Линейные фильтры обрабатывают изменяющиеся во времени входные сигналы для создания выходных сигналов, подчиняясь ограничению линейности . В большинстве случаев эти линейные фильтры также являются инвариантными по времени (или инвариантными по сдвигу ), и в этом случае их можно точно проанализировать с помощью теории систем LTI («линейная инвариантная по времени»), раскрывающей их передаточные функции в частотной области и их импульсные отклики во временной области. Реализации таких линейных фильтров обработки сигналов в реальном времени во временной области неизбежно являются причинными , что является дополнительным ограничением для их передаточных функций. Аналоговая электронная схема, состоящая только из линейных компонентов (резисторов, конденсаторов, индукторов и линейных усилителей), обязательно попадет в эту категорию, как и сопоставимые механические системы или цифровые системы обработки сигналов , содержащие только линейные элементы. Поскольку линейные инвариантные по времени фильтры могут быть полностью охарактеризованы их реакцией на синусоиды разных частот (их частотной характеристикой ), их иногда называют частотными фильтрами.
Не-реальновременные реализации линейных инвариантных во времени фильтров не обязательно должны быть каузальными. Фильтры более чем одного измерения также используются, например, в обработке изображений . Общая концепция линейной фильтрации также распространяется на другие области и технологии, такие как статистика , анализ данных и машиностроение .
Линейный инвариантный во времени (LTI) фильтр может быть однозначно определен его импульсной характеристикой h , а выход любого фильтра математически выражается как свертка входного сигнала с этой импульсной характеристикой. Частотная характеристика , заданная передаточной функцией фильтра , является альтернативной характеристикой фильтра. Типичные цели проектирования фильтра — реализовать определенную частотную характеристику, то есть величину передаточной функции ; важность фазы передаточной функции варьируется в зависимости от приложения, поскольку форма формы волны может быть искажена в большей или меньшей степени в процессе достижения желаемой (амплитудной) характеристики в частотной области. Частотная характеристика может быть адаптирована, например, для устранения нежелательных частотных компонентов из входного сигнала или для ограничения усилителя сигналами в пределах определенной полосы частот.
Импульсная характеристика h линейного каузального фильтра, не зависящего от времени, определяет выходной сигнал, который фильтр выдал бы, если бы получил входной сигнал, состоящий из одного импульса в момент времени 0. «Импульс» в непрерывном фильтре означает дельта-функцию Дирака ; в дискретном фильтре будет применяться дельта-функция Кронекера . Импульсная характеристика полностью характеризует отклик любого такого фильтра, поскольку любой возможный входной сигнал может быть выражен как (возможно, бесконечная) комбинация взвешенных дельта-функций. Умножение импульсной характеристики, сдвинутой во времени в соответствии с поступлением каждой из этих дельта-функций, на амплитуду каждой дельта-функции и суммирование этих откликов (согласно принципу суперпозиции , применимому ко всем линейным системам) дает выходную форму волны.
Математически это описывается как свертка изменяющегося во времени входного сигнала x(t) с импульсной характеристикой фильтра h , определяемой как:
Первая форма — это форма непрерывного времени, которая описывает, например, механические и аналоговые электронные системы. Второе уравнение — это версия дискретного времени, используемая, например, цифровыми фильтрами, реализованными в программном обеспечении, так называемая цифровая обработка сигналов . Импульсная характеристика h полностью характеризует любой линейный инвариантный ко времени (или инвариантный к сдвигу в случае дискретного времени) фильтр. Вход x называется « свернутым » с импульсной характеристикой h, имеющей (возможно, бесконечную) длительность времени T (или N периодов выборки ).
Проектирование фильтра состоит из поиска возможной передаточной функции, которая может быть реализована в рамках определенных практических ограничений, продиктованных технологией или желаемой сложностью системы, за которыми следует практическое проектирование, реализующее эту передаточную функцию с использованием выбранной технологии. Сложность фильтра может быть указана в соответствии с порядком фильтра .
Среди рассматриваемых нами фильтров временной области есть два общих класса функций передачи фильтров, которые могут аппроксимировать желаемую частотную характеристику. Для проектирования фильтров, называемых фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ), характерными для механических и аналоговых электронных систем, и фильтрами с конечной импульсной характеристикой (КИХ), которые могут быть реализованы дискретными временными системами, такими как компьютеры (тогда называемыми цифровой обработкой сигналов ), применяются совершенно разные математические методы.
Классические аналоговые фильтры — это БИХ-фильтры, а классическая теория фильтров основана на определении передаточных функций, заданных рациональными функциями низкого порядка , которые могут быть синтезированы с использованием того же небольшого числа реактивных компонентов. [1] С другой стороны, при использовании цифровых компьютеров как КИХ-, так и БИХ-фильтры легко реализовать в программном обеспечении.
Цифровой БИХ-фильтр обычно может аппроксимировать желаемый отклик фильтра, используя меньшую вычислительную мощность, чем КИХ-фильтр, однако это преимущество чаще всего не нужно, учитывая растущую мощность цифровых процессоров. Простота проектирования и характеристики КИХ-фильтров делает их предпочтительными для разработчика фильтра (программиста), когда доступна достаточная вычислительная мощность. Еще одним преимуществом КИХ-фильтров является то, что их импульсный отклик можно сделать симметричным, что подразумевает отклик в частотной области, который имеет нулевую фазу на всех частотах (не учитывая конечную задержку), что абсолютно невозможно с любым БИХ-фильтром. [2]
Частотная характеристика или передаточная функция фильтра может быть получена, если известна импульсная характеристика, или напрямую через анализ с использованием преобразований Лапласа , или в дискретных временных системах Z-преобразованием . Частотная характеристика также включает фазу как функцию частоты, однако во многих случаях фазовая характеристика не представляет большого интереса или вообще не представляет его. Фильтры FIR можно сделать с нулевой фазой, но с фильтрами IIR это, как правило, невозможно. Для большинства передаточных функций IIR существуют связанные передаточные функции, имеющие частотную характеристику с той же величиной, но с другой фазой; в большинстве случаев предпочтительнее так называемая передаточная функция минимальной фазы .
Фильтры во временной области чаще всего требуют следовать заданной частотной характеристике. Затем математическая процедура находит передаточную функцию фильтра, которая может быть реализована (в пределах некоторых ограничений), и аппроксимирует желаемую характеристику в пределах некоторого критерия. Общие характеристики отклика фильтра описываются следующим образом:
Для удовлетворения требованиям частотной характеристики с помощью фильтра FIR используются относительно простые процедуры. В самой базовой форме желаемая частотная характеристика может быть дискретизирована с разрешением и преобразована Фурье во временную область. Это позволяет получить коэффициенты фильтра h i , которые реализуют фильтр FIR с нулевой фазой, который соответствует частотной характеристике на используемых частотах выборки. Для лучшего соответствия желаемой характеристике необходимо уменьшить . Однако длительность импульсной характеристики фильтра и количество членов, которые необходимо суммировать для каждого выходного значения (согласно приведенной выше дискретной временной свертке), определяются как , где T — период выборки дискретной временной системы (N-1 также называется порядком фильтра FIR). Таким образом, сложность цифрового фильтра и необходимое время вычислений растут обратно пропорционально , что повышает стоимость функций фильтра, которые лучше приближают желаемое поведение. По той же причине функции фильтра, критический отклик которых находится на более низких частотах (по сравнению с частотой выборки 1/T ), требуют фильтра FIR более высокого порядка, требующего больших вычислительных затрат. Таким образом, в таких случаях БИХ-фильтр может оказаться гораздо более эффективным.
В другом месте читатель может найти дальнейшее обсуждение методов проектирования для практического проектирования КИХ-фильтров .
Поскольку классические аналоговые фильтры являются БИХ-фильтрами, существует долгая история изучения диапазона возможных передаточных функций, реализующих различные из указанных выше желаемых откликов фильтра в системах с непрерывным временем. Используя преобразования, можно преобразовать эти непрерывные частотные отклики в те, которые реализованы в дискретном времени, для использования в цифровых БИХ-фильтрах. Сложность любого такого фильтра задается порядком N , который описывает порядок рациональной функции, описывающей частотный отклик. Порядок N имеет особое значение в аналоговых фильтрах, поскольку электронный фильтр N- го порядка требует N реактивных элементов (конденсаторов и/или индукторов) для реализации. Если фильтр реализован с использованием, например, биквадратных каскадов с использованием операционных усилителей , требуется N/2 каскадов. В цифровой реализации количество вычислений, выполняемых на выборку, пропорционально N. Таким образом, математическая задача состоит в том, чтобы получить наилучшее приближение (в некотором смысле) к желаемому отклику с использованием меньшего N, как мы сейчас проиллюстрируем.
Ниже приведены частотные характеристики нескольких стандартных функций фильтров, которые аппроксимируют желаемый отклик, оптимизированный по некоторому критерию. Все они являются фильтрами нижних частот пятого порядка, разработанными для частоты среза .5 в нормализованных единицах. Частотные характеристики показаны для фильтров Баттерворта , Чебышева , обратного Чебышева и эллиптического фильтра .
Как видно из изображения, эллиптический фильтр резче остальных, но за счет ряби как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. Фильтр Баттерворта имеет худший переход, но более равномерный отклик, избегая ряби как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. Фильтр Бесселя (не показан) имеет еще худший переход в частотной области, но сохраняет лучшую фазовую точность формы сигнала. Различные приложения подчеркивают разные требования к проектированию, что приводит к разным выборам среди этих (и других) оптимизаций или требует фильтра более высокого порядка.
Популярная схема, реализующая активный RC-фильтр второго порядка, — это схема Саллена-Ки , принципиальная схема которой показана здесь. Эта топология может быть адаптирована для создания фильтров нижних частот, полосовых и верхних частот.
Фильтр FIR порядка N может быть реализован в дискретной временной системе с использованием компьютерной программы или специализированного оборудования, в котором входной сигнал подвергается N этапам задержки. Выход фильтра формируется как взвешенная сумма этих задержанных сигналов, как показано на прилагаемой схеме потока сигнала. Отклик фильтра зависит от весовых коэффициентов, обозначенных b 0 , b 1 , .... b N . Например, если бы все коэффициенты были равны единице, так называемой функции boxcar , то он реализовал бы фильтр нижних частот с коэффициентом усиления низкой частоты N+1 и частотной характеристикой, заданной функцией sinc . Превосходные формы для частотной характеристики могут быть получены с использованием коэффициентов, полученных из более сложной процедуры проектирования.
Теория систем LTI описывает линейные инвариантные во времени (LTI) фильтры всех типов. Фильтры LTI могут быть полностью описаны их частотной характеристикой и фазовой характеристикой , спецификация которых однозначно определяет их импульсную характеристику , и наоборот . С математической точки зрения непрерывные во времени фильтры LTI с БИХ могут быть описаны в терминах линейных дифференциальных уравнений , а их импульсные характеристики рассматривать как функции Грина уравнения. Непрерывные во времени фильтры LTI также могут быть описаны в терминах преобразования Лапласа их импульсной характеристики, что позволяет анализировать все характеристики фильтра, рассматривая схему нулей и полюсов их преобразования Лапласа в комплексной плоскости . Аналогично, дискретные во времени фильтры LTI могут быть проанализированы с помощью Z-преобразования их импульсной характеристики.
До появления инструментов компьютерного синтеза фильтров графические инструменты, такие как диаграммы Боде и диаграммы Найквиста, широко использовались в качестве инструментов проектирования. Даже сегодня они являются бесценными инструментами для понимания поведения фильтра. Справочники [3] содержали обширные графики частотной характеристики, фазовой характеристики, групповой задержки и импульсной характеристики для различных типов фильтров различных порядков. Они также содержали таблицы значений, показывающие, как реализовать такие фильтры в виде ступеней RLC — очень полезные, когда усилительные элементы были дорогими по сравнению с пассивными компонентами. Такая лестница также может быть спроектирована так, чтобы иметь минимальную чувствительность к изменению компонента — свойство, которое трудно оценить без компьютерных инструментов.
Было разработано много различных конструкций аналоговых фильтров, каждая из которых пытается оптимизировать некоторые особенности отклика системы. Для практических фильтров иногда желательна индивидуальная конструкция, которая может предложить наилучший компромисс между различными критериями проектирования, которые могут включать количество и стоимость компонентов, а также характеристики отклика фильтра.
Эти описания относятся к математическим свойствам фильтра (то есть частотной и фазовой характеристике). Они могут быть реализованы как аналоговые схемы (например, с использованием топологии фильтра Саллена-Ки , типа активного фильтра ), или как алгоритмы в системах цифровой обработки сигналов .
Цифровые фильтры гораздо более гибки в синтезе и использовании, чем аналоговые фильтры, где ограничения конструкции позволяют их использование. В частности, нет необходимости учитывать допуски компонентов, и могут быть получены очень высокие уровни Q.
Цифровые фильтры FIR могут быть реализованы путем прямой свертки желаемого импульсного отклика с входным сигналом. Их можно легко спроектировать для получения согласованного фильтра для любой произвольной формы импульса.
Цифровые БИХ-фильтры часто сложнее проектировать из-за проблем, включая проблемы с динамическим диапазоном, шум квантования и нестабильность. Обычно цифровые БИХ-фильтры проектируются как ряд цифровых биквадратных фильтров .
Все фильтры нижних частот второго порядка с непрерывным временем имеют передаточную функцию, заданную выражением
Все полосовые фильтры второго порядка непрерывного действия имеют передаточную функцию, заданную выражением
где
