stringtranslate.com

Изометрия

Композиция двух противоположных изометрий — это прямая изометрия. Отражение относительно линии — это противоположная изометрия, как R 1 или R 2 на изображении. Трансляция T — это прямая изометрия: жесткое движение . [1]

В математике изометрия (или конгруэнтность , или конгруэнтное преобразование ) — это сохраняющее расстояние преобразование между метрическими пространствами , обычно предполагаемое биективным . [ a] Слово изометрия происходит от древнегреческого : ἴσος isos — «равный», и μέτρον metron — «мера». Если преобразование происходит из метрического пространства в себя, то это вид геометрического преобразования, известного как движение .

Введение

При наличии метрического пространства (в более широком смысле — множества и схемы для задания расстояний между элементами множества) изометрия — это преобразование , которое отображает элементы в то же самое или другое метрическое пространство таким образом, что расстояние между элементами изображения в новом метрическом пространстве равно расстоянию между элементами в исходном метрическом пространстве. В двумерном или трехмерном евклидовом пространстве две геометрические фигуры конгруэнтны , если они связаны изометрией; [b] изометрия, которая их связывает, является либо жестким движением (переносом или вращением), либо композицией жесткого движения и отражения .

Изометрии часто используются в конструкциях, где одно пространство вкладывается в другое. Например, завершение метрического пространства включает изометрию из в фактор-множество пространства последовательностей Коши по Исходное пространство , таким образом, изометрически изоморфно подпространству полного метрического пространства и обычно отождествляется с этим подпространством. Другие конструкции вложения показывают, что каждое метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого нормированного векторного пространства и что каждое полное метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого банахова пространства .

Изометрический сюръективный линейный оператор в гильбертовом пространстве называется унитарным оператором .

Определение

Пусть и — метрические пространства с метриками (например, расстояниями) и Отображение называется изометрическим или сохраняющим расстояния отображением, если для любого ,

[4] [с]

Изометрия автоматически инъективна ; [a] в противном случае две различные точки, a и b , могли бы быть отображены в одну и ту же точку, тем самым противореча аксиоме совпадения метрики d , т.е. тогда и только тогда, когда . Это доказательство похоже на доказательство того, что упорядоченное вложение между частично упорядоченными множествами инъективно. Очевидно, что каждая изометрия между метрическими пространствами является топологическим вложением .

Глобальная изометрия , изометрический изоморфизм или отображение конгруэнтности — это биективная изометрия. Как и любая другая биекция, глобальная изометрия имеет функцию, обратную . Обратная функция глобальной изометрии также является глобальной изометрией.

Два метрических пространства X и Y называются изометрическими, если существует биективная изометрия из X в Y. Множество биективных изометрий из метрического пространства в себя образует группу относительно композиции функций , называемую группой изометрий .

Существует также более слабое понятие изометрии пути или дуговой изометрии :

Изометрия пути или дуговая изометрия — это отображение, сохраняющее длины кривых ; такое отображение не обязательно является изометрией в смысле сохранения расстояния, и оно не обязательно должно быть биективным или даже инъективным. Этот термин часто сокращается до просто изометрии , поэтому следует позаботиться о том, чтобы определить из контекста, какой тип подразумевается.

Примеры

Изометрии между нормированными пространствами

Следующая теорема принадлежит Мазуру и Уламу.

Определение : [5] Средняя точка двух элементов x и y в векторном пространстве — это вектор 1/2 ( х + у ) .

Теорема [5] [6]  —  Пусть A  : XY — сюръективная изометрия между нормированными пространствами , которая отображает 0 в 0 ( Стефан Банах называл такие отображения поворотами ), где следует отметить, что A не считается линейной изометрией . Тогда A отображает средние точки в средние точки и является линейным как отображение над действительными числами . Если X и Y — комплексные векторные пространства, то A может не быть линейным как отображение над .

Линейная изометрия

Даны два нормированных векторных пространства и линейная изометрия, есть линейное отображение , сохраняющее нормы:

для всех [7] Линейные изометрии являются отображениями, сохраняющими расстояние в указанном выше смысле. Они являются глобальными изометриями тогда и только тогда, когда они сюръективны .

В пространстве внутренних произведений приведенное выше определение сводится к

для всех , что эквивалентно утверждению, что Это также подразумевает, что изометрии сохраняют внутренние произведения, как

.

Однако линейные изометрии не всегда являются унитарными операторами , поскольку для них дополнительно требуется, чтобы и (т.е. область определения и кодомен совпадают и определяют коизометрию ).

По теореме Мазура–Улама любая изометрия нормированных векторных пространств над является аффинной .

Линейная изометрия также обязательно сохраняет углы, поэтому преобразование линейной изометрии является конформным линейным преобразованием .

Примеры

Коллектор

Изометрия многообразия — это любое (гладкое) отображение этого многообразия в себя или в другое многообразие, сохраняющее понятие расстояния между точками. Определение изометрии требует понятия метрики на многообразии; многообразие с (положительно-определенной) метрикой является римановым многообразием , многообразие с неопределенной метрикой является псевдоримановым многообразием . Таким образом, изометрии изучаются в римановой геометрии .

Локальная изометрия из одного ( псевдо ) риманова многообразия в другое — это отображение, которое возвращает метрический тензор на втором многообразии к метрическому тензору на первом. Когда такое отображение также является диффеоморфизмом , такое отображение называется изометрией (или изометрическим изоморфизмом ) и обеспечивает понятие изоморфизма («одинаковости») в категории Rm римановых многообразий.

Определение

Пусть и — два (псевдо)римановых многообразия, и пусть — диффеоморфизм. Тогда называется изометрией (или изометрическим изоморфизмом ), если

где обозначает обратный путь метрического тензора ранга (0, 2) через . Эквивалентно, в терминах прямого пути мы имеем, что для любых двух векторных полей на (т.е. сечений касательного расслоения ),

Если — локальный диффеоморфизм такой, что то называется локальной изометрией .

Характеристики

Набор изометрий обычно образует группу, группу изометрий . Когда группа является непрерывной группой , бесконечно малые генераторы группы являются векторными полями Киллинга .

Теорема Майерса–Стинрода утверждает, что каждая изометрия между двумя связными римановыми многообразиями является гладкой (дифференцируемой). Вторая форма этой теоремы утверждает, что группа изометрий риманова многообразия является группой Ли .

Римановы многообразия , изометрии которых определены в каждой точке, называются симметричными пространствами .

Обобщения

То есть, ε -изометрия сохраняет расстояния в пределах ε и не оставляет ни одного элемента области значений, который бы находился дальше ε от образа элемента области. Обратите внимание, что ε -изометрии не предполагаются непрерывными .
Обратите внимание, что, как упоминалось во введении, это не обязательно унитарный элемент, поскольку в общем случае не существует такого, что левый обратный элемент является правым обратным элементом.

Смотрите также

Сноски

  1. ^ ab «Мы найдем удобным использовать слово преобразование в специальном смысле взаимно однозначного соответствия между всеми точками на плоскости (или в пространстве), то есть правила для связывания пар точек, с пониманием того, что каждая пара имеет первый член P и второй член P' и что каждая точка появляется как первый член только одной пары, а также как второй член только одной пары...
    В частности, изометрия (или «конгруэнтное преобразование», или «конгруэнтность») — это преобразование, которое сохраняет длину...» — Коксетер (1969) стр. 29 [2]
  2. ^

    3.11 Любые два равных треугольника связаны единственной изометрией. — Коксетер (1969) стр. 39 [3]

  3. ^ Пусть T — преобразование (возможно, многозначное) ( ) в себя. Пусть — расстояние между точками p и q , и пусть Tp , Tq — любые образы p и q , соответственно. Если существует длина a > 0 такая, что всякий раз , то T — евклидово преобразование на себя. [4]


Ссылки

  1. ^ Коксетер 1969, стр. 46

    3.51 Любая прямая изометрия является либо переносом, либо вращением. Любая обратная изометрия является либо отражением, либо скользящим отражением.

  2. ^ Коксетер 1969, стр. 29
  3. ^ Коксетер 1969, стр. 39
  4. ^ ab Beckman, FS; Quarles, DA Jr. (1953). "Об изометриях евклидовых пространств" (PDF) . Труды Американского математического общества . 4 (5): 810–815. doi : 10.2307/2032415 . JSTOR  2032415. MR  0058193.
  5. ^ ab Narici & Beckenstein 2011, стр. 275–339.
  6. ^ Вилански 2013, стр. 21–26.
  7. ^ Томсен, Джеспер Фанч (2017). Линейная алгебра [ Линейная алгебра ]. Кафедра математики (на датском языке). Орхус: Орхусский университет. п. 125.
  8. ^ Roweis, ST; Saul, LK (2000). «Нелинейное снижение размерности путем локально линейного вложения». Science . 290 (5500): 2323–2326. Bibcode :2000Sci...290.2323R. CiteSeerX 10.1.1.111.3313 . doi :10.1126/science.290.5500.2323. PMID  11125150. 
  9. ^ Saul, Lawrence K.; Roweis, Sam T. (июнь 2003 г.). «Думай глобально, подгоняй локально: неконтролируемое обучение нелинейных многообразий». Журнал исследований машинного обучения . 4 (июнь): 119–155. Квадратичная оптимизация (стр. 135) такая, что
  10. ^ Чжан, Чжэньюэ; Чжа, Хунъюань (2004). «Главные многообразия и нелинейное уменьшение размерности посредством локального выравнивания касательного пространства». Журнал SIAM по научным вычислениям . 26 (1): 313–338. CiteSeerX 10.1.1.211.9957 . doi :10.1137/s1064827502419154. 
  11. ^ Чжан, Чжэньюэ; Ван, Цзин (2006). «MLLE: Модифицированное локально линейное вложение с использованием нескольких весов». В Schölkopf, B.; Platt, J.; Hoffman, T. (ред.). Достижения в области нейронных систем обработки информации . NIPS 2006. NeurIPS Proceedings. Том 19. С. 1593–1600. ISBN 9781622760381. Он может получить идеальное вложение, если MLLE применяется к точкам данных, выбранным из изометрического многообразия.

Библиография