Дискриминант

Функция коэффициентов многочлена, дающая информацию о его корнях

В математике дискриминант многочлена — это величина, зависящая от коэффициентов и позволяющая выводить некоторые свойства корней без их вычисления. Точнее, это полиномиальная функция коэффициентов исходного многочлена. Дискриминант широко используется в разложении многочленов , теории чисел и алгебраической геометрии .

Дискриминант квадратного многочлена равен ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$

${\displaystyle b^{2}-4ac,}$

величина, которая появляется под квадратным корнем в квадратной формуле . Если этот дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет двойной корень . В случае действительных коэффициентов он положителен, если многочлен имеет два различных действительных корня, и отрицателен, если он имеет два различных комплексно-сопряженных корня. ^[1] Аналогично, дискриминант кубического многочлена равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень . В случае кубического многочлена с действительными коэффициентами дискриминант положителен, если многочлен имеет три различных действительных корня, и отрицателен, если он имеет один действительный корень и два различных комплексно-сопряженных корня. ${\displaystyle a\neq 0,}$

В более общем случае дискриминант одномерного полинома положительной степени равен нулю тогда и только тогда, когда полином имеет кратный корень. Для действительных коэффициентов и отсутствия кратных корней дискриминант положителен, если число недействительных корней кратно 4 (включая отсутствие), и отрицателен в противном случае.

Несколько обобщений также называются дискриминантами: дискриминант алгебраического числового поля ; дискриминант квадратичной формы; и, в более общем смысле, дискриминант формы , однородного многочлена или проективной гиперповерхности ( эти три понятия по сути эквивалентны).

Источник

Термин «дискриминант» был придуман в 1851 году британским математиком Джеймсом Джозефом Сильвестром . ^[2]

Определение

Позволять

${\displaystyle A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

быть многочленом степени n (это означает ), таким образом, что коэффициенты принадлежат полю , или , в более общем смысле, коммутативному кольцу . Результант A и его производной , ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1},}$

— многочлен с целыми коэффициентами, который является определителем матрицы Сильвестра A и A ′ . Ненулевые элементы первого столбца матрицы Сильвестра равны и и, таким образом , результат кратен Следовательно , дискриминант — с точностью до знака — определяется как частное результата A и A' по : ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle na_{n},}$ ${\displaystyle a_{n}.}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')}$

Исторически этот знак был выбран таким образом, что над действительными числами дискриминант будет положительным, когда все корни многочлена действительны. Деление на может быть некорректно определено, если кольцо коэффициентов содержит делители нуля . Такой проблемы можно избежать, заменив на 1 в первом столбце матрицы Сильвестра — перед вычислением определителя. В любом случае дискриминант является многочленом от с целыми коэффициентами. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$

Выражение через корни

Когда указанный выше многочлен определен над полем , он имеет n корней , не обязательно все различные, в любом алгебраически замкнутом расширении поля. (Если коэффициенты являются действительными числами, корни можно взять в поле комплексных чисел , где применима основная теорема алгебры .) ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}$

В терминах корней дискриминант равен

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(r_{i}-r_{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{2n-2}\prod _{i\neq j}(r_{i}-r_{j}).}$

Таким образом, это квадрат полинома Вандермонда, умноженный на . ${\displaystyle a_{n}^{2n-2}}$

Это выражение для дискриминанта часто принимается за определение. Оно ясно показывает, что если многочлен имеет кратный корень , то его дискриминант равен нулю, и что в случае действительных коэффициентов, если все корни действительные и простые , то дискриминант положителен. В отличие от предыдущего определения, это выражение не является, очевидно, многочленом от коэффициентов, но это следует либо из основной теоремы теории Галуа , либо из основной теоремы о симметричных многочленах и формул Виета , если отметить, что это выражение является симметричным многочленом от корней A .

Низкие степени

Дискриминант линейного полинома (степень 1) рассматривается редко. При необходимости его обычно определяют равным 1 (используя обычные соглашения для пустого произведения и учитывая , что один из двух блоков матрицы Сильвестра пуст ). Для дискриминанта постоянного полинома (т. е. полинома степени 0) нет общего соглашения.

Для малых степеней дискриминант довольно прост (см. ниже), но для более высоких степеней он может стать громоздким. Например, дискриминант общей квартики имеет 16 членов, ^[3] квинтики имеет 59 членов, ^[4] а секстики имеет 246 членов . ^[5] Это последовательность OEIS A007878.

Степень 2

Квадратичный многочлен имеет дискриминант ${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,}$

${\displaystyle b^{2}-4ac\,.}$

Квадратный корень дискриминанта появляется в квадратной формуле для корней квадратного многочлена:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

где дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда два корня равны. Если a , b , c — действительные числа, то многочлен имеет два различных действительных корня, если дискриминант положительный, и два комплексно-сопряженных корня, если он отрицательный. ^[6]

Дискриминант — это произведение числа ² и квадрата разности корней.

Если a , b , c — рациональные числа , то дискриминант является квадратом рационального числа тогда и только тогда, когда два корня являются рациональными числами.

Степень 3

Нулевой набор дискриминанта кубической функции x ³ + bx ² + cx + d , т.е. точек, удовлетворяющих b ² c ² – 4 c ³ – 4 b ³ d – 27 d ² + 18 bcd = 0 .

Кубический многочлен имеет дискриминант ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}$

${\displaystyle b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,.}$^{[7] [8]}

В частном случае подавленного кубического полинома дискриминант упрощается до ${\displaystyle x^{3}+px+q}$

${\displaystyle -4p^{3}-27q^{2}\,.}$

Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда по крайней мере два корня равны. Если коэффициенты являются действительными числами, а дискриминант не равен нулю, дискриминант положителен, если корни являются тремя различными действительными числами, и отрицателен, если есть один действительный корень и два комплексно-сопряженных корня. ^[9]

Квадратный корень величины, тесно связанной с дискриминантом, появляется в формулах для корней кубического многочлена . В частности, эта величина может быть в −3 раза больше дискриминанта или его произведением на квадрат рационального числа; например, квадрат 1/18 в случае формулы Кардано .

Если многочлен неприводим и его коэффициенты являются рациональными числами (или принадлежат числовому полю ), то дискриминант является квадратом рационального числа (или числа из числового поля) тогда и только тогда, когда группа Галуа кубического уравнения является циклической группой третьего порядка .

Степень 4

Дискриминант многочлена четвертой степени x ⁴ + cx ² + dx + e . Поверхность представляет собой точки ( c , d , e ), где многочлен имеет повторяющийся корень. Ребро возврата соответствует многочленам с тройным корнем, а самопересечение соответствует многочленам с двумя различными повторяющимися корнями.

Многочлен четвертой степени имеет дискриминант ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{}&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e\\[4pt]&{}-27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de\\[4pt]&{}+18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde\\[4pt]&{}-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\,.\end{aligned}}}$

Пониженный полином четвертой степени имеет дискриминант ${\displaystyle x^{4}+cx^{2}+dx+e\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{}&16c^{4}e-4c^{3}d^{2}-128c^{2}e^{2}+144cd^{2}e-27d^{4}+256e^{3}\,.\end{aligned}}}$

Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда по крайней мере два корня равны. Если коэффициенты являются действительными числами, а дискриминант отрицателен, то существует два действительных корня и два комплексно-сопряженных корня. И наоборот, если дискриминант положителен, то корни либо все действительные, либо все недействительные.

Характеристики

Нулевой дискриминант

Дискриминант многочлена над полем равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень в некотором расширении поля .

Дискриминант многочлена в области целостности равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен и его производная имеют непостоянный общий делитель.

В характеристике 0 это эквивалентно утверждению, что многочлен не является бесквадратным (т.е. он делится на квадрат многочлена, отличного от константы).

При ненулевой характеристике p дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен не является свободным от квадратов или имеет неприводимый множитель , который не является разделимым (т. е. неприводимый множитель является многочленом от ). ${\displaystyle x^{p}}$

Инвариантность относительно изменения переменной

Дискриминант полинома с точностью до масштабирования инвариантен относительно любого проективного преобразования переменной. Поскольку проективное преобразование может быть разложено на произведение трансляций, гомотетий и инверсий, это приводит к следующим формулам для более простых преобразований, где P ( x ) обозначает полином степени n с в качестве старшего коэффициента. ${\displaystyle a_{n}}$

• Инвариантность при переводе :

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(P(x+\alpha ))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))}$

Это вытекает из выражения дискриминанта через корни

• Инвариантность при гомотетии :

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(P(\alpha x))=\alpha ^{n(n-1)}\operatorname {Disc} _{x}(P(x))}$

Это следует из выражения через корни или квазиоднородность дискриминанта.

• Инвариантность при инверсии :

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(P^{\mathrm {r} }\!\!\;(x))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))}$

когда Здесь обозначает обратный многочлен P ; то есть, если и тогда ${\displaystyle P(0)\neq 0.}$ ${\displaystyle P^{\mathrm {r} }\!\!\;}$ ${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0},}$ ${\displaystyle a_{0}\neq 0,}$

${\displaystyle P^{\mathrm {r} }\!\!\;(x)=x^{n}P(1/x)=a_{0}x^{n}+\cdots +a_{n}.}$

Инвариантность относительно кольцевых гомоморфизмов

Пусть — гомоморфизм коммутативных колец . Дан многочлен ${\displaystyle \varphi \colon R\to S}$

${\displaystyle A=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}}$

в R [ x ] гомоморфизм действует на A , производя многочлен ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle A^{\varphi }=\varphi (a_{n})x^{n}+\varphi (a_{n-1})x^{n-1}+\cdots +\varphi (a_{0})}$

в S [ x ] .

Дискриминант инвариантен относительно в следующем смысле. Если то ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (a_{n})\neq 0,}$

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A)).}$

Поскольку дискриминант определяется через детерминант, это свойство непосредственно вытекает из аналогичного свойства детерминантов.

Если тогда может быть ноль или нет. Один имеет, когда ${\displaystyle \varphi (a_{n})=0,}$ ${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))}$ ${\displaystyle \varphi (a_{n})=0,}$

${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=\varphi (a_{n-1})^{2}\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi }).}$

Когда интересно только узнать, равен ли дискриминант нулю (как это обычно бывает в алгебраической геометрии ), эти свойства можно обобщить следующим образом:

${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0}$тогда и только тогда, когда либо или ${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=0}$ ${\displaystyle \deg(A)-\deg(A^{\varphi })\geq 2.}$

Это часто интерпретируется как утверждение, что тогда и только тогда, когда имеет кратный корень (возможно, в бесконечности ). ${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0}$ ${\displaystyle A^{\varphi }}$

Произведение многочленов

Если R = PQ — произведение многочленов от x , то

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {disc} _{x}(R)&=\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)^{2}\operatorname {disc} _{x}(Q)\\[5pt]{}&=(-1)^{pq}\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)\operatorname {Res} _{x}(Q,P)\operatorname {disc} _{x}(Q),\end{aligned}}}$

где обозначает результирующий по отношению к переменной x , а p и q — соответствующие степени P и Q. ${\displaystyle \operatorname {Res} _{x}}$

Это свойство следует непосредственно из подстановки выражения для результирующего и дискриминантного значений через корни соответствующих полиномов.

Однородность

Дискриминант является однородным многочленом по коэффициентам; он также является однородным многочленом по корням и, таким образом, квазиоднороден по коэффициентам.

Дискриминант многочлена степени n однороден степени 2 n − 2 по коэффициентам. Это можно увидеть двумя способами. В терминах формулы корней и ведущего члена умножение всех коэффициентов на λ не меняет корни, но умножает ведущий член на λ . В терминах его выражения как определителя матрицы ( 2 n − 1) × (2 n − 1) ( матрицы Сильвестра ), деленной на a _n , определитель однороден степени 2 n − 1 по элементам, а деление на a _n делает степень 2 n − 2 .

Дискриминант многочлена степени n однороден степени n ( n − 1) по корням. Это следует из выражения дискриминанта через корни, представляющего собой произведение константы и квадратов разностей корней. ${\displaystyle {\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}}$

Дискриминант многочлена степени n является квазиоднородным степени n ( n − 1) по коэффициентам, если для каждого i коэффициенту при придан вес n − i . Он также является квазиоднородным той же степени, если для каждого i коэффициенту при придан вес i . Это является следствием общего факта, что каждый многочлен, который однороден и симметричен относительно корней, может быть выражен как квазиоднородный многочлен относительно элементарных симметричных функций корней. ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle x^{i}}$

Рассмотрим многочлен

${\displaystyle P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}.}$

Из предыдущего следует, что показатели степеней в каждом одночлене , входящем в дискриминант, удовлетворяют двум уравнениям ${\displaystyle a_{0}^{i_{0}},\dots ,a_{n}^{i_{n}}}$

${\displaystyle i_{0}+i_{1}+\cdots +i_{n}=2n-2}$

и

${\displaystyle i_{1}+2i_{2}+\cdots +ni_{n}=n(n-1),}$

а также уравнение

${\displaystyle ni_{0}+(n-1)i_{1}+\cdots +i_{n-1}=n(n-1),}$

которое получается путем вычитания второго уравнения из первого, умноженного на n .

Это ограничивает возможные члены в дискриминанте. Для общего квадратичного многочлена дискриминант является однородным многочленом степени 2, который имеет только два члена, в то время как общий однородный многочлен степени 2 от трех переменных имеет 6 членов. Дискриминант общего кубического многочлена является однородным многочленом степени 4 от четырех переменных; он имеет пять членов, что является максимумом, разрешенным приведенными выше правилами, в то время как общий однородный многочлен степени 4 от 4 переменных имеет 35 членов. ${\displaystyle b^{2}-4ac}$

Для более высоких степеней могут быть мономы, которые удовлетворяют указанным выше правилам и не появляются в дискриминанте. Первый пример — для полинома четвертой степени , в этом случае моном удовлетворяет правилам, не появляясь в дискриминанте. ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}$ ${\displaystyle bc^{4}d}$

Настоящие корни

В этом разделе все многочлены имеют действительные коэффициенты.

В § Низкие степени было замечено, что знак дискриминанта дает полезную информацию о природе корней для многочленов степени 2 и 3. Для более высоких степеней информация, предоставляемая дискриминантом, менее полна, но все еще полезна. Точнее, для многочлена степени n имеем:

• Многочлен имеет кратный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю.
• Если дискриминант положителен, то число недействительных корней кратно 4. То есть существует неотрицательное целое число k ≤ n /4 такое, что имеется 2 k пар комплексно-сопряженных корней и n − 4 k действительных корней.
• Если дискриминант отрицательный, то число недействительных корней не кратно 4. То есть существует неотрицательное целое число k ≤ ( n − 2)/4 такое, что имеется 2 ·k + 1 пар комплексно-сопряженных корней и n − 4 ·k + 2 действительных корня.

Однородный двумерный полином

Позволять

${\displaystyle A(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}y^{i}}$

— однородный многочлен степени n от двух неизвестных.

Предположим на данный момент, что и оба не равны нулю, тогда имеем ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A(x,1))=\operatorname {Disc} _{y}(A(1,y)).}$

Обозначим эту величину через единицу ${\displaystyle \operatorname {Disc} ^{h}(A),}$

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A)=y^{n(n-1)}\operatorname {Disc} ^{h}(A),}$

и

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{y}(A)=x^{n(n-1)}\operatorname {Disc} ^{h}(A).}$

Из - за этих свойств величина называется дискриминантом или однородным дискриминантом A. ${\displaystyle \operatorname {Disc} ^{h}(A)}$

Если и разрешено быть равными нулю, то многочлены A ( x , 1) и A (1, y ) могут иметь степень меньше n . В этом случае приведенные выше формулы и определения остаются действительными, если дискриминанты вычисляются так, как если бы все многочлены имели степень n . Это означает, что дискриминанты должны вычисляться с неопределенными и , подстановка вместо них их фактических значений выполняется после этого вычисления. Эквивалентно, должны использоваться формулы § Инвариантность относительно кольцевых гомоморфизмов. ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

Использование в алгебраической геометрии

Типичное использование дискриминантов в алгебраической геометрии — изучение плоских алгебраических кривых и, в более общем смысле, алгебраических гиперповерхностей . Пусть V — такая кривая или гиперповерхность; V определяется как нулевое множество многомерного полинома . Этот полином можно рассматривать как одномерный полином по одной из неизвестных, с полиномами по другим неизвестным в качестве коэффициентов. Дискриминант относительно выбранной неизвестной определяет гиперповерхность W в пространстве других неизвестных. Точки W являются в точности проекциями точек V (включая точки на бесконечности ), которые либо являются особыми, либо имеют касательную гиперплоскость , параллельную оси выбранной неизвестной.

Например, пусть f — двумерный многочлен от X и Y с действительными коэффициентами, так что  f  = 0 — неявное уравнение действительной плоской алгебраической кривой . Рассматривая f как одномерный многочлен от Y с коэффициентами, зависящими от X , тогда дискриминант — это многочлен от X , корни которого — X -координаты особых точек, точек с касательной, параллельной оси Y , и некоторых асимптот, параллельных оси Y. Другими словами, вычисление корней Y - дискриминанта и X -дискриминанта позволяет вычислить все примечательные точки кривой, за исключением точек перегиба .

Обобщения

Существует два класса понятия дискриминанта. Первый класс — это дискриминант алгебраического числового поля , который, в некоторых случаях, включая квадратичные поля , является дискриминантом многочлена, определяющего поле.

Дискриминанты второго класса возникают для задач, зависящих от коэффициентов, когда вырожденные случаи или особенности задачи характеризуются обращением в нуль одного полинома в коэффициентах. Это случай дискриминанта полинома, который равен нулю при схлопывании двух корней. Большинство случаев, когда определяется такой обобщенный дискриминант, являются примерами следующего.

Пусть A — однородный многочлен от n переменных над полем характеристики 0 или простой характеристики, которая не делит степень многочлена. Многочлен A определяет проективную гиперповерхность , которая имеет особые точки , если и только если n частных производных A имеют нетривиальный общий нуль . Это имеет место тогда и только тогда, когда многомерный результант этих частных производных равен нулю, и этот результант можно рассматривать как дискриминант A. Однако из-за целочисленных коэффициентов , получаемых в результате вывода, этот многомерный результант может делиться на степень n , и лучше взять в качестве дискриминанта примитивную часть результанта, вычисленную с общими коэффициентами. Ограничение на характеристику необходимо, поскольку в противном случае общий нуль частной производной не обязательно является нулем многочлена (см. тождество Эйлера для однородных многочленов ).

В случае однородного двумерного полинома степени d этот общий дискриминант равен дискриминанту, определенному в § Однородный двумерный полином. Несколько других классических типов дискриминантов, которые являются примерами общего определения, описаны в следующих разделах. ${\displaystyle d^{d-2}}$

Квадратичные формы

Квадратичная форма — это функция над векторным пространством , которая определяется над некоторым базисом однородным многочленом степени 2:

${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})\ =\ \sum _{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j},}$

или, в матричной форме,

${\displaystyle Q(X)=XAX^{\mathrm {T} },}$

для симметричной матрицы , вектора - строки и вектора - столбца . В характеристике, отличной от 2, ^[10] дискриминант или определитель Q является определителем A . ^[11] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ ${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle X=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle X^{\mathrm {T} }}$

Определитель Гессе Q равен его дискриминанту. Многомерный результант частных производных Q равен его определителю Гессе. Таким образом, дискриминант квадратичной формы является частным случаем приведенного выше общего определения дискриминанта . ${\displaystyle 2^{n}}$

Дискриминант квадратичной формы инвариантен относительно линейных замен переменных (то есть замены базиса векторного пространства, на котором определена квадратичная форма) в следующем смысле: линейная замена переменных определяется невырожденной матрицей S , изменяет матрицу A на и, таким образом, умножает дискриминант на квадрат определителя S . Таким образом, дискриминант корректно определен только с точностью до умножения на квадрат. Другими словами, дискриминант квадратичной формы над полем K является элементом K /( K ^× ) ² , частным мультипликативного моноида K по подгруппе ненулевых квадратов (то есть два элемента K находятся в одном классе эквивалентности , если один является произведением другого на ненулевой квадрат). Отсюда следует, что над комплексными числами дискриминант эквивалентен 0 или 1. Над действительными числами дискриминант эквивалентен −1, 0 или 1. Над рациональными числами дискриминант эквивалентен уникальному целому числу, свободному от квадратов . ${\displaystyle S^{\mathrm {T} }A\,S,}$

По теореме Якоби квадратичная форма над полем характеристики, отличной от 2, может быть выражена после линейной замены переменных в диагональной форме как

${\displaystyle a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.}$

Точнее, квадратичную форму можно выразить как сумму

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}L_{i}^{2}}$

где L _i — независимые линейные формы, а n — число переменных (некоторые из a _i могут быть равны нулю). Эквивалентно, для любой симметричной матрицы A существует элементарная матрица S, такая что — диагональная матрица . Тогда дискриминант — это произведение a _i , которое хорошо определено как класс в K /( K ^× ) ² . ${\displaystyle S^{\mathrm {T} }A\,S}$

Геометрически дискриминант квадратичной формы от трех переменных — это уравнение квадратичной проективной кривой . Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда кривая разлагается по линиям (возможно, по алгебраически замкнутому расширению поля).

Квадратичная форма от четырёх переменных — это уравнение проективной поверхности . Поверхность имеет особую точку тогда и только тогда, когда её дискриминант равен нулю. В этом случае либо поверхность может быть разложена на плоскости, либо имеет единственную особую точку и является конусом или цилиндром . Над вещественными числами, если дискриминант положителен, то поверхность либо не имеет вещественных точек, либо имеет всюду отрицательную гауссову кривизну . Если дискриминант отрицателен, то поверхность имеет вещественные точки и имеет отрицательную гауссову кривизну.

Конические сечения

Коническое сечение — это плоская кривая, определяемая неявным уравнением вида

${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0,}$

где a , b , c , d , e , f — действительные числа.

Две квадратичные формы и, следовательно, два дискриминанта могут быть сопоставлены коническому сечению.

Первая квадратичная форма — это

${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dxz+2eyz+fz^{2}=0.}$

Его дискриминант является детерминантом

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{vmatrix}}.}$

Он равен нулю, если коническое сечение вырождается в две прямые, двойную прямую или одну точку.

Второй дискриминант, который является единственным, который рассматривается во многих элементарных учебниках, является дискриминантом однородной части второй степени уравнения. Он равен ^[12]

${\displaystyle b^{2}-ac,}$

и определяет форму конического сечения. Если этот дискриминант отрицателен, то кривая либо не имеет действительных точек, либо является эллипсом или окружностью , либо, если вырождена, сводится к одной точке. Если дискриминант равен нулю, то кривая является параболой , или, если вырождена, двойной линией или двумя параллельными линиями. Если дискриминант положителен, то кривая является гиперболой , или, если вырождена, парой пересекающихся линий.

Действительные квадратичные поверхности

Действительная квадратичная поверхность в евклидовом пространстве размерности три — это поверхность, которая может быть определена как нули полинома второй степени от трех переменных. Что касается конических сечений, то есть два дискриминанта, которые могут быть определены естественным образом. Оба полезны для получения информации о природе квадратичной поверхности.

Пусть будет многочленом второй степени от трех переменных, который определяет действительную квадратичную поверхность. Первая ассоциированная квадратичная форма зависит от четырех переменных и получается путем гомогенизации P ; то есть ${\displaystyle P(x,y,z)}$ ${\displaystyle Q_{4},}$

${\displaystyle Q_{4}(x,y,z,t)=t^{2}P(x/t,y/t,z/t).}$

Обозначим его дискриминант через ${\displaystyle \Delta _{4}.}$

Вторая квадратичная форма зависит от трех переменных и состоит из членов второй степени P ; то есть ${\displaystyle Q_{3},}$

${\displaystyle Q_{3}(x,y,z)=Q_{4}(x,y,z,0).}$

Обозначим его дискриминант через ${\displaystyle \Delta _{3}.}$

Если и поверхность имеет действительные точки, то это либо гиперболический параболоид , либо однополостный гиперболоид . В обоих случаях это линейчатая поверхность , которая имеет отрицательную гауссову кривизну в каждой точке. ${\displaystyle \Delta _{4}>0,}$

Если поверхность является либо эллипсоидом , либо двуполостным гиперболоидом , либо эллиптическим параболоидом . Во всех случаях она имеет положительную гауссову кривизну в каждой точке. ${\displaystyle \Delta _{4}<0,}$

Если поверхность имеет особую точку , возможно, находящуюся в бесконечности . Если имеется только одна особая точка, поверхность представляет собой цилиндр или конус . Если имеется несколько особых точек, поверхность состоит из двух плоскостей, двойной плоскости или одной прямой. ${\displaystyle \Delta _{4}=0,}$

Когда знак , если не равен 0, не дает никакой полезной информации, так как изменение P на − P не меняет поверхность, но меняет знак Однако, если и поверхность является параболоидом , который является эллиптическим или гиперболическим, в зависимости от знака ${\displaystyle \Delta _{4}\neq 0,}$ ${\displaystyle \Delta _{3},}$ ${\displaystyle \Delta _{3}.}$ ${\displaystyle \Delta _{4}\neq 0}$ ${\displaystyle \Delta _{3}=0,}$ ${\displaystyle \Delta _{4}.}$

Дискриминант алгебраического числового поля

Дискриминант поля алгебраических чисел измеряет размер ( кольца целых чисел ) поля алгебраических чисел.

Более конкретно, он пропорционален квадрату объема фундаментальной области кольца целых чисел и регулирует, какие простые числа являются разветвленными .

Дискриминант является одним из самых основных инвариантов числового поля и встречается в нескольких важных аналитических формулах , таких как функциональное уравнение дзета-функции Дедекинда K и аналитическая формула числа классов для K. Теорема Эрмита утверждает , что существует только конечное число числовых полей ограниченного дискриминанта, однако определение этой величины все еще является открытой проблемой и предметом текущих исследований. ^[13]

Пусть K — алгебраическое числовое поле, и пусть O _K — его кольцо целых чисел . Пусть b ₁ , ..., b _n — целочисленный базис O _K (т. е. базис как Z -модуль ), и пусть {σ _{1 ,} ... , σ _n } — множество вложений K в комплексные числа (т. е. инъективные кольцевые гомоморфизмы K → C ). Дискриминант K — это квадрат  определителя  матрицы B размером n на n , ( i , j ) -элементом которой является σ i ( _b j ) _. Символически,

${\displaystyle \Delta _{K}=\det \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)^{2}.}$

Дискриминант K можно называть абсолютным дискриминантом K , чтобы отличать его от дискриминанта расширения K / L числовых полей. Последний является идеалом в кольце целых чисел L , и, как и абсолютный дискриминант, он указывает, какие простые числа разветвлены в K / L . Это обобщение абсолютного дискриминанта, допускающее, чтобы L было больше Q ; фактически, когда L  =  Q , относительный дискриминант K / Q является главным идеалом Z , порожденным абсолютным дискриминантом K .

Фундаментальные дискриминанты

Конкретный тип дискриминанта, полезный при изучении квадратичных полей, — это фундаментальный дискриминант. Он возникает в теории целочисленных бинарных квадратичных форм , которые являются выражениями вида: $${\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$$

где , , и являются целыми числами. Дискриминант определяется по формуле: Не каждое целое число может возникнуть как дискриминант целочисленной бинарной квадратичной формы. Целое число является фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет одному из следующих критериев: ${\textstyle a}$ ${\textstyle b}$ ${\textstyle c}$ ${\textstyle Q(x,y)}$ $${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$$ ${\textstyle D}$

• Случай 1: число сравнимо с 1 по модулю 4 ( ) и не содержит квадратов, то есть не делится на квадрат любого простого числа. ${\textstyle D}$ ${\textstyle D\equiv 1{\pmod {4}}}$
• Случай 2: равно четырем целым числам ( ), где сравнимо с 2 или 3 по модулю 4 ( ) и не содержит квадратов. ${\textstyle D}$ ${\textstyle m}$ ${\textstyle D=4m}$ ${\textstyle m}$ ${\textstyle m\equiv 2,3{\pmod {4}}}$

Эти условия гарантируют, что каждый фундаментальный дискриминант однозначно соответствует определенному типу квадратичной формы.

Первые одиннадцать положительных фундаментальных дискриминантов:

1 , 5 , 8 , 12 , 13 , 17 , 21 , 24 , 28 , 29 , 33 (последовательность A003658 в OEIS ).

Первые одиннадцать отрицательных фундаментальных дискриминантов:

−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31 (последовательность A003657 в OEIS ).

Квадратичные числовые поля

Квадратичное поле — это расширение поля рациональных чисел , имеющее степень 2. Дискриминант квадратичного поля играет роль, аналогичную дискриминанту квадратичной формы. ${\textstyle \mathbb {Q} }$

Существует фундаментальная связь: целое число является фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда: ${\textstyle D_{0}}$

• ${\textstyle D_{0}=1}$, или
• ${\textstyle D_{0}}$является дискриминантом квадратичного поля.

Для каждого фундаментального дискриминанта существует единственное (с точностью до изоморфизма) квадратичное поле с дискриминантом. Это связывает теорию квадратичных форм и изучение квадратичных полей. ${\textstyle D_{0}\neq 1}$ ${\textstyle D_{0}}$

Разложение на простые множители

Фундаментальные дискриминанты также могут быть охарактеризованы их простым разложением. Рассмотрим множество , состоящее из простых чисел, сравнимых с 1 по модулю 4, и аддитивных обратных простых чисел, сравнимых с 3 по модулю 4: Целое число является фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда оно является произведением элементов , которые попарно взаимно просты . ^{[ необходима цитата ]} ${\textstyle S}$ ${\displaystyle -8,8,-4,}$ $${\displaystyle S=\{-8,-4,8,-3,5,-7,-11,13,17,-19,...\}}$$ ${\textstyle D\neq 1}$ ${\displaystyle S}$

Ссылки

1. "Дискриминант | математика". Encyclopedia Britannica . Получено 2020-08-09 .
2. Сильвестр, Дж. Дж. (1851). «О замечательном открытии в теории канонических форм и гипердетерминантов». Philosophical Magazine . 4-я серия. 2 : 391–410.
   Сильвестр вводит слово «дискриминант» на странице 406.
3. Ван, Дунмин (2004). Практика исключения: программные инструменты и приложения. Imperial College Press . гл. 10 стр. 180. ISBN 1-86094-438-8.
4. Гельфанд, Израиль М .; Капранов Михаил Михайлович ; Зелевинский, Андрей В. (1994). Дискриминанты, результанты и многомерные определители. Биркхойзер . п. 1. ISBN 3-7643-3660-9. Архивировано из оригинала 2013-01-13.
5. Дикенштейн, Алисия ; Эмирис, Иоаннис З. (2005). Решение полиномиальных уравнений: основы, алгоритмы и приложения. Springer . гл. 1 стр. 26. ISBN 3-540-24326-7.
6. Ирвинг, Рональд С. (2004). Целые числа, многочлены и кольца. Springer-Verlag New York, Inc. гл. 10.3 стр. 153–154. ISBN 0-387-40397-3.
7. "Кубический дискриминант | Brilliant Math & Science Wiki" . Получено 21.03.2023 .
8. "Дискриминант кубического уравнения" . Получено 2023-03-21 .
9. Ирвинг, Рональд С. (2004). Целые числа, многочлены и кольца. Springer-Verlag New York, Inc. ch. 10 ex. 10.14.4 & 10.17.4, стр. 154–156. ISBN 0-387-40397-3.
10. В характеристике 2 дискриминант квадратичной формы не определен и заменен инвариантом Арфа .
11. Касселс, JWS (1978). Рациональные квадратичные формы . Монографии Лондонского математического общества. Т. 13. Academic Press . С. 6. ISBN 0-12-163260-1. Збл  0395.10029.
12. Fanchi, John R. (2006). Освежение знаний по математике для ученых и инженеров. John Wiley and Sons. раздел 3.2, стр. 45. ISBN 0-471-75715-2.
13. Коэн, Анри ; Диас и Диас, Франциско; Оливье, Мишель (2002), «Обзор дискриминантного подсчета», в Fieker, Claus; Кохель, Дэвид Р. (ред.), Алгоритмическая теория чисел, Труды, 5-й Международный симпозиум, ANTS-V, Сиднейский университет, июль 2002 г. , Lecture Notes in Computer Science, т. 2369, Берлин: Springer-Verlag, стр. 80–94, doi :10.1007/3-540-45455-1_7, ISBN 978-3-540-43863-2, ISSN  0302-9743, MR  2041075

Внешние ссылки

• Wolfram Mathworld: Полиномиальный дискриминант
• Planetmath: Дискриминант