Математическое образование

Преподавание математики, обучение и научные исследования

Лекция по математике в Школе науки и технологий Университета Аалто

В современном образовании математическое образование , известное в Европе как дидактика или педагогика математики , представляет собой практику преподавания , обучения и проведения научных исследований в области передачи математических знаний.

Хотя исследования в области математического образования в первую очередь касаются инструментов, методов и подходов, которые облегчают практику или изучение практики, они также охватывают обширную область исследования, охватывающую множество различных концепций, теорий и методов. Национальные и международные организации регулярно проводят конференции и издают литературу с целью улучшения математического образования.

История

Древний

Элементарная математика была основной частью образования во многих древних цивилизациях, включая Древний Египет , Древнюю Вавилонию , Древнюю Грецию , Древний Рим и Ведическую Индию . ^{[ нужна цитата ]} В большинстве случаев формальное образование было доступно только детям мужского пола с достаточно высоким статусом, богатством или кастой . ^{[ нужна цитация ]} Самый старый известный учебник математики — папирус Ринда , датированный примерно 1650 годом до нашей эры. ^[1]

теорема Пифагора

Историки Месопотамии подтвердили, что использование правила Пифагора восходит к Старой Вавилонской империи (20–16 века до н. э.) и что ему преподавали в школах писцов более чем за тысячу лет до рождения Пифагора . ^{[2] [3] [4] [5] [6]}

В разделении Платоном гуманитарных наук на тривиум и квадривиум квадривиум включал математические области арифметики и геометрии . Эта структура получила продолжение в структуре классического образования , сложившейся в средневековой Европе. Преподавание геометрии почти повсеместно основывалось на «Началах» Евклида . Ученики таких профессий, как каменщики, торговцы и ростовщики, могли рассчитывать на изучение такой практической математики, которая имела отношение к их профессии.

Средневековье и раннее Новое время

Иллюстрация к началу перевода « Начал» Евклида XIV века.

В средние века академический статус математики снизился, поскольку она была прочно связана с торговлей и коммерцией и считалась несколько нехристианской. ^[7] Хотя ее продолжали преподавать в европейских университетах , она рассматривалась как подчиненная изучению естественной , метафизической и моральной философии . Первая современная учебная программа по арифметике (начиная со сложения , затем вычитания , умножения и деления ) возникла в школах счета в Италии в 1300-х годах. ^[8] Распространяясь вдоль торговых путей, эти методы были разработаны для использования в торговле. Они контрастировали с платонической математикой, преподаваемой в университетах, которая была более философской и касалась чисел как концепций, а не методов расчета. ^[8] Они также контрастировали с математическими методами, изучаемыми учениками -ремесленниками , которые были специфичны для конкретных задач и инструментов. Например, разделение доски на трети можно выполнить с помощью веревки вместо того, чтобы измерять длину и использовать арифметическую операцию деления. ^[7]

Первые учебники математики, написанные на английском и французском языках, были опубликованы Робертом Рекордом , начиная с «The Grounde of Artes» в 1543 году. Однако существует множество различных работ по математике и математической методологии, датируемых 1800 годом до нашей эры. В основном они располагались в Месопотамии, где шумеры практиковали умножение и деление. Есть также артефакты, демонстрирующие их методологию решения таких уравнений, как квадратное уравнение . После шумеров некоторые из самых известных древних работ по математике пришли из Египта в виде Ринда «Математический папирус» и « Московский математический папирус» . Более известный папирус Ринда датируется примерно 1650 годом до нашей эры, но считается, что он является копией еще более древнего свитка. Этот папирус, по сути, был первым учебником для египетских студентов.

Социальный статус математического исследования улучшился к семнадцатому веку: в Абердинском университете в 1613 году была открыта кафедра математики, за ней последовала кафедра геометрии в Оксфордском университете в 1619 году, а кафедра математики Лукаса была основана Кембриджский университет в 1662 году.

Современный

В XVIII и XIX веках промышленная революция привела к огромному увеличению городского населения. Базовые навыки счета, такие как способность определять время, считать деньги и выполнять простые арифметические действия , стали важными в этом новом городском образе жизни. В новых системах государственного образования математика стала центральной частью учебной программы с раннего возраста.

К двадцатому веку математика стала частью основной учебной программы во всех развитых странах .

В двадцатом веке математическое образование стало самостоятельной областью исследований. К основным событиям в этом развитии относятся следующие:

• В 1893 году в Геттингенском университете под руководством Феликса Кляйна была создана кафедра математического образования .
• Международная комиссия по математическому обучению (ICMI) была основана в 1908 году, и Феликс Кляйн стал первым президентом организации.
• После 1920 года в профессиональной периодической литературе по математическому образованию в Соединенных Штатах было опубликовано более 4000 статей, поэтому в 1941 году Уильям Л. Шааф опубликовал классифицированный указатель , рассортировав их по различным темам. ^[9]
• Возобновление интереса к математическому образованию возникло в 1960-х годах, и Международная комиссия возродилась.
• В 1968 году в Ноттингеме был создан Центр математического образования «Шелл» .
• Первый Международный конгресс по математическому образованию (ICME) состоялся в Лионе в 1969 году. Второй конгресс состоялся в Эксетере в 1972 году, и после этого он проводился каждые четыре года.

В XX веке культурное влияние « электронного века » (Маклюэн) было также воспринято теорией образования и преподаванием математики. В то время как предыдущий подход был сосредоточен на «работе со специализированными «задачами» по арифметике », новый структурный подход к знаниям заставлял «маленьких детей размышлять о теории чисел и « множествах ». ^[10]

Цели

Мальчик занимается арифметикой, Гвинея-Бисау, 1974 год.

В разные времена, в разных культурах и странах математическое образование пыталось достичь самых разных целей. Эти цели включали:

• Преподавание и изучение основных навыков счета для всех учащихся ^[11]
• Преподавание практической математики ( арифметика , элементарная алгебра , плоская и трехмерная геометрия , тригонометрия , вероятность , статистика ) большинству учащихся, чтобы дать им возможность заниматься профессией или ремеслом и понимать математику, обычно используемую в новостях и Интернете (например, проценты , графики , вероятность и статистика )
• Обучение абстрактным математическим понятиям (таким как множество и функция ) в раннем возрасте.
• Преподавание избранных областей математики (например, евклидовой геометрии ) ^[12] на примере аксиоматической системы ^[13] и модели дедуктивного рассуждения
• Преподавание отдельных областей математики (например, исчисления ) как пример интеллектуальных достижений современного мира.
• Преподавание высшей математики тем студентам, которые хотят сделать карьеру в областях науки, технологий, инженерии и математики (STEM).
• Обучение эвристике ^[14] и другим стратегиям решения нестандартных задач.
• Преподавание математики в социальных науках и актуарных науках , а также в некоторых избранных видах искусства в рамках гуманитарного образования в гуманитарных колледжах или университетах.

Методы

Метод или методы, используемые в любом конкретном контексте, во многом определяются целями, которых пытается достичь соответствующая система образования. К методам обучения математике относятся следующие:

Игры могут мотивировать учащихся совершенствовать навыки, которые обычно заучиваются наизусть. В «Числовом Бинго» игроки бросают 3 кубика, затем выполняют основные математические операции с этими числами, чтобы получить новое число, которое они покрывают на доске, пытаясь покрыть 4 клетки подряд. В эту игру играли на «Дне открытий», организованном Big Brother Mouse в Лаосе.

• Компьютерная математика : подход, основанный на использовании математического программного обеспечения в качестве основного инструмента вычислений.
• Компьютерное математическое образование : предполагает использование компьютеров для преподавания математики. Также были разработаны мобильные приложения, помогающие учащимся изучать математику. ^{[15] [16] [17]}
• Классическое образование : преподавание математики в квадривиуме , часть классической образовательной программы Средневековья , которая обычно основывалась на « Элементах » Евклида , преподаваемых как парадигма дедуктивного рассуждения . ^[18]
• Традиционный подход : постепенное и систематическое проведение иерархии математических понятий, идей и методов. Начинается с арифметики , затем одновременно преподаются евклидова геометрия и элементарная алгебра . Требуется, чтобы преподаватель был хорошо информирован об элементарной математике , поскольку решения по дидактике и учебной программе часто диктуются логикой предмета, а не педагогическими соображениями. Другие методы возникают, подчеркивая некоторые аспекты этого подхода.
• Реляционный подход : использует темы занятий для решения повседневных проблем и связывает тему с текущими событиями. ^[19] Этот подход фокусируется на многочисленных применениях математики и помогает учащимся понять, почему им нужно ее знать, а также помогает им применять математику в реальных ситуациях за пределами классной комнаты.
• Исторический метод : обучение развитию математики в историческом, социальном и культурном контексте. Сторонники утверждают, что он обеспечивает больший человеческий интерес , чем традиционный подход. ^[20]
• Математика открытий : конструктивистский метод преподавания математики ( обучение открытий ), который сосредоточен вокруг обучения, основанного на проблемах или исследованиях, с использованием открытых вопросов и манипулятивных инструментов. ^[21] Этот тип математического образования был внедрен в различных частях Канады, начиная с 2005 года. ^[22] Математика, основанная на открытиях, находится в авангарде канадских дебатов о « математических войнах », и многие критикуют ее за снижение оценок по математике.
• Новая математика : метод обучения математике, который фокусируется на абстрактных понятиях, таких как теория множеств , функции и основания, отличные от десяти. Принятая в США как ответ на вызов советского технического превосходства в космосе, она начала оспариваться в конце 1960-х годов. Одной из самых влиятельных критических статей «Новой математики» сталакнига Морриса Клайна «Почему Джонни не может складывать» 1973 года . Метод «Новой математики» стал темой одной из самых популярных пародийных песен Тома Лерера с его вступительными замечаниями к песне: «...в новом подходе, как вы знаете, главное — понять, что вы делаете. делать, а не получить правильный ответ».
• Развлекательная математика : забавные математические задачи могут мотивировать учащихся изучать математику и увеличить их удовольствие от математики. ^[23]
• Математика, основанная на стандартах : концепция довузовского математического образования в США и Канаде , ориентированная на углубление понимания учащимися математических идей и процедур и формализованная Национальным советом учителей математики , который разработал Принципы и стандарты школьной математики. .
• Мастерство : подход, при котором ожидается, что большинство студентов достигнут высокого уровня компетентности, прежде чем прогрессировать.
• Решение проблем : развитие математической изобретательности, творческого подхода и эвристического мышления путем постановки перед учащимися открытых, необычных, а иногда и нерешенных задач . Задачи могут варьироваться от простых словесных задач до задач международных математических соревнований, таких как Международная математическая олимпиада . Решение задач используется как средство получения новых математических знаний, обычно на основе предыдущих знаний учащихся.
• Упражнения : закрепление математических навыков путем выполнения большого количества упражнений аналогичного типа, например, сложения простых дробей или решения квадратных уравнений .
• Зубрежка : обучение математическим результатам, определениям и концепциям путем повторения и запоминания, обычно без смысла или с опорой на математические рассуждения . Презрительный термин – «тренируй и убей» . В традиционном образовании зубрежка используется для обучения таблице умножения , определениям, формулам и другим аспектам математики.
• Математическая прогулка : прогулка, во время которой восприятие воспринимаемых объектов и сцен переводится на математический язык.

Содержание и возрастные уровни

В разных странах разные уровни математики преподаются в разном возрасте и в несколько разной последовательности. Иногда класс может преподаваться в более раннем возрасте, чем обычно, в специальном классе или классе с отличием .

Элементарную математику в большинстве стран преподают одинаково, хотя есть и различия. Большинство стран, как правило, освещают меньше тем более подробно, чем в Соединенных Штатах. ^[24] В начальной школе дети изучают целые числа и арифметику, включая сложение, вычитание, умножение и деление. ^[25] Сравнения и измерения преподаются как в числовой, так и в графической форме, а также дроби и пропорциональность , закономерности и различные темы, связанные с геометрией. ^[26]

В средней школе в большинстве стран США алгебра , геометрия и анализ ( предварительные исчисления и исчисления ) преподаются как отдельные курсы в разные годы. С другой стороны, в большинстве других стран (и в некоторых штатах США) математика преподается как интегрированный предмет, при этом ежегодно изучаются темы из всех разделов математики; Таким образом, студенты проходят заранее определенный курс, включающий несколько тем, а не выбирают курсы по меню, как в Соединенных Штатах. Однако даже в этих случаях может быть предложено несколько вариантов «математики», выбранных в зависимости от предполагаемого обучения учащегося после окончания средней школы. (Например, в Южной Африке вариантами являются «Математика», «Математическая грамотность» и «Техническая математика».) Таким образом, научно-ориентированная учебная программа обычно перекрывает первый год университетского курса математики и включает дифференциальное исчисление и тригонометрию в возрасте 16–17 лет, а также интегральное исчисление. , комплексные числа , аналитическая геометрия , показательные и логарифмические функции и бесконечные ряды в последний год средней школы; Точно так же часто преподают вероятность и статистику .

На уровне колледжей и университетов студенты естественных и инженерных специальностей должны будут изучать исчисление многих переменных , дифференциальные уравнения и линейную алгебру ; в нескольких колледжах США эти курсы по существу составляют второстепенный курс или AS по математике. Специальности по математике изучают дополнительные другие области чистой математики - и часто прикладной математики - с требованием прохождения определенных продвинутых курсов по анализу и современной алгебре . Прикладная математика может рассматриваться как основной предмет сама по себе, в то время как конкретные темы преподаются в рамках других курсов: например, инженеры-строители могут быть обязаны изучать механику жидкости ^[27] , а «математика для информатики» может включать теорию графов. , перестановка , вероятность и формальные математические доказательства . ^[28] Степени по чистой и прикладной математике часто включают модули по теории вероятностей или математической статистике , в то время как курс численных методов является общим требованием для прикладной математики. ( Теоретическая ) физика требует интенсивной математики и часто существенно пересекается со степенью по чистой или прикладной математике. Бизнес-математика обычно ограничивается вводным исчислением и (иногда) матричными расчетами; Программы по экономике дополнительно охватывают оптимизацию , часто дифференциальные уравнения и линейную алгебру , а иногда и анализ.

Стандарты

На протяжении большей части истории стандарты математического образования устанавливались на местном уровне отдельными школами или учителями в зависимости от уровней успеваемости, которые были актуальны, реалистичны и считались социально приемлемыми для их учеников.

В наше время произошел переход к региональным или национальным стандартам, обычно под эгидой более широкой стандартной школьной программы. В Англии , например, стандарты математического образования установлены как часть Национальной учебной программы Англии ^[29] , в то время как в Шотландии существует собственная образовательная система. Во многих других странах есть централизованные министерства, которые устанавливают национальные стандарты или учебные программы, а иногда даже учебники.

Ма (2000) обобщил исследования других авторов, которые на основе общенациональных данных обнаружили, что учащиеся с более высокими баллами по стандартизированным тестам по математике посещали больше курсов математики в старших классах школы. Это привело к тому, что в некоторых штатах потребовалось три года изучения математики вместо двух. Но поскольку это требование часто удовлетворялось прохождением еще одного курса математики более низкого уровня, дополнительные курсы имели «разбавленный» эффект в повышении уровня успеваемости. ^[30]

В Северной Америке Национальный совет учителей математики (NCTM) опубликовал «Принципы и стандарты школьной математики» в 2000 году для США и Канады, что усилило тенденцию к реформированию математики . В 2006 году NCTM выпустил « Координационные центры учебной программы» , в которых рекомендуются наиболее важные математические темы для каждого уровня до 8-го класса. Однако эти стандарты представляли собой рекомендации по внедрению по выбору американских штатов и канадских провинций. В 2010 году Центр передового опыта Национальной ассоциации губернаторов и Совет директоров школ штатов опубликовали Общие основные государственные стандарты для штатов США, которые впоследствии были приняты большинством штатов. Принятие Common Core State Standards по математике осуществляется по усмотрению каждого штата и не санкционировано федеральным правительством. ^[31] «Государства регулярно пересматривают свои академические стандарты и могут изменить или дополнить их, чтобы наилучшим образом удовлетворить потребности своих студентов». ^[32] У NCTM есть филиалы в штатах, которые имеют разные стандарты образования на уровне штата. Например, в штате Миссури есть Совет учителей математики штата Миссури (MCTM), основные принципы и стандарты образования которого перечислены на его веб-сайте. MCTM также предлагает возможности членства учителям и будущим учителям, чтобы они могли быть в курсе изменений в стандартах математического образования. ^[33]

Программа международной оценки учащихся (PISA), созданная Организацией экономического сотрудничества и развития (ОЭСР), представляет собой глобальную программу, изучающую способности 15-летних учащихся к чтению, естественным наукам и математике. ^[34] Первая оценка была проведена в 2000 году с участием 43 стран. ^[35] PISA повторяет эту оценку каждые три года, чтобы предоставить сопоставимые данные, помогая направлять глобальное образование, чтобы лучше подготовить молодежь к будущей экономике. Результаты трехлетних оценок PISA имели множество последствий из-за неявной и явной реакции заинтересованных сторон, что привело к реформе образования и изменению политики. ^{[35] [36] [21]}

Исследовать

По мнению Хиберта и Гроуса, «надежных и полезных теорий классного обучения пока не существует». ^[37] Однако существуют полезные теории о том, как дети изучают математику, и в последние десятилетия было проведено много исследований, чтобы изучить, как эти теории могут быть применены к обучению. Следующие результаты являются примерами некоторых текущих открытий в области математического образования.

Важные результаты [37]

Одним из наиболее убедительных результатов недавних исследований является то, что наиболее важной особенностью эффективного преподавания является предоставление учащимся «возможности учиться». Учителя могут устанавливать ожидания, время, виды задач, вопросы, приемлемые ответы и типы обсуждений, которые повлияют на возможности учащихся учиться. Это должно включать как эффективность навыков, так и концептуальное понимание.

Концептуальное понимание [37]

Двумя наиболее важными особенностями преподавания, способствующими концептуальному пониманию времени, являются явное внимание к концепциям и предоставление учащимся возможности бороться с важной математикой. Обе эти особенности были подтверждены множеством исследований. Явное внимание к концепциям предполагает установление связей между фактами, процедурами и идеями. (Это часто рассматривается как одна из сильных сторон преподавания математики в странах Восточной Азии, где учителя обычно посвящают около половины своего времени установлению связей. Другой крайностью являются США, где в школьных классах связи практически не устанавливаются. ^[38] ) Эти связи можно установить посредством объяснения значения процедуры, вопросов, сравнивающих стратегии и решения проблем, отмечая, что одна проблема является частным случаем другой, напоминая учащимся об основной мысли, обсуждая, как связаны уроки, и скоро.

Целенаправленная, продуктивная борьба с математическими идеями означает, что, когда учащиеся прилагают усилия для реализации важных математических идей, даже если эта борьба изначально связана с путаницей и ошибками, результатом является более качественное обучение. Это верно независимо от того, вызвана ли борьба намеренно сложным, хорошо реализованным обучением или непреднамеренно запутанным и ошибочным обучением.

Формативное оценивание [39]

Формативное оценивание — лучший и самый дешевый способ повысить успеваемость учащихся, их вовлеченность и профессиональную удовлетворенность учителей. Результаты превосходят результаты сокращения размера класса или повышения уровня знаний учителей. Эффективное оценивание основано на разъяснении того, что учащиеся должны знать, создании соответствующих мероприятий для получения необходимых доказательств, предоставлении хорошей обратной связи, поощрении учащихся взять под контроль свое обучение и предоставлении учащимся возможности быть ресурсами друг для друга.

Домашнее задание [40]

Домашние задания, которые заставляют учащихся практиковать прошлые уроки или готовиться к будущим, более эффективны, чем те, которые повторяются на текущем уроке. Студенты получают пользу от обратной связи. Студенты с ограниченными возможностями обучения или низкой мотивацией могут получить вознаграждение. Детям младшего возраста домашнее задание способствует простым навыкам, но не более широким показателям успеваемости.

Студенты с трудностями [40]

Учащиеся с подлинными трудностями (не связанными с мотивацией или прошлым обучением) борются с основными фактами , отвечают импульсивно, испытывают трудности с мысленными представлениями, имеют плохое чувство числа и плохую кратковременную память. Методы, которые были признаны эффективными для помощи таким учащимся, включают обучение с помощью коллег, подробное обучение с наглядными пособиями, обучение, основанное на формативном оценивании , и поощрение учащихся к мышлению вслух.

Алгебраические рассуждения [40]

Детям начальной школы нужно потратить много времени на то, чтобы научиться выражать алгебраические свойства без символов, прежде чем изучать алгебраическую запись. Изучая символы, многие учащиеся полагают, что буквы всегда обозначают неизвестные, и испытывают трудности с понятием переменной . Для решения текстовых задач они предпочитают арифметические рассуждения алгебраическим уравнениям . Требуется время, чтобы перейти от арифметики к алгебраическим обобщениям для описания закономерностей. У учащихся часто возникают проблемы со знаком минус , и они понимают, что знак равенства означает «ответ...».

Методология

Как и другие исследования в области образования (и социальные науки в целом), исследования в области математического образования зависят как от количественных, так и от качественных исследований. Количественные исследования включают исследования, в которых используется статистический вывод для ответа на конкретные вопросы, например, дает ли определенный метод обучения значительно лучшие результаты, чем существующее положение вещей. Лучшие количественные исследования включают рандомизированные исследования, в которых учащимся или классам случайным образом назначаются различные методы для проверки их эффективности. Они полагаются на большие выборки для получения статистически значимых результатов.

Качественные исследования , такие как тематические исследования , исследования действий , анализ дискурса и клинические интервью , зависят от небольших, но целенаправленных выборок в попытке понять обучение студентов и посмотреть, как и почему данный метод дает те результаты, которые он дает. Такие исследования не могут окончательно установить, что один метод лучше другого, как это могут сделать рандомизированные исследования, но пока не будет понятно, почему лечение X лучше, чем лечение Y, применение результатов количественных исследований часто будет приводить к «летальным мутациям» ^[37 ] результаты в реальных классах. Поисковые качественные исследования также полезны для выдвижения новых гипотез , которые в конечном итоге можно проверить с помощью рандомизированных экспериментов. Таким образом, как качественные, так и количественные исследования считаются важными в образовании, как и в других социальных науках. ^[41] Многие исследования являются «смешанными», одновременно сочетая в себе аспекты как количественных, так и качественных исследований, в зависимости от обстоятельств.

Рандомизированные исследования

Были некоторые разногласия по поводу относительной силы различных типов исследований. Поскольку существует мнение, что рандомизированные исследования дают четкие и объективные данные о том, «что работает», политики часто рассматривают только эти исследования. Некоторые ученые настаивают на более случайных экспериментах, в которых методы обучения случайным образом распределяются по классам. ^{[42] [43]} В других дисциплинах, связанных с людьми, таких как биомедицина , психология и оценка политики, контролируемые рандомизированные эксперименты остаются предпочтительным методом оценки лечения. ^{[44] [45]} Статистики образования и некоторые преподаватели математики работают над увеличением использования рандомизированных экспериментов для оценки методов обучения. ^[43] С другой стороны, многие ученые в образовательных школах выступают против увеличения количества рандомизированных экспериментов, часто из-за философских возражений, таких как этическая сложность случайного назначения учащихся на различные методы лечения, когда эффекты такого лечения еще не проявились. известно, что они эффективны, ^[46] или сложность обеспечения жесткого контроля независимой переменной в изменчивых, реальных школьных условиях. ^[47]

В Соединенных Штатах Национальная консультативная группа по математике (NMAP) опубликовала в 2008 году отчет, основанный на исследованиях, в некоторых из которых использовалось рандомизированное назначение методов лечения экспериментальным подразделениям , таким как классы или студенты. Предпочтение в отчете NMAP рандомизированных экспериментов вызвало критику со стороны некоторых ученых. ^[48] ​​В 2010 году Информационный центр What Works (по сути, исследовательское подразделение Министерства образования ) отреагировал на продолжающиеся противоречия, расширив свою исследовательскую базу, включив в нее неэкспериментальные исследования, в том числе модели разрыва регрессии и исследования отдельных случаев . ^[49]

Организации

• Консультативный комитет по математическому образованию
• Американская математическая ассоциация двухгодичных колледжей
• Ассоциация учителей математики
• Канадское математическое общество
• Институт CD Хоу
• Математическая ассоциация
• Национальный совет учителей математики
• ОЭСР
• Международная ассоциация оценки образовательных достижений

Смотрите также

Аспекты математического образования

• Когнитивное обучение
• Критическая математическая педагогика
• Этноматематика
• Числовое предложение , начальное математическое образование
• Предварительные математические навыки
• Сэр Камфернс , серия обучающих книг по математике для детей.
• Статистическое образование

Проблемы Северной Америки

• Математическое образование в США

Математические трудности

• Дискалькулия
• Математическая тревога

Рекомендации

1. Дадли, Андервуд (апрель 2002 г.). «Первый в мире учебник математики». Математические горизонты . Тейлор и Фрэнсис, Ltd. 9 (4): 8–11. дои : 10.1080/10724117.2002.11975154. JSTOR  25678363. S2CID  126067145.
2. Нойгебауэр, Отто (1969). Точные науки в древности . Нью-Йорк: Dover Publications. п. 36. ISBN 978-0-486-22332-2. Другими словами, на протяжении всей вавилонской математики было известно, что сумма квадратов длин сторон прямоугольного треугольника равна квадрату длины гипотенузы.
3. Фриберг, Йоран (1981). «Методы и традиции вавилонской математики: Плимптон 322, тройки Пифагора и уравнения параметров вавилонского треугольника». История Математики . 8 : 277–318. дои : 10.1016/0315-0860(81)90069-0 .: п. 306 «Хотя «Плимптон 322» является уникальным в своем роде текстом, известно несколько других текстов, свидетельствующих о том, что теорема Пифагора была хорошо известна математикам древневавилонского периода».
4. Хойруп, Йенс . «Пифагорейское «Правило» и «Теорема» - зеркало связи между вавилонской и греческой математикой». В Ренгере, Йоханнес (ред.). Вавилон: Focus mesopotamischer Geschichte, Wiege früher Gelehrsamkeit, Mythos in der Moderne. 2. Международный коллоквиум Deutschen Orient-Gesellschaft 24–26. Март 1998 г. в Берлине (PDF) . Берлин: Deutsche Orient-Gesellschaft / Саарбрюккен: SDV Saarbrücker Druckerei und Verlag. стр. 393–407. Архивировано (PDF) из оригинала 25 февраля 2021 г. Проверено 15 ноября 2022 г., п. 406: « Судя только по этим свидетельствам, вполне вероятно, что правило Пифагора было обнаружено в среде геодезистов-непрофессионалов, возможно, как побочный результат проблемы, рассмотренной в Db _2-146 , где-то между 2300 и 1825 годами до нашей эры». ( Db _2-146 — это древневавилонская глиняная табличка из Эшнунны , посвященная вычислению сторон прямоугольника по его площади и диагонали.)
5. Робсон, Э. (2008). Математика в древнем Ираке: социальная история . Издательство Принстонского университета.: п. 109 «Многие практикующие математику в Древнем Вавилоне… знали, что квадрат на диагонали прямоугольного треугольника имеет ту же площадь, что и сумма квадратов длины и ширины: это соотношение используется в рабочих решениях текстовых задач на разрезание и ширину. -Наклейте слово «алгебра» на семь разных табличек из Эшнуны, Сиппара, Суз и неизвестного места в южной Вавилонии».
6. Фергюсон, Китти (2010). Пифагор: его жизнь и наследие рациональной вселенной . Лондон: Значок. стр. 78–84. ISBN 978-184831-231-9.
7. Габриэль Эмануэль (23 июля 2016 г.). «Почему мы изучаем уроки математики, датированные 500 лет назад». Национальное общественное радио . Архивировано из оригинала 10 апреля 2018 года . Проверено 10 апреля 2018 г.
8. «Почему мы изучаем уроки математики, датированные 500 лет назад». NPR.org . Архивировано из оригинала 10 апреля 2018 г. Проверено 10 апреля 2018 г.
9. Уильям Л. Шааф (1941). Библиография математического образования. Архивировано 10 января 2020 г. в Wayback Machine , Форест-Хиллз, Нью-Йорк: Stevinus Press, ссылка с HathiTrust.
10. Маршалл Маклюэн (1964) Понимание СМИ , стр.13 «Маклюэн: Понимание СМИ». Архивировано из оригинала 8 декабря 2008 г. Проверено 4 сентября 2007 г.
11. Образование, McGraw-Hill (20 октября 2017 г.). «5 подходов к обучению математике в PreK-12». Вдохновленные идеи . Архивировано из оригинала 26 декабря 2021 г. Проверено 12 февраля 2019 г.
12. «Евклидова геометрия». www.pitt.edu . Архивировано из оригинала 30 января 2019 г. Проверено 12 февраля 2019 г.
13. «Аксиоматические системы». web.mnstate.edu . Архивировано из оригинала 17 июля 2019 г. Проверено 12 февраля 2019 г.
14. «Эвристика». Theory.stanford.edu . Архивировано из оригинала 06 апреля 2019 г. Проверено 12 февраля 2019 г.
15. «Сдать математику студентам стало проще с этой новой платформой: Mathematica - Techzim» . Техзим . 16.06.2018. Архивировано из оригинала 19 июня 2018 г. Проверено 19 июня 2018 г.
16. «5 приложений, которые помогут всем учащимся с математикой» . Технологические решения, которые стимулируют образование . 13 октября 2017 г. Архивировано из оригинала 26 декабря 2021 г. Проверено 19 июня 2018 г.
17. Мосберген, Доминик (22 октября 2014 г.). «Это бесплатное приложение решит за вас математические задачи». Хаффингтон Пост . Архивировано из оригинала 22 сентября 2017 г. Проверено 21 июня 2018 г.
18. «Классическое образование и STEM: распространенное заблуждение». Клэпхемская школа . 25 января 2018 г. Архивировано из оригинала 12 февраля 2019 г. Проверено 12 февраля 2019 г.
19. «Математические текущие события». Архивировано из оригинала 20 ноября 2011 г. Проверено 29 ноября 2011 г.
20. Шрираман, Бхарат (2012). Перекрестки истории математики и математического образования. Серия монографий по математическому образованию. Том. 12. ИАП. ISBN 978-1-61735-704-6.
21. Ансари, Дэниел (март 2016 г.). «Больше никаких математических войн». Образовательный дайджест . 81 (7): 4–9. ПроКвест  1761255371.
22. Стокке, Анна (2015). Что делать с ухудшением результатов по математике в Канаде . Торонто, Онтарио: Институт CD Howe. стр. 4–5. ISBN 9780888069498.
23. Сингмастер, Дэвид (7 сентября 1993 г.). «Необоснованная полезность развлекательной математики». Для Первого Европейского математического конгресса, Париж, июль 1992 г. Архивировано из оригинала 7 февраля 2002 года . Проверено 17 сентября 2012 г.
24. «Основы успеха: Заключительный отчет Национальной консультативной группы по математике» (PDF) . Министерство образования США. 2008. с. 20. Архивировано из оригинала (PDF) 17 марта 2015 г.
25. Нуньес, Терезинья; Дорнелес, Беатрис Варгас; Лин, Пи-Джен; Ратгеб-Шнирер, Элизабет (2016), «Преподавание и изучение целых чисел в начальной школе», Тематические опросы ICME-13, Cham: Springer International Publishing, стр. 1–50, doi : 10.1007/978-3-319-45113 -8_1 , ISBN 978-3-319-45112-1
26. Муллис, Ина В.С.; и другие. (июнь 1997 г.). «Успехи по математике в начальной школе. Третье международное исследование МЭА по математике и естественным наукам (TIMSS)». Третье международное исследование по математике и естественным наукам . Международная ассоциация оценки образовательных достижений ; Центр Бостонского колледжа по изучению тестирования, оценки и образовательной политики. ISBN 1-889938-04-1.
27. «MIT - SB в учебной программе 1-C по гражданскому строительству | Департамент гражданского и экологического строительства, Массачусетский технологический институт» . Архивировано из оригинала 14 июля 2014 г. Проверено 18 июня 2014 г.
28. «Математика для информатики». MIT OpenCourseWare . Архивировано из оригинала 10 мая 2019 г. Проверено 02 января 2019 г.
29. «Учебная программа по математике» . Министерство образования Великобритании. 17 января 2013 года. Архивировано из оригинала 2 мая 2012 года . Проверено 1 мая 2012 г.
30. Ма, X. (2000). «Продольная оценка предшествующей курсовой работы по математике и последующих математических достижений». Журнал образовательных исследований . 94 (1): 16–29. дои : 10.1080/00220670009598739. S2CID  144948416.
31. «Мифы против фактов - Инициатива по общим основным государственным стандартам» . www.corestandards.org . Архивировано из оригинала 2 августа 2017 г. Проверено 28 июля 2017 г.
32. «Стандарты в вашем штате - Инициатива по общим основным государственным стандартам» . www.corestandards.org . Архивировано из оригинала 10 июня 2019 г. Проверено 28 июля 2017 г.
33. "MoCTM - Дом" . www.moctm.org . Архивировано из оригинала 12 февраля 2018 г. Проверено 11 февраля 2018 г.
34. «Что такое PISA?». ОЭСР . 2018. Архивировано из оригинала 04 марта 2018 г. Проверено 14 октября 2019 г.
35. Lockheed, Марлен (2015). Опыт стран со средним уровнем дохода, участвующих в PISA 2000. PISA . Франция: Издательство ОЭСР. п. 30. ISBN 978-92-64-24618-8.
36. Селлар, С., и Лингард, Б., Сэм; Лингард, Боб (апрель 2018 г.). «Международные крупномасштабные оценки, аффективные миры и влияние политики на образование» (PDF) . Международный журнал качественных исследований в образовании . 31 (5): 367–381. дои : 10.1080/09518398.2018.1449982. S2CID  149999527. Архивировано (PDF) из оригинала 07 марта 2020 г. Проверено 30 ноября 2019 г.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
37. Хиберт, Джеймс; Гроуз, Дуглас (2007), «9», Влияние преподавания математики в классе на обучение учащихся , том. 1, Рестон В.А.: Национальный совет учителей математики, стр. 371–404.
38. Институт педагогических наук, изд. (2003), «Основные моменты видеоисследования преподавания математики в восьмом классе TIMSS 1999 года», «Тенденции в международных исследованиях математики и естественных наук (TIMSS) - обзор», Министерство образования США, заархивировано из оригинала 8 мая 2012 г. , извлечено 08.05.2012
39. Блэк, П.; Уильям, Дилан (1998). «Оценка и обучение в классе» (PDF) . Оценка в образовании . 5 (1): 7–74. дои : 10.1080/0969595980050102. S2CID  143347721. Архивировано (PDF) из оригинала 26 июля 2018 г. Проверено 25 июля 2018 г.
40. «Исследовательские клипы и обзоры». Архивировано из оригинала 2 октября 2014 г. Проверено 15 ноября 2009 г.
41. Рауденбуш, Стивен (2005). «Изучение на попытках улучшить школьное образование: вклад методологического разнообразия». Исследователь образования . 34 (5): 25–31. CiteSeerX 10.1.1.649.7042 . дои : 10.3102/0013189X034005025. S2CID  145667765. 
42. Кук, Томас Д. (2002). «Рандомизированные эксперименты в исследованиях образовательной политики: критическое исследование причин, по которым сообщество по оценке образования предложило их не проводить». Оценка образования и анализ политики . 24 (3): 175–199. дои : 10.3102/01623737024003175. S2CID  144583638.
43. Рабочая группа по статистике в исследованиях в области математического образования (2007). «Эффективное использование статистики в исследованиях в области математического образования: отчет о серии семинаров, организованных Американской статистической ассоциацией при финансовой поддержке Национального научного фонда» (PDF) . Американская статистическая ассоциация. Архивировано из оригинала (PDF) 2 февраля 2007 г. Проверено 25 марта 2013 г.
44. Шадиш, Уильям Р.; Кук, Томас Д.; Кэмпбелл, Дональд Т. (2002). Экспериментальные и квазиэкспериментальные планы для обобщенного причинно-следственного вывода (2-е изд.). Бостон: Хоутон Миффлин. ISBN 978-0-395-61556-0.
45. См. статьи о NCLB , Национальной консультативной группе по математике, научно обоснованных исследованиях и информационно-справочном центре What Works.
46. Мостеллер, Фредерик; Борух, Роберт (2002), Доказательства имеют значение: рандомизированные исследования в области образования , Brookings Institution Press.
47. Чаттерджи, Мадхаби (декабрь 2004 г.). «Фактические данные о том, «что работает»: аргумент в пользу долгосрочных планов оценки смешанных методов (ETMM)». Исследователь образования . 33 (9): 3–13. дои : 10.3102/0013189x033009003. S2CID  14742527.
48. Келли, Энтони (2008). «Размышления о заключительном отчете Национальной консультативной группы по математике». Исследователь образования . 37 (9): 561–4. дои : 10.3102/0013189X08329353. S2CID  143471869.Это вводная статья к вопросу, посвященному дебатам по поводу отчета Национальной консультативной группы по математике, в частности, об использовании ею рандомизированных экспериментов.
49. Спаркс, Сара (20 октября 2010 г.). «Федеральные критерии роста исследований». Неделя образования . п. 1.

• Войт, Рита. «Ускоренная математика: что должен знать каждый родитель». Ресурсы Академии HEROES . Проверено 20 сентября 2023 г.

дальнейшее чтение

• Андерсон, Джон Р.; Редер, Линн М.; Саймон, Герберт А.; Эрикссон, К. Андерс; Глейзер, Роберт (1998). «Радикальный конструктивизм и когнитивная психология» (PDF) . Документы Брукингса по образовательной политике (1): 227–278. Архивировано из оригинала (PDF) 26 июня 2010 г. Проверено 25 сентября 2011 г.
• Ауслендер, Морис; и другие. (2004). «Цели школьной математики: отчет Кембриджской конференции по школьной математике 1963 г.» (PDF) . Кембридж, Массачусетс: Центр изучения учебной программы по математике. Архивировано (PDF) из оригинала 15 июля 2010 г. Проверено 6 августа 2009 г.
• Болл, Линда и др. Использование технологий в начальном и среднем математическом образовании (Чам, Швейцария: Springer, 2018).
• Дреер, Аника и др. «Какие содержательные знания нужны учителям математики средней школы?» Journal für Mathematik-Didaktik 39.2 (2018): 319-341 онлайн. Архивировано 18 апреля 2021 г. в Wayback Machine .
• Дрейверс, Пол и др. Использование технологий в математическом образовании младших классов средней школы: краткий тематический обзор (Springer Nature, 2016).
• Гостоньи, Каталин. «Математическая культура и математическое образование в Венгрии в XX веке». в математических культурах (Биркхойзер, Чам, 2016), стр. 71–89. В сети
• Пол Локхарт (2009). Плач математика: как школа лишает нас самого увлекательного и творческого вида искусства . Литературная пресса Бельвью. ISBN 978-1934137178.
• Лосано, Летисия и Марсия Кристина де Коста Триндаде Сирино. «Текущие исследования профессиональной идентичности будущих учителей средней школы». в «Математическом образовании будущих учителей средней школы во всем мире» (Springer, Cham, 2017), стр. 25–32.
• Шрираман, Бхарат ; Инглиш, Лин (2010). Теории математического образования. Спрингер. ISBN 978-3-642-00774-3.
• Строгац, Стивен Генри ; Жоффрей, Дон (2009). Расчет дружбы: что учитель и ученик узнали о жизни во время переписки по математике . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-13493-2.
• Струтченс, Мэрилин Э. и др. Математическое образование будущих учителей средней школы по всему миру (Springer Nature, 2017), онлайн. Архивировано 18 апреля 2021 г. в Wayback Machine .
• Вонг, Кхун Юн. «Обогащение среднего математического образования компетенциями XXI века». в развитии компетенций XXI века в классе математики: Ежегодник 2016 (Ассоциация преподавателей математики. 2016), стр. 33–50.

Внешние ссылки

• Математическое образование в Керли
• История математического образования
• Четверть века американских «математических войн» и политических партий. Дэвид Кляйн. Калифорнийский государственный университет, Нортридж, США