Показательная функция (красный) и соответствующий полином Тейлора четвертой степени (пунктирный зеленый) вокруг начала координат.
В исчислении теорема Тейлора дает аппроксимацию -раз дифференцируемой функции вокруг заданной точки полиномом степени , называемым полиномом Тейлора -го порядка . Для гладкой функции полином Тейлора представляет собой усечение порядка ряда Тейлора функции . Полином Тейлора первого порядка представляет собой линейное приближение функции, а полином Тейлора второго порядка часто называют квадратичным приближением . [1] Существует несколько версий теоремы Тейлора, некоторые из которых дают явные оценки ошибки аппроксимации функции ее полиномом Тейлора.
Теорема Тейлора названа в честь математика Брука Тейлора , который изложил ее версию в 1715 году, [2] хотя более ранняя версия результата уже упоминалась в 1671 году Джеймсом Грегори . [3]
Если действительная функция дифференцируема в точке , то вблизи этой точки она имеет линейное приближение . Это означает, что существует функция h 1 ( x ) такая, что
Здесь
является линейной аппроксимацией для x вблизи точки a , график которой является касательной к графику в точке x = a . Ошибка аппроксимации:
Поскольку x стремится к a, эта ошибка стремится к нулю гораздо быстрее, чем , что делает полезное приближение.
График (синий) с его квадратичной аппроксимацией (красный) при . Обратите внимание на улучшение приближения.
Для лучшего приближения мы можем использовать квадратичный полином вместо линейной функции:
Вместо того, чтобы просто сопоставлять одну производную от at , этот полином имеет одинаковые первую и вторую производные, что становится очевидным при дифференцировании.
Теорема Тейлора гарантирует, что квадратичная аппроксимация в достаточно малой окрестности более точна, чем линейная аппроксимация. Конкретно,
Здесь ошибка приближения равна
который, учитывая предельное поведение , стремится к нулю быстрее, чем при стремлении x к a .
Аппроксимация (синего) полиномами Тейлора порядка с центрами (красный) и (зеленый). Приближения вообще не улучшаются вне пределов и соответственно.
Точно так же мы могли бы получить еще лучшие приближения к f , если бы использовали полиномы более высокой степени, поскольку тогда мы можем сопоставить еще больше производных с f в выбранной базовой точке.
В общем случае ошибка приближения функции многочленом степени k будет стремиться к нулю гораздо быстрее, чем при стремлении x к a . Однако существуют функции, даже бесконечно дифференцируемые, для которых увеличение степени аппроксимирующего полинома не увеличивает точность аппроксимации: мы говорим, что такая функция не может быть аналитической при x = a : она не определяется (локально) выражением его производные на данный момент.
Теорема Тейлора имеет асимптотический характер: она лишь говорит нам, что ошибка аппроксимации полиномом Тейлора P k -го порядка стремится к нулю быстрее, чем любой полином ненулевой -й степени при . Он не говорит нам, насколько велика ошибка в какой-либо конкретной окрестности центра расширения, но для этой цели существуют явные формулы для остаточного члена (приведенные ниже), которые справедливы при некоторых дополнительных предположениях о регулярности f . Эти расширенные версии теоремы Тейлора обычно приводят к равномерным оценкам ошибки аппроксимации в небольшой окрестности центра расширения, но эти оценки не обязательно выполняются для слишком больших окрестностей, даже если функция f является аналитической . В этой ситуации, возможно, придется выбрать несколько полиномов Тейлора с разными центрами разложения, чтобы получить надежные аппроксимации Тейлора исходной функции (см. анимацию справа).
Остаток можно использовать несколькими способами:
Оцените ошибку для полинома P k ( x ) степени k , оценивающего на заданном интервале ( a – r , a + r ). (Учитывая интервал и степень, мы находим ошибку.)
Найдите наименьшую степень k , для которой полином P k ( x ) приближается с точностью до заданного допуска на заданный интервал ( a − r , a + r ). (По интервалу и допуску на ошибку находим степень.)
Найдите наибольший интервал ( a − r , a + r ), на котором P k ( x ) приближается с точностью до заданной погрешности. (По степени и допуску ошибок находим интервал.)
Теорема Тейлора об одной действительной переменной
Формулировка теоремы
Точная формулировка самой основной версии теоремы Тейлора выглядит следующим образом:
Теорема Тейлора [4] [5] [6] — Пусть k ≥ 1 — целое число и пусть функция f : R → R дифференцируема k раз в точке a ∈ R . Тогда существует функция hk : R → R такая, что
Полином, фигурирующий в теореме Тейлора, представляет собой полином Тейлора -го порядка.
функции f в точке a . Полином Тейлора — это уникальный полином «асимптотического наилучшего соответствия» в том смысле, что если существуют функция h k : R → R и полином p -го порядка такие, что
тогда р = Pk . _ Теорема Тейлора описывает асимптотическое поведение остаточного члена
При более строгих предположениях о регулярности f существует несколько точных формул для остаточного члена R k полинома Тейлора, наиболее распространенными из которых являются следующие.
для некоторого действительного числа между и . Это лагранжевая форма [8] остатка.
Сходным образом,
для некоторого действительного числа между и . Это форма Коши [9] остатка.
Оба можно рассматривать как частные случаи следующего результата:
для некоторого действительного числа между и . Это форма остатка Шлёмильха (иногда называемая Шлёмильхом- Роше ). Выбором является форма Лагранжа, а выбором — форма Коши.
Эти уточнения теоремы Тейлора обычно доказываются с использованием теоремы о среднем значении , откуда и название. Кроме того, обратите внимание, что это именно теорема о среднем значении, когда . Можно встретить и другие подобные выражения. Например, если G ( t ) непрерывен на замкнутом интервале и дифференцируем с ненулевой производной на открытом интервале между и , то
для некоторого числа между и . Эта версия охватывает формы остатка Лагранжа и Коши как частные случаи и доказывается ниже с использованием теоремы Коши о среднем значении . Форма Лагранжа получается при взятии , а форма Коши получается при взятии .
Утверждение об интегральной форме остатка является более сложным, чем предыдущие, и требует понимания теории интегрирования Лебега для полной общности. Однако это справедливо и в смысле интеграла Римана при условии, что ( k + 1)-я производная от f непрерывна на замкнутом интервале [ a , x ].
Интегральная форма остатка [10] — Пусть абсолютно непрерывна на отрезке между и . Затем
На практике часто бывает полезно иметь возможность оценить остаточный член, появляющийся в приближении Тейлора, вместо того, чтобы иметь для него точную формулу. Предположим, что f ( k + 1) -раз непрерывно дифференцируема на интервале I , содержащем a . Предположим, что существуют вещественные константы q и Q такие, что
на протяжении Я. Тогда остаточный член удовлетворяет неравенству [11]
если x > a , и аналогичная оценка, если x < a . Это простое следствие лагранжевой формы остатка. В частности, если
на интервале I = ( a − r , a + r ) с некоторыми , то
для всех x ∈ ( а - р , а + р ). Второе неравенство называется равномерной оценкой , поскольку оно выполняется равномерно для всех x на интервале ( a − r , a + r ).
Пример
Аппроксимация (синего) полиномами Тейлора с центром в точке (красный).
Предположим, что мы хотим найти приближенное значение функции на отрезке , обеспечив при этом погрешность приближения не более 10 −5 . В этом примере мы притворяемся, что знаем только следующие свойства показательной функции:
Из этих свойств следует, что для всех и, в частности, . Следовательно, полином Тейлора --го порядка от at и его остаточный член в форме Лагранжа имеют вид
где какое-то число между 0 и x . Поскольку e x увеличивается на ( ★ ), мы можем просто использовать for для оценки остатка на подинтервале . Чтобы получить верхнюю оценку остатка от , мы используем свойство для для оценки
используя разложение Тейлора второго порядка. Затем мы решаем для ex , чтобы сделать вывод, что
просто максимизируя числитель и минимизируя знаменатель . Объединив эти оценки для ex , мы видим, что
поэтому требуемая точность заведомо достигается, когда
(См. «Факториал» или вычислите вручную значения и .) В заключение теорема Тейлора приводит к приближению
Например, это приближение дает десятичное выражение с точностью до пяти знаков после запятой.
Связь с аналитичностью
Разложения Тейлора действительных аналитических функций
Пусть I ⊂ R — открытый интервал . По определению функция f : I → R является вещественно-аналитической, если она локально определяется сходящимся степенным рядом . Это означает, что для каждого a ∈ I существует некоторое r > 0 и последовательность коэффициентов ck ∈ R такие , что ( a − r , a + r ) ⊂ I и
Этот результат основан на сравнении с геометрическим рядом , и тот же метод показывает, что если степенной ряд, основанный на a , сходится для некоторого b ∈ R , то он должен сходиться равномерно на отрезке , где . Здесь рассматривается только сходимость степенного ряда, и вполне может быть, что ( a − R , a + R ) выходит за пределы области определения I функции f .
Полиномы Тейлора действительной аналитической функции f в точке a представляют собой просто конечные отсечения
его локально определяющего степенного ряда, а соответствующие остаточные члены локально задаются аналитическими функциями
Здесь функции
также являются аналитическими, поскольку их определяющие степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд. Предполагая, что [ a − r , a + r ] ⊂ I и r < R , все эти ряды сходятся равномерно на ( a − r , a + r ) . Естественно, в случае аналитических функций остаточный член можно оценить по хвосту последовательности производных f′ ( a ) в центре разложения, но при использовании комплексного анализа возникает и другая возможность, которая описана ниже.
Теорема Тейлора и сходимость рядов Тейлора
Ряд Тейлора для f сходится в некотором интервале, в котором все его производные ограничены и не растут слишком быстро при стремлении k к бесконечности. (Однако, даже если ряд Тейлора сходится, он может не сходиться к f , как объясняется ниже; в этом случае f называется неаналитическим . )
Можно подумать о сериале Тейлора
бесконечно много раз дифференцируемой функции f : R → R как ее «полином Тейлора бесконечного порядка» в точке a . Теперь оценки остатка подразумевают, что если для любого r производные f известны как ограниченные над ( a − r , a + r ), то для любого порядка k и для любого r > 0 существует константа M k,r > 0 такое, что
для каждого x ∈ ( а - р , а + р ). Иногда константы M k,r можно выбрать таким образом, чтобы M k,r было ограничено сверху для фиксированного r и всех k . Тогда ряд Тейлора функции f сходится равномерно к некоторой аналитической функции
(Сходимость также достигается, даже если M k,r не ограничена сверху, если оно растет достаточно медленно.)
Предельная функция T f по определению всегда аналитична, но она не обязательно равна исходной функции f , даже если f бесконечно дифференцируема. В этом случае мы говорим, что f — неаналитическая гладкая функция , например плоская функция :
для некоторого многочлена p k степени 2( k − 1). Функция стремится к нулю быстрее, чем любой полином при , поэтому f бесконечно много раз дифференцируема и f ( k ) (0) = 0 для каждого положительного целого числа k . Все приведенные выше результаты справедливы и в этом случае:
Ряд Тейлора функции f сходится равномерно к нулевой функции T f ( x ) = 0, которая является аналитической со всеми коэффициентами, равными нулю.
Функция f не равна этому ряду Тейлора и, следовательно, неаналитическая.
Для любого порядка k ∈ N и радиуса r > 0 существует M k,r > 0, удовлетворяющий указанной выше границе остатка ( ★★ ).
Однако по мере увеличения k при фиксированном r значение M k,r растет быстрее, чем r k , и ошибка не стремится к нулю .
Пусть r > 0 такое, что замкнутый диск B ( z , r ) ∪ S ( z , r ) содержится в U. Тогда интегральная формула Коши с положительной параметризацией γ ( t ) = z + re it круга S ( z , r ) с дает
Здесь все подынтегральные выражения непрерывны на окружности S ( z , r ), что и оправдывает дифференцирование под знаком интеграла. В частности, если f однажды комплексно дифференцируема на открытом множестве U , то на самом деле она бесконечно много раз комплексно дифференцируема на U. Также получаются оценки Коши [12]
для любого z ∈ U и r > 0 такого, что B ( z , r ) ∪ S ( c , r ) ⊂ U . Из этих оценок следует, что комплексный ряд Тейлора
функции f сходится равномерно на любом открытом диске с некоторой функцией T f . Кроме того, используя формулы контурного интеграла для производных f ( k ) ( c ),
поэтому любая комплексная дифференцируемая функция f в открытом множестве U ⊂ C на самом деле является комплексно-аналитической . Все сказанное здесь о действительных аналитических функциях справедливо и для комплексных аналитических функций с заменой открытого интервала I на открытое подмножество U ∈ C и a -центрированных интервалов ( a − r , a + r ) заменой c -центрированных дисков B ( в , р ). В частности, разложение Тейлора имеет вид
где остаточный член R k комплексно-аналитический. Методы комплексного анализа дают некоторые мощные результаты в отношении расширений Тейлора. Например, используя интегральную формулу Коши для любой положительно ориентированной жордановой кривой , которая параметризует границу области , можно получить выражения для производных f ( j ) ( c ) , как указано выше, и немного модифицировать вычисление для T f ( z ) = f ( z ) приходим к точной формуле
Важная особенность здесь состоит в том, что качество аппроксимации полиномом Тейлора на области определяется значениями самой функции f на границе . Аналогично, применяя оценки Коши к выражению ряда для остатка, получаем равномерные оценки
Пример
Сложный сюжет . Модуль отображается высотой, а аргумент - цветом: голубой = , синий = , фиолетовый = , красный = , желтый = , зеленый = .
Функция
является вещественно-аналитическим , т. е. локально определяемым своим рядом Тейлора. Эта функция была построена выше, чтобы проиллюстрировать тот факт, что некоторые элементарные функции не могут быть аппроксимированы полиномами Тейлора в слишком больших окрестностях центра разложения. Такое поведение легко понять в рамках комплексного анализа. А именно, функция f продолжается в мероморфную функцию
на компактифицированной комплексной плоскости. Он имеет простые полюсы в точках и , а в других местах он аналитичен. Теперь его ряд Тейлора с центром в точке z0 сходится на любом круге B ( z0 , r ) с r < | z − z 0 |, где тот же ряд Тейлора сходится в точке z ∈ C . Следовательно, ряд Тейлора функции f с центром в точке 0 сходится на B (0, 1) и не сходится ни при каком z ∈ C , где | г | > 1 из-за полюсов в точках i и − i . По той же причине ряд Тейлора для f с центром в 1 сходится и не сходится ни для какого z ∈ C с .
Обобщения теоремы Тейлора
Дифференцируемость высшего порядка
Функция f : Rn → R дифференцируема в точке a ∈ Rn тогда и только тогда, когда существуют линейный функционал L : Rn → R и функция h : Rn → R такие , что
Если это так, то это (единственно определенный) дифференциал f в точке a . Более того, тогда частные производные f существуют в точке a , а дифференциал f в точке a определяется выражением
для α ∈ Nn и x ∈ Rn . _ _ Если все частные производные -го порядка от f : Rn → R непрерывны в точке a ∈ Rn , то по теореме Клеро можно изменить порядок смешанных производных в точке a , поэтому обозначение
для частных производных более высокого порядка в этой ситуации оправдано. То же самое верно, если все частные производные ( k − 1 )-го порядка от f существуют в некоторой окрестности a и дифференцируемы в точке a . [13] Тогда мы говорим, что f k раз дифференцируема в точке a .
Теорема Тейлора для функций многих переменных
Используя обозначения предыдущего раздела, получаем следующую теорему.
Многомерная версия теоремы Тейлора [ 14] — Пусть f : Rn → R — k -кратно непрерывно дифференцируемая функция в точке a ∈ Rn . Тогда существуют функции h α : Rn → R , где такие, что
Например, полином Тейлора третьего порядка гладкой функции , обозначающий ,
Доказательства
Доказательство теоремы Тейлора для одной действительной переменной.
Пусть [16]
где, как и в формулировке теоремы Тейлора,
Достаточно показать, что
Доказательство здесь основано на неоднократном применении правила Лопиталя . Обратите внимание , что для каждого . Следовательно, каждая из первых производных числителя в обращается в нуль при , и то же самое верно и для знаменателя. Кроме того, поскольку условие дифференцируемости функции по разу в точке требует дифференцируемости до порядка в окрестности указанной точки (это верно, поскольку дифференцируемость требует, чтобы функция была определена во всей окрестности точки), числитель и его производные дифференцируемы в окрестности . Ясно, что знаменатель также удовлетворяет указанному условию и, кроме того, не обращается в нуль до тех пор , пока , следовательно, все условия, необходимые для правила Лопиталя, выполнены и его применение оправдано. Так
где предпоследнее равенство следует из определения производной при .
Альтернативное доказательство теоремы Тейлора для одной действительной переменной
Пусть – любая непрерывная функция с действительным знаком, которую нужно аппроксимировать полиномом Тейлора.
Шаг 1: Пусть и будут функциями. Установить и быть
Шаг 2: Свойства и :
Сходным образом,
Шаг 3. Используйте теорему Коши о среднем значении
Пусть и – непрерывные функции на . Раз так мы можем работать с интервалом . Пусть и дифференцируемы на . Предположим, для всех . Тогда существует такое, что
Примечание: в и так
для некоторых .
Это также можно выполнить для :
для некоторых . Это можно продолжать .
Это дает раздел в :
с
Набор :
Шаг 4: Замените обратно
По правилу степени, повторяющиеся производные от , , поэтому:
Это ведет к:
Переставив, получим:
или потому что в конечном итоге:
Вывод форм среднего значения остатка
Пусть G — любая вещественная функция, непрерывная на замкнутом интервале между и и дифференцируемая с ненулевой производной на открытом интервале между и и определим
для некоторых на открытом интервале между и . Обратите внимание, что здесь числитель представляет собой в точности остаток полинома Тейлора для . Вычислить
подключите его к ( ★★★ ) и переставьте члены, чтобы найти это
Это форма остаточного члена, упомянутая после фактической формулировки теоремы Тейлора с остатком в форме среднего значения. Лагранжевая форма остатка находится выбором, а форма Коши — выбором .
Замечание. Используя этот метод, можно также восстановить целую форму остатка, выбрав
но требования к f , необходимые для использования теоремы о среднем значении, слишком строги, если кто-то стремится доказать утверждение в случае, когда f ( k ) является только абсолютно непрерывным . Однако если вместо интеграла Лебега использовать интеграл Римана , предположения нельзя ослабить.
Теперь мы можем интегрировать по частям и снова использовать фундаментальную теорему исчисления, чтобы увидеть, что
что в точности является теоремой Тейлора с остатком в интегральной форме в случае . Общее утверждение доказывается с помощью индукции . Предположим, что
Интегрируя остаточный член по частям, приходим к
Подстановка этого в формулу ( eq1 ) показывает, что если это справедливо для значения , то оно должно быть справедливым и для значения . Следовательно, поскольку это справедливо для , оно должно выполняться для каждого положительного целого числа .
Вывод остатка многомерных полиномов Тейлора
Доказываем частный случай, когда имеет непрерывные частные производные до порядка в некотором замкнутом шаре с центром . Стратегия доказательства состоит в том, чтобы применить случай теоремы Тейлора с одной переменной к ограничению на отрезок, примыкающий к и . [17] Параметризация отрезка между и Мы применяем версию теоремы Тейлора с одной переменной к функции :
Ряд Лорана – Степенной ряд с отрицательными степенями.
Аппроксимант Паде - «лучшее» приближение функции рациональной функцией заданного порядка.
Ряд Ньютона – дискретный аналог производной.Pages displaying short descriptions of redirect targets
Сноски
^ (2013). «Линейная и квадратичная аппроксимация». Дата обращения 6 декабря 2018 г.
^ Тейлор, Брук (1715). Methodus Incrementorum Directa et Inversa [ Прямой и обратный методы приращения ] (на латыни). Лондон. п. 21–23 (т. VII, Фем. 3, Кор. 2).Переведено на английский язык в книге Struik, DJ (1969). Справочник по математике 1200–1800 гг . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. стр. 329–332.
^ Клайн 1972, стр. 442, 464.
^ Дженокки, Анджело; Пеано, Джузеппе (1884), Calcolo Differentziale e principii di Calcolo Integrale , (N. 67, стр. XVII–XIX): Fratelli Bocca ed.{{citation}}: CS1 maint: location (link)
^ Это следует из многократного применения теоремы о том, что если частные производные функции f существуют в окрестности a и непрерывны в точке a , то функция дифференцируема в точке a . См., например, Апостол 1974, теорема 12.11.
^ Кенигсбергский анализ 2, с. 64 и далее.
^ https://sites.math.washington.edu/~folland/Math425/taylor2.pdf [ пустой URL-адрес PDF ]