Пропорциональность (математика)

В математике две последовательности чисел, часто экспериментальные данные , пропорциональны или прямо пропорциональны, если их соответствующие элементы имеют постоянное соотношение . Это соотношение называется коэффициентом пропорциональности (или константой пропорциональности ), а обратная ему величина известна как константа нормализации (или константа нормализации ). Две последовательности обратно пропорциональны, если соответствующие элементы имеют постоянное произведение, также называемое коэффициентом пропорциональности.

Это определение обычно распространяется на связанные переменные величины, которые часто называют переменными . Это значение переменной не является общепринятым значением этого термина в математике (см. переменная (математика) ); эти две разные концепции имеют одно и то же название по историческим причинам.

Две функции и пропорциональны , если их отношение является постоянной функцией . ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle g (x)}$ ${\textstyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}$

Если несколько пар переменных имеют одну и ту же константу прямой пропорциональности, уравнение, выражающее равенство этих отношений, называется пропорцией , например: $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}а/б"="Икс/й= ⋯ = k$ (подробнее см. Соотношение ). Пропорциональность тесно связана с линейностью .

Прямая пропорциональность

Учитывая независимую переменную x и зависимую переменную y , y прямо пропорциональна x [ ^1], если существует ненулевая константа k такая, что:

y=kx

Отношение часто обозначается символами «∝» (не путать с греческой буквой альфа ) или «~», за исключением японских текстов, где «~» зарезервировано для интервалов:

y\propto x

(или )

y\sim x

Ибо константу пропорциональности можно выразить как соотношение: $х\neq 0$

k={\frac {y}{x}}

Ее еще называют константой вариации или константой пропорциональности .

Прямую пропорциональность также можно рассматривать как линейное уравнение с двумя переменными с точкой пересечения y , равной $0$ , и наклоном k . Это соответствует линейному росту .

Примеры

Если объект движется с постоянной скоростью , то пройденное расстояние прямо пропорционально времени , потраченному на перемещение, причем скорость является константой пропорциональности.
Длина окружности прямо пропорциональна ее диаметру , причем константа пропорциональности равна π .
На карте достаточно небольшой географической области, нарисованной в масштабе расстояний, расстояние между любыми двумя точками на карте прямо пропорционально расстоянию по прямой между двумя местоположениями, представленными этими точками; константой пропорциональности является масштаб карты.
Сила , действующая на небольшой объект с небольшой массой со стороны близлежащей большой протяженной массы под действием силы тяжести , прямо пропорциональна массе объекта; константа пропорциональности между силой и массой известна как гравитационное ускорение .
Чистая сила, действующая на объект, пропорциональна ускорению этого объекта относительно инерциальной системы отсчета. Константа пропорциональности во втором законе Ньютона — это классическая масса объекта.

Обратная пропорциональность

Две переменные обратно пропорциональны (также называемые изменяющимися обратно пропорционально , в обратной вариации , в обратной пропорции ) ^[2] , если каждая из переменных прямо пропорциональна мультипликативной обратной (обратной) величине другой, или, что то же самое, если их произведение является константой. ^[3] Отсюда следует, что переменная y обратно пропорциональна переменной x , если существует ненулевая константа k такая, что

y={\frac {k}{x}}

или, что эквивалентно, . Следовательно, константа « k » является произведением x и y . $xy=k$

График двух переменных, обратно изменяющихся на декартовой координатной плоскости, представляет собой прямоугольную гиперболу . Произведение значений x и y каждой точки кривой равно константе пропорциональности ( k ). Поскольку ни x, ни y не могут равняться нулю (поскольку k не равно нулю), график никогда не пересекает ни одну из осей.

Прямая и обратная пропорциональность контрастируют следующим образом: в прямой зависимости переменные увеличиваются или уменьшаются вместе. При обратной пропорциональности увеличение одной переменной связано с уменьшением другой. Например, в путешествии постоянная скорость определяет прямую пропорцию между расстоянием и пройденным временем; напротив, для заданного расстояния (константы) время путешествия обратно пропорционально скорости: s × t = d .

Гиперболические координаты

Понятия прямой и обратной пропорциональности приводят к расположению точек на декартовой плоскости по гиперболическим координатам ; две координаты соответствуют константе прямой пропорциональности, указывающей, что точка находится на определенном луче , и константе обратной пропорциональности, указывающей, что точка находится на определенной гиперболе .

Компьютерное кодирование

Символы Юникода , обозначающие пропорциональность, следующие:

U+221D ∝ ПРОПОРЦИОНАЛЬНО ( ∝, ∝, ∝, ∝, ∝ )
U+007E ~ ТИЛЬДА
U + 2237 ∷ ПРОПОРЦИЯ
U+223C ∼ ОПЕРАТОР ТИЛЬДА ( ∼, ∼, ∼, ∼ )
U+223A ∺ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОПОРЦИЯ ( ∺ )

Смотрите также

Рост

Примечания

^ Вайсштейн, Эрик В. «Прямо пропорционально». MathWorld — веб-ресурс Wolfram.
^ «Обратная вариация». math.net . Проверено 31 октября 2021 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Обратно пропорционально». MathWorld — веб-ресурс Wolfram.