уникальной универсальной функцией температуры. Он постулировал идеальное черное тело, которое взаимодействует со своим окружением таким образом, чтобы поглощать все падающее на него излучение. Согласно принципу взаимности Гельмгольца, излучение изнутри такого тела будет беспрепятственно проходить непосредственно в его окружение без отражения на границе. В термодинамическом равновесии тепловое излучение, испускаемое таким телом, будет иметь эту уникальную универсальную спектральную яркость как функцию температуры. Это понимание является корнем закона теплового излучения Кирхгофа.

Соотношение между поглощательной способностью и излучательной способностью

Можно представить себе небольшое однородное сферическое материальное тело, обозначенное X при температуре T _X , лежащее в поле излучения внутри большой полости со стенками из материала, обозначенного Y при температуре T _Y . Тело X испускает собственное тепловое излучение. На определенной частоте ν излучение, испускаемое из определенного поперечного сечения через центр X в одном направлении в направлении, нормальном к этому поперечному сечению, может быть обозначено как I _{ν , X} ( T _X ) , что характерно для материала X . На этой частоте ν мощность излучения от стенок в это поперечное сечение в противоположном направлении в этом направлении может быть обозначена как I _{ν , Y} ( T _Y ) , для температуры стенки T _Y . Для материала X , определяя поглощательную способность α _{ν , X , Y} ( T _X , T _Y ) как долю падающего излучения, поглощенную X , эта падающая энергия поглощается со скоростью α _{ν , X , Y} ( T _X , T _Y ) I _{ν , Y} ( T _Y ) .

Скорость q ( ν , T _X , T _Y ) накопления энергии в одном направлении в поперечном сечении тела может быть тогда выражена $${\displaystyle q(\nu ,T_{X},T_{Y})=\alpha _{\nu ,X,Y}(T_{X},T_{Y})I_{\nu ,Y}(T_{Y})-I_{\nu ,X}(T_{X}).}$$

Основополагающее открытие Кирхгофа, упомянутое выше, состояло в том, что при термодинамическом равновесии при температуре T существует уникальное универсальное распределение излучения, в настоящее время обозначаемое как B _ν ( T ) , которое не зависит от химических характеристик материалов X и Y , что приводит к очень ценному пониманию равновесия обмена излучением любого тела, как следует ниже.

Когда существует термодинамическое равновесие при температуре T , излучение полости от стенок имеет это единственное универсальное значение, так что I _{ν , Y} ( T _Y ) = B _ν ( T ) . Далее, можно определить излучательную способность ε _{ν , X} ( T _X ) материала тела X так, что при термодинамическом равновесии при температуре T _X = T , имеем I _{ν , X} ( T _X ) = I _{ν , X} ( T ) = ε _{ν , X} ( T ) B _ν ( T ) .

Когда тепловое равновесие преобладает при температуре T = T _X = T _Y , скорость накопления энергии исчезает, так что q ( ν , T _X , T _Y ) = 0 . Отсюда следует, что в термодинамическом равновесии, когда T = T _X = T _Y , $${\displaystyle 0=\alpha _{\nu ,X,Y}(T,T)B_{\nu }(T)-\epsilon _{\nu ,X}(T)B_{\nu }(T).}$$

Кирхгоф указал, что из этого следует, что в термодинамическом равновесии, когда T = T _X = T _Y , $${\displaystyle \alpha _{\nu ,X,Y}(T,T)=\epsilon _{\nu ,X}(T).}$$

Вводя специальное обозначение α _{ν , X} ( T ) для поглощательной способности материала X в термодинамическом равновесии при температуре T (обоснованное открытием Эйнштейна, как указано ниже), получаем еще одно равенство в термодинамическом равновесии. $${\displaystyle \alpha _{\nu ,X}(T)=\epsilon _{\nu ,X}(T)}$$

Равенство поглощательной и излучательной способностей, продемонстрированное здесь, характерно для термодинамического равновесия при температуре T и, как правило, не должно соблюдаться, когда условия термодинамического равновесия не соблюдаются. Излучательная и поглощательная способности являются отдельными свойствами молекул материала, но они по-разному зависят от распределений состояний молекулярного возбуждения в данном случае из-за явления, известного как «стимулированное излучение», которое было открыто Эйнштейном. В случаях, когда материал находится в термодинамическом равновесии или в состоянии, известном как локальное термодинамическое равновесие, излучательная и поглощательная способности становятся равными. Очень сильное падающее излучение или другие факторы могут нарушить термодинамическое равновесие или локальное термодинамическое равновесие. Локальное термодинамическое равновесие в газе означает, что молекулярные столкновения значительно перевешивают испускание и поглощение света при определении распределений состояний молекулярного возбуждения.

Кирхгоф указал, что он не знал точного характера B _ν ( T ) , но он считал важным, чтобы он был выяснен. Спустя четыре десятилетия после того, как Кирхгоф понял общие принципы его существования и характера, вклад Планка состоял в определении точного математического выражения этого равновесного распределения B _ν ( T ) .

Черное тело

В физике рассматривается идеальное черное тело, здесь обозначенное как B , определяемое как тело, которое полностью поглощает все электромагнитное излучение, падающее на него на каждой частоте ν (отсюда и термин «черный»). Согласно закону теплового излучения Кирхгофа, это означает, что для каждой частоты ν при термодинамическом равновесии при температуре T имеем α _{ν , B} ( T ) = ε _{ν , B} ( T ) = 1 , так что тепловое излучение от черного тела всегда равно полному количеству, указанному законом Планка. Ни одно физическое тело не может испускать тепловое излучение, превышающее тепловое излучение черного тела, поскольку, если бы оно находилось в равновесии с полем излучения, оно испускало бы больше энергии, чем падало на него.

Хотя идеально черных материалов не существует, на практике черную поверхность можно точно аппроксимировать. ^[2] Что касается его материальной внутренней части, тело конденсированного вещества, жидкости, твердого тела или плазмы с определенным интерфейсом с окружающей средой является абсолютно черным для излучения, если оно полностью непрозрачно. Это означает, что оно поглощает все излучение, которое проникает через интерфейс тела с окружающей средой и входит в тело. Этого не так уж и сложно достичь на практике. С другой стороны, идеально черного интерфейса в природе не встречается. Идеально черный интерфейс не отражает никакого излучения, но пропускает все, что падает на него с любой стороны. Лучший практический способ сделать эффективно черный интерфейс — это смоделировать «интерфейс» с помощью небольшого отверстия в стенке большой полости в полностью непрозрачном жестком теле из материала, который не отражает идеально ни на какой частоте, со стенками при контролируемой температуре. Помимо этих требований, составной материал стенок не ограничен. Излучение, попадающее в отверстие, практически не имеет возможности покинуть полость, не будучи поглощенным многократными ударами о его стенки. ^[25]

Закон косинуса Ламберта

Как объяснил Планк, ^[26] излучающее тело имеет внутреннюю часть, состоящую из материи, и интерфейс с его смежной соседней материальной средой, которая обычно является средой, изнутри которой наблюдается излучение с поверхности тела. Интерфейс не состоит из физической материи, а является теоретической концепцией, математической двумерной поверхностью, совместным свойством двух смежных сред, строго говоря, не принадлежащей ни одной из них по отдельности. Такой интерфейс не может ни поглощать, ни излучать, поскольку он не состоит из физической материи; но он является местом отражения и передачи излучения, поскольку является поверхностью разрыва оптических свойств. Отражение и передача излучения на интерфейсе подчиняются принципу взаимности Стокса-Гельмгольца .

В любой точке внутри черного тела, находящегося внутри полости в термодинамическом равновесии при температуре T, излучение однородно, изотропно и неполяризовано. Черное тело поглощает все и не отражает ничего из падающего на него электромагнитного излучения. Согласно принципу взаимности Гельмгольца, излучение изнутри черного тела не отражается от его поверхности, а полностью передается наружу. Из-за изотропности излучения внутри тела спектральная яркость излучения, переданного изнутри наружу через его поверхность, не зависит от направления. ^[27]

Это выражается тем, что излучение с поверхности черного тела в термодинамическом равновесии подчиняется закону косинуса Ламберта. ^{[28] [29]} Это означает, что спектральный поток d Φ( dA , θ , d Ω, dν ) с заданного бесконечно малого элемента площади dA фактической излучающей поверхности черного тела, обнаруженный с заданного направления, которое составляет угол θ с нормалью к фактической излучающей поверхности в dA , в элемент телесного угла обнаружения d Ω , центрированный на направлении, указанном θ , в элементе полосы пропускания частот dν , может быть представлен как ^[30] где L ⁰ ( dA , dν ) обозначает поток на единицу площади на единицу частоты на единицу телесного угла, который площадь dA показала бы, если бы она была измерена в ее нормальном направлении θ = 0 . $${\displaystyle {\frac {d\Phi (dA,\theta ,d\Omega ,d\nu )}{d\Omega }}=L^{0}(dA,d\nu )\,dA\,d\nu \,\cos \theta }$$

Фактор cos θ присутствует, поскольку область, к которой спектральная яркость относится напрямую, является проекцией фактической площади излучающей поверхности на плоскость, перпендикулярную направлению, указанному θ . Это причина названия закона косинуса .

Учитывая независимость направления спектральной яркости излучения от поверхности черного тела, находящегося в термодинамическом равновесии, имеем L ⁰ ( dA , dν ) = B _ν ( T ) и, следовательно, $${\displaystyle {\frac {d\Phi (dA,\theta ,d\Omega ,d\nu )}{d\Omega }}=B_{\nu }(T)\,dA\,d\nu \,\cos \theta .}$$

Таким образом, закон косинусов Ламберта выражает независимость от направления спектральной яркости B _ν ( T ) поверхности черного тела, находящегося в термодинамическом равновесии.

Закон Стефана-Больцмана

Полную мощность, излучаемую на единицу площади на поверхности черного тела ( P ), можно найти путем интегрирования спектрального потока черного тела, найденного по закону Ламберта, по всем частотам и по телесным углам, соответствующим полусфере ( h ) над поверхностью. $${\displaystyle P=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{h}d\Omega \,B_{\nu }\cos(\theta )}$$

Бесконечно малый телесный угол можно выразить в сферических полярных координатах : Так что: где известна как постоянная Стефана–Больцмана . ^[31] $${\displaystyle d\Omega =\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi .}$$ $${\displaystyle P=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}d\theta \int _{0}^{2\pi }d\phi \,B_{\nu }(T)\cos(\theta )\sin(\theta )=\sigma T^{4}}$$ $${\displaystyle \sigma ={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{4}\pi ^{5}}{15c^{2}h^{3}}}\approx 5.670400\times 10^{-8}\,\mathrm {J\,s^{-1}m^{-2}K^{-4}} }$$

Лучистый перенос

Уравнение переноса излучения описывает, как излучение влияет на свое прохождение через материальную среду. Для особого случая, когда материальная среда находится в термодинамическом равновесии в окрестности точки среды, закон Планка имеет особое значение.

Для простоты можно рассмотреть линейное стационарное состояние без рассеяния . Уравнение переноса излучения гласит, что для луча света, проходящего через небольшое расстояние d s , энергия сохраняется: Изменение (спектральной) яркости этого луча ( I _ν ) равно количеству, удаленному материальной средой, плюс количеству, полученному от материальной среды. Если поле излучения находится в равновесии с материальной средой, эти два вклада будут равны. Материальная среда будет иметь определенный коэффициент излучения и коэффициент поглощения .

Коэффициент поглощения α представляет собой дробное изменение интенсивности светового луча по мере его прохождения расстояния d s и имеет единицу длины ⁻¹ . Он состоит из двух частей: уменьшения из-за поглощения и увеличения из-за вынужденного излучения . Вынужденное излучение — это излучение материального тела, которое вызвано входящим излучением и пропорционально ему. Оно включено в термин поглощения, потому что, как и поглощение, оно пропорционально интенсивности входящего излучения. Поскольку величина поглощения обычно будет линейно изменяться как плотность ρ материала, мы можем определить «коэффициент массового поглощения» κ _ν = ⁠α/ρ⁠ что является свойством самого материала. Изменение интенсивности светового луча из-за поглощения при прохождении им небольшого расстояния d s будет тогда ^[7] $${\displaystyle dI_{\nu }=-\kappa _{\nu }\rho I_{\nu }\,ds}$$

«Массовый коэффициент излучения» j _ν равен яркости на единицу объема малого объемного элемента, деленной на его массу (поскольку, как и для массового коэффициента поглощения, излучение пропорционально излучающей массе) и имеет единицы мощности⋅телесный угол ⁻¹ ⋅частота ⁻¹ ⋅плотность ⁻¹ . Как и массовый коэффициент поглощения, он также является свойством самого материала. Изменение светового луча при прохождении им небольшого расстояния d s будет тогда ^[32] $${\displaystyle dI_{\nu }=j_{\nu }\rho \,ds}$$

Уравнение переноса излучения будет тогда суммой этих двух вкладов: ^[33] $${\displaystyle {\frac {dI_{\nu }}{ds}}=j_{\nu }\rho -\kappa _{\nu }\rho I_{\nu }.}$$

Если поле излучения находится в равновесии с материальной средой, то излучение будет однородным (независимо от положения), так что dI _ν = 0 и: что является еще одним утверждением закона Кирхгофа, связывающим два материальных свойства среды и дающим уравнение переноса излучения в точке, вокруг которой среда находится в термодинамическом равновесии: $${\displaystyle \kappa _{\nu }B_{\nu }=j_{\nu }}$$ $${\displaystyle {\frac {dI_{\nu }}{ds}}=\kappa _{\nu }\rho (B_{\nu }-I_{\nu }).}$$

Коэффициенты Эйнштейна

Принцип детального равновесия гласит, что при термодинамическом равновесии каждый элементарный процесс уравновешивается обратным ему процессом.

В 1916 году Альберт Эйнштейн применил этот принцип на атомном уровне к случаю атома, излучающего и поглощающего излучение за счет переходов между двумя конкретными уровнями энергии, ^[34] дав более глубокое понимание уравнения переноса излучения и закона Кирхгофа для этого типа излучения. Если уровень 1 является нижним уровнем энергии с энергией E ₁ , а уровень 2 является верхним уровнем энергии с энергией E ₂ , то частота ν излучаемого или поглощаемого излучения будет определяться частотным условием Бора: ^{[35] [36]} $${\displaystyle E_{2}-E_{1}=h\nu .}$$

Если n ₁ и n ₂ — плотности числа атомов в состояниях 1 и 2 соответственно, то скорость изменения этих плотностей во времени будет обусловлена ​​тремя процессами:

Спонтанное излучение

${\displaystyle \left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\mathrm {spon} }=A_{21}n_{2}}$

Вынужденное излучение

${\displaystyle \left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\mathrm {stim} }=B_{21}n_{2}u_{\nu }}$

Фотопоглощение

${\displaystyle \left({\frac {dn_{2}}{dt}}\right)_{\mathrm {abs} }=B_{12}n_{1}u_{\nu }}$

где u _ν — спектральная плотность энергии поля излучения. Три параметра A ₂₁ , B ₂₁ и B ₁₂ , известные как коэффициенты Эйнштейна, связаны с частотой фотона ν, создаваемой переходом между двумя уровнями энергии (состояниями). В результате каждая линия в спектре имеет свой собственный набор связанных коэффициентов. Когда атомы и поле излучения находятся в равновесии, яркость будет определяться законом Планка, и, согласно принципу детального равновесия, сумма этих скоростей должна быть равна нулю: $${\displaystyle 0=A_{21}n_{2}+B_{21}n_{2}{\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)-B_{12}n_{1}{\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)}$$

Поскольку атомы также находятся в равновесии, заселенности двух уровней связаны фактором Больцмана : где g ₁ и g ₂ — кратности соответствующих уровней энергии. Объединение двух приведенных выше уравнений с требованием, чтобы они были справедливы при любой температуре, дает два соотношения между коэффициентами Эйнштейна: так что знание одного коэффициента даст два других. $${\displaystyle {\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}e^{-h\nu /k_{\mathrm {B} }T}}$$ $${\displaystyle {\frac {A_{21}}{B_{21}}}={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {B_{21}}{B_{12}}}={\frac {g_{1}}{g_{2}}}}$$

Для случая изотропного поглощения и испускания коэффициент испускания ( j _ν ) и коэффициент поглощения ( κ _ν ), определенные в разделе переноса излучения выше, могут быть выражены через коэффициенты Эйнштейна. Соотношения между коэффициентами Эйнштейна дадут выражение закона Кирхгофа, выраженное в разделе переноса излучения выше, а именно, что $${\displaystyle j_{\nu }=\kappa _{\nu }B_{\nu }.}$$

Эти коэффициенты применимы как к атомам, так и к молекулам.

Характеристики

Пики

Распределения B _ν , B _ω , B _ν̃ и B _k достигают пика при энергии фотона ^[37] , где W — функция Ламберта W , а e — число Эйлера . $${\displaystyle E=\left[3+W\left(-3e^{-3}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.821\ k_{\mathrm {B} }T,}$$

Однако распределение B _λ достигает пика при другой энергии ^[37] Причина этого в том, что, как упоминалось выше, нельзя перейти от (например) B _ν к B _λ просто заменив ν на λ . Кроме того, необходимо также умножить на , что смещает пик распределения в сторону более высоких энергий. Эти пики представляют собой энергию моды фотона, когда они объединены с использованием бинов одинакового размера частоты или длины волны соответственно. Разделив hc ( $${\displaystyle E=\left[5+W\left(-5e^{-5}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 4.965\ k_{\mathrm {B} }T,}$$ ${\textstyle \left|{d\nu }/{d\lambda }\right|=c/{\lambda ^{2}}}$14 387 .770 мкм·К ) по этим энергетическим выражениям дает длину волны пика.

Спектральная яркость на этих пиках определяется по формуле:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{\nu ,{\text{max}}}(T)&={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{3}T^{3}x^{3}}{h^{2}c^{2}}}{\frac {1}{e^{x}-1}}\\&\approx 1.896\times 10^{-19}{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m^{2}\cdot Hz\cdot sr} }}\times (T/\mathrm {K} )^{3}\\\end{aligned}}}$

с и с ${\displaystyle x=3+W(-3e^{-3}),}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{\lambda ,{\text{max}}}(T)&={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{5}T^{5}x^{5}}{h^{4}c^{3}}}{\frac {1}{e^{x}-1}}\\&\approx 4.096\times 10^{-6}{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{2}\cdot {\text{sr}}}}\times ~(T/{\text{K}})^{5}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x=5+W(-5e^{-5}).}$

Между тем, средняя энергия фотона от абсолютно черного тела равна , где — дзета-функция Римана . $${\displaystyle E=\left[{\frac {\pi ^{4}}{30\ \zeta (3)}}\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.701\ k_{\mathrm {B} }T,}$$ ${\displaystyle \zeta }$

Приближения

Графики зависимости яркости от частоты в двойном логарифмическом масштабе для закона Планка (зеленый) в сравнении с законом Рэлея–Джинса (красный) и приближением Вина (синий) для черного тела при температуре 8 мК .

В пределе низких частот (т.е. больших длин волн) закон Планка превращается в закон Рэлея–Джинса ^{[38] [39] [40]} или $${\displaystyle B_{\nu }(T)\approx {\frac {2\nu ^{2}}{c^{2}}}k_{\mathrm {B} }T}$$ $${\displaystyle B_{\lambda }(T)\approx {\frac {2c}{\lambda ^{4}}}k_{\mathrm {B} }T}$$

Яркость увеличивается как квадрат частоты, иллюстрируя ультрафиолетовую катастрофу . В пределе высоких частот (т.е. малых длин волн) закон Планка стремится к приближению Вина : ^{[40] [41] [42]} или $${\displaystyle B_{\nu }(T)\approx {\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}e^{-{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}}}$$ $${\displaystyle B_{\lambda }(T)\approx {\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}e^{-{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}}.}$$

Процентили

Закон смещения Вина в его более сильной форме утверждает, что форма закона Планка не зависит от температуры. Поэтому можно перечислить процентильные точки полного излучения, а также пики для длины волны и частоты в форме, которая дает длину волны λ при делении на температуру T. ^[43] Во втором столбце следующей таблицы перечислены соответствующие значения λT , то есть те значения x, для которых длина волны λ равна ⁠х/Т⁠ микрометров в точке процентиля яркости, указанной в соответствующей записи в первом столбце.

То есть 0,01% излучения находится на длине волны ниже ⁠910/Т⁠  мкм, на 20% ниже ⁠2676/Т⁠ мкм и т. д. Пики длины волны и частоты выделены жирным шрифтом и находятся на 25,0% и 64,6% соответственно. Точка 41,8% — это пик нейтральной длины волны и частоты (т. е. пик мощности на единицу изменения логарифма длины волны или частоты). Это точки, в которых соответствующие функции закона Планка ⁠1/λ ⁵⁠ , ν ³ и ⁠ν ²/λ2^​⁠ , соответственно, деленное на exp ( ⁠hν/к _Б Т⁠ ) ​​− 1 достигают своих максимумов. Гораздо меньший разрыв в соотношении длин волн между 0,1% и 0,01% (1110 на 22% больше, чем 910), чем между 99,9% и 99,99% (113374 на 120% больше, чем 51613), отражает экспоненциальное убывание энергии на коротких длинах волн (левый конец) и полиномиальное убывание на длинных.

Какой пик использовать, зависит от приложения. Обычным выбором является пик длины волны при 25,0%, заданный законом смещения Вина в его слабой форме. Для некоторых целей медиана или точка 50%, делящая общее излучение на две половины, может быть более подходящей. Последняя ближе к пику частоты, чем к пику длины волны, поскольку яркость падает экспоненциально на коротких длинах волн и только полиномиально на длинных. Нейтральный пик возникает на более короткой длине волны, чем медиана, по той же причине.

Солнечный спектр в сравнении с абсолютно черным телом при 5775 К

Сравнение с солнечным спектром

Солнечное излучение можно сравнить с излучением черного тела при температуре около 5778 К (но см. график). Таблица справа показывает, как разделяется излучение черного тела при этой температуре, а также как разделяется солнечный свет для сравнения. Также для сравнения показана планета, смоделированная как черное тело, излучающая при номинальной температуре 288 К (15 °C) как репрезентативном значении сильно изменчивой температуры Земли. Ее длины волн более чем в двадцать раз больше, чем у Солнца, и указаны в третьей колонке в микрометрах (тысячах нанометров).

То есть, только 1% солнечного излучения находится на длинах волн короче 296 нм, и только 1% на длинах волн длиннее 3728 нм. Выраженная в микрометрах, это помещает 98% солнечного излучения в диапазон от 0,296 до 3,728 мкм. Соответствующие 98% энергии, излучаемой планетой с температурой 288 К, находятся в диапазоне от 5,03 до 79,5 мкм, что значительно выше диапазона солнечного излучения (или ниже, если выражаться в терминах частот ν = ⁠с/λ⁠ вместо длин волн λ ).

Следствием этой более чем на порядок разницы в длине волны между солнечным и планетарным излучением является то, что фильтры, предназначенные для пропускания одного и блокирования другого, легко изготавливать. Например, окна, изготовленные из обычного стекла или прозрачного пластика, пропускают не менее 80% входящего солнечного излучения 5778 К, длина волны которого составляет менее 1,2 мкм, при этом блокируя более 99% исходящего теплового излучения 288 К от 5 мкм и выше, длин волн, на которых большинство видов стекла и пластика строительной толщины фактически непрозрачны.

Излучение Солнца — это то, что достигает верхней границы атмосферы (TOA). Как можно прочитать из таблицы, излучение ниже 400 нм, или ультрафиолетовое , составляет около 8%, тогда как излучение выше 700 нм, или инфракрасное , начинается примерно с точки 48% и составляет 52% от общего количества. Следовательно, только 40% инсоляции TOA видимо человеческому глазу. Атмосфера существенно смещает эти проценты в пользу видимого света, поскольку она поглощает большую часть ультрафиолетового и значительное количество инфракрасного.

Производные

Фотонный газ

Рассмотрим куб со стороной L с проводящими стенками, заполненный электромагнитным излучением в тепловом равновесии при температуре T. Если в одной из стенок имеется небольшое отверстие, то излучение, испускаемое из отверстия, будет характерно для абсолютно черного тела . Сначала мы вычислим спектральную плотность энергии внутри полости, а затем определим спектральную яркость испускаемого излучения.

На стенках куба параллельная составляющая электрического поля и ортогональная составляющая магнитного поля должны исчезать. Аналогично волновой функции частицы в ящике , можно обнаружить, что поля являются суперпозициями периодических функций. Три длины волн λ ₁ , λ ₂ и λ ₃ в трех направлениях, ортогональных стенкам, могут быть: где n _i являются положительными целыми числами. Для каждого набора целых чисел n _i существует два линейно независимых решения (известных как моды). Две моды для каждого набора этих n _i соответствуют двум состояниям поляризации фотона, который имеет спин 1. Согласно квантовой теории, полная энергия моды определяется как: $${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {2L}{n_{i}}},}$$

Число r можно интерпретировать как число фотонов в моде. При r = 0 энергия моды не равна нулю. Эта вакуумная энергия электромагнитного поля отвечает за эффект Казимира . Далее мы вычислим внутреннюю энергию ящика при абсолютной температуре T.

Согласно статистической механике , распределение вероятности равновесия по уровням энергии конкретной моды определяется как: где мы используем обратную температуру Знаменатель Z ( β ) является статистической суммой одной моды. Это делает P _r должным образом нормализованным и может быть оценен как с $${\displaystyle P_{r}={\frac {e^{-\beta E\left(r\right)}}{Z\left(\beta \right)}}.}$$ $${\displaystyle \beta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}.}$$ $${\displaystyle Z\left(\beta \right)=\sum _{r=0}^{\infty }e^{-\beta E\left(r\right)}={\frac {e^{-\beta \varepsilon /2}}{1-e^{-\beta \varepsilon }}},}$$

будучи энергией одного фотона. Среднюю энергию в моде можно получить из статистической суммы : Эта формула, за исключением первого члена энергии вакуума, является частным случаем общей формулы для частиц, подчиняющихся статистике Бозе-Эйнштейна . Поскольку нет ограничений на общее число фотонов, химический потенциал равен нулю. $${\displaystyle \left\langle E\right\rangle =-{\frac {d\log \left(Z\right)}{d\beta }}={\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{e^{\beta \varepsilon }-1}}.}$$

Если мы измеряем энергию относительно основного состояния, то полная энергия в ящике получается путем суммирования ⟨ E ⟩ − ⁠ε/2⁠ по всем разрешенным состояниям одного фотона. Это можно сделать точно в термодинамическом пределе, когда L стремится к бесконечности. В этом пределе ε становится непрерывным, и мы можем затем интегрировать ⟨ E ⟩ − ⁠ε/2⁠ по этому параметру. Чтобы рассчитать энергию в ящике таким образом, нам нужно оценить, сколько состояний фотона находится в заданном диапазоне энергий. Если мы запишем общее количество состояний одного фотона с энергиями между ε и ε + dε как g ( ε ) dε , где g ( ε ) — плотность состояний (которая оценивается ниже), то полная энергия будет равна

Для расчета плотности состояний перепишем уравнение ( 2 ) следующим образом: где n — норма вектора n = ( n ₁ , n ₂ , n ₃ ) . $${\displaystyle \varepsilon \ {=}\ {\frac {hc}{2L}}n,}$$

Для каждого вектора n с целыми компонентами, большими или равными нулю, существует два состояния фотона. Это означает, что число состояний фотона в определенной области n -пространства в два раза больше объема этой области. Диапазон энергий dε соответствует оболочке толщиной dn = ⁠2 л/хк⁠ d ε в n -пространстве. Поскольку компоненты n должны быть положительными, эта оболочка охватывает октант сферы. Число состояний фотона g ( ε ) dε в диапазоне энергий dε таким образом определяется как:Подставляя это в уравнение ( 3 ) и деля на объем V = L ^{3 ,} получаем полную плотность энергии, где зависящая от частоты спектральная плотность энергии u _ν ( T ) определяется какПоскольку излучение одинаково во всех направлениях и распространяется со скоростью света, спектральная яркость излучения, выходящего из малого отверстия, равначто дает закон Планка.Другие формы закона могут быть получены путем замены переменных в интеграле полной энергии. Вывод выше основан на работе Brehm & Mullin 1989. $${\displaystyle g(\varepsilon )\,d\varepsilon =2{\frac {1}{8}}4\pi n^{2}\,dn={\frac {8\pi L^{3}}{h^{3}c^{3}}}\varepsilon ^{2}\,d\varepsilon .}$$ $${\displaystyle {\frac {U}{V}}=\int _{0}^{\infty }u_{\nu }(T)\,d\nu ,}$$ $${\displaystyle u_{\nu }(T)={8\pi h\nu ^{3} \over c^{3}}{1 \over e^{h\nu /k_{\mathrm {B} }T}-1}.}$$ $${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {u_{\nu }(T)c}{4\pi }},}$$ $${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}~{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\mathrm {B} }T}-1}}.}$$

Дипольное приближение и коэффициенты Эйнштейна

Для невырожденного случая коэффициенты A и B можно вычислить с использованием дипольного приближения в зависящей от времени теории возмущений в квантовой механике. Вычисление A также требует вторичного квантования, поскольку полуклассическая теория не может объяснить спонтанное излучение, которое не стремится к нулю, когда возмущающее поле стремится к нулю. Рассчитанные таким образом скорости перехода составляют (в единицах СИ): ^{[45] [46] [47]}

${\displaystyle w_{i\rightarrow f}^{s.emi}={\frac {\omega _{if}^{3}e^{2}}{3\pi \epsilon _{0}\hbar c^{3}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=A_{if}}$

${\displaystyle w_{i\rightarrow f}^{abs}={\frac {u(\omega _{fi})\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=B_{if}^{abs}u(\omega _{fi})}$

${\displaystyle w_{i\rightarrow f}^{emi}={\frac {u(\omega _{if})\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=B_{if}^{emi}u(\omega _{if})}$

Обратите внимание, что формула скорости перехода зависит от оператора дипольного момента. Для приближений более высокого порядка она включает квадрупольный момент и другие подобные члены. Коэффициенты A и B (соответствующие распределению энергии угловой частоты) равны:

${\displaystyle A_{ab}={\frac {\omega _{ab}^{3}e^{2}}{3\pi \epsilon _{0}\hbar c^{3}}}|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle |^{2}}$

${\displaystyle B_{ab}={\frac {\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle |^{2}}$

где и коэффициенты A и B удовлетворяют заданным соотношениям для невырожденного случая: ${\displaystyle \omega _{ab}={\frac {E_{a}-E_{b}}{\hbar }}}$

${\displaystyle {\frac {B_{12}}{B_{21}}}=1}$и . ${\displaystyle {\frac {A_{if}}{B}}={\frac {\omega _{if}^{3}\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}}$

Другое полезное соотношение — это соотношение из распределения Максвелла, которое гласит, что число частиц на энергетическом уровне пропорционально показателю степени . Математически: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \beta E}$

${\displaystyle {\frac {N_{a}}{N_{b}}}={\frac {e^{-E_{a}\beta }}{e^{-E_{b}\beta }}}=e^{\omega _{ba}\hbar \beta }}$

где и — число занятых энергетических уровней и соответственно, где . Тогда, используя: ${\displaystyle N_{a}}$ ${\displaystyle N_{b}}$ ${\displaystyle E_{a}}$ ${\displaystyle E_{b}}$ ${\displaystyle E_{b}>E_{a}}$ ${\displaystyle {\frac {dN_{b}}{dt}}=-A_{ba}N_{b}-N_{b}u(\omega _{ba})B_{ba}+N_{a}u(\omega _{ba})B_{ab}=-N_{b}w_{b\rightarrow a}^{s.emi}-N_{b}w_{b\rightarrow a}^{emi}+N_{a}w_{a\rightarrow b}^{abs}}$

Решая для условия равновесия и используя полученные соотношения, получаем закон Планка: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\frac {dN_{b}}{dt}}=0}$

${\displaystyle u_{\omega }(\omega ,T)={\frac {\omega ^{3}\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}{\frac {1}{e^{\omega \hbar \beta }-1}}}$.

История

Бальфур Стюарт

В 1858 году Бальфур Стюарт описал свои эксперименты по тепловой излучательной и поглощающей способности полированных пластин из различных веществ по сравнению с характеристиками поверхностей из ламповой сажи при той же температуре. ^[9] Стюарт выбрал поверхности из ламповой сажи в качестве эталона из-за различных предыдущих экспериментальных открытий, особенно открытий Пьера Прево и Джона Лесли . Он писал: «Ламповая сажа, которая поглощает все лучи, которые на нее падают, и, следовательно, обладает максимально возможной поглощающей способностью, будет обладать и максимально возможной излучающей способностью».

Стюарт измерял излучаемую мощность с помощью термобатареи и чувствительного гальванометра, считываемого с помощью микроскопа. Он был озабочен селективным тепловым излучением, которое он исследовал с помощью пластин веществ, которые излучали и поглощали селективно для различных качеств излучения, а не максимально для всех качеств излучения. Он обсуждал эксперименты с точки зрения лучей, которые могли отражаться и преломляться и которые подчинялись принципу взаимности Гельмгольца (хотя он не использовал эпоним для него). В этой статье он не упоминал, что качества лучей могут быть описаны их длинами волн, и не использовал спектрально разрешающую аппаратуру, такую ​​как призмы или дифракционные решетки. Его работа была количественной в пределах этих ограничений. Он проводил свои измерения в среде с комнатной температурой и быстро, чтобы поймать свои тела в состоянии, близком к тепловому равновесию, в котором они были подготовлены путем нагревания до равновесия с кипящей водой. Его измерения подтвердили, что вещества, которые излучают и поглощают селективно, соблюдают принцип селективного равенства излучения и поглощения при тепловом равновесии.

Стюарт предложил теоретическое доказательство того, что это должно быть справедливо отдельно для каждого выбранного качества теплового излучения, но его математика не была строго обоснованной. По словам историка Д. М. Сигеля: «Он не был практиком более сложных методов математической физики девятнадцатого века; он даже не использовал функциональную нотацию при работе со спектральными распределениями». ^[48] В этой статье он не упомянул термодинамику, хотя и сослался на сохранение живой силы . Он предположил, что его измерения подразумевают, что излучение как поглощается, так и испускается частицами материи по всей глубине среды, в которой оно распространяется. Он применил принцип взаимности Гельмгольца для учета процессов на границе раздела материалов в отличие от процессов во внутреннем материале. Он пришел к выводу, что его эксперименты показали, что внутри замкнутого пространства, находящегося в тепловом равновесии, лучистое тепло, отраженное и испускаемое вместе, покидающее любую часть поверхности, независимо от ее вещества, было таким же, как если бы оно покидало ту же самую часть поверхности, если бы она состояла из ламповой сажи. Он не упомянул о возможности создания идеально отражающих стен; в частности, он отметил, что тщательно отполированные настоящие физические металлы поглощают очень мало.

Густав Кирхгоф

В 1859 году, не зная о работе Стюарта, Густав Роберт Кирхгоф сообщил о совпадении длин волн спектрально разрешенных линий поглощения и испускания видимого света. Что важно для тепловой физики, он также заметил, что яркие линии или темные линии были видны в зависимости от разницы температур между излучателем и поглотителем. ^[49]

Затем Кирхгоф перешел к рассмотрению тел, которые излучают и поглощают тепловое излучение, находящихся в непрозрачном кожухе или полости, находящихся в равновесии при температуре T.

Здесь используется обозначение, отличное от обозначения Кирхгофа. Здесь излучающая мощность E ( T , i ) обозначает размерную величину, полное излучение, испускаемое телом, обозначенным индексом i при температуре T . Полный коэффициент поглощения a ( T , i ) этого тела безразмерен, отношение поглощенного к падающему излучению в полости при температуре T . (В отличие от определения Бальфура Стюарта, определение Кирхгофа его коэффициента поглощения не относилось конкретно к поверхности ламповой сажи как источнику падающего излучения.) Таким образом, отношение ⁠Е ( Т , я )/а ( Т , я )⁠ отношения мощности излучения к поглощению является размерной величиной с размерностью мощности излучения, поскольку a ( T , i ) безразмерно. Также здесь удельная для длины волны мощность излучения тела при температуре T обозначается как E ( λ , T , i ) , а удельное для длины волны отношение поглощения как a ( λ , T , i ) . Опять же, отношение ⁠E ( λ , T , i )/а ( λ , T , i )⁠ отношения мощности излучения к мощности поглощения является размерной величиной, имеющей размерность мощности излучения.

Во втором докладе, сделанном в 1859 году, Кирхгоф объявил о новом общем принципе или законе, для которого он предложил теоретическое и математическое доказательство, хотя он не предложил количественных измерений мощности излучения. ^[50] Его теоретическое доказательство было и до сих пор считается некоторыми авторами недействительным. ^{[48] [51]} Однако его принцип выдержал испытание временем: он заключался в том, что для тепловых лучей той же длины волны, находящихся в равновесии при данной температуре, отношение излучаемой мощности к отношению поглощения, характерное для длины волны, имеет одно и то же общее значение для всех тел, которые излучают и поглощают на этой длине волны. В символах закон гласил, что отношение, характерное для длины волны ⁠E ( λ , T , i )/а ( λ , T , i )⁠ имеет одно и то же значение для всех тел, то есть для всех значений индекса i . В этом отчете не было упоминания о черных телах.

В 1860 году, еще не зная об измерениях Стюарта для отдельных качеств излучения, Кирхгоф указал, что давно было экспериментально установлено, что для полного теплового излучения невыбранного качества, испускаемого и поглощаемого телом, находящимся в равновесии, размерное отношение полного излучения ⁠Е ( Т , я )/а ( Т , я )⁠ , имеет одно и то же значение, общее для всех тел, то есть для каждого значения материального индекса i . ^[52] Опять же без измерений мощности излучения или других новых экспериментальных данных, Кирхгоф затем предложил новое теоретическое доказательство своего нового принципа универсальности значения отношения длины волны ⁠E ( λ , T , i )/а ( λ , T , i )⁠ при тепловом равновесии. Его новое теоретическое доказательство было и до сих пор считается некоторыми авторами недействительным. ^{[48] [51]}

Но что еще важнее, он опирался на новый теоретический постулат «совершенно черных тел» , который является причиной, по которой говорят о законе Кирхгофа. Такие черные тела показали полное поглощение в их бесконечно тонкой самой поверхностной поверхности. Они соответствуют эталонным телам Бальфура Стюарта с внутренним излучением, покрытым сажей. Они не были более реалистичными совершенно черными телами, которые позже рассматривал Планк. Черные тела Планка излучали и поглощали только материалом в своих внутренних частях; их интерфейсы с соприкасающимися средами были только математическими поверхностями, неспособными ни поглощать, ни испускать, а только отражать и передавать с преломлением. ^[53]

Доказательство Кирхгофа рассматривало произвольное неидеальное тело, обозначенное i , а также различные абсолютно черные тела, обозначенные BB . Оно требовало, чтобы тела находились в полости в тепловом равновесии при температуре T. Его доказательство имело целью показать, что отношение ⁠E ( λ , T , i )/а ( λ , T , i )⁠ не зависело от природы i неидеального тела, каким бы частично прозрачным или частично отражающим оно ни было.

Его доказательство сначала утверждало, что для длины волны λ и при температуре T , при тепловом равновесии, все абсолютно черные тела одинакового размера и формы имеют одно и то же общее значение излучательной способности E ( λ , T , BB) , с размерностями мощности. Его доказательство отметило, что безразмерный коэффициент поглощения, зависящий от длины волны a ( λ , T , BB) абсолютно черного тела по определению равен точно 1. Тогда для абсолютно черного тела отношение излучательной способности, зависящее от длины волны, к коэффициенту поглощения ⁠Е ( λ , Т , ВВ)/а ( λ , Т , ВВ)⁠ снова просто E ( λ , T , BB) , с размерностями мощности. Кирхгоф последовательно рассматривал тепловое равновесие с произвольным неидеальным телом и с абсолютно черным телом того же размера и формы, находящимся в его полости в равновесии при температуре T . Он утверждал, что потоки теплового излучения должны быть одинаковыми в каждом случае. Таким образом, он утверждал, что при тепловом равновесии отношение ⁠E ( λ , T , i )/а ( λ , T , i )⁠ была равна E ( λ , T , BB) , что теперь можно обозначить как B _λ ( λ , T ) , непрерывная функция, зависящая только от λ при фиксированной температуре T , и возрастающая функция T при фиксированной длине волны λ , при низких температурах исчезающая для видимого диапазона, но не для более длинных волн, с положительными значениями для видимых длин волн при более высоких температурах, что не зависит от природы i произвольного неидеального тела. (Геометрические факторы, подробно учтенные Кирхгофом, были проигнорированы в вышеизложенном.)

Таким образом, закон теплового излучения Кирхгофа можно сформулировать так: для любого материала, излучающего и поглощающего в термодинамическом равновесии при любой заданной температуре T , для каждой длины волны λ отношение излучательной способности к поглощательной способности имеет одно универсальное значение, которое характерно для абсолютно черного тела и является излучательной способностью, которую мы здесь представляем как B _λ ( λ , T ) . (Для нашего обозначения B _λ ( λ , T ) первоначальная нотация Кирхгофа была просто e .) ^{[7] [52] [54] [55] [56] [57]}

Кирхгоф объявил, что определение функции B _λ ( λ , T ) является проблемой первостепенной важности, хотя он осознавал, что придется преодолеть экспериментальные трудности. Он предположил, что, как и другие функции, не зависящие от свойств отдельных тел, это будет простая функция. Эту функцию B _λ ( λ , T ) иногда называли «функцией Кирхгофа (эмиссионной, универсальной)» ^{[58] [59] [60] [61],} хотя ее точная математическая форма не будет известна еще сорок лет, пока ее не откроет Планк в 1900 году. Теоретическое доказательство принципа универсальности Кирхгофа разрабатывалось и обсуждалось различными физиками в то же время и позже. ^[51] Кирхгоф позже в 1860 году заявил, что его теоретическое доказательство было лучше, чем доказательство Бальфура Стюарта, и в некоторых отношениях так оно и было. ^[48] ​​В статье Кирхгофа 1860 года не упоминается второй закон термодинамики, и, конечно, не упоминается понятие энтропии, которое в то время не было установлено. В более обдуманном изложении в книге 1862 года Кирхгоф упоминает связь своего закона с «принципом Карно», который является формой второго закона. ^[62]

По словам Хельге Крага, «квантовая теория обязана своим происхождением изучению теплового излучения, в частности, излучению «черного тела», которое Роберт Кирхгоф впервые определил в 1859–1860 годах» ^{[63] .}

Эмпирические и теоретические составляющие научного вывода закона Планка

В 1860 году Кирхгоф предсказал экспериментальные трудности для эмпирического определения функции, описывающей зависимость спектра черного тела как функцию только температуры и длины волны. Так оно и оказалось. Потребовалось около сорока лет разработки усовершенствованных методов измерения электромагнитного излучения, чтобы получить надежный результат. ^[64]

В 1865 году Джон Тиндаль описал излучение от электрически нагретых нитей и от угольных дуг как видимое и невидимое. ^[65] Тиндаль спектрально разложил излучение с помощью призмы из каменной соли, которая пропускала как тепло, так и видимые лучи, и измерил интенсивность излучения с помощью термобатареи. ^{[66] [67]}

В 1880 году Андре-Проспер-Поль Крова опубликовал диаграмму трехмерного вида графика силы теплового излучения как функции длины волны и температуры. ^[68] Он определил спектральную переменную с помощью призм. Он проанализировал поверхность с помощью того, что он назвал «изотермическими» кривыми, сечениями для одной температуры, со спектральной переменной на оси абсцисс и переменной мощности на оси ординат. Он провел плавные кривые через свои экспериментальные точки данных. Они имели один пик при спектральном значении, характерном для температуры, и падали по обе стороны от него к горизонтальной оси. ^{[69] [70]} Такие спектральные сечения широко демонстрируются даже сегодня.

В серии статей с 1881 по 1886 год Лэнгли сообщил об измерениях спектра теплового излучения, используя дифракционные решетки и призмы, а также самые чувствительные детекторы, которые он мог сделать. Он сообщил, что существует пиковая интенсивность, которая увеличивается с температурой, что форма спектра не симметрична относительно пика, что наблюдается сильное падение интенсивности, когда длина волны короче приблизительного значения отсечки для каждой температуры, что приблизительная длина волны отсечки уменьшается с ростом температуры, и что длина волны пиковой интенсивности уменьшается с температурой, так что интенсивность сильно увеличивается с температурой для коротких длин волн, которые длиннее приблизительного значения отсечки для температуры. ^[71]

Прочитав Лэнгли, в 1888 году русский физик В. А. Михельсон опубликовал рассмотрение идеи о том, что неизвестная функция излучения Кирхгофа может быть объяснена физически и сформулирована математически в терминах «полной нерегулярности колебаний ... атомов». ^{[72] [73]} В это время Планк не изучал излучение пристально и не верил ни в атомную, ни в статистическую физику. ^[74] Майкельсон вывел формулу для спектра для температуры: где I _λ обозначает удельную интенсивность излучения на длине волны λ и температуре θ , а B ₁ и c — эмпирические константы. $${\displaystyle I_{\lambda }=B_{1}\theta ^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {c}{\lambda ^{2}\theta }}\right)\lambda ^{-6},}$$

В 1898 году Отто Луммер и Фердинанд Курльбаум опубликовали отчет о своем источнике излучения в виде полости. ^[75] Их конструкция используется в основном без изменений для измерений излучения по сей день. Это был платиновый ящик, разделенный диафрагмами, с внутренней частью, зачерненной оксидом железа. Это был важный ингредиент для постепенно улучшающихся измерений, которые привели к открытию закона Планка. ^[76] Версия, описанная в 1901 году, имела внутреннюю часть, зачерненную смесью оксидов хрома, никеля и кобальта. ^[77]

Важность источника излучения полости Люммера и Курлбаума заключалась в том, что он был экспериментально доступным источником излучения черного тела, в отличие от излучения просто экспонированного раскаленного твердого тела, которое было ближайшим доступным экспериментальным приближением к излучению черного тела в подходящем диапазоне температур. Просто экспонированные раскаленные твердые тела, которые использовались ранее, испускали излучение с отклонениями от спектра черного тела, что делало невозможным найти истинный спектр черного тела из экспериментов. ^{[78] [79]}

Взгляды Планка на эмпирические факты привели его к открытию его конечного закона

Планк впервые обратил внимание на проблему излучения черного тела в 1897 году. ^[80] Теоретический и эмпирический прогресс позволил Луммеру и Прингсгейму написать в 1899 году, что имеющиеся экспериментальные данные приблизительно согласуются с законом удельной интенсивности Cλ ⁻⁵ e ^{− c ⁄ λT} , где C и c обозначают эмпирически измеримые константы, а λ и T обозначают длину волны и температуру соответственно. ^{[81] [82]} По теоретическим причинам Планк в то время принял эту формулировку, которая имеет эффективное отсечение коротких длин волн. ^{[83] [84] [85]}

Густав Кирхгоф был учителем Макса Планка и предположил, что существует универсальный закон для излучения черного тела, и это называлось «вызовом Кирхгофа». ^[86] Планк, теоретик, считал, что Вильгельм Вин открыл этот закон, и Планк расширил работу Вина, представив ее в 1899 году на заседании Немецкого физического общества. Экспериментаторы Отто Люммер , Фердинанд Курльбаум , Эрнст Прингсхайм-старший и Генрих Рубенс провели эксперименты, которые, казалось, подтверждали закон Вина, особенно на более высоких частотах и ​​коротких длинах волн, которые Планк так всецело одобрил в Немецком физическом обществе, что его стали называть законом Вина-Планка. ^[87] Однако к сентябрю 1900 года экспериментаторы доказали без сомнения, что закон Вина-Планка не работает на более длинных волнах. Они представили свои данные 19 октября. Планк был проинформирован своим другом Рубенсом и быстро создал формулу в течение нескольких дней. ^[88] В июне того же года лорд Рэлей создал формулу, которая будет работать для коротких длин волн с более низкой частотой, основанную на широко принятой теории равнораспределения . ^[89] Поэтому Планк представил формулу, объединяющую как закон Рэлея (или аналогичную теорию равнораспределения), так и закон Вина, который будет взвешен по отношению к одному или другому закону в зависимости от длины волны, чтобы соответствовать экспериментальным данным. Однако, хотя это уравнение работало, сам Планк сказал, что если он не сможет объяснить формулу, полученную из «счастливой интуиции», в формулу, имеющую «истинный смысл» в физике, она не будет иметь истинного значения. ^[90] Планк объяснил, что затем последовала самая тяжелая работа в его жизни. Планк не верил в атомы и не считал, что второй закон термодинамики должен быть статистическим, потому что вероятность не дает абсолютного ответа, а закон энтропии Больцмана основывался на гипотезе атомов и был статистическим. Но Планк не смог найти способ примирить свое уравнение черного тела с непрерывными законами, такими как волновые уравнения Максвелла. Поэтому в том, что Планк назвал «актом отчаяния», ^[91] он обратился к атомному закону энтропии Больцмана, поскольку это был единственный закон, который заставлял его уравнение работать. Поэтому он использовал постоянную Больцмана k и свою новую постоянную h, чтобы объяснить закон излучения черного тела, который стал широко известен благодаря его опубликованной статье. ^{[92] [93]}

Нахождение эмпирического закона

Макс Планк сформулировал свой закон 19 октября 1900 года ^{[94] [95]} как усовершенствование приближения Вина , опубликованного в 1896 году Вильгельмом Вином , которое соответствовало экспериментальным данным на коротких волнах (высокие частоты), но отклонялось от них на длинных волнах (низкие частоты). ^[41] В июне 1900 года, основываясь на эвристических теоретических соображениях, Рэлей предложил формулу ^[96], которую, как он предположил, можно было бы проверить экспериментально. Предположение состояло в том, что универсальная функция Стюарта–Кирхгофа может иметь вид c ₁ Tλ ⁻⁴ exp(– ⁠с ₂/λТ⁠ ) ​​. Это не была знаменитая формула Рэлея-Джинса 8π k _B Tλ ⁻⁴ , которая появилась только в 1905 году ^[38] , хотя она и сводилась к последней для длинных волн, которые здесь уместны. По словам Клейна ^[80] , можно предположить, что Планк, вероятно, видел это предположение, хотя он не упоминал его в своих работах 1900 и 1901 годов. Планк должен был знать о различных других предложенных формулах, которые были предложены. ^{[64] [97]} 7 октября 1900 года Рубенс сказал Планку, что в дополнительной области (длинные волны, низкая частота), и только там, формула Рэлея 1900 года хорошо соответствует наблюдаемым данным. ^[97]

Для длинных волн эвристическая формула Рэлея 1900 года приблизительно означала, что энергия пропорциональна температуре, U _λ = const. T . ^{[80] [97] [98]} Известно, что ⁠дС/dU _λ⁠ = ⁠1/Т⁠ и это приводит к ⁠дС/dU _λ⁠ = ⁠константа./U _λ⁠ и оттуда в ⁠д ² С/dU _λ ²⁠ = − ⁠константа./U _λ ²⁠ для длинных волн. Но для коротких волн формула Вина приводит к ⁠1/Т⁠ = − const. ln U _λ + const. и оттуда к ⁠д ² С/dU _λ ²⁠ = − ⁠константа./U _λ⁠ для коротких длин волн. Планк, возможно, соединил эти две эвристические формулы, для длинных и для коротких длин волн, ^{[97] [99],} чтобы получить формулу ^[94] $${\displaystyle {\frac {d^{2}S}{dU_{\lambda }^{2}}}={\frac {\alpha }{U_{\lambda }(\beta +U_{\lambda })}}.}$$

Это привело Планка к формуле , в которой он использовал символы C и c для обозначения эмпирических подгоночных констант. $${\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {C\lambda ^{-5}}{e^{\frac {c}{\lambda T}}-1}},}$$

Планк отправил этот результат Рубенсу, который сравнил его с данными наблюдений, полученными им и Курлбаумом, и обнаружил, что он замечательно подходит для всех длин волн. 19 октября 1900 года Рубенс и Курлбаум кратко сообщили о соответствии данным, ^[100] а Планк добавил короткую презентацию, чтобы дать теоретический набросок для объяснения своей формулы. ^[94] В течение недели Рубенс и Курлбаум представили более полный отчет о своих измерениях, подтверждающий закон Планка. Их метод спектрального разрешения излучения с большей длиной волны был назван методом остаточных лучей. Лучи многократно отражались от полированных поверхностей кристаллов, и лучи, которые прошли весь процесс, были «остаточным» и имели длины волн, предпочтительно отраженные кристаллами из подходящих определенных материалов. ^{[101] [102] [103]}

Попытка найти физическое объяснение закона

Как только Планк открыл эмпирически соответствующую функцию, он построил физический вывод этого закона. Его размышления вращались вокруг энтропии, а не были напрямую связаны с температурой. Планк рассматривал полость с идеально отражающими стенками; внутри полости находится конечное число различных, но идентично составленных резонансных колебательных тел определенной величины, с несколькими такими осцилляторами на каждой из конечного числа характерных частот. Эти гипотетические осцилляторы были для Планка чисто воображаемыми теоретическими исследовательскими зондами, и он сказал о них, что такие осцилляторы не должны «реально существовать где-то в природе, при условии, что их существование и их свойства согласуются с законами термодинамики и электродинамики». ^[104] Планк не придавал никакого определенного физического значения своей гипотезе о резонансных осцилляторах, а скорее предложил ее как математический прием, который позволил ему вывести единое выражение для спектра черного тела, которое соответствовало эмпирическим данным на всех длинах волн. ^[105] Он предварительно упомянул о возможной связи таких осцилляторов с атомами . В некотором смысле осцилляторы соответствовали угольной пыли Планка; размер пылинки мог быть небольшим независимо от размера полости, при условии, что пылинка эффективно преобразовывала энергию между модами длины волны излучения. ^[97]

Частично следуя эвристическому методу расчета, впервые примененному Больцманом для молекул газа, Планк рассматривал возможные способы распределения электромагнитной энергии по различным модам его гипотетических заряженных материальных осцилляторов. Это принятие вероятностного подхода, следуя Больцману, для Планка было радикальным изменением его прежней позиции, которая до тех пор намеренно противостояла такому мышлению, предложенному Больцманом. ^[106] По словам Планка, «я считал [квантовую гипотезу] чисто формальным предположением, и я не придавал ей большого значения, за исключением этого: что я получил положительный результат при любых обстоятельствах и любой ценой». ^[107] Эвристически Больцман распределил энергию в произвольных чисто математических квантах ϵ , которые он продолжал стремиться к нулю по величине, потому что конечная величина ϵ служила только для того, чтобы позволить определенный подсчет ради математического расчета вероятностей, и не имела физического значения. Ссылаясь на новую универсальную постоянную природы, h , ^[108] Планк предположил, что в нескольких осцилляторах каждой из конечного числа характерных частот полная энергия распределяется по каждому в целом кратном определенной физической единице энергии, ϵ , характерной для соответствующей характерной частоты. ^{[95] [109] [110] [111]} Его новая универсальная постоянная природы, h , теперь известна как постоянная Планка .

Планк далее объяснил ^[95] , что соответствующая определенная единица энергии ϵ должна быть пропорциональна соответствующей характерной частоте колебаний ν гипотетического осциллятора, и в 1901 году он выразил это с помощью константы пропорциональности h : ^{[112] [113]} $${\displaystyle \epsilon =h\nu .}$$

Планк не предполагал, что свет, распространяющийся в свободном пространстве, квантуется. ^{[114] [115] [116]} Идея квантования свободного электромагнитного поля была развита позже и в конечном итоге включена в то, что мы теперь знаем как квантовую теорию поля . ^[117]

В 1906 году Планк признал, что его воображаемые резонаторы, имеющие линейную динамику, не дают физического объяснения преобразования энергии между частотами. ^{[118] [119]} Современная физика объясняет преобразование между частотами в присутствии атомов их квантовой возбудимостью, следуя Эйнштейну. Планк считал, что в полости с идеально отражающими стенками и без присутствия материи электромагнитное поле не может обмениваться энергией между частотными компонентами. ^[120] Это происходит из-за линейности уравнений Максвелла . ^[121] Современная квантовая теория поля предсказывает, что при отсутствии материи электромагнитное поле подчиняется нелинейным уравнениям и в этом смысле взаимодействует само по себе. ^{[122] [123]} Такое взаимодействие при отсутствии материи еще не было напрямую измерено, поскольку для этого потребовались бы очень высокие интенсивности и очень чувствительные и малошумящие детекторы, которые все еще находятся в процессе создания. ^{[122] [124]} Планк считал, что поле без взаимодействий не подчиняется и не нарушает классический принцип равнораспределения энергии, ^{[125] [126]} и вместо этого остается точно таким же, каким оно было при введении, а не эволюционирует в поле черного тела. ^[127] Таким образом, линейность его механических предположений не позволила Планку иметь механическое объяснение максимизации энтропии термодинамически равновесного поля теплового излучения. Вот почему ему пришлось прибегнуть к вероятностным аргументам Больцмана. ^{[128] [129]}

Закон Планка можно считать исполнением предсказания Густава Кирхгофа о том, что его закон теплового излучения имеет первостепенное значение. В своем зрелом изложении своего закона Планк предложил тщательное и подробное теоретическое доказательство закона Кирхгофа, ^[130] теоретическое доказательство которого до этого иногда обсуждалось, отчасти потому, что, как говорили, оно опиралось на нефизические теоретические объекты, такие как идеально поглощающая бесконечно тонкая черная поверхность Кирхгофа. ^[131]

Последующие события

Только через пять лет после того, как Планк сделал свое эвристическое предположение об абстрактных элементах энергии или действия, Альберт Эйнштейн задумал реально существующие кванты света в 1905 году ^[132] как революционное объяснение излучения черного тела, фотолюминесценции, фотоэлектрического эффекта и ионизации газов ультрафиолетовым светом. В 1905 году «Эйнштейн считал, что теорию Планка нельзя заставить согласоваться с идеей световых квантов, ошибка, которую он исправил в 1906 году». ^[133] Вопреки убеждениям Планка того времени, Эйнштейн предложил модель и формулу, согласно которой свет излучался, поглощался и распространялся в свободном пространстве в квантах энергии, локализованных в точках пространства. ^[132] В качестве введения к своим рассуждениям Эйнштейн резюмировал модель Планка о гипотетических резонансных материальных электрических осцилляторах как источниках и стоках излучения, но затем он предложил новый аргумент, не связанный с этой моделью, но частично основанный на термодинамическом аргументе Вина, в котором формула Планка ϵ = hν не играла никакой роли. ^[134] Эйнштейн дал энергетическое содержание таких квантов в виде ⁠Рβν/Н⁠ . Таким образом, Эйнштейн противоречил волновой теории света, которой придерживался Планк. В 1910 году, критикуя рукопись, присланную ему Планком, зная, что Планк был стойким сторонником специальной теории относительности Эйнштейна, Эйнштейн написал Планку: «Мне кажется абсурдным иметь энергию, непрерывно распределенную в пространстве, не предполагая эфира». ^[135]

По словам Томаса Куна , только в 1908 году Планк более или менее принял часть аргументов Эйнштейна в пользу физической дискретности, отличной от абстрактной математической, в физике теплового излучения. Еще в 1908 году, рассматривая предложение Эйнштейна о квантовом распространении, Планк высказал мнение, что такой революционный шаг, возможно, был излишним. ^[136] До тех пор Планк был последователен в мысли, что дискретность квантов действия не обнаруживается ни в его резонансных осцилляторах, ни в распространении теплового излучения. Кун писал, что в более ранних работах Планка и в его монографии 1906 года ^[137] нет «упоминания о разрыве, [ни] разговоров об ограничении энергии осциллятора, [ни] какой-либо формулы типа U = nhν ». Кун указал, что его изучение статей Планка 1900 и 1901 годов, а также его монографии 1906 года ^[137] привело его к «еретическим» выводам, вопреки широко распространенным предположениям других, которые рассматривали труды Планка только с точки зрения более поздних, анахроничных точек зрения. ^[138] Выводы Куна, обнаружившего период до 1908 года, когда Планк последовательно придерживался своей «первой теории», были приняты другими историками. ^[139]

Во втором издании своей монографии в 1912 году Планк поддержал свое несогласие с предложением Эйнштейна о световых квантах. Он предположил в некоторых деталях, что поглощение света его виртуальными материальными резонаторами может быть непрерывным, происходящим с постоянной скоростью в равновесии, в отличие от квантового поглощения. Квантовым было только испускание. ^{[121] [140]} Это иногда называли «второй теорией» Планка. ^[141]

Только в 1919 году Планк в третьем издании своей монографии более или менее принял свою «третью теорию», согласно которой как излучение, так и поглощение света являются квантовыми. ^[142]

Красочный термин « ультрафиолетовая катастрофа » был дан Паулем Эренфестом в 1911 году парадоксальному результату, что полная энергия в полости стремится к бесконечности, когда теорема о равнораспределении классической статистической механики (ошибочно) применяется к излучению черного тела. ^{[143] [144]} Но это не было частью мышления Планка, потому что он не пытался применить доктрину равнораспределения: когда он сделал свое открытие в 1900 году, он не заметил никакой «катастрофы». ^{[83] [84] [85] [80] [145]} Это было впервые отмечено лордом Рэлеем в 1900 году, ^{[96] [146] [147]} а затем в 1901 году ^[148] сэром Джеймсом Джинсом ; и позднее, в 1905 году, Эйнштейном, когда он хотел поддержать идею о том, что свет распространяется в виде дискретных пакетов, позже названных «фотонами», а также Рэлеем ^[39] и Джинсом. ^{[38] [149] [150] [151]}

В 1913 году Бор дал еще одну формулу с еще одним другим физическим смыслом для величины hν . ^{[34] [35] [36] [152] [153] [154]} В отличие от формул Планка и Эйнштейна, формула Бора явно и категорически ссылалась на энергетические уровни атомов. Формула Бора была W _{τ 2} − W _{τ 1} = hν , где W _{τ 2} и W _{τ 1} обозначают энергетические уровни квантовых состояний атома с квантовыми числами τ ₂ и τ ₁ . Символ ν обозначает частоту кванта излучения, который может быть испущен или поглощен, когда атом проходит между этими двумя квантовыми состояниями. В отличие от модели Планка, частота не имеет непосредственного отношения к частотам, которые могли бы описывать сами эти квантовые состояния. ${\displaystyle \nu }$

Позже, в 1924 году, Сатьендра Нат Бозе разработал теорию статистической механики фотонов, которая позволила теоретически вывести закон Планка. ^[155] Фактическое слово «фотон» было изобретено еще позже, Г. Н. Льюисом в 1926 году, ^[156], который ошибочно полагал, что фотоны сохраняются, вопреки статистике Бозе-Эйнштейна; тем не менее, слово «фотон» было принято для выражения постулата Эйнштейна о пакетной природе распространения света. В электромагнитном поле, изолированном в вакууме в сосуде с идеально отражающими стенками, таком, как рассматривал Планк, действительно фотоны сохранялись бы согласно модели Эйнштейна 1905 года, но Льюис имел в виду поле фотонов, рассматриваемое как система, закрытая по отношению к весомой материи, но открытая для обмена электромагнитной энергией с окружающей системой весомой материи, и он ошибочно вообразил, что фотоны все еще сохраняются, будучи сохраненными внутри атомов.

В конечном итоге закон Планка об излучении абсолютно черного тела способствовал формированию концепции Эйнштейна о квантах света, несущих линейный импульс, ^{[34] [132],} которая стала фундаментальной основой для развития квантовой механики .

Вышеупомянутая линейность механических предположений Планка, не допускающая энергетических взаимодействий между частотными компонентами, была заменена в 1925 году оригинальной квантовой механикой Гейзенберга. В своей статье, представленной 29 июля 1925 года, теория Гейзенберга объяснила вышеупомянутую формулу Бора 1913 года. Она допускала нелинейные осцилляторы как модели атомных квантовых состояний, допуская энергетическое взаимодействие между их собственными множественными внутренними дискретными частотными компонентами Фурье в случаях испускания или поглощения квантов излучения. Частота кванта излучения была частотой определенной связи между внутренними атомными метастабильными колебательными квантовыми состояниями. ^{[157] [158]} В то время Гейзенберг ничего не знал о матричной алгебре, но Макс Борн прочитал рукопись статьи Гейзенберга и распознал матричный характер теории Гейзенберга. Затем Борн и Джордан опубликовали явно матричную теорию квантовой механики, основанную на оригинальной квантовой механике Гейзенберга, но по форме существенно отличающуюся от нее; именно матричная теория Борна и Джордана сегодня называется матричной механикой. ^{[159] [160] [161]} Объяснение Гейзенбергом осцилляторов Планка как нелинейных эффектов, проявляющихся в виде мод Фурье переходных процессов испускания или поглощения излучения, показало, почему осцилляторы Планка, рассматриваемые как устойчивые физические объекты, такие, которые могла бы представить себе классическая физика, не давали адекватного объяснения явлениям.

В настоящее время для выражения энергии кванта света часто используют формулу E = ħω , где ħ = ⁠час/2π⁠ , а ω = 2π ν обозначает угловую частоту, ^{[162] [163] [164] [165] [166]} и реже эквивалентную формулу E = hν . ^{[165] [166] [167] [168] [169]} Это утверждение о реально существующем и распространяющемся кванте света, основанное на утверждении Эйнштейна, имеет физический смысл, отличный от приведенного выше утверждения Планка ϵ = hν об абстрактных единицах энергии, которые должны быть распределены среди его гипотетических резонансных материальных осцилляторов.

Статья Хельге Крага, опубликованная в журнале Physics World, дает описание этой истории. ^[111]

Смотрите также

• Излучательная способность
• Сияние
• Уравнение Сакумы–Хаттори

Ссылки

1. Янг, Хью Д.; Фридман, Роджер А.; Форд, А. Льюис (2016). University Physics (14-е изд.). Perason. стр. 1256–1257. ISBN 9780321973610.
2. Планк 1914, стр. 42
3. Гаофэн Шао и др. 2019, с. 6.
4. Зангвилл, Эндрю (2013). Современная электродинамика . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 698. ISBN 978-0-521-89697-9.
5. Andrews, David G. (2010). Введение в физику атмосферы (2-е изд.). Кембридж: Cambridge university press. стр. 54. ISBN 978-0-521-87220-1.
6. Планк 1914, стр. 6, 168
7. Чандрасекар 1960, стр. 8
8. Рыбицки и Лайтман 1979, с. 22
9. Стюарт 1858
10. Хапке 1993, стр. 362–373
11. Планк 1914
12. Лаудон 2000, стр. 3–45.
13. Каниу 1999, стр. 117
14. Крамм и Мёльдерс 2009, стр. 10
15. Шарков 2003, стр. 210
16. Marr, Jonathan M.; Wilkin, Francis P. (2012). «Лучшее представление закона излучения Планка». Am. J. Phys . 80 (5): 399. arXiv : 1109.3822 . Bibcode :2012AmJPh..80..399M. doi :10.1119/1.3696974. S2CID  10556556.
17. Фишер 2011
18. Гуди и Юнг 1989, стр. 16.
19. Мор, Тейлор и Ньюэлл 2012, стр. 1591
20. Лаудон 2000
21. Мандель и Вольф 1995
22. Уилсон 1957, стр. 182
23. Адкинс 1983, стр. 147–148
24. Ландсберг 1978, стр. 208
25. Сигел и Хауэлл 2002, стр. 25
26. Планк 1914, стр. 9–11.
27. Планк 1914, стр. 35
28. Ландсберг 1961, стр. 273–274.
29. Борн и Вольф 1999, стр. 194–199.
30. Борн и Вольф 1999, стр. 195
31. Рыбицки и Лайтман 1979, с. 19
32. Чандрасекар 1960, стр. 7
33. Чандрасекар 1960, стр. 9
34. Эйнштейн 1916
35. Bohr 1913
36. Джаммер 1989, стр. 113, 115.
37. Kittel & Kroemer 1980, стр. 98
38. Джинсы 1905a, стр. 98
39. Рэлей 1905
40. Рыбицки и Лайтман 1979, с. 23
41. Wien 1896, стр. 667
42. Планк 1906, стр. 158
43. Лоуэн и Бланч 1940
44. Интегрировано из Christian Gueymard (апрель 2004 г.). «Общая и спектральная освещенность солнца для приложений солнечной энергетики и моделей солнечного излучения». Solar Energy . 76 (4): 423–453. Bibcode :2004SoEn...76..423G. doi :10.1016/j.solener.2003.08.039.
45. Zettili, Nouredine (2009). Квантовая механика: концепции и приложения (2-е изд.). Chichester: Wiley. С. 594–596. ISBN 978-0-470-02679-3.
46. Сегре, Карло. «Коэффициенты Эйнштейна — Основы квантовой теории II (PHYS 406)» (PDF) . стр. 32.
47. Цвибах, Бартон. «Квантовая физика III Глава 4: Теория возмущений, зависящих от времени | Квантовая физика III | Физика». MIT OpenCourseWare . стр. 108–110 . Получено 3 ноября 2023 г.
48. Сигел 1976
49. Кирхгоф 1860a
50. Кирхгоф 1860б
51. Ширрмахер 2001
52. Кирхгоф 1860c
53. Планк 1914, стр. 11
54. Милн 1930, стр. 80
55. Рыбицки и Лайтман 1979, стр. 16–17.
56. Михалас и Вайбель-Михалас 1984, с. 328
57. Гуди и Юнг 1989, стр. 27–28.
58. Пашен, Ф. (1896), личное письмо, цитируемое Германом 1971, стр. 6
59. Германн 1971, стр. 7
60. Кун 1978, стр. 8, 29
61. Мехра и Рехенберг 1982, стр. 26, 28, 31, 39.
62. Кирхгоф 1862, стр. 573
63. Краг 1999, стр. 58
64. Kangro 1976
65. Тиндаль 1865a
66. Тиндаль 1865б
67. Кангро 1976, стр. 8–10
68. Крова 1880
69. Крова 1880, стр. 577, Таблица I
70. Кангро 1976, стр. 10–15.
71. Кангро 1976, стр. 15–26.
72. Михельсон 1888
73. Кангро 1976, стр. 30–36.
74. Кангро 1976, стр. 122–123
75. Люммер и Курлбаум 1898
76. Кангро 1976, стр. 159
77. Люммер и Курлбаум 1901
78. Кангро 1976, стр. 75–76
79. Пашен 1895, стр. 297–301.
80. Кляйн 1962, стр. 460.
81. Люммер и Прингсхайм 1899, с. 225
82. Кангро 1976, стр. 174
83. Планк 1900d
84. Rayleigh 1900, стр. 539
85. Кангро 1976, стр. 181–183.
86. Пасупати, Дж. «Квант, его открытие и продолжающиеся поиски». Current Science , т. 79, № 11, Временный издатель, 2000, стр. 1609–1614, http://www.jstor.org/stable/24104871.
87. Кумар, Манджит, Квант: Эйнштейн, Бор и великий спор о природе реальности , 1-е американское издание, 2008. ^{[ ISBN отсутствует ] [ нужна страница ]}
88. Стоун, А. Дуглас, Эйнштейн и квант: поиски доблестного шваба , 2013, Princeton University Press. ^{[ ISBN отсутствует ] [ нужна страница ]}
89. «Замечания о законе полного излучения», в The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science , том XLIX, январь–июнь 1900 г., стр. 539–541, Рэлей, Лорд (Джон Уильям Страт)
90. Планк, Научная автобиография и другие статьи (Нью-Йорк: Философская библиотека, 1949), 41.
91. Германн, «Генезис квантовой теории», Американский журнал физики 40, 1355 (1972) стр. 23.
92. Макс Планк, «К теории закона распределения энергии нормального спектра», Verhandl, Dtsch, Phys Ges, 2, (1900)
93. Physics World , "Макс Планк: нерешительный революционер", 01 декабря 2000 г. Цитата: "Согласно молекулярно-механической интерпретации Больцмана, энтропия системы является коллективным результатом молекулярных движений. Второй закон действителен только в статистическом смысле. Теория Больцмана, которая предполагала существование атомов и молекул, была оспорена Вильгельмом Оствальдом и другими "энергетиками", которые хотели освободить физику от понятия атомов и основать ее на энергии и связанных с ней величинах. Какова была позиция Планка в этом споре? Можно было бы ожидать, что он встанет на сторону победителей или тех, кто вскоре оказался победителями, а именно Больцмана и "атомистов". Но это было не так. Вера Планка в абсолютную справедливость второго закона заставила его не только отвергнуть статистическую версию термодинамики Больцмана, но и усомниться в атомной гипотезе, на которой она основывалась". https://physicalworld.com/a/max-planck-the-reluctant-revolutionary/
94. Планк 1900a
95. Планк 1900b
96. Рэлей 1900
97. Дугал 1976
98. Планк 1943, стр. 156
99. Геттнер 1922
100. Рубенс и Курльбаум 1900a
101. Рубенс и Курльбаум 1900b
102. Кангро 1976, стр. 165
103. Мехра и Рехенберг 1982, стр. 41
104. Планк 1914, стр. 135
105. Кун 1978, стр. 117–118.
106. Германн 1971, стр. 16
107. Планк Роберту Уильяму Вудсу, 7 октября 1931 г., в книге Армина Германа «Генезис квантовой теории» (1899–1913) (Кембридж, Массачусетс: Издательство MIT, 1971), 24.
108. Планк 1900c
109. Кангро 1976, стр. 214
110. Кун 1978, стр. 106
111. Kragh 2000
112. Планк 1901
113. Планк 1915, стр. 89
114. Эренфест и Камерлинг-Оннес 1914, с. 873
115. тер Хаар 1967, стр. 14
116. Стеле 1994, стр. 128
117. Скалли и Зубайри 1997, стр. 21.
118. Планк 1906, стр. 220
119. Кун 1978, стр. 162
120. Планк 1914, стр. 44–45, 113–114
121. Stehle 1994, стр. 150
122. Jauch & Rohrlich 1980, глава 13.
123. Карплус и Нойман 1951
124. Томмазини и др. 2008
125. Джеффрис 1973, стр. 223
126. Планк 1906, стр. 178
127. Планк 1914, стр. 26
128. Больцман 1878
129. Кун 1978, стр. 38–39
130. Планк 1914, стр. 1–45.
131. Хлопок 1899
132. Эйнштейн 1905
133. Краг 1999, стр. 67
134. Стеле 1994, стр. 132–137.
135. Эйнштейн 1993, стр. 143, письмо 1910 года.
136. Планк 1915, стр. 95
137. Планк 1906
138. Кун 1978, стр. 196–202.
139. Краг 1999, стр. 63–66.
140. Планк 1914, стр. 161
141. Кун 1978, стр. 235–253.
142. Кун 1978, стр. 253–254.
143. Эренфест 1911
144. Кун 1978, стр. 152
145. Кун 1978, стр. 151–152.
146. Кангро 1976, стр. 190
147. Кун 1978, стр. 144–145
148. Джинсы 1901, сноска на стр. 398.
149. Джинсы 1905б
150. Джинсы 1905c
151. Джинсы 1905г.
152. Зоммерфельд 1923, стр. 43
153. Гейзенберг 1925, стр. 108.
154. Бриллюэн 1970, стр. 31
155. Бозе 1924
156. Льюис 1926
157. Гейзенберг 1925
158. Разави 2011, стр. 39–41
159. Борн и Джордан 1925
160. Стеле 1994, стр. 286
161. Разави 2011, стр. 42–43
162. Мессия 1958, стр. 14
163. Паули 1973, стр. 1
164. Фейнман, Лейтон и Сэндс 1963, стр. 38-1
165. Schwinger 2001, стр. 203
166. Борен и Клотио 2006, стр. 2
167. Шифф 1949, стр. 2
168. Михалас и Вайбель-Михалас 1984, с. 143
169. Рыбицки и Лайтман 1979, с. 20

Библиография

• Adkins, CJ (1983). Равновесная термодинамика (3-е изд.). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-25445-8.
• Эндрюс, Дэвид (2000). Введение в физику атмосферы . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0511800770.
• Бор, Н. (1913). «О строении атомов и молекул» (PDF) . Philosophical Magazine . 26 (153): 1–25. Bibcode :1913PMag...26..476B. doi :10.1080/14786441308634993.
• Борен, К. Ф.; Клотьяукс, Э. Э. (2006). Основы атмосферной радиации . Wiley-VCH . ISBN 978-3-527-40503-9.
• Больцманн, Л. (1878). «Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatze der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung, соответственно den Sätzen über das Wärmegleichgewicht». Sitzungsberichte Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften в Вене . 76 (2): 373–435.
• Борн, М.; Вольф , Э. (1999). Принципы оптики (7-е изд.). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-64222-4.
• Борн, М .; Джордан, П. (1925). «Цур Квантенмеханик». Zeitschrift für Physik . 34 (1): 858–888. Бибкод : 1925ZPhy...34..858B. дои : 10.1007/BF01328531. S2CID  186114542.Частично переведено как «О квантовой механике» в van der Waerden, BL (1967). Источники квантовой механики . North-Holland Publishing . С. 277–306.
• Бозе, Сатьендра Натх (1924). «Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese». Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 26 (1): 178–181. Бибкод : 1924ZPhy...26..178B. дои : 10.1007/BF01327326. S2CID  186235974.
• Брем, Дж. Дж.; Маллин, В. Дж. (1989). Введение в структуру материи. Wiley . ISBN 978-0-471-60531-7.
• Бриллюэн, Л. (1970). Пересмотр теории относительности . Academic Press . ISBN 978-0-12-134945-5.
• Каниу, Дж. (1999). Пассивное инфракрасное обнаружение: теория и применение. Springer . ISBN 978-0-7923-8532-5.
• Чандрасекар, С. (1960) [1950]. Radiative Transfer (переиздание). Dover Publications . ISBN 978-0-486-60590-6.
• Коттон, А. (1899). «Современное состояние закона Кирхгофа». The Astrophysical Journal . 9 : 237–268. Bibcode : 1899ApJ.....9..237C. doi : 10.1086/140585.
• Крова, АПП (1880). «Этюд излучений от корпусов ламп накаливания. Измерение оптики высоких температур». Анналы химии и телосложения . Серия 5. 19 : 472–550.
• Дугал, RC (1976). "Презентация формулы излучения Планка (учебник)". Physics Education . 11 (6): 438–443. Bibcode : 1976PhyEd..11..438D. doi : 10.1088/0031-9120/11/6/008. S2CID  250881729.
• Эренфест, П. (1911). «Welche Züge der Lichtquantenhypothese spielen in der Theorie der Wärmestrahlung eine wesentliche Rolle?». Аннален дер Физик . 36 (11): 91–118. Бибкод : 1911АнП...341...91Е. дои : 10.1002/andp.19113411106.
• Эренфест, П .; Камерлинг-Оннес, Х. (1914). «Упрощенный вывод формулы из теории комбинаций, которую Планк использует в качестве основы своей теории излучения». Труды Королевской голландской академии наук в Амстердаме . 17 (2): 870–873. Bibcode : 1914KNAB...17..870E.
• Эйнштейн, А. (1905). «Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt». Аннален дер Физик . 17 (6): 132–148. Бибкод : 1905АнП...322..132Е. дои : 10.1002/andp.19053220607 .Перевод в Arons, AB; Peppard, MB (1965). "Предложение Эйнштейна о концепции фотона: перевод статьи Annalen der Physik 1905 года" (PDF) . American Journal of Physics . 33 (5): 367. Bibcode :1965AmJPh..33..367A. doi :10.1119/1.1971542. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 года . Получено 19 апреля 2011 года .
• Эйнштейн, А. (1916). «Квантовая теория излучения». Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich . 18 : 47–62.и почти идентичная версия Эйнштейна А. (1917). «Квантовая теория излучения». Physikalische Zeitschrift . 18 : 121–128. Бибкод : 1917PhyZ...18..121E.Перевод в ter Haar, D. (1967). «О квантовой теории излучения». Старая квантовая теория . Pergamon Press . стр. 167–183. LCCN  66029628.См. также [1].
• Эйнштейн, А. (1993). Собрание трудов Альберта Эйнштейна . Том 3. Перевод на английский язык Бека, А. Princeton University Press . ISBN 978-0-691-10250-4.
• Фейнман, РП ; Лейтон, РБ ; Сэндс, М. (1963). Лекции Фейнмана по физике, том 1. Эддисон -Уэсли . ISBN 978-0-201-02010-6.
• Фишер, Т. (1 ноября 2011 г.). "Темы: Вывод закона Планка". ThermalHUB . Получено 19 июня 2015 г. .
• Gaofeng Shao; Yucao Lu; Dorian AH Hanaor; Sheng Cui; Jian Jiao; Xiaodong Shen (2019). «Улучшенная стойкость к окислению высокоэмиссионных покрытий на волокнистой керамике для многоразовых космических систем». Corrosion Science . 146 . Elsevier: 233–246. arXiv : 1902.03943 . Bibcode :2019Corro.146..233S. doi :10.1016/j.corsci.2018.11.006. S2CID  118927116. HAL Id: hal-02308467 – через архивы HAL ouverts.
• Гуди, Р. М.; Юнг, Я. Л. (1989). Атмосферная радиация: Теоретическая основа (2-е изд.). Oxford University Press . ISBN 978-0-19-510291-8.
• Гуггенхайм, Э. А. (1967). Термодинамика. Расширенный курс для химиков и физиков (5-е пересмотренное издание). North-Holland Publishing Company .
• Хакен, Х. (1981). Light (Переиздание). Амстердам: North-Holland Publishing . ISBN 978-0-444-86020-0.
• Хапке, Б. (1993). Теория спектроскопии отражения и излучения . Cambridge University Press , Кембридж, Великобритания. ISBN 978-0-521-30789-5.
• Гейзенберг, В. (1925). «Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen». Zeitschrift für Physik . 33 (1): 879–893. Бибкод : 1925ZPhy...33..879H. дои : 10.1007/BF01328377. S2CID  186238950.Переводится как «Квантово-теоретическая реинтерпретация кинематических и механических соотношений» в van der Waerden, BL (1967). Источники квантовой механики . North-Holland Publishing . стр. 261–276.
• Гейзенберг, В. (1930). Физические принципы квантовой теории. Эккарт, К.; Хойт, Ф. К. (перевод). Издательство Чикагского университета .
• Германн, А. (1971). Генезис квантовой теории. Нэш, Ч. У. (перевод). MIT Press . ISBN 978-0-262-08047-7.перевод Frühgeschichte der Quantentheorie (1899–1913) , Physik Verlag, Мосбах/Баден, 1969.
• Хеттнер, Г. (1922). «Die Bedeutung von Rubens Arbeiten für die Plancksche Strahlungsformel». Naturwissenschaften . 10 (48): 1033–1038. Бибкод : 1922NW.....10.1033H. дои : 10.1007/BF01565205. S2CID  46268714.
• Джеммер, М. (1989). Концептуальное развитие квантовой механики (второе издание). Tomash Publishers / Американский институт физики . ISBN 978-0-88318-617-6.
• Jauch, JM; Rohrlich, F. (1980) [1955]. Теория фотонов и электронов. Релятивистская квантовая полевая теория заряженных частиц со спином один-половина (второе издание второго издания). Springer . ISBN 978-0-387-07295-1.
• Джинс, Дж. Х. (1901). «Распределение молекулярной энергии». Philosophical Transactions of the Royal Society A. 196 ( 274–286): 397–430. Bibcode : 1901RSPTA.196..397J. doi : 10.1098/rsta.1901.0008. JSTOR  90811.
• Джинс, Дж. Х. (1905а). «XI. О разделении энергии между материей и эфиром». Philosophical Magazine . 10 (55): 91–98. doi :10.1080/14786440509463348.
• Джинс, Дж. Х. (1905б). «О применении статистической механики к общей динамике материи и эфира». Труды Королевского общества A. 76 ( 510): 296–311. Bibcode :1905RSPSA..76..296J. doi : 10.1098/rspa.1905.0029 . JSTOR  92714.
• Джинс, Дж. Х. (1905c). «Сравнение двух теорий излучения». Nature . 72 (1865): 293–294. Bibcode :1905Natur..72..293J. doi :10.1038/072293d0. S2CID  3955227.
• Джинс, Дж. Х. (1905d). «О законах излучения». Труды Королевского общества A. 76 ( 513): 545–552. Bibcode : 1905RSPSA..76..545J. doi : 10.1098/rspa.1905.0060 . JSTOR  92704.
• Джеффрис, Х. (1973). Научный вывод (3-е изд.). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-08446-8.
• Кангро, Х. (1976). Ранняя история закона излучения Планка . Тейлор и Фрэнсис . ISBN 978-0-85066-063-0.
• Карплюс, Р.; Нойман, М. (1951). «Рассеяние света светом». Physical Review . 83 (4): 776–784. Bibcode : 1951PhRv...83..776K. doi : 10.1103/PhysRev.83.776.
• Кирхгоф, Г. Р. (1860а). «Über die Fraunhofer'schen Linien». Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 662–665.
• Кирхгоф, Г. Р. (1860b). «Über den Zusammenhang zwischen Emission und Absorbon Licht und Wärme». Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 783–787.
• Кирхгоф, Г. Р. (1860c). «Über das Verhältniss zwischen dem Emissionsvermögen und dem Absorbsvermögen der Körper für Wärme and Licht». Аннален дер Физик и Химия . 109 (2): 275–301. Бибкод : 1860АнП...185..275К. дои : 10.1002/andp.18601850205 .Перевод Guthrie, F. как Kirchhoff, GR (1860). «О соотношении между излучательной и поглощающей способностью различных тел для света и тепла». Philosophical Magazine . Серия 4. 20 : 1–21.
• Кирхгоф, Г. Р. (1862), «Über das Verhältniss zwischen dem Emissionsvermögen und dem Absorbsvermögen der Körper für Wärme und Licht», Gessamelte Abhandlungen , Иоганн Амброзиус Барт, стр. 571–598.
• Kittel, C. ; Kroemer, H. (1980). Тепловая физика (2-е изд.). WH Freeman . ISBN 978-0-7167-1088-2.
• Клейн, М. Дж. (1962). «Макс Планк и начало квантовой теории». Архив истории точных наук . 1 (5): 459–479. doi :10.1007/BF00327765. S2CID  121189755.
• Краг, Х. (1999). Квантовые поколения. История физики в двадцатом веке . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-01206-3.
• Краг, Х. (декабрь 2000 г.). «Макс Планк: неохотный революционер». Physics World . 13 (12): 31–36. doi :10.1088/2058-7058/13/12/34.
• Крамм, Герхард; Мёльдерс, Н. (2009). «Закон излучения черного тела Планка: представление в различных областях и определение связанной размерной константы». Журнал Калькуттского математического общества . 5 (1–2): 27–61. arXiv : 0901.1863 . Bibcode :2009arXiv0901.1863K.
• Kuhn, TS (1978). Теория черного тела и квантовый разрыв . Oxford University Press . ISBN 978-0-19-502383-1.
• Ландсберг, П. Т. (1961). Термодинамика с квантово-статистическими иллюстрациями . Interscience Publishers .
• Ландсберг, ПТ (1978). Термодинамика и статистическая механика . Oxford University Press . ISBN 978-0-19-851142-7.
• Льюис, ГН (1926). «Сохранение фотонов». Nature . 118 (2981): 874–875. Bibcode :1926Natur.118..874L. doi :10.1038/118874a0. S2CID  4110026.
• Лоудон, Р. (2000). Квантовая теория света (3-е изд.). Oxford University Press . ISBN 978-0-19-850177-0.
• Лоуэн, А. Н.; Бланч, Г. (1940). «Таблицы функций излучения и фотонов Планка». Журнал оптического общества Америки . 30 (2): 70. Bibcode : 1940JOSA...30...70L. doi : 10.1364/JOSA.30.000070.
• Ламмер, О. ; Курльбаум, Ф. (1898). "Der electricsch geglühte "absolut schwarze" Körper und seine Temperaturmessung". Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft . 17 : 106–111.
• Ламмер, О. ; Прингсхайм, Э. (1899). «1. Die Vertheilung der Energie in Spectrum des schwarzen Körpers und des Blanken Platins; 2. Temperaturbestimmung fester glühender Körper». Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft . 1 : 215–235.
• Ламмер, О. ; Курльбаум, Ф. (1901). "Der elektrisch geglühte "schwarze" Körper". Аннален дер Физик . 310 (8): 829–836. Бибкод : 1901АнП...310..829Л. дои : 10.1002/andp.19013100809.
• Мандель, Л.; Вольф , Э. (1995). Оптическая когерентность и квантовая оптика . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-41711-2.
• Мехра, Дж .; Рехенберг, Х. (1982). Историческое развитие квантовой теории . Том 1. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90642-3.
• Мессия, А. (1958). Квантовая механика . Теммер, Г. Г. (перевод). Wiley .
• Михельсон, ВА (1888). «Теоретический очерк распределения энергии в спектрах твердых тел». Philosophical Magazine . Серия 5. 25 (156): 425–435. doi :10.1080/14786448808628207.
• Михалас, Д.; Вайбель-Михалас, Б. (1984). Основы радиационной гидродинамики . Oxford University Press . ISBN 978-0-19-503437-0.
• Милн, Э.А. (1930). «Термодинамика звезд». Справочник по астрофизике . 3 (1): 63–255.
• Mohr, PJ; Taylor, BN; Newell, DB (2012). "CODATA Recommended Values ​​of the Fundamental Physical Constants: 2010" (PDF) . Reviews of Modern Physics . 84 (4): 1527–1605. arXiv : 1203.5425 . Bibcode :2012RvMP...84.1527M. CiteSeerX  10.1.1.150.1225 . doi :10.1103/RevModPhys.84.1527. S2CID  103378639.
• Paltridge, GW ; Platt, CMR (1976). Радиационные процессы в метеорологии и климатологии . Elsevier . ISBN 978-0-444-41444-1.
• Пашен, Ф. (1895). «Über Gesetzmäßigkeiten in den Spectren fester Körper und über ein neue Bestimmung der Sonnenttemperatur». Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (Mathematisch-Physikalische Klasse) : 294–304.
• Паули, В. (1973). Энц, К. П. (ред.). Волновая механика . Маргулис, С.; Льюис, Х. Р. (перевод). MIT Press . ISBN 978-0-262-16050-6.
• Планк, М. (1900а). «Über eine Verbesserung der Wien'schen Spectralgleichung». Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft . 2 : 202–204.Перевод в ter Haar, D. (1967). «Об улучшении уравнения Вина для спектра» (PDF) . Старая квантовая теория . Pergamon Press . стр. 79–81. LCCN  66029628.
• Планк, М. (1900b). «Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum». Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft . 2 : 237–245.Перевод в тер Хаар, Д. (1967). "О теории закона распределения энергии нормального спектра" (PDF) . Старая квантовая теория . Pergamon Press . стр. 82. LCCN  66029628.
• Планк, М. (1900c). «Энтропия и температура тепла». Аннален дер Физик . 306 (4): 719–737. Бибкод : 1900АнП...306..719П. дои : 10.1002/andp.19003060410.
• Планк, М. (1900d). «Убер-необратимое страдание». Аннален дер Физик . 306 (1): 69–122. Бибкод : 1900АнП...306...69П. дои : 10.1002/andp.19003060105.
• Планк, М. (1901). «Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum». Аннален дер Физик . 4 (3): 553–563. Бибкод : 1901АнП...309..553П. дои : 10.1002/andp.19013090310 .Перевод на Ando, ​​K. "On the Law of Distribution of Energy in the Normal Spectrum" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 6 октября 2011 г. . Получено 13 октября 2011 г. .
• Планк, М. (1906). Vorlesungen über die Theorie der Warmestrahlung . Иоганн Амброзиус Барт. LCCN  07004527.
• Планк, М. (1914). Теория теплового излучения. Перевод Мазиуса, М. (2-е изд.). P. Blakiston's Son & Co. OL  7154661M.
• Планк, М. (1915). Восемь лекций по теоретической физике, прочитанных в Колумбийском университете в 1909 году (PDF) . Перевод Wills, AP New York: Columbia University Press . Получено 11 мая 2020 г. – через Project Gutenberg.
• Планк, М. (1943). «Zur Geschichte der Auffindung des physicalischen Wirkungsquantums». Naturwissenschaften . 31 (14–15): 153–159. Бибкод : 1943NW.....31..153P. дои : 10.1007/BF01475738. S2CID  44899488.
• Рэлей, Лорд (1900). "LIII. Замечания о законе полного излучения". Philosophical Magazine . Серия 5. 49 (301): 539–540. doi :10.1080/14786440009463878.
• Рэлей, Лорд (1905). «Динамическая теория газов и излучения». Nature . 72 (1855): 54–55. Bibcode :1905Natur..72...54R. doi :10.1038/072054c0. S2CID  4057048.
• Разави, М. (2011). Квантовая механика Гейзенберга . World Scientific . ISBN 978-981-4304-10-8.
• Рубенс, Х .; Курльбаум, Ф. (1900а). «Über die Emission langer Wellen durch den schwarzen Körper». Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft . 2 : 181.
• Рубенс, Х .; Курльбаум, Ф. (1900b). «Über die Emission langwelliger Wärmestrahlen durch den schwarzen Körper bei verschiedenen Climaten». Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 929–941.Перевод в Рубенс, Х.; Курльбаум , Ф. (1901). «О тепловом излучении большой длины волны, испускаемом черными телами при различных температурах». The Astrophysical Journal . 14 : 335–348. Bibcode : 1901ApJ....14..335R. doi : 10.1086/140874 .
• Рыбицки, ГБ; Лайтман, А.П. (1979). Радиационные процессы в астрофизике. John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-82759-7.
• Шарков, Е.А. (2003). "Излучение черного тела" (PDF) . Пассивное микроволновое дистанционное зондирование Земли . Springer . ISBN 978-3-540-43946-2.
• Шифф, Л.И. (1949). Квантовая механика . McGraw-Hill .
• Ширмахер, А. (2001). Экспериментальная теория: доказательства закона излучения Кирхгофа до и после Планка . Münchner Zentrum für Wissenschafts und Technikgeschichte.
• Швингер, Дж. (2001). Энглерт, Б.-Г. (ред.). Квантовая механика: символизм атомных измерений . Springer . ISBN 978-3-540-41408-7.
• Скалли, Миссури ; Зубайри, Миссисипи (1997). Квантовая оптика . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-43458-4.
• Siegel, DM (1976). "Бальфур Стюарт и Густав Роберт Кирхгоф: два независимых подхода к "закону излучения Кирхгофа"". Isis . 67 (4): 565–600. doi :10.1086/351669. PMID  794025. S2CID  37368520.
• Siegel, R. ; Howell, JR (2002). Теплопередача теплового излучения, том 1 (4-е изд.). Taylor & Francis . ISBN 978-1-56032-839-1.
• Sommerfeld, A. (1923). Структура атома и спектральные линии. Brose, HL (перевод) (с 3-го немецкого издания). Methuen .
• Stehle, P. (1994). Порядок, Хаос, Порядок. Переход от классической к квантовой физике . Oxford University Press . ISBN 978-0-19-507513-7.
• Стюарт, Б. (1858). «Отчет о некоторых экспериментах по лучистому теплу». Труды Королевского общества Эдинбурга . 22 : 1–20. doi :10.1017/S0080456800031288. S2CID  122316368.
• тер Хаар, Д. (1967). Старая квантовая теория . Pergamon Press . LCCN  66-029628.
• Торнтон, СТ; Рекс, АФ (2002). Современная физика . Thomson Learning . ISBN 978-0-03-006049-6.
• Тиса, Л. (1966). Обобщенная термодинамика . МТИ Пресс .
• Tommasini, D.; Ferrando, F.; Michinel, H.; Seco, M. (2008). "Обнаружение рассеяния фотонов в вакууме на экзаваттных лазерах". Physical Review A. 77 ( 1): 042101. arXiv : quant-ph/0703076 . Bibcode : 2008PhRvA..77a2101M. doi : 10.1103/PhysRevA.77.012101.
• Тиндаль, Дж. (1865a). «Über leuchtende und dunkle Strahlung». Аннален дер Физик и Химия . 200 (1): 36–53. Бибкод : 1865АнП...200...36Т. дои : 10.1002/andp.18652000103.
• Тиндаль, Дж. (1865b). Тепло, рассматриваемое как вид движения. Д. Эпплтон и компания .
• Вена, В. (1896). «Über die Energievertheilung im Emissionsspectrum eines schwarzen Körpers». Аннален дер Физик и Химия . 294 (8): 662–669. Бибкод : 1896АнП...294..662Вт. дои : 10.1002/andp.18962940803.
• Уилсон, А. Х. (1957). Термодинамика и статистическая механика . Издательство Кембриджского университета .

Внешние ссылки

• Резюме по радиации
• Излучение черного тела – интерактивное моделирование для игры с законом Планка
• Статья в Scienceworld о законе Планка