Квадратный корень

Число, квадрат которого равен заданному числу

Обозначение (главного) квадратного корня из x .

Например, √ 25 = 5 , поскольку 25 = 5 ⋅ 5 или 5 ² (5 в квадрате).

В математике квадратный корень из числа x — это число y такое, что ; другими словами, число y , квадрат которого (результат умножения числа на себя или ) равен x . ^[1] Например, 4 и −4 являются квадратными корнями из 16, потому что . ${\displaystyle y^{2}=x}$ ${\displaystyle y\cdot y}$ ${\displaystyle 4^{2}=(-4)^{2}=16}$

Каждое неотрицательное действительное число x имеет уникальный неотрицательный квадратный корень, называемый главным квадратным корнем или просто квадратным корнем (с определенным артиклем, см. ниже), который обозначается где символ " " называется радикальным знаком ^[2] или основание . Например, чтобы выразить тот факт, что главный квадратный корень из 9 равен 3, мы пишем . Термин (или число), квадратный корень которого рассматривается, известен как подкоренное число . Подкоренное выражение — это число или выражение под радикальным знаком, в данном случае 9. Для неотрицательного x главный квадратный корень также можно записать в экспоненциальной записи, как . ${\displaystyle {\sqrt {x}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {~^{~}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$ ${\displaystyle x^{1/2}}$

Каждое положительное число x имеет два квадратных корня: (положительный) и (отрицательный). Два корня можно записать более кратко, используя знак ± как . Хотя главный квадратный корень положительного числа является лишь одним из двух его квадратных корней, обозначение « квадратный корень» часто используется для обозначения главного квадратного корня. ^{[3] [4]} ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}}$

Квадратные корни отрицательных чисел можно обсуждать в рамках комплексных чисел . В более общем смысле, квадратные корни можно рассматривать в любом контексте, в котором определяется понятие « квадрата » математического объекта. К ним относятся функциональные пространства и квадратные матрицы , а также другие математические структуры .

История

YBC 7289 глиняная табличка

Глиняная табличка YBC 7289 из Йельской вавилонской коллекции была создана между 1800 и 1600 годами до нашей эры и отображает числа по основанию 60 и соответственно как 1; 24, 51, 10 и 0; 42, 25, 35 на квадрате, пересеченном двумя диагоналями. ^[5] (1;24,51,10) основание 60 соответствует 1,41421296, что соответствует 5 десятичным знакам (1,41421356...). ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

Математический папирус Ринда — это копия более раннего берлинского папируса и других текстов (возможно, папируса Кахуна  ), датируемая 1650 г. до н.э., которая показывает, как египтяне извлекали квадратные корни методом обратной пропорции. ^[6]

В Древней Индии знания теоретических и прикладных аспектов квадрата и квадратного корня были по крайней мере столь же древними, как Сульба-сутры , датированные примерно 800–500 годами до нашей эры (возможно, намного раньше). ^[7] Метод нахождения очень хороших приближений к квадратным корням из 2 и 3 дан в Баудхаяна Сульба Сутра . ^[8] Арьябхата в «Арьябхатье» (раздел 2.4) дал метод нахождения квадратного корня из многозначных чисел.

Древним грекам было известно, что квадратные корни из положительных целых чисел , которые не являются полными квадратами , всегда являются иррациональными числами : числами, не выражаемыми как отношение двух целых чисел (то есть их нельзя записать в точности как , где m и n — целые числа) . Это теорема Евклида X,9 , почти наверняка принадлежащая Теэтету и относящаяся к ок.  380 г. до н.э. ^[9] Открытие иррациональных чисел, включая частный случай квадратного корня из 2 , широко связано со школой Пифагора. ^{[10] [11]} Хотя некоторые источники приписывают это открытие Гиппасу , конкретный автор остается неопределенным из-за нехватки первоисточников и секретного характера братства. ^{[12] [13]} Это в точности длина диагонали квадрата со стороной 1 . ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$

В китайской математической работе «Сочинения о расчетах» , написанной между 202 г. до н.э. и 186 г. до н.э. во времена ранней династии Хань , квадратный корень аппроксимируется с использованием метода «избытка и недостатка», который гласит: «...объединить избыток и недостаток как делитель; (взяв) числитель дефицита, умноженный на знаменатель избытка, и числитель избытка, умноженный на знаменатель дефицита, объединить их в делимое». ^[14]

Символ квадратных корней, написанный сложной буквой R, был изобретен Региомонтаном ( 1436–1476). Буква R также использовалась в качестве системы счисления для обозначения квадратных корней в книге Джероламо Кардано Ars Magna . ^[15]

По словам историка математики Д. Э. Смита , метод Арьябхаты для нахождения квадратного корня был впервые предложен в Европе Катанео — в 1546 году.

По словам Джеффри А. Оукса, арабы использовали букву jīm/ĝīm ( ج ), первую букву слова « جذر » (по-разному транслитерируемого как jaḏr , jiḏr , Ƨaḏr или Ƨiḏr , «корень»), помещенную в его первоначальную форму ( ﺟ ) над числом, чтобы указать его квадратный корень. Буква Джим напоминает нынешнюю форму квадратного корня. Его использование восходит к концу двенадцатого века в работах марокканского математика Ибн аль-Ясамина . ^[16]

Символ «√», обозначающий квадратный корень, впервые был использован в печати в 1525 году в книге Кристофа Рудольфа « Косс» . ^[17]

Свойства и использование

График функции f ( x ) = √ x , составленный из половины параболы с вертикальной направляющей

Основная функция квадратного корня (обычно называемая просто «функцией квадратного корня») — это функция , которая отображает набор неотрицательных действительных чисел на себя. С геометрической точки зрения функция квадратного корня отображает площадь квадрата в длину его стороны. ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$

Квадратный корень из x является рациональным тогда и только тогда, когда x — рациональное число , которое можно представить как отношение двух полных квадратов. (Доказательство того, что это иррациональное число, см. в квадратном корне из 2 , а в доказательстве для всех неквадратных натуральных чисел — в квадратичном иррациональном .) Функция квадратного корня отображает рациональные числа в алгебраические числа , причем последние являются надмножеством рациональных чисел. ).

Для всех действительных чисел x ,

$${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$

абсолютное значение

Для всех неотрицательных действительных чисел x и y

$${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$$

$${\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{1/2}.}$$

Функция квадратного корня непрерывна для всех неотрицательных x и дифференцируема для всех положительных x . Если f обозначает функцию квадратного корня, производная которой определяется выражением:

$${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.}$$

Ряд Тейлора относительно x = 0 сходится при | х | ≤ 1 и определяется выражением ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$

$${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\cdots ,}$$

Квадратный корень из неотрицательного числа используется в определении евклидовой нормы (и расстояния ), а также в таких обобщениях, как гильбертово пространство . Он определяет важную концепцию стандартного отклонения , используемую в теории вероятностей и статистике . Он широко используется в формуле корней квадратного уравнения ; квадратичные поля и кольца квадратичных целых чисел , основанные на квадратных корнях, важны в алгебре и находят применение в геометрии. Квадратные корни часто встречаются в математических формулах, а также во многих физических законах.

Квадратные корни из положительных целых чисел

Положительное число имеет два квадратных корня: положительный и отрицательный, противоположные друг другу. Когда говорят о квадратном корне из положительного целого числа, обычно имеется в виду положительный квадратный корень.

Квадратные корни целого числа — это целые алгебраические числа , точнее, целые квадратичные числа .

Квадратный корень из положительного целого числа — это произведение корней его простых множителей, поскольку квадратный корень из произведения — это произведение квадратных корней из множителей. Поскольку при факторизации необходимы только корни тех простых чисел, которые имеют нечетную степень . Точнее, квадратный корень из простой факторизации равен ${\textstyle {\sqrt {p^{2k}}}=p^{k},}$

$${\displaystyle {\sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{n}^{e_{n}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.}$$

В виде десятичных разложений

Квадратные корни полных квадратов (например, 0, 1, 4, 9, 16) являются целыми числами . Во всех остальных случаях квадратные корни положительных целых чисел являются иррациональными числами и, следовательно, имеют неповторяющиеся десятичные дроби в своих десятичных представлениях . Десятичные приближения квадратных корней из первых нескольких натуральных чисел приведены в следующей таблице.

Как расширения в других системах счисления

Как и прежде, квадратные корни идеальных квадратов (например, 0, 1, 4, 9, 16) являются целыми числами. Во всех остальных случаях квадратные корни натуральных чисел являются иррациональными числами и, следовательно, имеют неповторяющиеся цифры в любой стандартной позиционной системе записи.

Квадратные корни малых целых чисел используются как в конструкциях хеш-функций SHA-1 , так и в SHA-2 , чтобы ничего не дать в секрете .

Как периодические непрерывные дроби

Один из наиболее интригующих результатов изучения иррациональных чисел как непрерывных дробей был получен Жозефом Луи Лагранжем ок.  1780 . Лагранж обнаружил, что представление квадратного корня любого неквадратного положительного целого числа в виде цепной дроби является периодическим . То есть определенный образец частичных знаменателей бесконечно повторяется в цепной дроби. В каком-то смысле эти квадратные корни являются простейшими иррациональными числами, поскольку их можно представить в виде простого повторяющегося шаблона целых чисел.

Используемая выше квадратная скобка представляет собой краткую форму непрерывной дроби. Написанная в более наводящей на размышления алгебраической форме, простая цепная дробь для квадратного корня из 11, [3; 3, 6, 3, 6, ...], выглядит так:

$${\displaystyle {\sqrt {11}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}}}$$

где двузначный шаблон {3, 6} повторяется снова и снова в частичных знаменателях. Поскольку 11 = 3 ² + 2 , приведенное выше также идентично следующим обобщенным цепным дробям :

$${\displaystyle {\sqrt {11}}=3+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {6}{20-1-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-\ddots }}}}}}}}}}.}$$

Вычисление

Квадратные корни положительных чисел не являются вообще рациональными числами и поэтому не могут быть записаны как завершающее или повторяющееся десятичное выражение. Поэтому, как правило, любая попытка вычислить квадратный корень, выраженный в десятичной форме, может дать только приближение, хотя может быть получена последовательность все более точных приближений.

Большинство карманных калькуляторов имеют ключ для извлечения квадратного корня. Компьютерные таблицы и другое программное обеспечение также часто используются для вычисления квадратных корней. Карманные калькуляторы обычно реализуют эффективные процедуры, такие как метод Ньютона (часто с начальным предположением, равным 1), для вычисления квадратного корня из положительного действительного числа. ^{[18] [19]} При вычислении квадратных корней с помощью таблиц логарифмов или логарифмических правил можно использовать тождества

$${\displaystyle {\sqrt {a}}=e^{(\ln a)/2}=10^{(\log _{10}a)/2},}$$

lnlog ₁₀натуральныелогарифмы по основанию 10

Методом проб и ошибок ^[20] можно возвести в квадрат оценку, а также повышать или понижать ее до тех пор, пока она не достигнет достаточной точности. Для этого метода разумно использовать тождество ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$

$${\displaystyle (x+c)^{2}=x^{2}+2xc+c^{2},}$$

xccкасательная линияcxa ${\displaystyle (x+c)^{2}\approx x^{2}+2xc}$ ${\displaystyle x^{2}+2xc+c^{2}}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle y=2xc+x^{2}}$ ${\displaystyle 2xc}$ ${\displaystyle c={\frac {a}{2x}}}$

Самый распространенный итеративный метод вычисления квадратного корня вручную известен как « вавилонский метод » или «метод Герона» в честь греческого философа первого века Герона Александрийского , который первым его описал. ^[21] В этом методе используется та же итерационная схема, что и метод Ньютона-Рафсона при применении к функции y = f ( x ) = x ² − a , используя тот факт, что ее наклон в любой точке равен dy / dx = f ′ ( x ) = 2 x , но предшествует этому на много столетий. ^[22] Алгоритм заключается в повторении простого расчета, который приводит к числу, близкому к фактическому квадратному корню, каждый раз, когда он повторяется с его результатом в качестве новых входных данных. Мотивация заключается в том, что если x является завышенной оценкой квадратного корня из неотрицательного действительного числа a, то a / x будет заниженной оценкой, и поэтому среднее значение этих двух чисел является лучшим приближением, чем любое из них. Однако неравенство средних арифметических и геометрических показывает, что это среднее всегда является завышенной оценкой квадратного корня (как отмечено ниже), и поэтому оно может служить новым завышением, с которым можно повторить процесс, который сходится в результате последовательных переоценивает и недооценивает приближение друг к другу после каждой итерации. Чтобы найти х :

1. Начните с произвольного положительного начального значения x . Чем ближе к квадратному корню из a , тем меньше итераций потребуется для достижения желаемой точности.
2. Замените x средним ( x + a / x )/2 между x и a / x .
3. Повторите действия, начиная с шага 2, используя это среднее значение в качестве нового значения x .

То есть, если произвольное предположение равно x 0 _и x n _{+ 1} = ( x _n + a / x _n )/2 , то каждый x _n является аппроксимацией того, что лучше для больших n , чем для малых n . Если a положительно, сходимость является квадратичной , а это означает, что при приближении к пределу количество правильных цифр примерно удваивается на каждой следующей итерации. Если a = 0 , сходимость только линейная; однако в этом случае итерация не требуется. ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {0}}=0}$

Использование личности

$${\displaystyle {\sqrt {a}}=2^{-n}{\sqrt {4^{n}a}},}$$

[1, 4)полиномиальнуюкусочно-линейную аппроксимацию .

Временная сложность вычисления квадратного корня с точностью до n цифр эквивалентна сложности умножения двух n -значных чисел.

Другим полезным методом вычисления квадратного корня является алгоритм сдвига корня n-й степени , применяемый для n = 2 .

Название функции квадратного корня варьируется от языка программирования к языку программирования, при этом sqrt^[23] (часто произносится как «сквирт» ^[24] ) является распространенным, используется в C , C++ и производных языках, таких как JavaScript , PHP и Python .

Квадратные корни из отрицательных и комплексных чисел

Квадрат любого положительного или отрицательного числа положителен, а квадрат 0 равен 0. Следовательно, ни одно отрицательное число не может иметь действительный квадратный корень. Однако можно работать с более обширным набором чисел, называемым комплексными числами , который содержит решения для извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Это делается путем введения нового числа, обозначаемого i (иногда j , особенно в контексте электричества , где i традиционно представляет электрический ток) и называемого мнимой единицей , которая определяется так, что i ² = −1 . Используя эти обозначения, мы можем рассматривать i как квадратный корень из −1, но у нас также есть (− i ) ² = i ² = −1 , и поэтому − i также является квадратным корнем из −1. По соглашению, главный квадратный корень из −1 равен i или, в более общем смысле, если x — любое неотрицательное число, то главный квадратный корень из − x равен

$${\displaystyle {\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}.}$$

Правая часть (как и ее отрицательная сторона) действительно является квадратным корнем из − x , поскольку

$${\displaystyle (i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.}$$

Для каждого ненулевого комплексного числа z существуют ровно два числа w такие, что w ² = z : главный квадратный корень из z (определенный ниже) и его отрицательное значение.

Главный квадратный корень комплексного числа

Геометрическое представление корней со 2-й по 6-ю комплексного числа z в полярной форме re ^iφ  , где r = | г  | и φ = arg z . Если z действительно, φ = 0 или π . Главные корни показаны черным цветом.

Чтобы найти определение квадратного корня, которое позволит нам последовательно выбирать одно значение, называемое главным значением , мы начнем с наблюдения, что любое комплексное число можно рассматривать как точку на плоскости, выраженную с использованием декартовых координат . Одну и ту же точку можно интерпретировать с использованием полярных координат как пары где — расстояние точки от начала координат, а — угол, который линия от начала координат до точки составляет с положительной действительной осью ( ). В комплексном анализе расположение этой точки условно записывают If ${\displaystyle x+iy}$ ${\displaystyle (x,y),}$ ${\displaystyle (r,\varphi ),}$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle re^{i\varphi }.}$

$${\displaystyle z=re^{i\varphi }{\text{ with }}-\pi <\varphi \leq \pi ,}$$

Главный квадратный корень ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{i\varphi /2}.}$$

разреза ветви ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\sqrt {r}}e^{i(0)/2}={\sqrt {r}};}$ ${\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }$ ${\displaystyle z=-2i}$ ${\displaystyle \varphi =-\pi /2}$

$${\displaystyle {\sqrt {-2i}}={\sqrt {2e^{i\varphi }}}={\sqrt {2}}e^{i\varphi /2}={\sqrt {2}}e^{i(-\pi /4)}=1-i}$$

${\displaystyle {\tilde {\varphi }}:=\varphi +2\pi =3\pi /2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}e^{i{\tilde {\varphi }}/2}={\sqrt {2}}e^{i(3\pi /4)}=-1+i=-{\sqrt {-2i}}.}$

Функция главного квадратного корня голоморфна всюду, кроме множества неположительных действительных чисел (на строго отрицательных действительных числах она даже не непрерывна ). Приведенный выше ряд Тейлора для остается справедливым для комплексных чисел с ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|<1.}$

Вышеупомянутое также можно выразить через тригонометрические функции :

$${\displaystyle {\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right).}$$

Алгебраическая формула

Квадратные корни из i

Когда число выражается с использованием его действительной и мнимой частей, для определения главного квадратного корня можно использовать следующую формулу: ^{[25] [26]}

$${\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}+x{\bigr )}}}+i\operatorname {sgn}(y){\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}-x{\bigr )}}},}$$

где sn( y ) = 1, если y ≥ 0 , и sn( y ) = −1 в противном случае. ^[27] В частности, мнимые части исходного числа и главное значение его квадратного корня имеют одинаковый знак. Действительная часть главного значения квадратного корня всегда неотрицательна.

Например, главные квадратные корни ± i определяются как:

$${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {1+i}{\sqrt {2}}},\qquad {\sqrt {-i}}={\frac {1-i}{\sqrt {2}}}.}$$

Примечания

Далее комплексы z и w могут быть выражены как:

• ${\displaystyle z=|z|e^{i\theta _{z}}}$
• ${\displaystyle w=|w|e^{i\theta _{w}}}$

где и . ${\displaystyle -\pi <\theta _{z}\leq \pi }$ ${\displaystyle -\pi <\theta _{w}\leq \pi }$

Из-за разрывного характера функции квадратного корня в комплексной плоскости следующие законы в целом не верны .

• ${\displaystyle {\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}}$
  Контрпример для главного квадратного корня: z = −1 и w = −1.
  Это равенство справедливо только тогда, когда ${\displaystyle -\pi <\theta _{z}+\theta _{w}\leq \pi }$
• ${\displaystyle {\frac {\sqrt {w}}{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}}$
  Контрпример для главного квадратного корня: w = 1 и z = −1.
  Это равенство справедливо только тогда, когда ${\displaystyle -\pi <\theta _{w}-\theta _{z}\leq \pi }$
• ${\displaystyle {\sqrt {z^{*}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}}$
  Контрпример для главного квадратного корня: z = −1 )
  Это равенство справедливо только тогда, когда ${\displaystyle \theta _{z}\neq \pi }$

Аналогичная проблема возникает с другими сложными функциями с разрезами ветвей, например, с комплексным логарифмом и отношениями log z + log w = log( zw ) или log( z ^* ) = log( z ) ^* , которые в общем случае неверны.

Ошибочное предположение одного из этих законов лежит в основе нескольких ошибочных «доказательств», например следующего, показывающего, что −1 = 1 :

$${\displaystyle {\begin{aligned}-1&=i\cdot i\\&={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\\&={\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}\\&={\sqrt {1}}\\&=1.\end{aligned}}}$$

Третье равенство не может быть оправдано (см. недействительное доказательство ). ^{[28] : Глава VI, Раздел I, Подраздел 2. Заблуждение о том, что +1 = -1.} Это можно сделать, изменив значение √ так, что это больше не представляет главный квадратный корень (см. Выше), а выбирает ветвь. для квадратного корня, содержащего Левая часть становится либо ${\displaystyle {\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {-1}}.}$

$${\displaystyle {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=i\cdot i=-1}$$

+ i

$${\displaystyle {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=(-i)\cdot (-i)=-1}$$

− i

$${\displaystyle {\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=-1,}$$

√ ${\displaystyle {\sqrt {1}}=-1,}$

Корни N -й степени и полиномиальные корни

Определение квадратного корня из числа как такого числа было обобщено следующим образом. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{2}=x}$

Кубический корень из — это такое число , что ; это обозначается ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{3}=x}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}.}$

Если n — целое число больше двух, корень n -й степени — это число такое, что ; это обозначается ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{n}=x}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}.}$

Для любого многочлена p корнем p является число y такое, что p ( y ) = 0 . Например, корни n- й степени из x являются корнями многочлена (от y ) ${\displaystyle y^{n}-x.}$

Теорема Абеля-Руффини утверждает, что, как правило, корни многочлена пятой степени или выше не могут быть выражены через корни n -й степени.

Квадратные корни матриц и операторов

Если A — положительно определенная матрица или оператор, то существует ровно одна положительно определенная матрица или оператор B , причем B ² = A ; затем мы определяем A ^1/2 = B . В общем случае матрицы могут иметь несколько квадратных корней или даже бесконечное их количество. Например, единичная матрица 2 × 2 имеет бесконечное число квадратных корней ^[29] , хотя только один из них положительно определен.

В целых областях, включая поля

Каждый элемент области целостности имеет не более двух квадратных корней. Разность двух квадратов тождества u ² − v ² = ( u − v )( u + v ) доказывается с использованием коммутативности умножения . Если u и v — квадратные корни одного и того же элемента, то u ² − v ² = 0 . Поскольку делителей нуля нет, это означает, что u = v или u + v = 0 , где последнее означает, что два корня являются аддитивными обратными друг другу. Другими словами, если элемент является квадратным корнем u из элемента a , то единственными квадратными корнями из a являются u и −u . Единственный квадратный корень из 0 в целочисленной области — это сам 0.

В поле характеристики 2  элемент либо имеет один квадратный корень, либо не имеет его вообще, поскольку каждый элемент является своим аддитивным обратным, так что − u = u . Если поле конечно с характеристикой 2, то каждый элемент имеет уникальный квадратный корень. В поле любой другой характеристики любой ненулевой элемент либо имеет два квадратных корня, как объяснялось выше, либо не имеет их.

Учитывая нечетное простое число p , пусть q = p ^e для некоторого положительного целого числа e . Ненулевой элемент поля F q с q элементами является квадратичным вычетом , если он имеет квадратный корень из F _q . В противном случае это квадратичный невычет. Имеется ( q − 1)/2 квадратичных вычетов и ( q − 1)/2 квадратичных невычетов; ноль не учитывается ни в одном классе. Квадратичные вычеты образуют группу при умножении. Свойства квадратичных вычетов широко используются в теории чисел .

В кольцах вообще

В отличие от области целостности, квадратный корень в произвольном (единичном) кольце не обязательно должен быть уникальным с точностью до знака. Например, в кольце целых чисел по модулю 8 (которое является коммутативным, но имеет делители нуля) элемент 1 имеет четыре различных квадратных корня: ±1 и ±3. ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$

Другой пример — кольцо кватернионов , которое не имеет делителей нуля, но не является коммутативным. Здесь элемент −1 имеет бесконечное количество квадратных корней , включая ± i , ± j и ± k . Фактически, набор квадратных корней из −1 в точности равен ${\displaystyle \mathbb {H} ,}$

$${\displaystyle \{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}.}$$

Квадратный корень из 0 — это либо 0, либо делитель нуля. Таким образом, в кольцах, где делителей нуля не существует, он однозначно равен 0. Однако кольца с делителями нуля могут иметь кратные квадратные корни из 0. Например, в любом кратном n есть квадратный корень из 0. ${\displaystyle \mathbb {Z} /n^{2}\mathbb {Z} ,}$

Геометрическое построение квадратного корня

Построение длины по заданным и единичной длине ${\displaystyle x={\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle a}$

Спираль Теодора до треугольника с гипотенузой √ 4

Квадратный корень из положительного числа обычно определяют как длину стороны квадрата, площадь которого равна данному числу. Но квадратная форма для него не обязательна: если один из двух подобных плоских евклидовых объектов имеет площадь в раз большую, чем другой, то отношение их линейных размеров равно . ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$

Квадратный корень можно получить с помощью циркуля и линейки. В своих «Началах» Евклид ( ок . 300 г. до н. э.) дал построение среднего геометрического двух величин в двух разных местах: в предложении II.14 и в предложении VI.13. Поскольку среднее геометрическое a и b равно , можно построить просто, приняв b = 1 . ${\displaystyle {\sqrt {ab}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$

Конструкция также представлена ​​Декартом в его «Геометрии» , см. рисунок 2 на стр. 2. Однако Декарт не претендовал на оригинальность, и его аудитория была бы хорошо знакома с Евклидом.

Второе доказательство Евклида в книге VI основано на теории подобных треугольников . Пусть AHB — отрезок длины a + b с AH = a и HB = b . Постройте круг с диаметром AB, и пусть C будет одним из двух пересечений перпендикулярной хорды в точке H с окружностью, а длину CH обозначим как h . Тогда, используя теорему Фалеса и, как при доказательстве теоремы Пифагора с помощью подобных треугольников , треугольник AHC подобен треугольнику CHB (как, впрочем, и тот и другой треугольнику ACB, хотя нам это и не нужно, но в этом суть доказательство теоремы Пифагора), так что AH:CH подобен HC:HB, т.е. a / h = h / b , из чего путем перекрестного умножения мы заключаем, что h ² = ab , и, наконец, что . Если отметить середину О отрезка AB и нарисовать радиус OC длины ( a + b )/2 , то очевидно OC > CH, т.е. (с равенством тогда и только тогда, когда a = b ), что является арифметико-геометрическим означает неравенство для двух переменных и, как отмечалось выше, лежит в основе древнегреческого понимания «метода Герона». ${\displaystyle h={\sqrt {ab}}}$ ${\textstyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}}$

Другой метод геометрического построения использует прямоугольные треугольники и индукцию : можно построить, и как только он будет построен, прямоугольный треугольник с катетами 1 и гипотенузой . Построение последовательных квадратных корней таким способом дает спираль Теодора, изображенную выше. ${\displaystyle {\sqrt {1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x+1}}}$

Смотрите также

• Апотом (математика)
• кубический корень
• Функциональный квадратный корень
• Целочисленный квадратный корень
• Вложенный радикал
• N-й корень
• Корень единства
• Решение квадратных уравнений с цепными дробями
• Задача о сумме квадратного корня
• Принцип квадратного корня
• Квантовые ворота § Квадратный корень из вентиля НЕ (√НЕ)

Примечания

1. Гельфанд, с. 120. Архивировано 2 сентября 2016 г. в Wayback Machine.
2. «Квадраты и квадратные корни». www.mathsisfun.com . Проверено 28 августа 2020 г.
3. Зилл, Деннис Г.; Шанахан, Патрик (2008). Первый курс комплексного анализа с приложениями (2-е изд.). Джонс и Бартлетт Обучение. п. 78. ИСБН 978-0-7637-5772-4. Архивировано из оригинала 1 сентября 2016 г.Отрывок со страницы 78. Архивировано 1 сентября 2016 г. на Wayback Machine.
4. Вайсштейн, Эрик В. «Квадратный корень». mathworld.wolfram.com . Проверено 28 августа 2020 г.
5. «Анализ YBC 7289». ubc.ca. _ Проверено 19 января 2015 г.
6. Энглин, WS (1994). Математика: краткая история и философия . Нью-Йорк: Springer-Verlag.
7. Зайденберг, А. (1961). «Ритуальное происхождение геометрии». Архив истории точных наук . 1 (5): 488–527. дои : 10.1007/bf00327767. ISSN  0003-9519. S2CID  119992603. Зайденберг (стр. 501-505) предполагает: «Это различие между использованием и происхождением». [По аналогии] «КЕПЛЕРУ нужен был эллипс, чтобы описать пути планет вокруг Солнца; однако он не изобрел эллипс, а использовал кривую, которая существовала почти 2000 лет». Таким образом, Зайденберг утверждает: «Хотя дата рукописи или текста не может указать нам возраст раскрываемых в ней практик, тем не менее, доказательства содержатся в рукописях». Зайденберг цитирует Тибо из 1875 года: «Что касается времени, в которое могли быть составлены «Сульвасутры», невозможно дать более точную информацию о дате появления «Кальпасутр», чем мы можем дать. Но каким бы ни был период, в течение которого были написаны «Кальпасутры», и Сульвасутры были составлены в той форме, которая сейчас находится перед нами, мы должны иметь в виду, что они дают лишь систематически организованное описание жертвенных обрядов, которые практиковались в течение долгих предшествующих эпох». Наконец, Зайденберг резюмирует: «В 1899 году ТИБО осмелился назвать четвертое или третье века до нашей эры как самую позднюю возможную дату составления Сульвасутр (подразумевается, что это относится к кодификации гораздо более древнего материала)».
8. Джозеф, глава 8.
9. Хит, сэр Томас Л. (1908). Тринадцать книг Элементов, Том. 3. Издательство Кембриджского университета. п. 3.
10. Крейг Сморинский (2007). История математики: Приложение (иллюстрированное, аннотированное изд.). Springer Science & Business Media. п. 49. ИСБН 978-0-387-75480-2.Выдержка со страницы 49
11. Брайан Э. Бланк; Стивен Джордж Кранц (2006). Исчисление: одна переменная, Том 1 (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. п. 71. ИСБН 978-1-931914-59-8.Выдержка со страницы 71
12. Бойер, Карл Б.; Мерцбах, Ута К. (2011). История математики (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons. стр. 51–53. ISBN 978-0470525487.
13. Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история (3-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. стр. 14–15. ISBN 978-1441960528.
14. Даубен (2007), с. 210.
15. «Развитие алгебры - 2». maths.org . Архивировано из оригинала 24 ноября 2014 года . Проверено 19 января 2015 г.
16. Оукс, Джеффри А. (2012). Алгебраический символизм в средневековой арабской алгебре (PDF) (Диссертация). Философика. п. 36. Архивировано (PDF) из оригинала 3 декабря 2016 г.
17. Мангель, Альберто (2006). «Сделано на бумаге: двойственная природа чисел и страницы». Жизнь чисел . Тарик, SA ISBN 84-86882-14-1.
18. Паркхерст, Дэвид Ф. (2006). Введение в прикладную математику для наук об окружающей среде . Спрингер. стр. 241. ISBN. 9780387342283.
19. Солоу, Анита Э. (1993). Обучение путем открытия: Лабораторное пособие по математическому анализу. Издательство Кембриджского университета. стр. 48. ISBN 9780883850831.
20. Эйткен, Майк; Бродхерст, Билл; Хладки, Стивен (2009). Математика для биологов. Гирляндная наука. п. 41. ИСБН 978-1-136-84393-8. Архивировано из оригинала 01 марта 2017 г.Отрывок со страницы 41. Архивировано 1 марта 2017 г. на Wayback Machine.
21. Хит, сэр Томас Л. (1921). История греческой математики, Том. 2. Оксфорд: Кларендон Пресс. стр. 323–324.
22. Мюллер, Жан-Мик (2006). Элементарные функции: алгоритмы и реализация. Спрингер. стр. 92–93. ISBN 0-8176-4372-9., Глава 5, стр. 92. Архивировано 1 сентября 2016 г. в Wayback Machine.
23. «Функция sqrt». CPlusPlus.com . Сеть ресурсов C++. 2016. Архивировано из оригинала 22 ноября 2012 года . Проверено 24 июня 2016 г.
24. Оверленд, Брайан (2013). C++ для нетерпеливых. Аддисон-Уэсли. п. 338. ИСБН 9780133257120. OCLC  850705706. Архивировано из оригинала 1 сентября 2016 года . Проверено 24 июня 2016 г.
25. Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А. (1964). Справочник математических функций с формулами, графиками и математическими таблицами. Публикации Courier Dover. п. 17. ISBN 0-486-61272-4. Архивировано из оригинала 23 апреля 2016 г., раздел 3.7.27, с. 17. Архивировано 10 сентября 2009 г. в Wayback Machine.
26. Кук, Роджер (2008). Классическая алгебра: ее природа, происхождение и использование. Джон Уайли и сыновья. п. 59. ИСБН 978-0-470-25952-8. Архивировано из оригинала 23 апреля 2016 г.
27. Эта знаковая функция отличается от обычной знаковой функции своим значением 0 .
28. Максвелл, Э.А. (1959). Заблуждения в математике . Издательство Кембриджского университета.
29. Митчелл, Дуглас В., «Использование троек Пифагора для получения квадратных корней из I ₂ », Mathematical Gazette 87, ноябрь 2003 г., 499–500.

Рекомендации

• Добен, Джозеф В. (2007). «Китайская математика I». В Каце, Виктор Дж. (ред.). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-11485-9.
• Гельфанд, Израиль М. ; Шен, Александр (1993). Алгебра (3-е изд.). Биркхойзер. п. 120. ИСБН 0-8176-3677-3.
• Джозеф, Джордж (2000). Герб павлина. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-00659-8.
• Смит, Дэвид (1958). История математики . Том. 2. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-20430-7.
• Селин, Хелейн (2008), Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах, Springer, Bibcode : 2008ehst.book.....S, ISBN 978-1-4020-4559-2.

Внешние ссылки

• Алгоритмы, реализации и многое другое - веб-страница Пола Се, посвященная квадратным корням
• Как найти квадратный корень вручную
• Рекомендуемая колонка AMS «Арифметика Галилея» Тони Филипса - включает раздел о том, как Галилей нашел квадратные корни.