Переменная (математика)

Символ, представляющий математический объект

В математике переменная (от латинского variabilis — «изменяемая») — это символ , обозначающий математический объект . Переменная может представлять число , вектор , матрицу , функцию , аргумент функции , набор или элемент набора. ^[1]

Алгебраические вычисления с переменными, как если бы они были явными числами, решают ряд задач за одно вычисление. Например, квадратная формула решает любое квадратное уравнение , заменяя числовыми значениями коэффициентов этого уравнения переменные, которые представляют их в квадратной формуле. В математической логике переменная — это либо символ, представляющий неопределенный термин теории ( метапеременная ), либо базовый объект теории, которым манипулируют без обращения к его возможной интуитивной интерпретации.

История

В древних произведениях, таких как «Начала» Евклида , отдельные буквы обозначают геометрические точки и формы. В VII веке Брахмагупта использовал разные цвета для обозначения неизвестных в алгебраических уравнениях «Брахмаспхутасиддханты» . Один раздел этой книги называется «Уравнения нескольких цветов». ^[2]

В конце 16 века Франсуа Виет ввел идею представления известных и неизвестных чисел буквами, которые сейчас называются переменными, и идею вычислений с ними, как если бы они были числами, — чтобы получить результат простой заменой. Соглашение Вьета заключалось в том, чтобы использовать согласные для известных значений и гласные для неизвестных. ^[3]

В 1637 году Рене Декарт «изобрёл соглашение о представлении неизвестных в уравнениях через x , y и z , а известных — через a , b и c ». ^[4] Вопреки условностям Вьета, термин Декарта все еще широко используется. История буквы x в математике обсуждалась в статье Scientific American 1887 года . ^[5]

Начиная с 1660-х годов Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц независимо друг от друга разработали исчисление бесконечно малых , которое по сути состоит в изучении того, как бесконечно малое изменение переменной величины вызывает соответствующее изменение другой величины, которая является функцией первой переменной. Почти столетие спустя Леонард Эйлер закрепил терминологию исчисления бесконечно малых и ввёл обозначение y = f ( x ) для функции f , её переменной x и её значения y . До конца XIX века слово « переменная» относилось почти исключительно к аргументам и значениям функций.

Во второй половине XIX века выяснилось, что основы исчисления бесконечно малых не были достаточно формализованы, чтобы справиться с очевидными парадоксами, такими как нигде не дифференцируемая непрерывная функция . Чтобы решить эту проблему, Карл Вейерштрасс ввел новый формализм, состоящий в замене интуитивного понятия предела формальным определением. Старое понятие предела заключалось в том, что «когда переменная x изменяется и стремится к a , тогда f ( x ) стремится к L », без какого-либо точного определения «тенденции». Вейерштрасс заменил это предложение формулой

${\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \eta >0)(\forall x)\;|x-a|<\eta \Rightarrow |L-f(x)|<\epsilon ,}$

при котором ни одна из пяти переменных не считается изменяющейся.

Эта статическая формулировка привела к современному понятию переменной, которая представляет собой просто символ, представляющий математический объект , который либо неизвестен, либо может быть заменен любым элементом заданного набора ( например, набора действительных чисел ).

Обозначения

Переменные обычно обозначаются одной буквой, чаще всего латинского алфавита и реже греческого , которая может быть как строчной, так и заглавной. За буквой может следовать нижний индекс: число (как в x ₂ ), другая переменная ( x _i ), слово или сокращение слова ( x _total ) или математическое выражение ( x _{2 i + 1} ). Под влиянием информатики некоторые имена переменных в чистой математике состоят из нескольких букв и цифр. Следуя Рене Декарту (1596–1650), буквы в начале алфавита, такие как a , b , c, обычно используются для известных значений и параметров, а буквы в конце алфавита, такие как ( x , y , z ), обозначают известные значения и параметры. обычно используется для неизвестных и переменных функций. ^[6] В печатной математике принято выделять переменные и константы курсивом. ^[7]

Например, общая квадратичная функция обычно записывается как , где a , b и c — параметры (также называемые константами , поскольку они являются постоянными функциями ), а x — переменная функции. Более явный способ обозначения этой функции — , который поясняет статус функции-аргумента x и постоянный статус a , b и c . Поскольку c встречается в термине, который является постоянной функцией x , его называют постоянным термином . ^[8] ${\textstyle ax^{2}+bx+c\,}$ ${\textstyle x\mapsto ax^{2}+bx+c\,}$

В конкретных областях и приложениях математики существуют определенные соглашения об именах переменных. Переменным со схожими ролями или значениями часто присваиваются последовательные буквы или одна и та же буква с разными индексами. Например, три оси в трехмерном координатном пространстве условно называются x , y и z . В физике имена переменных во многом определяются описываемой ими физической величиной , но существуют различные соглашения об именах. В теории вероятности и статистике часто соблюдается соглашение, заключающееся в использовании X , Y , Z для имен случайных величин , оставляя x , y , z для переменных, представляющих соответствующие более определенные значения.

Определенные виды переменных

Обычно переменные играют разные роли в одной и той же математической формуле, и для их различения были введены имена или квалификаторы. Например, общее кубическое уравнение

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,}$

интерпретируется как наличие пяти переменных: четыре, a , b , c , d , которые считаются заданными числами, а пятая переменная, x , понимается как неизвестное число. Чтобы различать их, переменная x называется неизвестной , а другие переменные называются параметрами или коэффициентами , а иногда и константами , хотя эта последняя терминология неверна для уравнения и должна быть зарезервирована для функции, определяемой левой частью этого уравнения.

В контексте функций термин переменная обычно относится к аргументам функций. Обычно это происходит в таких предложениях, как « функция действительной переменной », « x — переменная функции f : x ↦ f ( x ) », « f — функция переменной x » (это означает, что аргумент на функцию ссылается переменная x ).

В том же контексте переменные, независимые от x, определяют постоянные функции и поэтому называются константами . Например, константа интегрирования — это произвольная постоянная функция, которая добавляется к определенной первообразной для получения других первообразных. Из-за сильной связи между полиномами и полиномиальными функциями термин «константа» часто используется для обозначения коэффициентов многочлена, которые являются постоянными функциями неопределенных.

Такое использование слова «константа» как сокращения «постоянной функции» следует отличать от обычного значения этого слова в математике. Константа , или математическая константа, — это хорошо и однозначно определенное число или другой математический объект, как, например, числа 0, 1, π и единичный элемент группы . Поскольку переменная может представлять любой математический объект, букву, обозначающую константу, часто называют переменной. Это, в частности, случай e и π , даже если они представляют число Эйлера и 3,14159...

Другие конкретные имена переменных:

• Неизвестная — это переменная в уравнении , которую необходимо решить.
• Неопределенный — это символ, обычно называемый переменной, который появляется в полиноме или формальном степенном ряду . Формально говоря, неопределенное — это не переменная, а константа в кольце многочленов или кольце формальных степенных рядов . Однако из-за сильной связи между полиномами или степенными рядами и функциями , которые они определяют, многие авторы рассматривают неопределенные переменные как особый вид переменных.
• Параметр — это величина (обычно число), которая является частью входных данных задачи и остается постоянной в течение всего решения этой задачи. Например, в механике масса и размер твердого тела являются параметрами для изучения его движения. В информатике параметр имеет другое значение и обозначает аргумент функции.
• Свободные переменные и связанные переменные
• Случайная величина — это разновидность переменной, которая используется в теории вероятностей и ее приложениях.

Все эти наименования переменных имеют семантическую природу, и способ вычислений с ними ( синтаксис ) для всех одинаков.

Зависимые и независимые переменные

В исчислении и его применении к физике и другим наукам довольно часто рассматривают переменную, скажем y , возможные значения которой зависят от значения другой переменной, скажем x . В математических терминах зависимая переменная y представляет собой значение функции x . Чтобы упростить формулы, часто бывает полезно использовать один и тот же символ для зависимой переменной y и функции, отображающей x на y . Например, состояние физической системы зависит от измеримых величин, таких как давление , температура , пространственное положение и т. д., и все эти величины изменяются по мере развития системы, то есть являются функцией времени. В формулах, описывающих систему, эти величины представлены переменными, которые зависят от времени и, таким образом, неявно рассматриваются как функции времени.

Следовательно, в формуле зависимая переменная — это переменная, которая неявно является функцией другой (или нескольких других) переменных. Независимая переменная – это переменная, которая не является зависимой. ^[9]

Свойство переменной быть зависимой или независимой часто зависит от точки зрения и не является внутренним. Например, в обозначении f ( x , y , z ) все три переменные могут быть независимыми, и обозначение представляет собой функцию трех переменных. С другой стороны, если y и z зависят от x (являются зависимыми переменными ), тогда обозначение представляет собой функцию единственной независимой переменной x . ^[10]

Примеры

Если определить функцию f от действительных чисел к действительным числам с помощью

${\displaystyle f(x)=x^{2}+\sin(x+4)}$

тогда x — переменная, обозначающая аргумент определяемой функции, который может быть любым действительным числом.

В личности

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n^{2}+n}{2}}}$

переменная i является переменной суммирования, которая, в свою очередь, обозначает каждое из целых чисел 1, 2, ..., n (ее также называют индексом , поскольку ее изменение происходит по дискретному набору значений), а n является параметром (она не имеет значения). варьируются в пределах формулы).

В теории полиномов многочлен степени 2 обычно обозначается как ax ² + bx + c , где a , b и c называются коэффициентами (они предполагаются фиксированными, т. е. параметрами рассматриваемой задачи), а x — называется переменной. При изучении этого полинома на предмет его полиномиальной функции этот x обозначает аргумент функции. При изучении полинома как объекта сам по себе x считается неопределенным и вместо этого часто пишется с заглавной буквы, чтобы указать на этот статус.

Пример: закон идеального газа

Рассмотрим уравнение, описывающее закон идеального газа:

$${\displaystyle PV=Nk_{B}T.}$$

постоянная ${\displaystyle k_{B}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle P,V}$ ${\displaystyle T}$

Можно было бы перестроить это уравнение, чтобы получить в зависимости от других переменных: ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle P(V,N,T)={\frac {Nk_{B}T}{V}}.}$$

${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V,N}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P:\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {N} \times \mathbb {R} _{>0}\rightarrow \mathbb {R} }$

Однако в эксперименте, чтобы определить зависимость давления от одной из независимых переменных, необходимо зафиксировать все переменные, кроме одной, скажем . Это дает функцию ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle P(T)={\frac {Nk_{B}T}{V}},}$$

частичное применение ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle P}$

Это показывает, как независимые переменные и константы во многом зависят от выбранной точки зрения. Можно даже рассматривать переменную для получения функции ${\displaystyle k_{B}}$

$${\displaystyle P(V,N,T,k_{B})={\frac {Nk_{B}T}{V}}.}$$

Пространства модулей

Рассмотрение констант и переменных может привести к концепции пространств модулей. Для иллюстрации рассмотрим уравнение параболы :

$${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}$$

${\displaystyle a,b,c,x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Затем вместо того, чтобы рассматривать и как переменные, мы наблюдаем, что каждый набор троек соответствует отдельной параболе. То есть они определяют координаты в «пространстве парабол»: оно известно как пространство модулей парабол . ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b,c)}$

Обычные имена переменных

• a , b , c , d (иногда расширяемый до e , f ) для параметров или коэффициентов
• a ₀ , a ₁ , a ₂ , ... для ситуаций, когда отдельные буквы неудобны
• a _i или ui для i -го члена последовательности или _i - го коэффициента ряда
• e для числа Эйлера
• f , g , h для функций (как в ) ${\displaystyle f(x)}$
• я за мнимую единицу
• i , j , k (иногда l или h ) для изменения целых чисел или индексов в индексированном семействе или единичных векторов
• l и w для длины и ширины фигуры
• l также для прямой или в теории чисел для простого числа, не равного p
• n (с m в качестве второго варианта) для фиксированного целого числа, например количества объектов или степени уравнения
• p для простого числа или вероятности
• q для простой степени или частного
• r для радиуса , остатка или коэффициента корреляции
• t на время
• x , y , z для трех декартовых координат точки в евклидовой геометрии или соответствующих осей
• z для комплексного числа или в статистике обычная случайная величина
• α , β , γ , θ , φ для угловых мер
• ε (с δ в качестве второго выбора) для сколь угодно малого положительного числа
• λ для собственного значения
• Σ (заглавная сигма) для суммы или σ (строчная сигма) в статистике для стандартного отклонения ^[11]
• μ для среднего значения

Смотрите также

• Лямбда-исчисление
• Наблюдаемая переменная
• Физическая константа
• Пропозициональная переменная

Рекомендации

1. Стовер и Вайсштейн.
2. Табак 2014, с. 40.
3. Фрэли 1989, с. 276.
4. Сорелл 2000, стр. 19.
5. Научный американец. Манн и компания. 3 сентября 1887 г. с. 148.
6. Эдвардс Арт. 4
7. Хош 2010, с. 71.
8. Ферстер 2006, с. 18.
9. Эдвардс Арт. 5
10. Эдвардс Арт. 6
11. Вайсштейн, Эрик В. «Сумма». mathworld.wolfram.com . Проверено 14 февраля 2022 г.

Библиография

• Эдвардс, Джозеф (1892). Элементарный трактат по дифференциальному исчислению (2-е изд.). Лондон: Макмиллан и компания.
• Ферстер, Пол А. (2006). Алгебра и тригонометрия: функции и приложения (классическое изд.). Река Аппер-Сэдл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 978-0-13-165711-3.
• Фрели, Джон Б. (1989). Первый курс абстрактной алгебры (4-е изд.). США: Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-52821-3.
• Хош, Уильям Л., изд. (2010). Британское руководство по алгебре и тригонометрии. Образовательное издательство Британника. ISBN 978-1-61530-219-2.
• Менгер, Карл (1954). «О переменных в математике и естествознании». Британский журнал философии науки . Издательство Чикагского университета. 5 (18): 134–142. дои : 10.1093/bjps/V.18.134. JSTOR  685170.
• Перегрин, Ярослав (2000). «Переменные в естественном языке: откуда они берутся?» (PDF) . В Беттнере, Майкл; Тюммель, Вольф (ред.). Семантика без переменных . Оснабрюк Секоло. стр. 46–65. ISBN 978-3-929979-53-4.
• Куайн, Уиллард В. (1960). «Разъяснение переменных» (PDF) . Труды Американского философского общества . Американское философское общество. 104 (3): 343–347. JSTOR  985250.
• Сорелл, Том (2000). Декарт: Очень краткое введение. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-285409-4.
• Стовер, Кристофер; Вайсштейн, Эрик В. «Переменная». В Вайсштейне, Эрик В. (ред.). Вольфрам Математический мир . Вольфрам Исследования . Проверено 22 ноября 2021 г.
• Табак, Джон (2014). Алгебра: множества, символы и язык мысли. Издательство информационной базы. ISBN 978-0-8160-6875-3.