Квантование (в британском английском quantisation ) — это систематическая процедура перехода от классического понимания физических явлений к более новому пониманию, известному как квантовая механика . Это процедура построения квантовой механики из классической механики . Обобщением, включающим бесконечные степени свободы, является квантование поля , как в «квантовании электромагнитного поля », ссылаясь на фотоны как на « кванты » поля (например, как на кванты света ). Эта процедура является базовой для теорий атомной физики , химии, физики элементарных частиц , ядерной физики , физики конденсированного состояния и квантовой оптики .
В 1901 году, когда Макс Планк разрабатывал функцию распределения статистической механики для решения проблемы ультрафиолетовой катастрофы , он понял, что свойства излучения черного тела можно объяснить, предположив, что количество энергии должно быть в счетных фундаментальных единицах, т.е. количество энергии не непрерывно, а дискретно . То есть существует минимальная единица энергии и для частоты справедливо следующее соотношение . Здесь называется постоянной Планка , которая представляет собой величину квантово-механического эффекта. Это означает фундаментальное изменение математической модели физических величин.
В 1905 году Альберт Эйнштейн опубликовал статью «Об эвристической точке зрения относительно излучения и преобразования света», в которой объяснялся фотоэлектрический эффект на квантованных электромагнитных волнах . [1] Квант энергии, упомянутый в этой статье, позже был назван « фотоном ». В июле 1913 года Нильс Бор использовал квантование для описания спектра атома водорода в своей статье «О строении атомов и молекул».
Предшествующие теории были успешными, но они являются очень феноменологическими теориями. Однако французский математик Анри Пуанкаре впервые дал систематическое и строгое определение того, что такое квантование, в своей работе 1912 года "Sur la théorie des quanta". [2] [3]
Термин «квантовая физика» впервые был использован в работе Джонстона « Вселенная Планка в свете современной физики» (1931).
Каноническое квантование развивает квантовую механику из классической механики . Вводится коммутационное соотношение между каноническими координатами . Технически, координаты преобразуются в операторы посредством комбинаций операторов рождения и уничтожения . Операторы действуют на квантовые состояния теории. Состояние с наименьшей энергией называется вакуумным состоянием .
Даже в рамках канонического квантования существуют трудности, связанные с квантованием произвольных наблюдаемых на классическом фазовом пространстве. Это неоднозначность упорядочения : в классическом смысле переменные положения и импульса x и p коммутируют, но их квантово-механические операторы — нет. Для разрешения этой неоднозначности были предложены различные схемы квантования , [4] из которых наиболее популярной является схема квантования Вейля . Тем не менее, теорема Грёневольда–ван Хова гласит, что не существует идеальной схемы квантования. В частности, если квантования x и p принимаются за обычные операторы положения и импульса, то никакая схема квантования не может идеально воспроизвести соотношения скобок Пуассона между классическими наблюдаемыми. [5] См. теорему Грёневольда для одной версии этого результата.
Существует способ выполнить каноническое квантование, не прибегая к нековариантному подходу расслоения пространства-времени и выбора гамильтониана . Этот метод основан на классическом действии, но отличается от подхода функционального интеграла.
Метод не применим ко всем возможным действиям (например, действиям с некаузальной структурой или действиям с калибровочными «потоками» ). Он начинается с классической алгебры всех (гладких) функционалов над конфигурационным пространством. Эта алгебра факторизуется по идеалу, порожденному уравнениями Эйлера–Лагранжа . Затем эта фактор-алгебра преобразуется в алгебру Пуассона путем введения скобки Пуассона, выводимой из действия, называемой скобкой Пайерлса . Затем эта алгебра Пуассона ℏ-деформируется таким же образом, как и в каноническом квантовании.
В квантовой теории поля также существует способ квантования действий с помощью калибровочных «потоков» . Он включает в себя формализм Баталина–Вилковыского , расширение формализма BRST .
Одной из самых ранних попыток естественного квантования было квантование Вейля, предложенное Германом Вейлем в 1927 году. [6] Здесь делается попытка связать квантово-механическую наблюдаемую (самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве) с действительной функцией в классическом фазовом пространстве. Положение и импульс в этом фазовом пространстве отображаются в генераторы группы Гейзенберга, а гильбертово пространство появляется как групповое представление группы Гейзенберга. В 1946 году Х. Дж. Грёневольд [7] рассмотрел произведение пары таких наблюдаемых и спросил, какой будет соответствующая функция в классическом фазовом пространстве. Это привело его к открытию звездного произведения фазового пространства пары функций. В более общем смысле этот метод приводит к деформационному квантованию, где ★-произведение принимается как деформация алгебры функций на симплектическом многообразии или пуассоновом многообразии. Однако как естественная схема квантования ( функтор ) отображение Вейля неудовлетворительно.
Например, отображение Вейля классического квадрата углового момента представляет собой не только квантовый оператор квадрата углового момента, но и содержит постоянный член 3ч 2/2 . (Это дополнительное смещение члена имеет педагогическое значение, поскольку оно учитывает неисчезающий угловой момент орбиты Бора в основном состоянии в атоме водорода, даже несмотря на то, что стандартное основное состояние квантовой механики атома имеет исчезающее l .) [8]
Однако как простое изменение представления отображение Вейля полезно и важно, поскольку оно лежит в основе альтернативной эквивалентной формулировки фазового пространства традиционной квантовой механики.
В математической физике геометрическое квантование — это математический подход к определению квантовой теории, соответствующей заданной классической теории. Он пытается осуществить квантование, для которого в общем случае нет точного рецепта, таким образом, чтобы определенные аналогии между классической теорией и квантовой теорией оставались явными. Например, сходство между уравнением Гейзенберга в гейзенберговской картине квантовой механики и уравнением Гамильтона в классической физике должно быть встроено.
Более геометрический подход к квантованию, в котором классическое фазовое пространство может быть общим симплектическим многообразием, был разработан в 1970-х годах Бертрамом Костаном и Жаном-Мари Сурио . Метод осуществляется в два этапа. [9] Во-первых, once строит «предквантовое гильбертово пространство», состоящее из квадратично-интегрируемых функций (или, точнее, сечений линейного расслоения) над фазовым пространством. Здесь можно построить операторы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям, в точности соответствующим классическим соотношениям скобок Пуассона. С другой стороны, это предквантовое гильбертово пространство слишком велико, чтобы иметь физический смысл. Затем ограничиваются функциями (или сечениями), зависящими от половины переменных на фазовом пространстве, что дает квантовое гильбертово пространство.
Классическая механическая теория задается действием , при этом допустимые конфигурации являются экстремальными по отношению к функциональным вариациям действия. Квантово-механическое описание классической системы также может быть построено из действия системы с помощью формулировки интеграла по траекториям .
