stringtranslate.com

Отрицательное число

Этот термометр показывает отрицательную температуру по Фаренгейту (−4 °F).

В математике отрицательное число является противоположностью (математике) положительного действительного числа . [1] Эквивалентно, отрицательное число является действительным числом, которое меньше нуля . Отрицательные числа часто используются для представления величины убытка или дефицита. Долг , который должен быть выплачен, можно рассматривать как отрицательный актив. Если величина, такая как заряд электрона, может иметь один из двух противоположных смыслов, то можно выбрать различие между этими смыслами — возможно, произвольно — как положительный и отрицательный . Отрицательные числа используются для описания значений на шкале, которая идет ниже нуля, такой как шкалы Цельсия и Фаренгейта для температуры. Законы арифметики для отрицательных чисел гарантируют, что здравый смысл идеи противоположности отражается в арифметике. Например, − ‍ ( −3) = 3, потому что противоположность противоположности является исходным значением.

Отрицательные числа обычно пишутся со знаком минус впереди. Например, −3 представляет собой отрицательное количество с величиной три и произносится как «минус три» или «отрицательная тройка». И наоборот, число, которое больше нуля, называется положительным ; ноль обычно ( но не всегда ) не считается ни положительным, ни отрицательным . [2] Положительность числа можно подчеркнуть, поставив перед ним знак плюс, например +3. В общем, отрицательность или положительность числа называется его знаком .

Каждое действительное число, отличное от нуля, является либо положительным, либо отрицательным. Неотрицательные целые числа называются натуральными числами (т. е. 0, 1, 2, 3...), а положительные и отрицательные целые числа (вместе с нулем) называются целыми числами . (Некоторые определения натуральных чисел исключают ноль.)

В бухгалтерском учете суммы задолженности часто обозначаются красными цифрами или числом в скобках в качестве альтернативного обозначения для представления отрицательных чисел.

Отрицательные числа использовались в « Девяти главах о математическом искусстве» , которые в своей нынешней форме датируются периодом китайской династии Хань (202 г. до н. э. — 220 г. н. э.), но могут содержать гораздо более старый материал. [3] Лю Хуэй (ок. 3 в.) установил правила сложения и вычитания отрицательных чисел. [4] К 7 в. индийские математики, такие как Брахмагупта, описывали использование отрицательных чисел. Исламские математики далее разработали правила вычитания и умножения отрицательных чисел и решали задачи с отрицательными коэффициентами . [5] До появления концепции отрицательных чисел математики, такие как Диофант, считали отрицательные решения задач «ложными», а уравнения, требующие отрицательных решений, описывались как абсурдные. [6] Западные математики, такие как Лейбниц, считали отрицательные числа недействительными, но все равно использовали их в вычислениях. [7] [8]

Введение

Числовая прямая

Связь между отрицательными числами, положительными числами и нулем часто выражается в виде числовой прямой :

Числовая прямая
Числовая прямая

Числа, которые находятся правее на этой линии, больше, а числа, которые находятся левее, меньше. Таким образом, ноль находится посередине, положительные числа справа, а отрицательные слева.

Обратите внимание, что отрицательное число с большей величиной считается меньшим. Например, хотя (положительное) 8 больше, чем (положительное) 5 , записанное

8 > 5

Минус 8 считается меньше минус 5 :

−8 < −5.

Подписанные числа

В контексте отрицательных чисел число, большее нуля, называется положительным . Таким образом, каждое действительное число, отличное от нуля, является либо положительным, либо отрицательным, в то время как сам ноль считается не имеющим знака. Положительные числа иногда пишутся со знаком плюс впереди, например, +3 обозначает положительную тройку.

Поскольку ноль не является ни положительным, ни отрицательным, термин «неотрицательный» иногда используется для обозначения числа, которое является либо положительным, либо нулевым, в то время как «неположительный» используется для обозначения числа, которое является либо отрицательным, либо нулевым. Ноль — нейтральное число.

В результате вычитания

Отрицательные числа можно рассматривать как результат вычитания большего числа из меньшего. Например, минус три — это результат вычитания трех из нуля:

0 − 3 = −3.

В общем случае вычитание большего числа из меньшего дает отрицательный результат, причем величина результата равна разнице между двумя числами. Например,

5 − 8 = −3

так как 8 − 5 = 3 .

Повседневное использование отрицательных чисел

Спорт

Наука

Финансы

Другой

Отрицательные номера этажей в лифте.

Арифметика с отрицательными числами

Знак минус "−" обозначает оператор как для бинарной (двухоперандной ) операции вычитания ( как в y − z ), так и для унарной (однооперандной) операции отрицания (как в − x , или дважды в −(− x ) ). Особый случай унарного отрицания возникает, когда оно применяется к положительному числу, и в этом случае результатом является отрицательное число (как в −5 ).

Неоднозначность символа "−" обычно не приводит к неоднозначности в арифметических выражениях, поскольку порядок операций делает возможным только одно толкование для каждого "−". Однако это может привести к путанице и затруднить понимание выражения, когда символы операторов появляются рядом друг с другом. Решением может быть заключение в скобки унарного "−" вместе с его операндом.

Например, выражение 7 + −5 может быть понятнее, если записать его как 7 + (−5) (хотя формально они означают одно и то же). Выражение вычитания 7 – 5 — это другое выражение, которое не представляет те же операции, но вычисляет тот же результат.

Иногда в начальных школах перед числом может стоять верхний индекс со знаком минус или плюс, чтобы явно различать отрицательные и положительные числа, как в [23].

− 2 + − 5  дает  − 7 .

Добавление

Визуальное представление сложения положительных и отрицательных чисел. Большие шары представляют числа с большей величиной.

Сложение двух отрицательных чисел очень похоже на сложение двух положительных чисел. Например,

(−3) + (−5) = −8 .

Идея состоит в том, что два долга можно объединить в один долг большего размера.

При сложении смеси положительных и отрицательных чисел можно думать об отрицательных числах как о вычитаемых положительных величинах. Например:

8 + (−3) = 8 − 3 = 5  и  (−2) + 7 = 7 − 2 = 5 .

В первом примере кредит 8 объединяется с долгом 3 , что дает общий кредит 5. Если отрицательное число имеет большую величину, то результат будет отрицательным:

(−8) + 3 = 3 − 8 = −5  и  2 + (−7) = 2 − 7 = −5 .

Здесь кредит меньше долга, поэтому в конечном итоге получается долг.

Вычитание

Как обсуждалось выше, вычитание двух неотрицательных чисел может дать отрицательный ответ:

5 − 8 = −3

В общем случае вычитание положительного числа дает тот же результат, что и прибавление отрицательного числа равной величины. Таким образом

5 − 8 = 5 + (−8) = −3

и

(−3) − 5 = (−3) + (−5) = −8

С другой стороны, вычитание отрицательного числа дает тот же результат, что и сложение положительного числа равной величины. (Идея состоит в том, что потеря долга — это то же самое, что и получение кредита.) Таким образом

3 − (−5) = 3 + 5 = 8

и

(−5) − (−8) = (−5) + 8 = 3 .

Умножение

Умножение на отрицательное число можно рассматривать как изменение направления вектора величины , равной абсолютному значению произведения множителей.

При умножении чисел величина произведения всегда равна произведению двух величин. Знак произведения определяется следующими правилами:

Таким образом

(−2) × 3 = −6

и

(−2) × (−3) = 6 .

Причина первого примера проста: сложение трех −2 дает −6 :

(−2) × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 .

Рассуждения во втором примере более сложные. Идея снова в том, что потеря долга — это то же самое, что получение кредита. В этом случае потеря двух долгов по три каждый — это то же самое, что получение кредита в шесть:

(−2 долга ) × (−3 каждый ) = +6 кредитов.

Соглашение о том, что произведение двух отрицательных чисел положительно, также необходимо для того, чтобы умножение подчинялось распределительному закону . В этом случае мы знаем, что

(−2) × (−3) + 2 × (−3) = (−2 + 2) × (−3) = 0 × (−3) = 0 .

Поскольку 2 × (−3) = −6 , произведение (−2) × (−3) должно быть равно 6 .

Эти правила приводят к другому (эквивалентному) правилу — знак любого произведения a × b зависит от знака a следующим образом:

Обоснование того, почему произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, можно найти в анализе комплексных чисел .

Разделение

Правила знаков для деления такие же, как и для умножения. Например,

8 ÷ (−2) = −4 ,
(−8) ÷ 2 = −4 ,

и

(−8) ÷ (−2) = 4 .

Если делимое и делитель имеют одинаковые знаки, результат положительный, если знаки разные, результат отрицательный.

Отрицание

Отрицательная версия положительного числа называется его отрицанием . Например, −3 является отрицанием положительного числа 3. Сумма числа и его отрицания равна нулю:

3 + (−3) = 0 .

То есть отрицание положительного числа является аддитивным обратным числом.

Используя алгебру , мы можем записать этот принцип в виде алгебраического тождества :

х + (− х ) = 0 .

Это тождество справедливо для любого положительного числа x . Его можно сделать справедливым для всех действительных чисел, расширив определение отрицания, включив в него ноль и отрицательные числа. А именно:

Например, отрицание −3 равно +3 . В общем случае,

−(− х ) =  х .

Абсолютное значение числа — это неотрицательное число с той же величиной. Например, абсолютное значение −3 и абсолютное значение 3 оба равны 3 , а абсолютное значение 0 равно 0 .

Формальное построение отрицательных целых чисел

Аналогично рациональным числам , мы можем расширить натуральные числа N до целых чисел Z , определив целые числа как упорядоченную пару натуральных чисел ( a , b ). Мы можем расширить сложение и умножение до этих пар с помощью следующих правил:

( а , б ) + ( с , г ) = ( а + с , б + г )
( а , б ) × ( с , г ) = ( а × с + б × г , а × г + б × г )

Определим отношение эквивалентности ~ для этих пар по следующему правилу:

( a , b ) ~ ( c , d ) тогда и только тогда, когда a + d = b + c .

Это отношение эквивалентности совместимо с определенными выше сложением и умножением, и мы можем определить Z как фактор-множество N ²/~, т.е. мы идентифицируем две пары ( a , b ) и ( c , d ), если они эквивалентны в указанном выше смысле. Обратите внимание, что Z , снабженное этими операциями сложения и умножения, является кольцом и фактически является прототипическим примером кольца.

Мы также можем определить общий порядок на Z, записав

( a , b ) ≤ ( c , d ) тогда и только тогда, когда a + d ≤ b + c .

Это приведет к аддитивному нулю вида ( a , a ), аддитивному обратному элементу ( a , b ) вида ( b , a ), мультипликативной единице вида ( a + 1, a ) и определению вычитания

( а , б ) − ( с , г ) = ( а + г , б + в ) .

Эта конструкция является частным случаем конструкции Гротендика .

Уникальность

Аддитивная обратная величина числа уникальна, как показывает следующее доказательство. Как упоминалось выше, аддитивная обратная величина числа определяется как значение, которое при добавлении к числу дает ноль.

Пусть x — число, а y — его аддитивное обратное число. Предположим, что y′ — это еще одно аддитивное обратное число x . По определению,

Итак, x + y′ = x + y . Используя закон сокращения для сложения, видно, что y′ = y . Таким образом, y равен любому другому аддитивному обратному x . То есть, y является единственным аддитивным обратным x .

История

Долгое время понимание отрицательных чисел задерживалось из-за невозможности иметь отрицательное числовое значение физического объекта, например «минус три яблока», а отрицательные решения задач считались «ложными».

В эллинистическом Египте греческий математик Диофант в 3 веке нашей эры сослался на уравнение, которое было эквивалентно (имеющему отрицательное решение) в Арифметике , заявив, что уравнение было абсурдным. [24] По этой причине греческие геометры могли геометрически решить все формы квадратного уравнения, которые дают положительные корни; в то время как они не могли принимать во внимание другие. [25]

Отрицательные числа впервые в истории появляются в « Девяти главах о математическом искусстве» (九章算術, Jiǔ zhāng suàn-shù ), которые в своей нынешней форме датируются периодом Хань , но вполне могут содержать гораздо более старый материал. [3] Математик Лю Хуэй (ок. 3 в.) установил правила сложения и вычитания отрицательных чисел. Историк Жан-Клод Марцлофф предположил, что важность двойственности в китайской натурфилософии облегчила китайцам принятие идеи отрицательных чисел. [4] Китайцы могли решать одновременные уравнения с участием отрицательных чисел. « Девять глав» использовали красные счетные палочки для обозначения положительных коэффициентов и черные палочки для отрицательных. [4] [26] Эта система является полной противоположностью современной печати положительных и отрицательных чисел в области банковского дела, бухгалтерского учета и торговли, где красные числа обозначают отрицательные значения, а черные числа — положительные значения. Лю Хуэй пишет:

Теперь есть два противоположных вида счетных стержней для прибылей и убытков, назовем их положительными и отрицательными. Красные счетные стержни — положительные, черные счетные стержни — отрицательные. [4]

Древний индийский манускрипт Бахшали производил вычисления с отрицательными числами, используя «+» в качестве отрицательного знака. [27] Дата рукописи неизвестна. Л. В. Гурджар датирует ее не позднее 4-го века, [28] Хёрнле датирует ее между третьим и четвертым веками, Айянгар и Пингри датируют ее 8-м или 9-м веками, [29] а Джордж Гевергезе Джозеф датирует ее около 400 года н.э. и не позднее начала 7-го века, [30]

В 7 веке нашей эры отрицательные числа использовались в Индии для представления долгов. Индийский математик Брахмагупта в своей работе «Брахма-Спхута-Сиддханта» (написанной около 630 года нашей эры) обсуждал использование отрицательных чисел для получения общей квадратичной формулы, похожей на ту, что используется сегодня. [24]

В IX веке исламские математики были знакомы с отрицательными числами из трудов индийских математиков, но признание и использование отрицательных чисел в этот период оставалось робким. [5] Аль-Хорезми в своем труде «Аль-джабр валь-мукабала» (от которого произошло слово «алгебра») не использовал отрицательные числа или отрицательные коэффициенты. [5] Но через пятьдесят лет Абу Камиль проиллюстрировал правила знаков для расширения умножения , [31] а аль-Караджи написал в своем «Аль-Фахри» , что «отрицательные величины должны считаться членами». [5] В X веке Абу аль-Вафа аль-Бузджани рассматривал долги как отрицательные числа в «Книге о том, что необходимо из науки арифметики для писцов и бизнесменов» . [31]

К XII веку последователи аль-Караджи сформулировали общие правила знаков и использовали их для решения задач деления многочленов . [5] Как пишет аль-Самав'аль :

произведение отрицательного числа — al-nāqiṣ (убыток) — на положительное число — al-zāʾid (прибыль) — отрицательно, а на отрицательное число — положительно. Если мы вычитаем отрицательное число из большего отрицательного числа, остаток — их отрицательная разность. Разность остается положительной, если мы вычитаем отрицательное число из меньшего отрицательного числа. Если мы вычитаем отрицательное число из положительного числа, остаток — их положительная сумма. Если мы вычитаем положительное число из пустой степени ( martaba khāliyya ), остаток будет тем же отрицательным, а если мы вычитаем отрицательное число из пустой степени, остаток — тем же положительным числом. [5]

В XII веке в Индии Бхаскара II дал отрицательные корни для квадратных уравнений, но отверг их, поскольку они были неуместны в контексте задачи. Он заявил, что отрицательное значение «в этом случае не следует принимать, поскольку оно неадекватно; люди не одобряют отрицательные корни».

Фибоначчи допускал отрицательные решения в финансовых проблемах, где они могли быть интерпретированы как дебеты (глава 13 Liber Abaci , 1202), а позднее — как убытки (во Flos , 1225).

В XV веке француз Николя Шюке использовал отрицательные числа в качестве показателей степени [32], но называл их «абсурдными числами». [33]

Михаэль Штифель рассматривал отрицательные числа в своей работе «Arithmetica Integra» (1544 г.) , где он также называл их numeri absurdi (абсурдными числами).

В 1545 году Джероламо Кардано в своем труде Ars Magna дал первую в Европе удовлетворительную трактовку отрицательных чисел. [24] Он не допускал отрицательных чисел при рассмотрении кубических уравнений , поэтому ему приходилось рассматривать, например, отдельно от (с в обоих случаях). В целом, Кардано был вынужден изучить тринадцать типов кубических уравнений, в каждом из которых все отрицательные члены были перемещены на другую сторону знака =, чтобы сделать их положительными. (Кардано также имел дело с комплексными числами , но, по понятным причинам, любил их еще меньше.)

Смотрите также

Ссылки

Цитаты

  1. ^ «Целые числа — это множество целых чисел и их противоположностей», Ричард У. Фишер, «Алгебра без излишеств», 2-е издание, Основы математики, ISBN  978-0999443330
  2. ^ Соглашение о том, что ноль не является ни положительным, ни отрицательным, не является универсальным. Например, во французской конвенции ноль считается как положительным, так и отрицательным. Французские слова positif и négatif означают то же самое, что английские «положительный или ноль» и «отрицательный или ноль» соответственно.
  3. ^ ab Struik, страницы 32–33. «В этих матрицах мы находим отрицательные числа, которые появляются здесь впервые в истории».
  4. ^ abcd Ходжкин, Люк (2005). История математики: от Месопотамии до современности . Oxford University Press. стр. 88. ISBN 978-0-19-152383-0. Лю ясно говорит об этом; в том месте, где Девять глав дают подробное и полезное «Правило знака»
  5. ^ abcdef Рашид, Р. (30 июня 1994 г.). Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй . Springer. стр. 36–37. ISBN 9780792325659.
  6. ^ Диофант , Арифметика .
  7. ^ Клайн, Моррис (1972). Математическая мысль от древних времен до наших дней . Oxford University Press, Нью-Йорк. С. 252.
  8. ^ Марта Смит. «История отрицательных чисел».
  9. ^ "Нарушение потолка зарплат Сарацинов: чемпионы Премьер-лиги не будут оспаривать санкции". BBC Sport . Получено 18 ноября 2019 г. Команда Марка Макколла впоследствии опустилась с третьего на последнее место Премьер-лиги с −22 очками
  10. ^ "Болтон Уондерерс 1−0 Милтон Кейнс Донс". BBC Sport . Получено 30 ноября 2019 г. Но на третьей минуте компенсированного времени нападающий реализовал передачу Люка Мерфи с восьми ярдов, заработав третью подряд победу в Лиге 1 для команды Хилла, которая начала кампанию с −12 очками после перехода под внешнее управление в мае.
  11. ^ "Glossary". Formula1.com . Получено 30 ноября 2019 г. Delta time: Термин, используемый для описания разницы во времени между двумя разными кругами или двумя разными автомобилями. Например, обычно существует отрицательная дельта между лучшим временем круга на тренировке и лучшим временем круга в квалификации, поскольку он использует низкий уровень топлива и новые шины.
  12. ^ "BBC Sport - Олимпийские игры - Лондон 2012 - Прыжки в длину среди мужчин: Легкая атлетика - Результаты". 5 августа 2012 г. Архивировано из оригинала 5 августа 2012 г. Получено 5 декабря 2018 г.
  13. ^ "Как ветер помогает в легкой атлетике". elitefeet.com . 3 июля 2008 г. . Получено 18 ноября 2019 г. Ветровая помощь обычно выражается в метрах в секунду, как положительных, так и отрицательных. Положительное значение означает, что ветер помогает бегунам, а отрицательное значение означает, что бегунам пришлось работать против ветра. Так, например, ветры со скоростью −2,2 м/с и +1,9 м/с являются законными, в то время как ветер со скоростью +2,1 м/с является слишком большой помощью и считается незаконным. Также часто используются термины "попутный ветер" и "встречный ветер". Попутный ветер толкает бегунов вперед (+), а встречный ветер толкает бегунов назад (−)
  14. ^ Форбс, Роберт Б. (6 января 1975 г.). Вклад в геологию бассейна Берингова моря и прилегающих регионов: избранные доклады симпозиума по геологии и геофизике региона Берингова моря, проведенного по случаю открытия здания CT Elvey, Университет Аляски, 26–28 июня 1970 г., и со 2-го международного симпозиума по арктической геологии, состоявшегося в Сан-Франциско, 1–4 февраля 1971 г. Геологическое общество Америки. стр. 194. ISBN 9780813721514.
  15. ^ Уилкс, Дэниел С. (6 января 2018 г.). Статистические методы в атмосферных науках. Academic Press. стр. 17. ISBN 9780123850225.
  16. ^ Кэрисфорт, Кэрол; Нилд, Майк (2002), Двойная премия, Heinemann, стр. 375, ISBN 978-0-435-44746-5
  17. ^ "Экономика Великобритании сократилась в конце 2012 года". BBC News . 25 января 2013 г. Получено 5 декабря 2018 г.
  18. ^ "Первый отрицательный показатель инфляции с 1960 года" . The Independent . 21 апреля 2009 г. Архивировано из оригинала 18 июня 2022 г. Получено 5 декабря 2018 г.
  19. ^ "ЕЦБ вводит отрицательную процентную ставку". BBC News . 5 июня 2014 г. Получено 5 декабря 2018 г.
  20. ^ Линн, Мэтью. «Думаете, отрицательные процентные ставки не могут случиться здесь? Подумайте еще раз». MarketWatch . Получено 5 декабря 2018 г.
  21. ^ "Швейцарская процентная ставка станет отрицательной". BBC News . 18 декабря 2014 г. Получено 5 декабря 2018 г.
  22. ^ Винтур, Патрик (17 июня 2014 г.). «Популярность Милибэнда и Клегга падает до самых низких уровней, зафиксированных опросом ICM». The Guardian . Получено 5 декабря 2018 г. – через www.theguardian.com.
  23. ^ Грант П. Уиггинс; Джей МакТай (2005). Понимание по замыслу . ACSD Publications. стр. 210. ISBN 1-4166-0035-3.
  24. ^ abc Needham, Joseph; Wang, Ling (1995) [1959]. Наука и цивилизация в Китае: Том 3; Математика и науки о небе и земле (переиздание). Кембридж: Cambridge University Press. стр. 90. ISBN 0-521-05801-5.
  25. ^ Хит, Томас Л. (1897). Труды Архимеда. Cambridge University Press. стр. cxxiii.
  26. ^ Нидхэм, Джозеф; Ван, Лин (1995) [1959]. Наука и цивилизация в Китае: Том 3; Математика и науки о небесах и земле (переиздание). Кембридж: Cambridge University Press. С. 90–91. ISBN 0-521-05801-5.
  27. ^ Терези, Дик. (2002). Утраченные открытия: Древние корни современной науки – от вавилонян до майя . Нью-Йорк: Simon & Schuster. ISBN 0-684-83718-8 . Страница 65. 
  28. ^ Пирс, Ян (май 2002 г.). «Рукопись Бахшали». Архив истории математики MacTutor . Получено 24 июля 2007 г.
  29. ^ Хаяси, Такао (2008), «Рукопись Бахшали», в Helaine Selin (ред.), Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures , т. 1, Springer, стр. B2, ISBN 9781402045592
  30. ^ Терези, Дик. (2002). Утраченные открытия: Древние корни современной науки – от вавилонян до майя . Нью-Йорк: Simon & Schuster. ISBN 0-684-83718-8 . Стр. 65–66. 
  31. ^ аб Бин Исмаил, Мэт Рофа (2008), «Алгебра в исламской математике», в Хелейн Селин (ред.), Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах , том. 1 (2-е изд.), Springer, с. 115, ISBN 9781402045592
  32. ^ Флегг, Грэм; Хей, К.; Мосс, Б. (1985), Николя Шуке, математик эпохи Возрождения: исследование с обширными переводами математической рукописи Шуке, завершенной в 1484 году, D. Reidel Publishing Co., стр. 354, ISBN 9789027718723.
  33. ^ Джонсон, Арт (1999), Знаменитые проблемы и их математики, Greenwood Publishing Group, стр. 56, ISBN 9781563084461.

Библиография

Внешние ссылки

В Викицитатнике есть цитаты, связанные с отрицательными числами .