Дигидрокатион

Молекулярный ион

Химическое соединение

Катион диводорода или молекулярный ион водорода представляет собой катион (положительный ион ) с формулой H⁺
₂. Он состоит из двух ядер водорода ( протонов ), разделяющих один электрон . Это простейший молекулярный ион .

Ион может образоваться в результате ионизации нейтральной молекулы водорода ( H
₂) электронным ударом. Обычно он образуется в молекулярных облаках в космосе под действием космических лучей .

Дигидрокатион представляет большой исторический, теоретический и экспериментальный интерес. Исторически он представляет интерес тем, что, имея только один электрон, уравнения квантовой механики , описывающие его структуру, могут быть решены приближенно и относительно прямолинейно, если пренебречь движением ядер, релятивистскими и квантовыми электродинамическими эффектами. Первое такое решение было получено О. Буррау в 1927 году ^[1] всего через год после публикации волновой теории квантовой механики.

Теоретический интерес возникает потому, что возможно точное математическое описание, учитывающее квантовое движение всех составляющих, а также взаимодействие электрона с полем излучения. Точность описания неуклонно улучшалась на протяжении более полувека, что в конечном итоге привело к созданию теоретической основы, позволяющей со сверхвысокой точностью предсказывать энергии вращательных и колебательных уровней в основном электронном состоянии, которые в основном метастабильны.

Параллельно экспериментальный подход к изучению катиона претерпел фундаментальную эволюцию по сравнению с более ранними экспериментальными методами, использовавшимися в 1960-х и 1980-х годах. Используя передовые методы, такие как захват ионов и лазерное охлаждение, вращательные и колебательные переходы можно исследовать в чрезвычайно мелких деталях. Соответствующие частоты переходов можно точно измерить, а результаты сравнить с точными теоретическими предсказаниями. Другой подход к прецизионной спектроскопии основан на охлаждении в криогенной магнитоэлектрической ловушке ( ловушка Пеннинга ); здесь движение катионов охлаждается резистивно, а внутренняя вибрация и вращение затухают за счет спонтанной эмиссии. Тогда можно будет точно изучить переходы электронного спинового резонанса.

Эти достижения превратили катионы диводорода в еще одно семейство связанных систем, важных для определения фундаментальных констант атомной и ядерной физики, после семейства атомов водорода и семейства атомов гелия . ^[2]

Физические свойства

Склеивание в H⁺
₂можно описать как ковалентную одноэлектронную связь , формальный порядок связи которой равен половине. ^[3]

Энергия основного состояния иона равна -0,597  Хартри . ^[4]

Длина связи в основном состоянии равна 2,00  боровского радиуса .

изотопологи

Катион диводорода имеет шесть изотопологов . Каждое из двух ядер может быть одним из следующих: протон (p, наиболее распространенный), дейтрон (d) или тритон (t). ^{[5] [6]}

• ЧАС+2= ¹ ч+2(катион диводорода, обычный) ^{[5] [6]}
• [HD] ⁺ = [ ¹ H ² H] ⁺ (катион водорода дейтерия) ^[5]
• Д+2= ² ч+2(катион дидейтерия) ^{[5] [6]}
• [HT] ⁺ = [ ¹ H ³ H] ⁺ (катион трития водорода)
• [DT] ⁺ = [ ² H ³ H] ⁺ (катион дейтерия-трития)
• Т+2= ³ ч+2(катион дитрия) ^[6]

Квантово-механический анализ

Приближение зажатых ядер

Приближенное описание дигидрокатиона начинается с пренебрежения движением ядер — так называемое приближение зажатых ядер. Это хорошее приближение, поскольку ядра (протон, дейтрон или тритон) более чем в 1000 раз тяжелее электрона. Поэтому сначала рассматривается движение электрона для заданного (произвольного) расстояния ядро-ядро R . Электронная энергия молекулы E вычисляется, и расчет повторяется для разных значений R. Энергия отталкивания ядра e ² /(4 π ε ₀ R ) должна быть добавлена ​​к электронной энергии, в результате чего получается полная молекулярная энергия E _tot ( R ).

Энергия E является собственным значением уравнения Шредингера для одиночного электрона. Уравнение можно решить относительно простым способом из-за отсутствия электрон-электронного отталкивания ( электронной корреляции ). Волновое уравнение ( уравнение в частных производных ) распадается на два связанных обыкновенных дифференциальных уравнения при использовании вытянутых сфероидальных координат вместо декартовых координат. Аналитическое решение уравнения, волновая функция , следовательно, пропорционально произведению двух бесконечных степенных рядов . ^[7] Численную оценку ряда можно легко выполнить на компьютере. Аналитические решения для собственных значений электронной энергии также являются обобщением W- функции Ламберта ^[8] , которую можно получить с использованием системы компьютерной алгебры в рамках подхода экспериментальной математики .

В учебниках по квантовой химии и физике связывание молекулы в основном электронном состоянии обычно рассматривается с помощью простейшего возможного анзаца для волновой функции: (нормированной) суммы двух волновых функций водорода 1s с центрами на каждом ядре. Этот анзац правильно воспроизводит переплет, но численно неудовлетворителен.

Исторические заметки

Ранние попытки лечения H⁺
₂с использованием старой квантовой теории были опубликованы в 1922 году Карелом Ниссеном ^[9] и Вольфгангом Паули ^[10] и в 1925 году Гарольдом Юри . ^[11]

Первое успешное квантовомеханическое лечение H⁺
₂была опубликована датским физиком Ойвиндом Буррау в 1927 году, ^[1] всего через год после публикации Эрвина Шредингера о волновой механике .

В 1928 году Лайнус Полинг опубликовал обзор, объединивший работу Буррау с работами Уолтера Хайтлера и Фрица Лондона по молекуле водорода. ^[12] Полное математическое решение проблемы электронной энергии для H⁺
₂в приближении зажатых ядер было предложено Уилсоном (1928) и Яффе (1934). Джонсон (1940) дает краткое изложение их решения ^[7] .

Решения уравнения Шредингера с зажатыми ядрами

Молекулярный ион водорода H⁺
₂с зажатыми ядрами A и B , межъядерным расстоянием R и плоскостью симметрии M.

Электронное волновое уравнение Шрёдингера для молекулярного иона водорода H⁺
₂с двумя фиксированными ядерными центрами, обозначенными A и B , и одним электроном, можно записать как

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\right)\psi =E\psi ~,}$

где V – электронно-ядерная функция потенциальной энергии Кулона:

${\displaystyle V=-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}\right)}$

и E - (электронная) энергия данного квантовомеханического состояния (собственного состояния), с функцией электронного состояния ψ = ψ ( r ) в зависимости от пространственных координат электрона. Аддитивный термин1/р, который является постоянным для фиксированного межъядерного расстояния R , был исключен из потенциала V , поскольку он просто смещает собственное значение. Расстояния между электроном и ядрами обозначаются r _a и r _b . В атомных единицах ( ħ = m = e = 4 π ε ₀ = 1) волновое уравнение имеет вид

${\displaystyle \left(-{\tfrac {1}{2}}\nabla ^{2}+V\right)\psi =E\psi \qquad {\mbox{with}}\qquad V=-{\frac {1}{r_{a}}}-{\frac {1}{r_{b}}}\;.}$

В качестве начала координат выберем середину между ядрами. Из общих принципов симметрии следует, что волновые функции можно охарактеризовать своим поведением симметрии относительно операции обращения точечной группы i ( r ↦ − r ). Существуют волновые функции ψ _g ( r ), симметричные относительно i , и есть волновые функции ψ _u ( r ), которые антисимметричны относительно этой операции симметрии:

${\displaystyle \psi _{g/u}(-{\mathbf {r} })={}\pm \psi _{g/u}({\mathbf {r} })\;.}$

Суффиксы g и u от немецкого gerade и ungerade ), встречающиеся здесь, обозначают поведение симметрии при операции инверсии точечной группы i . Их использование является стандартной практикой для обозначения электронных состояний двухатомных молекул, тогда как для атомных состояний используются термины четное и нечетное . Основное состояние (самое низкое состояние) H⁺
₂обозначается X ² Σ⁺
_г^[13] или 1sσ _g и это гераде. Существует также первое возбужденное состояние A ² Σ⁺
_ты(2pσ _u ), что является негерадным.

Полные энергии ( E _tot , в единицах Хартри, атомная единица энергии) низших состояний молекулярного иона водорода H⁺
₂как функция межъядерного расстояния ( R , в боровских радиусах, атомная единица длины). Подробности смотрите в тексте.

Асимптотически (суммарные) собственные энергии E _{g / u} для этих двух нижних состояний имеют одинаковое асимптотическое разложение по обратным степеням межъядерного расстояния R : ^{[14] [15]}

${\displaystyle E_{g/u}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {9}{4R^{4}}}+O\left(R^{-6}\right)+\cdots }$

Эта и энергетические кривые включают межъядерный член 1/R . Фактическая разница между этими двумя энергиями называется расщеплением обменной энергии и определяется по формуле: ^[16]

${\displaystyle \Delta E=E_{u}-E_{g}={\frac {4}{e}}\,R\,e^{-R}\left[\,1+{\frac {1}{2R}}+O\left(R^{-2}\right)\,\right]}$

которое экспоненциально исчезает с увеличением межъядерного расстояния R. Ведущий термин4/еRe ^{− R} впервые было получено методом Гольштейна–Херринга . Аналогично, асимптотические разложения по степеням1/рбыли получены в высоком порядке Cizek et al. для десяти нижних дискретных состояний молекулярного иона водорода (случай зажатых ядер). Таким образом, для обычных двухатомных и многоатомных молекулярных систем обменную энергию очень трудно рассчитать на больших межъядерных расстояниях, но, тем не менее, она необходима для дальнодействующих взаимодействий, включая исследования, связанные с магнетизмом и эффектами перезарядки. Они имеют особое значение в физике звезд и атмосферы.

Энергии самых низких дискретных состояний показаны на графике выше. Их можно получить с любой точностью, используя компьютерную алгебру из обобщенной функции Ламберта W (см. уравнение (3) на этом сайте и ссылку ^[8] ). Первоначально они были получены численным методом с точностью до двойной точности с помощью самой точной доступной программы, а именно ODKIL. ^[17] Красные сплошные линии — это ² Σ.⁺
_гсостояния. Зеленые пунктирные линии — это ² Σ.⁺
_тысостояния. Синяя пунктирная линия — состояние ² Π _u , а розовая пунктирная линия — состояние ² Π _g . Обратите внимание, что хотя обобщенные решения для собственных значений функции Ламберта W заменяют эти асимптотические разложения, на практике они наиболее полезны вблизи длины связи .

Полный гамильтониан H⁺
₂(как и для всех центросимметричных молекул) не коммутирует с операцией инверсии точечной группы i из-за влияния ядерного сверхтонкого гамильтониана. Ядерный сверхтонкий гамильтониан может смешивать вращательные уровни электронных состояний g и u (так называемое орто - пара- смешивание) и вызывать орто - пара- переходы. ^{[18] [19]}

Приближение Борна-Оппенгеймера

Как только энергетическая функция E _tot ( R ) получена, можно вычислить квантовые состояния вращательного и колебательного движения ядер и, следовательно, молекулы в целом. Соответствующее «ядерное» уравнение Шредингера представляет собой одномерное обыкновенное дифференциальное уравнение, в котором независимой координатой является расстояние ядро-ядро R. Уравнение описывает движение фиктивной частицы с массой, равной приведенной массе двух ядер, в потенциале E _tot ( R )+ V _L (R) , где второй член — это центробежный потенциал, обусловленный вращением с угловым моментом описывается квантовым числом L. Собственные энергии этого уравнения Шрёдингера — это полные энергии всей молекулы, электронной плюс ядерной.

Теория ab initio высокой точности

Приближение Борна-Оппенгеймера непригодно для описания дигидрокатиона достаточно точно, чтобы объяснить результаты прецизионной спектроскопии.

Полное уравнение Шредингера для этого катиона без приближения зажатых ядер гораздо более сложное, но тем не менее может быть решено численно практически точно с использованием вариационного подхода. ^[20] Таким образом, точно рассматривается одновременное движение электрона и ядер. Когда решения ограничиваются орбиталью с самой низкой энергией, можно получить энергии и волновые функции вращательных и колебательных состояний. Численная неопределенность энергий и волновых функций, найденных таким образом, незначительна по сравнению с систематической ошибкой, возникающей при использовании уравнения Шредингера, а не принципиально более точных уравнений. Действительно, уравнение Шрёдингера не включает в себя всю значимую физику, как это известно из проблемы атома водорода. Более точные методы лечения должны учитывать физику, описываемую уравнением Дирака или, что еще точнее, квантовой электродинамикой. Наиболее точные решения вращательно-колебательных состояний находятся с помощью нерелятивистской теории квантовой электродинамики ( NRQED ).

Для сравнения с экспериментом необходимы различия энергий состояний, т.е. частот переходов. Для переходов между вращательно-колебательными уровнями, имеющими малые вращательные и умеренные колебательные квантовые числа, частоты были рассчитаны с теоретической дробной неопределенностью примерно8 × 10 ^-12 . ^[21] Дополнительный вклад в неопределенность прогнозируемых частот возникает из-за неопределенностей фундаментальных констант , которые учитываются в теоретических расчетах, особенно из-за соотношения массы протона и массы электрона.

Используя сложный формализм ab initio, можно также точно рассчитать сверхтонкие энергии, см. Ниже.

Экспериментальные исследования

Прецизионная спектроскопия

Из-за своей относительной простоты катион диводорода является наиболее точно изученной молекулой в том смысле, что теоретические расчеты его энергетических уровней соответствуют экспериментальным результатам с наивысшим уровнем согласия.

В частности, спектроскопически определенные частоты чистого вращательного и колебательного перехода конкретного изотополога HD ⁺ согласуются с теоретически рассчитанными частотами перехода. Четыре высокоточных эксперимента дали сравнения с общей неопределенностью между2 × 10 ⁻¹¹ и5 × 10 ^-11 , дробно. ^[22] Уровень согласия на самом деле ограничен ни теорией, ни экспериментом, а, скорее, неопределенностью текущих значений масс частиц, которые используются в качестве входных параметров для расчета.

Чтобы измерить частоты переходов с высокой точностью, спектроскопию диводородного катиона пришлось проводить в особых условиях. Поэтому ансамбли ионов HD ⁺ были захвачены в квадрупольную ионную ловушку в сверхвысоком вакууме, симпатически охлаждены ионами бериллия , охлажденными лазером , и исследованы с использованием определенных спектроскопических методов.

Сверхтонкая структура гомоядерного изотополога H ₂ ⁺ была тщательно и точно измерена Джеффертсом в 1969 году. Наконец, в 2021 году расчеты теории ab initio смогли предоставить количественные детали структуры с неопределенностью меньшей, чем у экспериментальных данных.1 кГц . Теоретически подтверждены некоторые вклады в измеренную сверхтонкую структуру на уровне примерно50 Гц . ^[23]

Следствием этих соглашений является то, что можно вывести спектроскопическое значение отношения массы электрона к приведенной массе протона и дейтрона, me _/ m _p + me _/ m _d , что является входными данными для теории ab initio. Соотношение подбирается таким образом, чтобы теоретические предсказания и экспериментальные результаты согласовывались. Неопределенность полученного соотношения сравнима с неопределенностью, полученной при прямых измерениях масс протона, дейтрона, электрона и HD ⁺ посредством циклотронного резонанса в ловушках Пеннинга .

Появление в космосе

Формирование

Ион диводорода образуется в природе при взаимодействии космических лучей и молекулы водорода. Электрон выбивается, оставляя катион. ^[24]

H ₂ + космические лучи → H⁺
₂+ e ⁻ + космические лучи.

Частицы космических лучей обладают достаточной энергией, чтобы ионизировать многие молекулы, прежде чем они остановятся.

Энергия ионизации молекулы водорода равна 15,603 эВ. Высокоскоростные электроны также вызывают ионизацию молекул водорода с пиковым сечением около 50 эВ. Пиковое сечение ионизации протонов с высокой скоростью равно70 000  эВ с сечением2,5 × 10 ^-16  см ² . Протон космических лучей с более низкой энергией также может оторвать электрон от нейтральной молекулы водорода с образованием нейтрального атома водорода и катиона диводорода ( p ⁺ + H ₂ → H + H⁺
₂) с пиковым сечением около8000 эВ8 × 10 ⁻¹⁶  см ² . ^[25]

Разрушение

В природе ион разрушается в результате реакции с другими молекулами водорода:

ЧАС⁺
₂+ Ч ₂ → Ч+ 3+ Х.

Производство в лаборатории

В лаборатории ион легко получить путем бомбардировки электронами из электронной пушки.

Искусственная плазменная разрядная ячейка также может производить ион. ^{[ нужна цитата ]}

Смотрите также

• Симметрия двухатомных молекул
• Модель функции Дельта Дирака (одномерная версия H⁺
  ₂)
• Ди-позитроний
• Задача трех тел Эйлера (классический аналог)
• Малочастичные системы
• Атом гелия
• Ион гидрида гелия
• Триводородный катион
• Трехатомный водород
• Функция Ламберта W
• Молекулярная астрофизика
• Метод Гольштейна – Херринга
• Задача трех тел
• Список квантовомеханических систем с аналитическими решениями

Рекомендации

1. Буррау, Ø. (1927). «Berechnung des Energiewertes des Wasserstoffmolekel-Ions (H+2) im Normalzustand» (PDF) . Данске Виденск. Сельскаб. Матем.-физ. Меддел. (на немецком). М 7:14: 1–18.
   Буррау, О. (1927). «Расчет Энергетической ценности ионов молекул Водорода ( H⁺
   ₂) в нормальном положении». Naturwissenschaften (на немецком языке). 15 (1): 16–7. Бибкод : 1927NW.....15...16B. doi : 10.1007/BF01504875. S2CID  19368939.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
2. Шиллер, С. (2022). «Прецизионная спектроскопия молекулярных ионов водорода: введение». Современная физика . 63 : 247–279.
3. Кларк Р. Лэндис; Фрэнк Вейнхольд (2005). Валентность и связь: взгляд на донорно-акцепторную орбитальную естественную связь . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. стр. 91–92. ISBN 978-0-521-83128-4.
4. Брессанини, Дарио; Мелла, Массимо; Морози, Габриэле (1997). «Неадиабатические волновые функции как линейные разложения коррелированных экспонент. Квантовое приложение Монте-Карло к H2 + и Ps2». Письма по химической физике . 272 (5–6): 370–375. Бибкод : 1997CPL...272..370B. дои : 10.1016/S0009-2614(97)00571-X.
5. Фабри, Чаба; Чако, Габор; Таси, Дьюла; Часар, Аттила Г. (2009). «Адиабатические поправки Якоби на колебательных энергетических уровнях изотопологов H ₂ ( ⁺ )». Журнал химической физики . 130 (13): 134314. Бибкод : 2009JChPh.130m4314F. дои : 10.1063/1.3097327. ПМИД  19355739.
6. Скарлетт, Лиам Х.; Заммит, Марк С.; Фурса Дмитрий В.; Брей, Игорь (2017). «Кинетико-энергетическое высвобождение фрагментов при диссоциации молекулярного иона водорода и его изотопологов электронным ударом». Физический обзор А. 96 (2): 022706. Бибкод : 2017PhRvA..96b2706S. дои : 10.1103/PhysRevA.96.022706 .
7. Джонсон, Вирджиния (1941). «Поправка на движение ядер в H ₂ ⁺ ». Физ. Преподобный . 60 : 373–77. дои : 10.1103/PhysRev.60.373.
8. Скотт, TC; Обер-Фрекон, М.; Гротендорст, Дж. (2006). «Новый подход к исследованию электронных энергий молекулярного иона водорода». хим. Физ . 324 (2–3): 323–338. arXiv : физика/0607081 . Бибкод : 2006CP....324..323S. doi :10.1016/j.chemphys.2005.10.031. S2CID  623114.
9. Карел Ф. Ниссен Zur Quantentheorie des Wasserstoffmolekülions , докторская диссертация, Утрехтский университет, Утрехт: И. Ван Друтен (1922), цитируется в Mehra, Том 5, Часть 2, 2001, стр. 932.
10. Паули В. (1922). «Über das Modell des Wasserstoffmolekülions». Аннален дер Физик . 373 (11): 177–240. дои : 10.1002/andp.19223731101. Расширенная докторская диссертация; поступило 4 марта 1922 г., опубликовано в номере № 11 от 3 августа 1922 г.
11. Юри ХК (октябрь 1925 г.). «Строение иона молекулы водорода». Учеб. Натл. акад. наук. США . 11 (10): 618–21. Бибкод : 1925PNAS...11..618U. дои : 10.1073/pnas.11.10.618 . ПМЦ 1086173 . ПМИД  16587051. 
12. Полинг, Л. (1928). «Применение квантовой механики к структуре молекулы водорода и молекулы-иона водорода и к смежным проблемам». Химические обзоры . 5 (2): 173–213. дои : 10.1021/cr60018a003.
13. Хубер, К.-П.; Герцберг, Г. (1979). Молекулярные спектры и молекулярная структура IV. Константы двухатомных молекул . Нью-Йорк: Ван Ностранд Рейнхольд.
14. Чижек, Дж.; Дамбург, Р.Дж.; Граффи, С.; Грекки, В.; Харрел II, EM; Харрис, Дж. Г.; Накаи, С.; Палдус, Дж .; Пропин Р.Х.; Сильверстоун, HJ (1986). "1/ R расширение для H⁺
    ₂: Расчет экспоненциально малых членов и асимптотики». Phys. Rev. A. 33 ( 1): 12–54. Bibcode : 1986PhRvA..33...12C. doi : 10.1103/PhysRevA.33.12. PMID  9896581.
15. Морган III, Джон Д.; Саймон, Барри (1980). «Поведение кривых молекулярной потенциальной энергии при больших разделениях ядер». Межд. Дж. Квантум Хим . 17 (6): 1143–1166.
16. Скотт, TC; Далгарно, А .; Морган, JD III (1991). «Обменная энергия H⁺
    ₂Рассчитано на основе теории возмущений поляризации и метода Гольштейна-Херринга». Phys. Rev. Lett. 67 (11): 1419–1422. Бибкод : 1991PhRvL..67.1419S. doi : 10.1103/PhysRevLett.67.1419. PMID  10044142.
17. Хадингер, Г.; Обер-Фрекон, М.; Хадингер, Г. (1989). «Метод Киллингбека для одноэлектронной задачи двух центров». Дж. Физ. Б. _ 22 (5): 697–712. Бибкод : 1989JPhB...22..697H. дои : 10.1088/0953-4075/22/5/003. S2CID  250741775.
18. Пике, JP; и другие. (1984). «Сверхтонкоиндуцированное нарушение симметрии Унгераде-Гераде в гомоядерной двухатомной молекуле вблизи предела диссоциации: ¹²⁷ I ₂ на пределе ² P _3/2 - ² P _1/2 ». Физ. Преподобный Летт . 52 (4): 267–269. Бибкод : 1984PhRvL..52..267P. doi : 10.1103/PhysRevLett.52.267.
19. Кричли, ADJ; и другие. (2001). «Прямое измерение перехода чистого вращения в H⁺
    ₂". Phys. Rev. Lett . 86 (9): 1725–1728. Бибкод : 2001PhRvL..86.1725C. doi : 10.1103/PhysRevLett.86.1725. PMID  11290233.
20. Коробов, В.И. (2022). «Вариационные методы в квантовомеханической задаче трех тел с кулоновским взаимодействием». Физика частиц и ядер . 53 (1): 1–20. Бибкод : 2022ППН....53....1К. дои : 10.1134/S1063779622010038. S2CID  258696598.
21. Коробов, Владимир И.; Карр, Жан-Филипп (2021). «Ровибрационные усредненные по спину переходы в молекулярных ионах водорода». Физический обзор А. 104 (3): 032806. arXiv : 2107.14497 . Бибкод : 2021PhRvA.104c2806K. doi : 10.1103/PhysRevA.104.032806. S2CID  236635049.
22. Алиганбари, С.; Кортунов И.В.; Гири, Г.Г.; Шиллер, С. (2023). «Тест взаимодействия заряженных барионов с помощью колебательной спектроскопии высокого разрешения молекулярных ионов водорода». Физика природы . дои : 10.1038/s41567-023-02088-2. S2CID  259567529.
23. Хайдар, М.; Коробов В.И.; Хилико, Л.; Карр, Дж.Ф. (2022). «Поправки высших порядков к спин-орбитальным и спин-спиновым тензорным взаимодействиям в молекулярных ионах водорода: теория и применение к H ₂ ⁺ ». Физический обзор А. 106 (2): 022816. arXiv : 2207.01535 . Бибкод : 2022PhRvA.106b2816H. doi :10.1103/PhysRevA.106.022816. S2CID  251946960.
24. Хербст, Э. (2000). «Астрохимия H⁺
    ₃". Philosophical Transactions of the Royal Society A. 358 ( 1774): 2523–2534. Bibcode : 2000RSPTA.358.2523H. doi : 10.1098/rsta.2000.0665. S2CID  97131120.
25. Падовани, Марко; Галли, Даниэле; Глассголд, Альфред Э. (2009). «Ионизация молекулярных облаков космическими лучами». Астрономия и астрофизика . 501 (2): 619–631. arXiv : 0904.4149 . Бибкод : 2009A&A...501..619P. дои : 10.1051/0004-6361/200911794. S2CID  7897739.