Конечная разность

Дискретный аналог производной

Конечная разность — это математическое выражение вида f  ( x + b ) − f  ( x + a ) . Если конечная разность делится на b − a , то получается разностное частное . Аппроксимация производных конечными разностями играет центральную роль в методах конечных разностей для численного решения дифференциальных уравнений , особенно краевых задач .

Оператор разности , обычно обозначаемый как оператор , отображающий функцию f в функцию, определяемую уравнением Разностное уравнение — это функциональное уравнение , которое включает в себя оператор конечной разности таким же образом, как дифференциальное уравнение включает в себя производные . Между разностными уравнениями и дифференциальными уравнениями существует много сходств, особенно в методах решения. Некоторые рекуррентные соотношения можно записать в виде разностных уравнений, заменив итеративную нотацию конечными разностями. ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta [f]}$ $${\displaystyle \Delta [f](x)=f(x+1)-f(x).}$$

В численном анализе конечные разности широко используются для аппроксимации производных, а термин «конечная разность» часто используется как сокращение от «конечно-разностная аппроксимация производных». ^{[1] [2] [3]} Конечно-разностные аппроксимации — это конечно-разностные отношения в терминологии, использованной выше.

Конечные разности были введены Бруком Тейлором в 1715 году и также изучались как абстрактные самостоятельные математические объекты в работах Джорджа Буля (1860), Л. М. Милна-Томсона (1933) и Кароя Джордана  [de] (1939). Конечные разности ведут свое происхождение от одного из алгоритмов Йоста Бюрги ( ок.  1592 ) и работ других, включая Исаака Ньютона . Формальное исчисление конечных разностей можно рассматривать как альтернативу исчислению бесконечно малых . [ ^4]

Основные типы

Три типа конечных разностей. Центральная разность относительно x дает наилучшее приближение производной функции в точке x .

Обычно рассматриваются три основных типа: прямые , обратные и центральные конечные разности. ^{[1] [2] [3]}

Апрямая разность , обозначеннаяфункциейf,являетсяфункцией, определяемой как ${\displaystyle \Delta _{h}[f],}$ $${\displaystyle \Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).}$$

В зависимости от применения, интервал h может быть переменным или постоянным. Если он опущен, h принимается равным 1; то есть, $${\displaystyle \Delta [f](x)=\Delta _{1}[f](x)=f(x+1)-f(x).}$$

Аобратная разность использует значения функции приxи x − h вместо значений при x + h и x: $${\displaystyle \nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h)=\Delta _{h}[f](x-h).}$$

Наконец,центральное различие определяется как $${\displaystyle \delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {h}{2}})-f(x-{\tfrac {h}{2}})=\Delta _{h/2}[f](x)+\nabla _{h/2}[f](x).}$$

Связь с производными инструментами

Конечная разность часто используется в качестве приближения производной, как правило, при численном дифференцировании .

Производная функции f в точке x определяется пределом $${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$$

Если h имеет фиксированное (ненулевое) значение, а не стремится к нулю, то правая часть приведенного выше уравнения будет записана как $${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}.}$$

Следовательно, прямая разность, деленная на h, аппроксимирует производную, когда h мало. Погрешность этого приближения можно вывести из теоремы Тейлора . Предполагая, что f дважды дифференцируема, имеем $${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.}$$

Та же формула справедлива и для обратной разницы: $${\displaystyle {\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.}$$

Однако центральная (также называемая центрированной) разность дает более точное приближение. Если f является трижды дифференцируемой, $${\displaystyle {\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o\left(h^{2}\right).}$$

Однако основная проблема ^{[ требуется ссылка ]} с методом центральной разности заключается в том, что осциллирующие функции могут давать нулевую производную. Если f  ( nh ) = 1 для нечетного n и f  ( nh ) = 2 для четного n , то f  ′( nh ) = 0, если она вычисляется с помощью схемы центральной разности . Это особенно проблематично, если область определения f дискретна. См. также Симметричная производная .

Авторы, для которых конечные разности означают приближения конечных разностей, определяют прямые/обратные/центральные разности как частные, приведенные в этом разделе (вместо использования определений, приведенных в предыдущем разделе). ^{[1] [2] [3]}

Различия более высокого порядка

Аналогичным образом можно получить конечно-разностные аппроксимации для производных высшего порядка и дифференциальных операторов. Например, используя приведенную выше формулу центральной разности для f  ′( x + ⁠час/2⁠ ) ​​и f  ′( x − ⁠час/2⁠ ) ​​и применяя формулу центральной разности для производной f  ′ в точке x , получаем приближение центральной разности второй производной f :

Центральный второго порядка

${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}$

Аналогичным образом мы можем рекурсивно применять и другие формулы вычисления дифференциалов.

Второй порядок вперед

${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+2h)-f(x+h)}{h}}-{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}.}$

Второй порядок назад

${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\nabla _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}-{\frac {f(x-h)-f(x-2h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x)-2f(x-h)+f(x-2h)}{h^{2}}}.}$

В более общем случае прямые, обратные и центральные разности n -го порядка определяются соответственно как

Вперед

${\displaystyle \Delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{\binom {n}{i}}f{\bigl (}x+ih{\bigr )},}$

Назад

${\displaystyle \nabla _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x-ih),}$

Центральный

${\displaystyle \delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right).}$

В этих уравнениях используются биномиальные коэффициенты после знака суммы, показанного как (^н
_я) . Каждая строкатреугольника Паскалядает коэффициент для каждого значенияi.

Обратите внимание, что центральная разность будет, для нечетных n , иметь h, умноженное на нецелые числа. Это часто является проблемой, поскольку это равносильно изменению интервала дискретизации. Проблема может быть устранена заменой среднего значения и ${\displaystyle \ \delta ^{n}[f](\ x-{\tfrac {\ h\ }{2}}\ )\ }$ ${\displaystyle \ \delta ^{n}[f](\ x+{\tfrac {\ h\ }{2}}\ )~.}$

Прямые разности, применяемые к последовательности , иногда называются биномиальным преобразованием последовательности и обладают рядом интересных комбинаторных свойств. Прямые разности можно оценить с помощью интеграла Нёрлунда–Райса . Интегральное представление для этих типов рядов интересно, потому что интеграл часто можно оценить с помощью асимптотического разложения или методов седловой точки ; напротив, ряд прямых разностей может быть чрезвычайно трудно оценить численно, потому что биномиальные коэффициенты быстро растут при больших n .

Связь этих разностей более высокого порядка с соответствующими производными очевидна, $${\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+o(h)={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+o(h)={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+o\left(h^{2}\right).}$$

Разности более высокого порядка также могут использоваться для построения лучших приближений. Как упоминалось выше, разность первого порядка аппроксимирует производную первого порядка до члена порядка h . Однако комбинация аппроксимирует f  ′( x ) до члена порядка h ² . Это можно доказать, разложив приведенное выше выражение в ряд Тейлора или используя исчисление конечных разностей, описанное ниже. $${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}}$$

При необходимости конечную разность можно центрировать относительно любой точки, смешивая прямые, обратные и центральные разности.

Полиномы

Для заданного полинома степени n ≥ 1 , выраженного функцией P ( x ) , с действительными числами a ≠ 0 и b и членами низшего порядка (если таковые имеются), отмеченными как lot : $${\displaystyle P(x)=ax^{n}+bx^{n-1}+l.o.t.}$$

После n попарных разностей можно получить следующий результат, где h ≠ 0 — действительное число, обозначающее арифметическую разность: ^[5] $${\displaystyle \Delta _{h}^{n}[P](x)=ah^{n}n!}$$

Остается только коэффициент при члене высшего порядка. Поскольку этот результат постоянен относительно x , любые дальнейшие парные разности будут иметь значение 0 .

Индуктивное доказательство

Базовый вариант

Пусть Q ( x ) — многочлен степени 1 : $${\displaystyle \Delta _{h}[Q](x)=Q(x+h)-Q(x)=[a(x+h)+b]-[ax+b]=ah=ah^{1}1!}$$

Это доказывает это для базового варианта.

Индуктивный шаг

Пусть R ( x ) — многочлен степени m  − 1 , где m ≥ 2 , а коэффициент при члене наивысшего порядка равен a ≠ 0. Предположим, что для всех многочленов степени m  − 1 справедливо следующее : $${\displaystyle \Delta _{h}^{m-1}[R](x)=ah^{m-1}(m-1)!}$$

Пусть S ( x ) — многочлен степени m . С одной попарной разностью: $${\displaystyle \Delta _{h}[S](x)=[a(x+h)^{m}+b(x+h)^{m-1}+{\text{l.o.t.}}]-[ax^{m}+bx^{m-1}+{\text{l.o.t.}}]=ahmx^{m-1}+{\text{l.o.t.}}=T(x)}$$

Поскольку ahm ≠ 0 , это приводит к полиному T ( x ) степени m − 1 , с ahm в качестве коэффициента члена самого высокого порядка. Учитывая вышеизложенное предположение и m − 1 парных разностей (что в сумме дает m парных разностей для S ( x ) ), можно найти, что: $${\displaystyle \Delta _{h}^{m-1}[T](x)=ahm\cdot h^{m-1}(m-1)!=ah^{m}m!}$$

Это завершает доказательство.

Приложение

Это тождество можно использовать для нахождения полинома наименьшей степени, который пересекает ряд точек ( x , y ) , где разница на оси x от одной точки до другой является константой h ≠ 0. Например, если даны следующие точки:

Мы можем использовать таблицу разностей, где для всех ячеек справа от первой y для ячейки ( a + 1, b + 1) существует следующая связь с ячейками в столбце, расположенном непосредственно слева , при этом самая верхняя левая ячейка имеет координаты (0, 0) : $${\displaystyle (a+1,b+1)=(a,b+1)-(a,b)}$$

Для нахождения первого члена можно воспользоваться следующей таблицей:

Это приводит к константе 648. Арифметическая разность равна h = 3 , как установлено выше. Учитывая количество парных разностей, необходимых для достижения константы, можно предположить, что это многочлен степени 3. Таким образом, используя тождество выше: $${\displaystyle 648=a\cdot 3^{3}\cdot 3!=a\cdot 27\cdot 6=a\cdot 162}$$

Решая относительно a , можно найти, что оно имеет значение 4. Таким образом, первый член многочлена равен 4 x ³ .

Затем вычитаем первый член, что понижает степень многочлена, и снова находим конечную разность:

Здесь константа достигается всего за две попарные разности, отсюда следующий результат: $${\displaystyle -306=a\cdot 3^{2}\cdot 2!=a\cdot 18}$$

Решая относительно a , что равно −17 , второй член многочлена равен −17 x ² .

Переходим к следующему члену, вычитая второй член:

Таким образом, константа достигается всего лишь после одной попарной разности: $${\displaystyle 108=a\cdot 3^{1}\cdot 1!=a\cdot 3}$$

Можно найти, что a = 36 и, таким образом, третий член многочлена равен 36 x . Вычитаем третий член:

Без каких-либо попарных различий обнаруживается, что 4-й и последний член многочлена есть константа −19 . Таким образом, находится многочлен наименьшей степени, пересекающий все точки в первой таблице: $${\displaystyle 4x^{3}-17x^{2}+36x-19}$$

Ядра произвольного размера

Используя линейную алгебру, можно построить конечно-разностные аппроксимации, которые используют произвольное число точек слева и (возможно, разное) число точек справа от точки оценки для производной любого порядка. Это включает решение линейной системы таким образом, чтобы разложение Тейлора суммы этих точек вокруг точки оценки наилучшим образом приближало разложение Тейлора желаемой производной. Такие формулы можно представить графически на шестиугольной или ромбовидной сетке. ^[6] Это полезно для дифференцирования функции на сетке, где по мере приближения к краю сетки нужно выбирать все меньше и меньше точек с одной стороны. ^[7] Конечно-разностные аппроксимации для нестандартных (и даже нецелых) шаблонов, заданных произвольным шаблоном и желаемым порядком производной, могут быть построены. ^[8]

Характеристики

• Для всех положительных k и n $${\displaystyle \Delta _{kh}^{n}(f,x)=\sum \limits _{i_{1}=0}^{k-1}\sum \limits _{i_{2}=0}^{k-1}\cdots \sum \limits _{i_{n}=0}^{k-1}\Delta _{h}^{n}\left(f,x+i_{1}h+i_{2}h+\cdots +i_{n}h\right).}$$
• Правило Лейбница : $${\displaystyle \Delta _{h}^{n}(fg,x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\Delta _{h}^{k}(f,x)\Delta _{h}^{n-k}(g,x+kh).}$$

В дифференциальных уравнениях

Важное применение конечных разностей — численный анализ , особенно в числовых дифференциальных уравнениях , которые направлены на численное решение обыкновенных и частных дифференциальных уравнений . Идея состоит в том, чтобы заменить производные, появляющиеся в дифференциальном уравнении, конечными разностями, которые их аппроксимируют. Полученные методы называются методами конечных разностей .

Метод конечных разностей широко применяется в вычислительной науке и инженерных дисциплинах, таких как теплотехника , механика жидкости и т. д.

Ряд Ньютона

Ряд Ньютона состоит из членов прямого разностного уравнения Ньютона , названного в честь Исаака Ньютона ; по сути, это интерполяционная формула Грегори–Ньютона ^[9] (названная в честь Исаака Ньютона и Джеймса Грегори ), впервые опубликованная в его Principia Mathematica в 1687 году, ^{[10] [11]} а именно дискретный аналог непрерывного разложения Тейлора,

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}\,(x-a)_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {x-a}{k}}\,\Delta ^{k}[f](a),}$

которое справедливо для любой полиномиальной функции f и для многих (но не всех) аналитических функций . (Это не справедливо, когда f имеет экспоненциальный тип . Это легко увидеть, поскольку функция синуса обращается в нуль при целых кратных ; соответствующий ряд Ньютона тождественно равен нулю, поскольку все конечные разности в этом случае равны нулю. Тем не менее, очевидно, что функция синуса не равна нулю.) Здесь выражение является биномиальным коэффициентом , а является « падающим факториалом » или «нижним факториалом», в то время как пустое произведение ( x ) ₀ определяется как равное 1. В этом конкретном случае предполагается наличие единичных шагов для изменений значений x , h = 1 обобщения ниже. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle {\binom {x}{k}}={\frac {(x)_{k}}{k!}}}$$ $${\displaystyle (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}$$

Обратите внимание на формальное соответствие этого результата теореме Тейлора . Исторически это, а также тождество Чу-Вандермонда ( вытекающее из него и соответствующее биномиальной теореме ), включены в наблюдения, которые созрели до системы теневого исчисления . $${\displaystyle (x+y)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x)_{n-k}\,(y)_{k},}$$

Разложения в ряд Ньютона могут превосходить разложения в ряд Тейлора при применении к дискретным величинам, таким как квантовые спины (см. преобразование Холстейна–Примакова ), бозонные операторные функции или дискретная статистика подсчета. ^[12]

Чтобы проиллюстрировать, как можно использовать формулу Ньютона на практике, рассмотрим первые несколько членов удвоения последовательности Фибоначчи f = 2, 2, 4, ... Можно найти многочлен , который воспроизводит эти значения, сначала вычислив таблицу разностей, а затем подставив разности, соответствующие x ₀ (подчеркнуты), в формулу следующим образом: $${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline x&f=\Delta ^{0}&\Delta ^{1}&\Delta ^{2}\\\hline 1&{\underline {2}}&&\\&&{\underline {0}}&\\2&2&&{\underline {2}}\\&&2&\\3&4&&\\\hline \end{array}}&\quad {\begin{aligned}f(x)&=\Delta ^{0}\cdot 1+\Delta ^{1}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{1}}{1!}}+\Delta ^{2}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{2}}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\\\&=2\cdot 1+0\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\\\&=2+(x-1)(x-2)\\\end{aligned}}\end{matrix}}}$$

Для случая неравномерных шагов в значениях x Ньютон вычисляет разделенные разности , ряды произведений, и полученный полином является скалярным произведением , ^[13] $${\displaystyle \Delta _{j,0}=y_{j},\qquad \Delta _{j,k}={\frac {\Delta _{j+1,k-1}-\Delta _{j,k-1}}{x_{j+k}-x_{j}}}\quad \ni \quad \left\{k>0,\;j\leq \max \left(j\right)-k\right\},\qquad \Delta 0_{k}=\Delta _{0,k}}$$ $${\displaystyle {P_{0}}=1,\quad \quad P_{k+1}=P_{k}\cdot \left(\xi -x_{k}\right),}$$ $${\displaystyle f(\xi )=\Delta 0\cdot P\left(\xi \right).}$$

При анализе с p - адическими числами теорема Малера утверждает, что предположение о том, что f является полиномиальной функцией, можно ослабить вплоть до предположения, что f просто непрерывна.

Теорема Карлсона дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы ряд Ньютона был единственным, если он существует. Однако ряд Ньютона, в общем случае, не существует.

Ряд Ньютона, наряду с рядом Стирлинга и рядом Сельберга , является частным случаем общего разностного ряда , каждый из которых определяется в терминах соответствующим образом масштабированных прямых разностей.

В сжатом и немного более общем виде и с равноудаленными узлами формула выглядит так: $${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}{\binom {\frac {x-a}{h}}{k}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}f(a+jh).}$$

Исчисление конечных разностей

Прямую разность можно рассматривать как оператор , называемый оператором разности , который отображает функцию f в Δ _h [  f  ] . ^{[14] [15]} Этот оператор равен где  T _h — оператор сдвига с шагом h , определяемый как T _h [  f  ]( x ) = f  ( x + h )  , а  I  — оператор тождества . $${\displaystyle \Delta _{h}=\operatorname {T} _{h}-\operatorname {I} \ ,}$$  

Конечную разность высших порядков можно определить рекурсивно как Δ ^н
_ч≡ Δh ₍ Δ^{н − 1}
_ч)  . Другое эквивалентное определение — Δ ^н
_ч≡ [Т _ч − Я ] ^н  .

Оператор разности Δ _h является линейным оператором , поэтому он удовлетворяет условию Δ _h [  α f + β g  ]( x ) = α Δ _h [  f  ]( x ) + β Δ _h [ g ]( x )  . 

Он также удовлетворяет специальному правилу Лейбница :

${\displaystyle \ \operatorname {\Delta } _{h}{\bigl (}\ f(x)\ g(x)\ {\bigr )}\ =\ {\bigl (}\ \operatorname {\Delta } _{h}f(x)\ {\bigr )}\ g(x+h)\ +\ f(x)\ {\bigl (}\ \operatorname {\Delta } _{h}g(x)\ {\bigr )}~.}$

Аналогичные правила Лейбница справедливы для обратных и центральных разностей.

Формальное применение ряда Тейлора относительно h дает операторное уравнение , где D обозначает обычный непрерывный оператор производной, отображающий f в его производную f  ′  . Разложение справедливо, когда обе стороны действуют на аналитические функции , для достаточно малого h ; в особом случае, когда ряд производных заканчивается (когда функция, над которой действует, является конечным многочленом ), выражение является точным для всех конечных размеров шага, h . Таким образом, T _h = e ^{h D}  , и формальное обращение экспоненты дает Эта формула верна в том смысле, что оба оператора дают одинаковый результат при применении к многочлену. $${\displaystyle \operatorname {\Delta } _{h}=h\operatorname {D} +{\frac {1}{2!}}h^{2}\operatorname {D} ^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}\operatorname {D} ^{3}+\cdots =e^{h\operatorname {D} }-\operatorname {I} \ ,}$$    $${\displaystyle h\operatorname {D} =\ln(1+\Delta _{h})=\Delta _{h}-{\tfrac {1}{2}}\,\Delta _{h}^{2}+{\tfrac {1}{3}}\,\Delta _{h}^{3}-\cdots ~.}$$

Даже для аналитических функций ряд справа не гарантированно сходится; он может быть асимптотическим рядом . Однако его можно использовать для получения более точных приближений для производной. Например, сохранение первых двух членов ряда дает приближение второго порядка к f  ′( x ), упомянутое в конце раздела § Разности более высокого порядка .

Аналогичные формулы для операторов обратной и центральной разности имеют вид $${\displaystyle h\operatorname {D} =-\ln(1-\nabla _{h})\quad {\text{ and }}\quad h\operatorname {D} =2\operatorname {arsinh} \left({\tfrac {1}{2}}\,\delta _{h}\right)~.}$$

Исчисление конечных разностей связано с теневым исчислением комбинаторики. Это замечательное систематическое соответствие обусловлено тождественностью коммутаторов теневых величин с их континуальными аналогами ( пределы h → 0 ),

${\displaystyle \left[{\frac {\Delta _{h}}{h}},x\,\operatorname {T} _{h}^{-1}\right]=[\operatorname {D} ,x]=I.}$

Большое количество формальных дифференциальных соотношений стандартного исчисления, включающих функции   f  ( x ),   таким образом, систематически отображаются в теневые конечно-разностные аналоги, включающие f  ( x T ⁻¹
_ч.)  .

Например, теневой аналог монома x ⁿ является обобщением указанного выше убывающего факториала ( k-символа Похгаммера ), так что отсюда следует указанная выше формула интерполяции Ньютона (путем сопоставления коэффициентов в разложении произвольной функции   f  ( x )   в таких символах) и т. д. $${\displaystyle \ (x)_{n}\equiv \left(\ x\ \operatorname {T} _{h}^{-1}\right)^{n}=x\left(x-h\right)\left(x-2h\right)\cdots {\bigl (}x-\left(n-1\right)\ h{\bigr )}\ ,}$$ $${\displaystyle \ {\frac {\Delta _{h}}{h}}(x)_{n}=n\ (x)_{n-1}\ ,}$$

Например, теневой синус равен $${\displaystyle \ \sin \left(x\ \operatorname {T} _{h}^{-1}\right)=x-{\frac {(x)_{3}}{3!}}+{\frac {(x)_{5}}{5!}}-{\frac {(x)_{7}}{7!}}+\cdots \ }$$

Как и в пределе континуума , собственная функция   ⁠Δ _ч/час⁠   также бывает экспоненциальным,

${\displaystyle \ {\frac {\Delta _{h}}{h}}(1+\lambda h)^{\frac {x}{h}}={\frac {\Delta _{h}}{h}}e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}}=\lambda e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}}\ ,}$

и, следовательно, суммы Фурье континуальных функций легко и точно отображаются в теневые суммы Фурье , т.е., включающие те же коэффициенты Фурье, умножающие эти теневые базисные экспоненты. ^[16] Таким образом, эта теневая экспонента равна экспоненциальной производящей функции символов Похгаммера .

Так, например, дельта-функция Дирака отображается на свой теневой аналог, функцию кардинального синуса и т. д. ^[17] Разностные уравнения часто можно решить с помощью методов, очень похожих на методы решения дифференциальных уравнений . $${\displaystyle \ \delta (x)\mapsto {\frac {\sin \left[{\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {x}{h}}\right)\right]}{\pi (x+h)}}\ ,}$$

Обратный оператор прямого разностного оператора, то есть теневой интеграл, представляет собой оператор неопределенной суммы или антиразностный оператор.

Правила исчисления операторов конечных разностей

Аналогично правилам нахождения производной имеем:

• Правило константы : Если c — константа , то $${\displaystyle \ \Delta c=0\ }$$
• Линейность : если a и b — константы , $${\displaystyle \ \Delta (a\ f+b\ g)=a\ \Delta f+b\ \Delta g\ }$$

Все вышеперечисленные правила применимы в равной степени к любому оператору разности , включая δ и ∇  . 

• Правило продукта : $${\displaystyle {\begin{aligned}\ \Delta (fg)&=f\,\Delta g+g\,\Delta f+\Delta f\,\Delta g\\[4pt]\nabla (fg)&=f\,\nabla g+g\,\nabla f-\nabla f\,\nabla g\ \end{aligned}}}$$
• Правило частного :или $${\displaystyle \ \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)=\left.\left(\det {\begin{bmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{bmatrix}}\right)\right/\left(g\cdot \det {\begin{bmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{bmatrix}}\right)}$$ $${\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\nabla f-f\,\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}}\ }$$
• Правила суммирования : $${\displaystyle {\begin{aligned}\ \sum _{n=a}^{b}\Delta f(n)&=f(b+1)-f(a)\\\sum _{n=a}^{b}\nabla f(n)&=f(b)-f(a-1)\ \end{aligned}}}$$

См. ссылки. ^{[18] [19] [20] [21]}

Обобщения

• Обобщенная конечная разность обычно определяется как где μ = ( μ ₀ , …, μ _N ) — ее вектор коэффициентов. Бесконечная разность — это дальнейшее обобщение, где конечная сумма выше заменяется бесконечным рядом . Другой способ обобщения — сделать коэффициенты μ _k зависящими от точки x : μ _k = μ _k ( x ) , таким образом рассматривая взвешенную конечную разность . Также можно сделать шаг h зависящим от точки x : h = h ( x ) . Такие обобщения полезны для построения различных модулей непрерывности . $${\displaystyle \Delta _{h}^{\mu }[f](x)=\sum _{k=0}^{N}\mu _{k}f(x+kh),}$$
• Обобщенную разность можно рассматривать как полиномиальные кольца R [ T _h ] . Это приводит к разностным алгебрам.
• Оператор разности обобщается до обращения Мёбиуса над частично упорядоченным множеством .
• Как оператор свертки: С помощью формализма алгебр инцидентности операторы разности и другие инверсии Мёбиуса могут быть представлены сверткой с функцией на частично упорядоченном множестве, называемой функцией Мёбиуса μ ; для оператора разности μ — это последовательность (1, −1, 0, 0, 0, …) .

Многомерные конечные разности

Конечные разности можно рассматривать по более чем одной переменной. Они аналогичны частным производным по нескольким переменным.

Некоторые приближения частных производных: $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h}}\\f_{y}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-f(x,y-k)}{2k}}\\f_{xx}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)}{h^{2}}}\\f_{yy}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-2f(x,y)+f(x,y-k)}{k^{2}}}\\f_{xy}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y-k)-f(x-h,y+k)+f(x-h,y-k)}{4hk}}.\end{aligned}}}$$

В качестве альтернативы для приложений, в которых вычисление f является наиболее затратным шагом и необходимо вычислять как первую, так и вторую производные, более эффективной формулой для последнего случая является, поскольку единственными значениями для вычисления, которые еще не нужны для предыдущих четырех уравнений, являются f  ( x + h , y + k ) и f  ( x − h , y − k ) . $${\displaystyle f_{xy}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k)+2f(x,y)-f(x-h,y)-f(x,y-k)+f(x-h,y-k)}{2hk}},}$$

Смотрите также

• Дискретное исчисление
• Разделенные различия
• Метод конечных разностей во временной области (FDTD)
• Метод конечного объема
• Схема FTCS
• Гипотеза Гилбрета
• последовательность Шеффера
• Суммирование по частям
• Исчисление шкалы времени
• Схема дифференциации против ветра для конвекции

Ссылки

1. Пол Уилмотт; Сэм Хоуисон; Джефф Дьюинн (1995). Математика финансовых производных: введение для студентов . Cambridge University Press. стр. 137. ISBN 978-0-521-49789-3.
2. Питер Олвер (2013). Введение в уравнения с частными производными . Springer Science & Business Media. стр. 182. ISBN 978-3-319-02099-0.
3. M Hanif Chaudhry (2007). Поток в открытом канале . Springer. стр. 369. ISBN 978-0-387-68648-6.
4. Джордан, op. cit., стр. 1 и Милн-Томсон, стр. xxi. Милн-Томсон, Луи Мелвилл (2000): Исчисление конечных разностей (Chelsea Pub Co, 2000) ISBN 978-0821821077 
5. "Конечные разности многочленов". 13 февраля 2018 г.
6. Фрейзер, Дункан К. (1 января 1909 г.). «О графическом изображении интерполяционных формул». Журнал Института актуариев . 43 (2): 235–241. doi :10.1017/S002026810002494X . Получено 17 апреля 2017 г.
7. примечания
8. Калькулятор коэффициентов конечных разностей
9. Burkard Polster /Mathologer (2021). «Почему они не преподают исчисление Ньютона «Что будет дальше?»» на YouTube
10. Ньютон, Исаак (1687). «Начала», книга III, лемма V, случай 1.
11. Ярослав В. Благушин (2018). «Три заметки о представлениях Сера и Хассе для дзета-функций» (PDF) . Целые числа (Электронный журнал комбинаторной теории чисел) . 18A : 1–45. arXiv : 1606.02044 .
12. Кёниг, Юрген; Хухт, Фред (2021). «Разложение бозонных операторных функций в ряд Ньютона». SciPost Physics . 10 (1): 007. arXiv : 2008.11139 . Bibcode :2021ScPP...10....7K. doi : 10.21468/SciPostPhys.10.1.007 . S2CID  221293056.
13. Рихтмейер, Д. и Мортон, К. У. (1967). Разностные методы решения задач с начальными значениями , 2-е изд., Wiley, Нью-Йорк.
14. Буль, Джордж (1872). Трактат об исчислении конечных разностей (2-е изд.). Macmillan and Company – через интернет-архив .Также имеется переиздание Dover, 1960 г.
15. Джордан, Чарльз (1965) [1939]. Исчисление конечных разностей. Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8284-0033-6– через Google Книги.
16. Zachos, C. (2008). «Темные деформации в дискретном пространстве-времени». International Journal of Modern Physics A. 23 ( 13): 200–214. arXiv : 0710.2306 . Bibcode :2008IJMPA..23.2005Z. doi :10.1142/S0217751X08040548. S2CID  16797959.
17. Curtright, TL; Zachos, CK (2013). "Umbral Vade Mecum". Frontiers in Physics . 1 : 15. arXiv : 1304.0429 . Bibcode : 2013FrP.....1...15C. doi : 10.3389/fphy.2013.00015 . S2CID  14106142.
18. Леви, Х.; Лессман, Ф. (1992). Уравнения конечных разностей . Довер. ISBN 0-486-67260-3.
19. Ames, WF (1977). Численные методы для уравнений с частными производными . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Academic Press. Раздел 1.6. ISBN 0-12-056760-1.
20. Хильдебранд, Ф. Б. (1968). Конечно-разностные уравнения и моделирование . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall. Раздел 2.2.
21. Флажоле, Филипп; Седжвик, Роберт (1995). «Преобразования Меллина и асимптотика: конечные разности и интегралы Райса» (PDF) . Теоретическая информатика . 144 (1–2): 101–124. doi :10.1016/0304-3975(94)00281-M.

• Ричардсон, CH (1954): Введение в исчисление конечных разностей (Ван Ностранд (1954) онлайн-копия
• Микенс, Р. Э. (1991): Разностные уравнения: теория и приложения (Чепмен и Холл/CRC) ISBN 978-0442001360 

Внешние ссылки

• «Конечно-разностное исчисление», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Таблица полезных формул конечных разностей, созданных с помощью Mathematica
• D. Gleich (2005), Конечное исчисление: Учебное пособие по решению сложных задач
• Дискретная вторая производная от неравномерно расположенных точек