stringtranslate.com

Индо-арабская система счисления

Современная арабская телефонная клавиатура с двумя видами арабских цифр: западные арабские цифры слева и восточные арабские цифры справа

Индо -арабская система счисления (также известная как индо-арабская система счисления , [1] индуистская система счисления , арабская система счисления ) [2] [примечание 1] — это позиционная система счисления с основанием десять для представления целых чисел ; ее расширением на нецелые числа является десятичная система счисления , которая в настоящее время является наиболее распространенной системой счисления.

Система была изобретена между 1-м и 4-м веками индийскими математиками . Система была принята в арабской математике к 9-му веку. Она стала более широко известна благодаря трудам на арабском языке персидского математика Аль-Хорезми [3] ( О вычислениях с помощью индуистских цифр , ок.  825 ) и арабского математика Аль-Кинди ( Об использовании индуистских цифр , ок.  830 ). Система распространилась в средневековой Европе к Высокому Средневековью , в частности, после Liber Abaci Фибоначчи 13-го века ; до развития печатного станка в 15-м веке использование системы в Европе в основном ограничивалось Северной Италией . [4]

Она основана на десяти глифах, представляющих числа от нуля до девяти, и позволяет представлять любое натуральное число уникальной последовательностью этих глифов. Символы (глифы), используемые для представления системы, в принципе независимы от самой системы. Глифы, которые используются в настоящее время, произошли от цифр брахми и разделились на различные типографские варианты со времен Средневековья .

Эти наборы символов можно разделить на три основных семейства: западные арабские цифры, используемые в странах Большого Магриба и в Европе ; восточные арабские цифры, используемые на Ближнем Востоке ; и индийские цифры в различных письменностях, используемые на Индийском субконтиненте .

Происхождение

Где-то около 600 г. н. э. в письменности Индии и Юго-Восточной Азии, произошедшей от брахми , начались изменения в записи дат: аддитивная система с отдельными цифрами для чисел разной величины перешла в позиционную систему с одним набором знаков для цифр 1–9 и точкой для нуля, постепенно вытесняя аддитивные выражения цифр в течение следующих нескольких столетий. [5]

Когда эта система была принята и расширена средневековыми арабами и персами, они назвали ее al-ḥisāb al-hindī («индийская арифметика»). Эти цифры постепенно были приняты в Европе, начиная примерно с 10-го века, вероятно, переданы арабскими купцами; [6] средневековые и ренессансные европейские математики в целом признавали их индийскими по происхождению, [7] однако несколько влиятельных источников приписывали их арабам, и в конечном итоге они стали общеизвестны как «арабские цифры» в Европе. [8] Согласно некоторым источникам, эта система счисления могла произойти от китайских цифр Шан (1300 г. до н. э.), которые также были десятичной позиционной системой счисления. [9]

Позиционная нотация

Индо-арабская система разработана для позиционной записи в десятичной системе. В более развитой форме позиционная запись также использует десятичный маркер (сначала знак над цифрой единиц, но теперь чаще десятичную точку или десятичную запятую, которая отделяет разряд единиц от разряда десятых), а также символ для «этих цифр повторяются до бесконечности ». В современном использовании этот последний символ обычно представляет собой винкулум (горизонтальную линию, расположенную над повторяющимися цифрами). В этой более развитой форме числовая система может символизировать любое рациональное число, используя всего 13 символов (десять цифр, десятичный маркер, винкулум и добавленный знак минус для обозначения отрицательного числа ).

Хотя они обычно встречаются в тексте, написанном арабским abjad («алфавитом»), числа, записанные этими цифрами, также помещают самую значимую цифру слева, поэтому они читаются слева направо (хотя цифры не всегда произносятся в порядке от самой важной к самой младшей [10] ). Необходимые изменения в направлении чтения встречаются в тексте, в котором смешаны системы письма слева направо с системами письма справа налево.

Символы

Для представления чисел в индо-арабской системе счисления используются различные наборы символов, большинство из которых произошли от чисел брахми .

Символы, используемые для представления системы, со времен Средневековья разделились на различные типографские варианты , объединенные в три основные группы:

Сравнение глифов

История

Предшественники

Цифры эпохи Шан

Китайские цифры на гадательной кости династии Шан , 14 век до н.э. [11] [12]

Китайские цифры династии Шан с 14 века до н. э. старше индийских цифр брахми более чем на 1000 лет и показывают существенное сходство с цифрами брахми. Подобно современным индо-арабским цифрам, система счисления династии Шан также была десятичной и позиционной . [11] [12] [13] Ноль был представлен пустым пространством. [14] [15] Это концептуальное сходство заставило некоторых ученых предположить возможность китайского влияния на индо-арабские цифры. [16] [17]

Цифры брахми

Первые цифры брахми , предшественники индо-арабских цифр, использовались Ашокой в ​​его Указах Ашоки около  250 г. до н.э.

Цифры брахми, лежащие в основе системы, появились еще до нашей эры . Они заменили более ранние цифры кхароштхи, использовавшиеся с 4-го века до нашей эры. Цифры брахми и кхароштхи использовались вместе в период империи Маурьев , обе они появились в указах Ашоки 3-го века до нашей эры . [18]

Цифры нагари и деванагари с рукописными вариантами

В буддийских надписях, датируемых примерно 300 годом до нашей эры, используются символы, которые стали 1, 4 и 6. Спустя столетие было зафиксировано использование ими символов, которые стали 2, 4, 6, 7 и 9. Эти цифры брахми являются предками индо-арабских глифов от 1 до 9, но они не использовались в качестве позиционной системы с нулем , и для каждого из десятков существовали отдельные цифры (10, 20, 30 и т. д.).

Разработка

Система разрядных значений используется в рукописи Бахшали ; самые ранние листы датируются радиоуглеродным методом в период 224–383 гг. н. э. [19] Развитие позиционной десятичной системы берет свое начало в индийской математике в период Гуптов . Около 500 г. астроном Арьябхата использует слово kha («пустота») для обозначения «нуля» в табличных расположениях цифр. В «Брахмаспута-сиддханте» VII века содержится сравнительно продвинутое понимание математической роли нуля . Санскритский перевод утерянного космологического текста V века на пракрите «Локавибхага» может сохранить ранний пример позиционного использования нуля. [20]

Первая датированная и бесспорная надпись, показывающая использование символа для нуля, появилась на каменной надписи, найденной в храме Чатурбхуджа в Гвалиоре в Индии, датированной 876 годом . [21]

Средневековый исламский мир

Эти индийские разработки были восприняты исламской математикой в ​​VIII веке, как записано в «Хронологии ученых » аль-Кифти (начало XIII века). [22]

В исламской математике 10-го века система была расширена, включив дроби , как записано в трактате математика Аббасидского халифата Абуль-Хасана аль-Уклидиси , который был первым, кто описал позиционные десятичные дроби. [23] По словам Дж. Л. Берггрена, мусульмане были первыми, кто представлял числа так, как это делаем мы, поскольку они были теми, кто изначально расширил эту систему нумерации, чтобы представлять части единицы десятичными дробями, чего не сделали индусы. Таким образом, мы называем систему «индуистско-арабской» довольно уместно. [24] [25]

Система счисления стала известна как персидскому математику Хорезми , который написал книгу «О вычислении с помощью индуистских цифр» около 825 года, так и арабскому математику Аль-Кинди , который написал книгу « Об использовании индуистских цифр» ( كتاب في استعمال العداد الهندي [ kitāb fī isti'māl al-'adād al-hind ]) около 830 года. Персидский ученый Кушьяр Гилани написал «Kitab fi usul hisab al-hind» ( «Принципы индуистского исчисления ») , одну из старейших сохранившихся рукописей, использующих индуистские цифры. [26] Эти книги в первую очередь способствовали распространению индуистской системы исчисления по всему исламскому миру и, в конечном итоге, также в Европе.

Усыновление в Европе

Арабская система счисления впервые появилась в Европе в испанском Кодексе Вигиланус в 976 году.

В христианской Европе первое упоминание и представление индуистско-арабских цифр (от одного до девяти, без нуля) содержится в Codex Vigilanus (он же Albeldensis ), иллюстрированном сборнике различных исторических документов вестготского периода в Испании , написанном в 976 году тремя монахами риохского монастыря Сан-Мартин-де-Альбельда . Между 967 и 969 годами Герберт Орильякский открыл и изучал арабскую науку в каталонских аббатствах. Позже он получил из этих мест книгу De multiplicatione et divisione ( Об умножении и делении ). Став папой Сильвестром II в 999 году, он ввел новую модель абака , так называемый абак Герберта , приняв жетоны, представляющие индуистско-арабские цифры от одного до девяти.

Леонардо Фибоначчи принёс эту систему в Европу. Его книга Liber Abaci представила Modus Indorum (метод индийцев), сегодня известный как индо-арабская система счисления или позиционная система счисления с основанием 10, использование нуля и десятичной системы счисления в латинском мире. Европейцы стали называть эту систему счисления «арабской». Она использовалась в европейской математике с 12-го века и вошла в общее употребление с 15-го века, заменив римские цифры . [27] [28]

Знакомая форма западных арабских глифов, которые сейчас используются с латинским алфавитом (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), является продуктом конца 15-го - начала 16-го века, когда они вошли в ранний набор . Мусульманские ученые использовали вавилонскую систему счисления , а торговцы использовали цифры Абджад , систему, похожую на греческую систему счисления и еврейскую систему счисления . Аналогично, введение Фибоначчи этой системы в Европу было ограничено учеными кругами. Заслуга в первом установлении широкого понимания и использования десятичной позиционной нотации среди широких слоев населения принадлежит Адаму Рису , автору немецкого Ренессанса , чья работа 1522 года Rechenung auff der linihen und federn (Вычисление на линиях и с помощью пера) была ориентирована на учеников бизнесменов и ремесленников.

Усыновление в Восточной Азии

В 690 году нашей эры императрица У ввела в обращение цзэтянские иероглифы , одним из которых был «〇». Сейчас это слово используется как синоним цифры ноль.

В Китае Гаутама Сиддха ввел индуистские цифры с нулем в 718, но китайские математики не нашли их полезными, так как у них уже были десятичные позиционные счетные стержни . [29] [30]

В китайских цифрах кружок (〇) используется для записи нуля в цифрах Сучжоу . Многие историки считают, что он был импортирован из индийских цифр Гаутамой Сиддхой в 718 году, но некоторые китайские ученые считают, что он был создан на основе китайского текстового заполнителя "□". [29]

Китайцы и японцы окончательно перешли на индо-арабские цифры в XIX веке, отказавшись от счетных палочек.

Распространение западноарабского варианта

«Западно-арабские» цифры, которые были широко распространены в Европе со времен эпохи барокко , впоследствии нашли всемирное применение вместе с латинским алфавитом и даже значительно дальше современного распространения латинского алфавита , проникнув в системы письма в регионах, где использовались другие варианты индо-арабских цифр, а также в сочетании с китайской и японской письменностью (см. Китайские цифры , Японские цифры ).

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Индуизм — персидское название «индийца» в X веке, когда арабы переняли систему счисления. Использование термина « индус » для обозначения религии произошло позднее.
  2. ^ 6 — 륙 в Северной Корее.

Ссылки

  1. ^ Одун Холм, Геометрия: наше культурное наследие, 2000
  2. ^ Уильям Даррах Хэлси, Эмануэль Фридман (1983). Энциклопедия Кольера с библиографией и индексом. Когда Аравийская империя расширялась и был установлен контакт с Индией, арабы переняли индуистскую систему счисления и ранние алгоритмы
  3. ^ Брезина, Корона (2006), Аль-Хорезми: Изобретатель алгебры, The Rosen Publishing Group, стр. 39–40, ISBN 978-1-4042-0513-0
  4. ^ Данна, Раффаэле (13.01.2021). «Выяснение: распространение индо-арабских цифр в европейской традиции практической математики (13–16 вв.)». Nuncius . 36 (1): 5–48. doi : 10.1163/18253911-bja10004 . ISSN  0394-7394.
  5. ^ Хрисомалис 2010, стр. 194–197.
  6. ^ Смит и Карпински 1911, гл. 7, стр. 99–127.
  7. ↑ Смит и Карпински 1911, стр. 2.
  8. ^ Особого внимания заслуживает Algorismus Иоганна де Сакробоско , написанный в XIII веке и пользовавшийся огромной популярностью и влиянием. См. Smith & Karpinski 1911, стр. 134–135.
  9. ^ Swetz, Frank (1984). "Эволюция математики в Древнем Китае". В Campbell, Douglas M.; Higgins, John C. (ред.). Mathematics: People, Problems, Results . Taylor & Francis. ISBN 978-0-534-02879-4.
    Лам, Лэй Йонг (1988). «Китайский генезис: переписывание истории нашей системы счисления». Архив истории точных наук . 38 (2): 101–108. doi :10.1007/BF00348453. JSTOR  41133830.
    Lam, Lay Yong (2008). "Computation: Chinese Counting Rods". В Selin, Selaine (ред.). Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures . Springer. ISBN 978-1-4020-4559-2.
  10. ^ В немецком языке число вроде 21 произносится как «один и двадцать», как будто читается справа налево. В библейском иврите это иногда делается даже с большими числами, как в Есфири 1:1, где буквально говорится: «Агасфер, который царствовал от Индии до Эфиопии, над семью и двадцатью и сотней областей».
  11. ^ ab Кэмпбелл, Дуглас М.; Хиггинс, Джон К. (1984). Математика: люди, проблемы, результаты. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-0-534-02879-4.
  12. ^ ab The Shorter Science & Civilisation in China Vol 2, Сокращенный вариант оригинального текста Джозефа Нидхэма, составленный Колином Ронаном, Таблица 20, стр. 6, Cambridge University Press ISBN 0-521-23582-0 
  13. ^ Лэй-Йонг, Лам (1988). «Китайский генезис: переписывание истории нашей системы счисления». Архив истории точных наук . 38 (2): 101–108. doi :10.1007/BF00348453. ISSN  0003-9519. JSTOR  41133830.
  14. ^ Кац, Виктор Дж.; Михаловиц, Карен Ди (2020-03-02). Исторические модули для преподавания и изучения математики. Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-5711-2.
  15. ^ Асвал, Динеш К.; Ядав, Санджай; Такацудзи, Тосиюки; Рачаконда, Прем; Кумар, Хариш (23 августа 2023 г.). Справочник по метрологии и приложениям. Спрингер Природа. ISBN 978-981-99-2074-7.
  16. ^ Yong, Lam Lay (1996). «Развитие индо-арабской и традиционной китайской арифметики». Chinese Science (13): 35–54. ISSN  0361-9001. JSTOR  43290379.
  17. ^ У, Хонгси (2011). Понимание чисел в математике начальной школы. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-5260-6.
  18. ^ Флегг 1984, стр. 67 и далее.
  19. ^ Пирс, Ян (май 2002 г.). «Рукопись Бахшали». Архив истории математики MacTutor . Получено 24 июля 2007 г.
  20. ^ Ифра, Г. Всеобщая история чисел: от доисторических времен до изобретения компьютера. John Wiley and Sons Inc., 2000. Перевод с французского Дэвида Беллоса, Э. Ф. Хардинга, Софи Вуд и Яна Монка
  21. ^ Билл Кассельман (февраль 2007 г.). "Все за ничто". Тематическая колонка . AMS.
  22. ^ Хронология ученых аль-Кифти (начало 13 века):
    ... в 776 году к халифу аль-Мансуру явился человек из Индии , который был хорошо сведущ в методе сиддханты, связанном с движением небесных тел, и владел способами вычисления уравнений, основанных на полухорде [по сути синус], вычисляемой в полуградусах... Аль-Мансур приказал перевести эту книгу на арабский язык и написать труд на основе перевода, чтобы дать арабам прочную основу для расчета движения планет...
  23. ^ Берггрен, Дж. Леннарт (2007). «Математика в средневековом исламе». В Katz, Victor J. (ред.). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник . Princeton University Press. стр. 530. ISBN 978-0-691-11485-9.
  24. ^ Берггрен, Дж. Л. (2017-01-18). Эпизоды в математике средневекового ислама. Springer. ISBN 978-1-4939-3780-6.
  25. ^ Берггрен, Дж. Леннарт (2007). «Математика в средневековом исламе». Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник . Princeton University Press. стр. 518. ISBN 978-0-691-11485-9.
  26. ↑ Ибн Лаббан, Кушьяр (1965). Kitab fi usul hisab al-hind [ Принципы индуистского исчисления ]. Перевод Levey, Martin; Petruck, Marvin. Madison: University of Wisconsin Press. стр. 3. LCCN  65012106. OL  5941486M.
  27. ^ "Числа Фибоначчи". www.halexandria.org .
  28. ↑ Леонардо Пизано: «Вклад в теорию чисел». Encyclopaedia Britannica Online, 2006. стр. 3. Получено 18 сентября 2006 г.
  29. ^ Аб Цянь, Баокун (1964), Чжунго Шусюэ Ши (История китайской математики) , Пекин: Кексюэ Чубанше
  30. ^ Ван, Цинсян (1999), Sangi o koeta otoko (Человек, который превзошел счетные стержни) , Токио: Tōy Shoten, ISBN 4-88595-226-3

Библиография

Дальнейшее чтение