Курносый 24-элементный

Вершинная фигура : Трехмерный икосаэдр
8 граней:

5 3.3.3 и 3 3.3.3.3.3

В геометрии плосконосый 24-ячейковый или плосконосый дисикозиттрахорон представляет собой выпуклый однородный 4-многогранник, состоящий из 120 правильных тетраэдрических и 24 икосаэдрических ячеек . Пять тетраэдров и три икосаэдра встречаются в каждой вершине. Всего он имеет 480 треугольных граней, 432 ребра и 96 вершин. Его можно построить из 600-ячейкового, уменьшив выбранное подмножество икосаэдрических пирамид и оставив только их икосаэдрические основания, тем самым удалив 480 тетраэдров и заменив их 24 икосаэдрами.

Топологически при своей высшей симметрии [3 ⁺ ,4,3] как чередование усеченного 24-ячеистого многогранника он содержит 24 пиритоэдра (икосаэдр с симметрией T _h ), 24 правильных тетраэдра и 96 треугольных пирамид.

Полуправильный многогранник

Это один из трех полуправильных 4-мерных многогранников, состоящих из двух или более ячеек, которые являются Платоновыми телами , открытыми Торольдом Госсетом в его статье 1900 года. ^[2] Он назвал его тетрикосаэдром , поскольку он состоит из ячеек тетраэдра и икосаэдра . (Два других — это выпрямленный 5-ячейник и выпрямленный 600-ячейник .)

Альтернативные названия

• курносый икоситетрахорон
• курносый полусеракт
• Полуплосконосый полиоктаэдр ( Джон Конвей ) ^[3]
• Сади (Джонатан Бауэрс) для курносого disicositetrachoron
• Тетрикосаэдр ( Торолд Госсет ) ^[2]

Геометрия

Координаты

Вершины плосконосого 24-клеточного многоугольника с центром в начале координат 4-пространства и ребрами длиной 2 получаются путем четных перестановок

(0, ±1, ±φ, ±φ ² )

где φ = ⁠1+ √ 5/2⁠ ≈ 1,618 — золотое сечение .

Координаты единичного радиуса плосконосого 24-клеточного треугольника с ребрами длиной φ ⁻¹ ≈ 0,618 являются четными перестановками

(± ⁠φ/2⁠ , ± ⁠1/2⁠ , ± ⁠φ ⁻¹/2⁠ , 0)

Эти 96 вершин можно найти, разделив каждое из 96 ребер 24-ячейки в золотом сечении последовательным образом, размерно аналогичным тому, как 12 вершин икосаэдра или «плосконосого октаэдра» могут быть получены путем разделения 12 ребер октаэдра в золотом сечении. Это можно сделать, сначала разместив векторы вдоль ребер 24-ячейки таким образом, чтобы каждая двумерная грань была ограничена циклом, а затем аналогичным образом разделив каждое ребро в золотом сечении вдоль направления его вектора. ^[4] Это эквивалентно конструкции плосконосого усечения 24-ячейки, описанной ниже.

96 вершин плосконосого 24-ячейника вместе с 24 вершинами 24-ячейника образуют 120 вершин 600-ячейника .

Конструкции

Курносый 24-клеточный получен из 24-клеточного путем особой формы усечения .

Усечения удаляют вершины путем разрезания ребер, инцидентных вершине; формы усечения различаются тем, где на ребре сделан разрез. Обычные усечения 24-ячеечной многогранники включают в себя выпрямленную 24-ячеечную многогранник (которая разрезает каждое ребро в его средней точке, создавая многогранник, ограниченный 24 кубами и 24 кубооктаэдрами ), и усеченную 24-ячеечную многогранник (которая разрезает каждое ребро на одну треть своей длины от вершины, создавая многогранник, ограниченный 24 кубами и 24 усеченными октаэдрами ). В этих усечениях куб получается на месте удаленной вершины, потому что вершинная фигура 24-ячеечной многогранника является кубом, а разрезы равноудалены от вершины.

Усечение плосконосым усечением 24-ячейки ^[4] разрезает каждое ребро на два золотых сечения (таким образом, что большее сечение находится в золотом отношении ~1,618 к меньшему сечению, а исходное ребро находится в золотом отношении к большему сечению). Разрез должен быть сделан в чередующихся направлениях на чередующихся ребрах, инцидентных каждой вершине, чтобы получить согласованный результат. Ребра, инцидентные вершине в 24-ячейке, являются 8 радиусами ее кубической вершинной фигуры. Единственный способ выбрать чередующиеся радиусы куба - выбрать четыре радиуса тетраэдра (вписанного в куб), которые будут разрезаны в меньшей части их длины от вершины, и противоположные четыре радиуса (другого тетраэдра, который может быть вписан в куб), которые будут разрезаны в большей части их длины от вершины. Конечно, есть два способа сделать это; оба создают кластер из пяти правильных тетраэдров на месте удаленной вершины, а не куб.

Эта конструкция имеет аналогию в 3 измерениях: конструкция икосаэдра (« плосконосого октаэдра ») из октаэдра тем же методом. ^[5] Вот как икосаэдры плосконосых 24-ячеек получаются из октаэдров 24-ячеек во время усечения.

Плосконосая 24-ячейка связана с усеченной 24-ячейкой операцией чередования . Половина вершин удаляется, 24 усеченные октаэдрические ячейки становятся 24 икосаэдрическими ячейками, 24 куба становятся 24 тетраэдрическими ячейками, а 96 удаленных вершинных пустот создают 96 новых тетраэдрических ячеек.

Плосконосый 24-ячейник также может быть построен путем определенного уменьшения 600 -ячейника : путем удаления 24 вершин из 600-ячейника, соответствующих вершинам вписанного 24-ячейника , а затем взятия выпуклой оболочки оставшихся вершин. Это эквивалентно удалению 24 икосаэдрических пирамид из 600-ячейника.

И наоборот, 600-ячейку можно построить из плосконосой 24-ячейки, дополнив ее 24 икосаэдрическими пирамидами.

Орбиты Вейля

Другой метод построения использует кватернионы и икосаэдрическую симметрию орбит группы Вейля порядка 120. ^[6] Ниже описываются 24 -ячейки как веса кватернионных орбит D4 под действием группы Вейля W(D4) : ${\displaystyle O(\Lambda )=W(H_{4})=I}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T'}$

O(0100) : T = {±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2}

О(1000) : V1

О(0010) : V2

О(0001) : V3

С кватернионами , где — сопряжение и и , то группа Кокстера — это группа симметрии 600-ячеечной и 120-ячеечной системы порядка 14400. ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle {\bar {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [p,q]:r\rightarrow r'=prq}$ ${\displaystyle [p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q}$ ${\displaystyle W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace }$

Учитывая , что и как обмен внутри , мы можем построить плосконосую 24-клеточную систему как ${\displaystyle p\in T}$ ${\displaystyle {\bar {p}}=\pm p^{4},{\bar {p}}^{2}=\pm p^{3},{\bar {p}}^{3}=\pm p^{2},{\bar {p}}^{4}=\pm p}$ ${\displaystyle p^{\dagger }}$ ${\displaystyle -1/\varphi \leftrightarrow \varphi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}T}$

Структура

Икосаэдрические ячейки прилегают друг к другу лицом к лицу, оставляя пустоты между ними, заполненные кластерами из пяти тетраэдрических ячеек. ^[7]

Каждая икосаэдрическая ячейка соединена с 8 другими икосаэдрическими ячейками на 8 треугольных гранях в положениях, соответствующих вписывающему октаэдру. Оставшиеся треугольные грани соединены с тетраэдрическими ячейками, которые встречаются парами, имеющими общее ребро на икосаэдрической ячейке.

Тетраэдрические ячейки можно разделить на две группы, по 96 желтых ячеек и 24 красных ячеек соответственно (как раскрашено на сетевой иллюстрации). Каждая желтая тетраэдрическая ячейка соединена своими треугольными гранями с 3 синими икосаэдрическими ячейками и одной красной тетраэдрической ячейкой, в то время как каждая красная тетраэдрическая ячейка соединена с 4 желтыми тетраэдрами. Таким образом, тетраэдрические ячейки встречаются в кластерах по пять (четыре желтых ячейки, соединенных гранями вокруг красной центральной, каждая красно-желтая пара лежит в другой гиперплоскости). Красный центральный тетраэдр из пяти разделяет каждое из своих шести ребер с другой икосаэдрической ячейкой и с парой желтых тетраэдрических ячеек, которая разделяет это ребро на икосаэдрической ячейке.

Симметрия

Плосконосый 24-ячейковый многогранник имеет три вершинно-транзитивные раскраски, основанные на построении Витхоффа на группе Коксетера , из которой он чередуется : F ₄ определяет 24 взаимозаменяемых икосаэдра, в то время как группа B ₄ определяет две группы икосаэдров в отношении 8:16, и, наконец, группа D ₄ имеет 3 группы икосаэдров в отношении 8:8:8. ^[8]

Прогнозы

Ортографические проекции

Перспективные проекции

Двойной

Двойной плосконосый 24-ячейка имеет 144 одинаковых нерегулярных ячейки. Каждая ячейка имеет грани двух видов: 3 воздушных змея и 6 равнобедренных треугольников. Многогранник имеет в общей сложности 432 грани (144 воздушных змея и 288 равнобедренных треугольников) и 480 ребер. ^[9]

Связанные многогранники

Плосконосая 24-ячейка может быть получена как уменьшение 600-ячейки в 24 ее вершинах, фактически вершинах вписанной 24-ячейки . Существует также дальнейшее такое двукратное уменьшение, когда вершины второй вершины вписанной 24-ячейки также будут уменьшены. Соответственно, эта известна как двукратно уменьшенная 600-ячейка .

Плосконосый 24-ячейник также называется полуплосконосым 24-ячейником, потому что он не является истинным плосконосым (чередованием всеусеченного 24-ячейника). Полный плосконосый 24-ячейник также может быть построен, хотя он не является однородным, поскольку состоит из неправильных тетраэдров на чередующихся вершинах.

Плосконосые 24-ячеечные соты являются самой большой гранью 4-мерных сот, плосконосых 24-ячеечных сот .

Плосконосый 24-ячейник является частью семейства симметрии F4 _{однородных} 4-мерных многогранников.

Смотрите также

• Снуб 24-ячеистый сотовый
• Двойной курносый 24-элементный

Цитаты

1. Клитцинг.
2. Госсет 1900.
3. Conway, Burgiel & Goodman-Strauss 2008, стр. 401, 26. Полуплосконосый полиоктаэдр Госсета.
4. Coxeter 1973, стр. 151–153, §8.4. Пренебрежение {3,4,3}.
5. Коксетер 1973, стр. 50–52, §3.7.
6. Koca, Al-Ajmi & Ozdes Koca 2011, стр. 986–988, 6. Двойственный курносому 24-клеточному.
7. Koca, Al-Ajmi & Ozdes Koca 2011, 5. Подробный анализ клеточной структуры курносого 24-клеточного.
8. Коджа, Оздес Коджа и Аль-Барвани 2012.
9. Коджа, Аль-Аджми и Оздес Коджа 2011.

Ссылки

• Госсет, Торольд (1900). «О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений». Вестник математики . Макмиллан.
• Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Довер.
• Конвей, Джон ; Берджил, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (2008). Симметрии вещей . ISBN 978-1-56881-220-5.
• Koca, Mehmet; Ozdes Koca, Nazife; Al-Barwani, Muataz (2012). "Snub 24-Cell Derived from the Coxeter-Weyl Group W(D4)". Int. J. Geom. Methods Mod. Phys . 09 (8). arXiv : 1106.3433 . doi :10.1142/S0219887812500685. S2CID  119288632.
• Koca, Mehmet; Al-Ajmi, Mudhahir; Ozdes Koca, Nazife (2011). «Кватернионное представление плосконосого 24-клеточного и его двойственного многогранника, полученного из корневой системы E8». Линейная алгебра и ее приложения . 434 (4): 977–989. arXiv : 0906.2109 . doi : 10.1016/j.laa.2010.10.005. ISSN  0024-3795. S2CID  18278359.
• Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихора) s3s4o3o - сади».

Внешние ссылки

• 3. Выпуклая однородная полихора на основе икоситетрахорона (24-клеточная) - Модель 31, Георгий Ольшевский.
• Печать № 11: Курносый икоситетрахорон сетчатый, Джордж Ольшевский.
• Snub icositetrachoron - Данные и изображения