stringtranslate.com

Спираль

(слева направо) Пружины растяжения, сжатия и кручения
Винт
Правосторонняя спираль (cos t , sin t , t ) для 0 ≤ t ≤ 4 π со стрелками, показывающими направление увеличения t

Спираль ( / ˈh iːl ɪk s / ; мн. ч. спирали ) — это форма, похожая на цилиндрическую пружину или резьбу машинного винта . Это тип гладкой пространственной кривой с касательными линиями под постоянным углом к ​​фиксированной оси. Спирали важны в биологии , так как молекула ДНК образована как две переплетенные спирали , и многие белки имеют спиральные подструктуры, известные как альфа-спирали . Слово спираль происходит от греческого слова ἕλιξ , «скрученный, изогнутый». [1] «Заполненная» спираль — например, «спиральный» (винтовой) пандус — это поверхность, называемая геликоидом . [ 2] 

Свойства и типы

Шаг спирали — это высота одного полного витка спирали , измеренная параллельно оси спирали.

Двойная спираль состоит из двух (обычно конгруэнтных ) спиралей с одной и той же осью, отличающихся трансляцией вдоль оси. [3]

Круговая спираль (т. е. с постоянным радиусом) имеет постоянную кривизну полосы и постоянное кручение . Наклон круговой спирали обычно определяется как отношение окружности кругового цилиндра, вокруг которого она закручивается, к ее шагу (высоте одного полного витка спирали).

Коническая винтовая линия , также известная как коническая спираль , может быть определена как спираль на конической поверхности, расстояние до вершины которой является экспоненциальной функцией угла, указывающего направление от оси.

Кривая называется общей спиралью или цилиндрической спиралью [4] , если ее касательная образует постоянный угол с фиксированной линией в пространстве. Кривая является общей спиралью тогда и только тогда, когда отношение кривизны к кручению постоянно . [5]

Кривая называется наклонной винтовой линией, если ее главная нормаль образует постоянный угол с фиксированной линией в пространстве. [6] Ее можно построить, применив преобразование к подвижной системе координат общей винтовой линии. [7]

Для более общих спиральных пространственных кривых см. пространственная спираль ; например, сферическая спираль .

Руко-ориентированность

Спирали могут быть как правыми, так и левыми. Если при взгляде вдоль оси спирали закручивающее движение по часовой стрелке перемещает спираль от наблюдателя, то она называется правой спиралью; если к наблюдателю, то это левая спираль. Направленность (или хиральность ) — это свойство спирали, а не перспективы: правую спираль нельзя повернуть так, чтобы она выглядела как левая, если только не смотреть на нее в зеркало, и наоборот.

Два типа спиралей показаны в сравнении . Это показывает две хиральности спиралей. Одна левосторонняя, другая правосторонняя. Каждая строка сравнивает две спирали с разных точек зрения. Хиральность — это свойство объекта, а не перспективы ( угла зрения)

Математическое описание

Спираль, состоящая из синусоидальных x и y компонентов

В математике спираль — это кривая в трехмерном пространстве . Следующая параметризация в декартовых координатах определяет конкретную спираль; [8] возможно, простейшими уравнениями для нее являются

При увеличении параметра t точка ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) описывает правостороннюю спираль с шагом ( или наклоном 1) и радиусом 1 вокруг оси z в правосторонней системе координат.

В цилиндрических координатах ( r , θ , h ) та же спираль параметризуется следующим образом:

Круговая спираль радиусом a и наклоном а/б (или шаг 2 πb ) описывается следующей параметризацией:

Другой способ математического построения спирали — это построение графика комплекснозначной функции e xi как функции действительного числа x (см. формулу Эйлера ). Значение x , а также действительная и мнимая части значения функции дают этому графику три действительных измерения.

За исключением вращений , перемещений и изменений масштаба, все правосторонние спирали эквивалентны спирали, определенной выше. Эквивалентная левосторонняя спираль может быть построена несколькими способами, простейшим из которых является отрицание любого из компонентов x , y или z .

Длина дуги, кривизна и кручение

Круговая спираль радиусом a и наклоном а/б (или шаг 2 πb ) выраженный в декартовых координатах как параметрическое уравнение

имеет длину дуги

кривизна​​

и кручение

Спираль имеет постоянную ненулевую кривизну и кручение.

Спираль — это векторная функция

Таким образом, спираль можно перепараметризовать как функцию s , которая должна быть единичной скоростью:

Единичный касательный вектор равен

Нормальный вектор равен

Его кривизна

.

Единичный нормальный вектор равен

Бинормальный вектор — это

Его кручение равно

Примеры

Примером двойной спирали в молекулярной биологии является двойная спираль нуклеиновой кислоты .

Примером конической спирали являются американские горки «Штопор» в парке развлечений Сидар-Пойнт .

Некоторые кривые, встречающиеся в природе, состоят из нескольких спиралей разной направленности, соединенных вместе переходами, известными как извращения усиков .

Большинство резьбовых соединений оборудования имеют правую спираль. Альфа-спираль в биологии, а также формы A и B ДНК также являются правыми спиралями. Z-форма ДНК имеет левую спираль.

В музыке пространство высоты тона часто моделируется спиралями или двойными спиралями, чаще всего выходящими за пределы круга, например, круга квинт , чтобы представить эквивалентность октавы .

В авиации геометрический шаг — это расстояние, на которое элемент воздушного винта самолета продвинулся бы за один оборот, если бы он двигался по винтовой линии, имеющей угол, равный углу между хордой элемента и плоскостью, перпендикулярной оси воздушного винта; см. также: угол тангажа (авиация) .

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ἕλιξ Архивировано 16 октября 2012 г. на Wayback Machine , Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Геликоид». MathWorld .
  3. ^ «Двойная спираль, архив 2008-04-30 на Wayback Machine » Шандора Кабаи, Wolfram Demonstrations Project .
  4. ^ О'Нил, Б. Элементарная дифференциальная геометрия, 1961 стр. 72
  5. ^ О'Нил, Б. Элементарная дифференциальная геометрия, 1961 стр. 74
  6. ^ Изумия, С. и Такеучи, Н. (2004) Новые специальные кривые и развертывающиеся поверхности. Turk J Math Архивировано 04.03.2016 в Wayback Machine , 28:153–163.
  7. ^ Меннингер, Т. (2013), Явная параметризация аппарата Френе для наклонной спирали . arXiv:1302.3175 Архивировано 05.02.2018 на Wayback Machine .
  8. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Helix". MathWorld .
  9. ^ Шмитт, Дж.-Л.; Штадлер, А.-М.; Кирицакас, Н.; Лен, Дж.-М. (2003). «Молекулярные цепи, кодируемые спиральностью: эффективный доступ по маршруту гидразона и структурные особенности». Helvetica Chimica Acta . 86 (5): 1598–1624. doi :10.1002/hlca.200390137.