Полупростой модуль

Прямая сумма неприводимых модулей

В математике , особенно в области абстрактной алгебры , известной как теория модулей , полупростой модуль или полностью приводимый модуль — это тип модуля, который можно легко понять из его частей. Кольцо , являющееся полупростым модулем над самим собой, называется артиновым полупростым кольцом . Некоторые важные кольца, такие как групповые кольца конечных групп над полями нулевой характеристики , являются полупростыми кольцами. Артиново кольцо изначально понимается через его наибольшее полупростое частное. Структура артиновых полупростых колец хорошо понятна благодаря теореме Артина–Веддерберна , которая показывает эти кольца как конечные прямые произведения матричных колец .

Аналог того же понятия в теории групп см. в разделе «Полупростое представление» .

Определение

Модуль над кольцом (не обязательно коммутативным) называется полупростым (или вполне приводимым ) , если он представляет собой прямую сумму простых ( неприводимых) подмодулей.

Для модуля M следующие условия эквивалентны:

1. M — полупростой; т. е. прямая сумма неприводимых модулей.
2. M — сумма его неприводимых подмодулей.
3. Каждый подмодуль M является прямым слагаемым : для каждого подмодуля N M существует дополнение P такое , что M = N ⊕ P.

Доказательство эквивалентности см. в разделе Полупростое представление § Эквивалентные характеризации .

Самый простой пример полупростого модуля — это модуль над полем, т. е. векторным пространством . С другой стороны, кольцо целых чисел Z не является полупростым модулем над собой, поскольку подмодуль 2 Z не является прямым слагаемым.

Полупростой сильнее, чем вполне разложимый , который представляет собой прямую сумму неразложимых подмодулей .

Пусть A — алгебра над полем K. Тогда левый модуль M над A называется абсолютно полупростым, если для любого расширения F поля K F ⊗ _K M является полупростым модулем над F ⊗ _K A .

Характеристики

• Если M полупрост и N — подмодуль , то N и M / N также полупросты.
• Произвольная прямая сумма полупростых модулей полупроста.
• Модуль M конечно порожден и полупрост тогда и только тогда, когда он артинов и его радикал равен нулю.

Кольца эндоморфизмов

• Полупростой модуль M над кольцом R можно также рассматривать как гомоморфизм колец из R в кольцо эндоморфизмов абелевой группы M . Образ этого гомоморфизма является полупримитивным кольцом , и каждое полупримитивное кольцо изоморфно такому образу.
• Кольцо эндоморфизмов полупростого модуля не только полупримитивно, но и регулярно по фон Нейману . ^[1]

Полупростые кольца

Кольцо называется (лево-) полупростым, если оно полупросто как левый модуль над собой. ^[2] Удивительно, но полупростое слева кольцо также полупросто справа, и наоборот. Таким образом, различие между левым и правым нет необходимости, и можно без двусмысленности говорить о полупростых кольцах.

Полупростое кольцо можно охарактеризовать в терминах гомологической алгебры : а именно, кольцо R полупросто тогда и только тогда, когда любая короткая точная последовательность левых (или правых) R -модулей расщепляется. То есть для короткой точной последовательности

${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0}$

существует s  : C → B такой, что композиция g ∘ s  : C → C тождественна. Карта s известна как секция. Отсюда следует, что

${\displaystyle B\cong A\oplus C}$

или более точными словами

${\displaystyle B\cong f(A)\oplus s(C).}$

В частности, любой модуль над полупростым кольцом инъективен и проективен . Поскольку «проективное» подразумевает «плоское», полупростое кольцо является регулярным кольцом фон Неймана .

Полупростые кольца представляют особый интерес для алгебраистов. Например, если базовое кольцо R полупросто, то все R -модули автоматически будут полупростыми. Более того, каждый простой (левый) R -модуль изоморфен минимальному левому идеалу кольца R , т. е. R — левое кольцо Каша .

Полупростые кольца являются как артиновыми , так и нётеровыми . Из приведенных выше свойств кольцо является полупростым тогда и только тогда, когда оно артиново и его радикал Джекобсона равен нулю.

Если артиново полупростое кольцо содержит поле в качестве центрального подкольца , оно называется полупростой алгеброй .

Примеры

• Для коммутативного кольца четыре следующих свойства эквивалентны: быть полупростым кольцом ; быть артинианским и редуцированным ; ^[3] — приведенное нётерово кольцо размерности Крулла 0; и изоморфен конечному прямому произведению полей.
• Если K — поле и G — конечная группа порядка n , то групповое кольцо K [ G ] полупросто тогда и только тогда, когда характеристика K не делит n . Это теорема Машке , важный результат в теории представлений групп .
• По теореме Веддерберна–Артина кольцо R с единицей полупросто тогда и только тогда, когда оно (изоморфно) M _{n 1} ( D ₁ ) × M _{n 2} ( D ₂ ) × ... × M _{n r} ( D _r ) , где каждое D _i является телом и каждое n _i является положительным целым числом, а M _n ( D ) обозначает кольцо n -n матриц с элементами в D .
• Примером полупростого неединичного кольца является M _∞ ( K ), бесконечные по строке, конечному столбцу, бесконечные матрицы над полем K .

Простые кольца

Следует иметь в виду, что, несмотря на терминологию, не все простые кольца являются полупростыми . Проблема в том, что кольцо может быть «слишком большим», то есть не (левым/правым) артиновым. Фактически, если R — простое кольцо с минимальным левым/правым идеалом, то R полупросто.

Классическими примерами простых, но не полупростых колец являются алгебры Вейля , такие как Q -алгебра

${\displaystyle A=\mathbf {Q} {\left[x,y\right]}/\langle xy-yx-1\rangle \ ,}$

которая представляет собой простую некоммутативную область . Эти и многие другие замечательные примеры более подробно обсуждаются в нескольких текстах по некоммутативной теории колец, включая главу 3 текста Лама, в которой они описаны как неартиновы простые кольца. Теория модулей алгебр Вейля хорошо изучена и существенно отличается от теории полупростых колец.

полупростой Якобсона

Кольцо называется полупростым по Джекобсону (или J-полупростым или полупримитивным ), если пересечение максимальных левых идеалов равно нулю, т. е. если радикал Джекобсона равен нулю. Каждое кольцо, полупростое как модуль над собой, имеет нулевой радикал Джекобсона, но не каждое кольцо с нулевым радикалом Джекобсона является полупростым как модуль над собой. J-полупростое кольцо является полупростым тогда и только тогда, когда оно является артиновым кольцом , поэтому полупростые кольца часто называют артиновыми полупростыми кольцами, чтобы избежать путаницы.

Например, кольцо целых чисел Z является J-полупростым, но не артиновым полупростым.

Смотрите также

• Цоколь
• Полупростая алгебра

Цитаты

1. Лам 2001, с. 62
2. Сенгупта 2012, с. 125
3. Бурбаки 2012, с. 133, VIII

Рекомендации

• Бурбаки, Николя (2012), Algebre Ch. 8 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-35315-7
• Джейкобсон, Натан (1989), Основная алгебра II (2-е изд.), WH Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5
• Лам, Цит-Юэн (2001), Первый курс некоммутативных колец , Тексты для аспирантов по математике , том. 131 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 978-0-387-95325-0, МР  1838439
• Ланг, Серж (2002), Алгебра (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0387953854
• Пирс, Р.С. (1982), Ассоциативные алгебры , Тексты для аспирантов по математике , Springer-Verlag , ISBN 978-1-4757-0165-4
• Сенгупта, Амбар (2012). «Индуцированные представления». Представление конечных групп: полупростое введение . Нью-Йорк. стр. 235–248. дои : 10.1007/978-1-4614-1231-1_8. ISBN 9781461412311. ОСЛК  769756134.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )