Словарь математических символов

Математический символ — это фигура или комбинация фигур, которая используется для представления математического объекта , действия над математическими объектами, связи между математическими объектами или для структурирования других символов, встречающихся в формуле . Поскольку формулы полностью состоят из символов различных типов, для выражения всей математики требуется множество символов.

Самыми основными символами являются десятичные цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и буквы латинского алфавита . Десятичные цифры используются для представления чисел в индийско-арабской системе счисления . Исторически прописные буквы использовались для обозначения точек в геометрии, а строчные — для переменных и констант . Буквы используются для обозначения многих других видов математических объектов . Поскольку число таких видов в современной математике значительно возросло, также используются греческий алфавит и некоторые еврейские буквы . В математических формулах стандартным шрифтом является курсив для латинских букв и строчных греческих букв и вертикальный шрифт для прописных греческих букв. Для увеличения количества символов также используются другие шрифты, в основном жирный шрифт , рукописный шрифт (строчные буквы используются редко из-за возможной путаницы со стандартным шрифтом), немецкий fraktur и жирный шрифт blackboard (остальные буквы используются редко). в этом лице, или их использование нетрадиционно). $\mathbf {a,A,b,B},\ldots$ ${\mathcal {A,B}},\ldots$ ${\mathfrak {a,A,b,B}},\ldots$ $\mathbb {N,Z,Q,R,C,H,F} _{q}$

Использование латинских и греческих букв в качестве символов для обозначения математических объектов в данной статье не описано. Информацию о таком использовании см. в разделах «Переменная (математика)» и «Список математических констант» . Однако некоторые символы, описанные здесь, имеют ту же форму, что и буква, от которой они произошли, например и . $\textstyle \prod {}$ $\textstyle \sum {}$

Одних только этих букв недостаточно для нужд математиков, и используются многие другие символы. Некоторые берут свое начало от знаков препинания и диакритических знаков, традиционно используемых в типографике ; другие, деформируя формы букв , как в случаях и . Другие, такие как $+$ и $=$ , были специально разработаны для математики. $\in$ $\forall$

Макет этой статьи

Обычно статьи глоссария структурированы по темам и отсортированы в алфавитном порядке. Здесь это невозможно, поскольку не существует естественного порядка символов, и многие символы используются в разных разделах математики с разными значениями, часто совершенно не связанными между собой. Поэтому пришлось сделать некоторый произвольный выбор, который кратко изложен ниже.

Статья разделена на разделы, отсортированные по возрастанию технического уровня. То есть первые разделы содержат символы, которые встречаются в большинстве математических текстов и которые должны быть известны даже новичкам. С другой стороны, последние разделы содержат символы, специфичные для какой-либо области математики и игнорируемые за пределами этих областей. Однако длинный раздел в скобках вынесен ближе к концу, хотя большинство его записей элементарны: это облегчает поиск записи символа с помощью прокрутки.

Большинство символов имеют несколько значений, которые обычно различаются либо областью математики, в которой они используются, либо их синтаксисом , то есть их положением внутри формулы и природой других близких к ним частей формулы.

Поскольку читатели могут не знать, к какой области математики относится искомый им символ, различные значения символа сгруппированы в разделе, соответствующем их наиболее распространенному значению.

Когда значение зависит от синтаксиса, символ может иметь разные записи в зависимости от синтаксиса. Для обобщения синтаксиса имени записи этот символ используется для представления соседних частей формулы, содержащей этот символ. Примеры использования см. в § Скобки. $\Box$

Большинство символов имеют две печатные версии. Они могут отображаться как символы Юникода или в формате LaTeX . Версия Unicode упрощает использование поисковых систем и копирование . С другой стороны, рендеринг LaTeX часто намного лучше (более эстетичен) и обычно считается стандартом в математике. Поэтому в этой статье для обозначения их записи используется версия символов Unicode (когда это возможно), а в их описании — версия LaTeX. Итак, чтобы узнать, как набрать символ в LaTeX, достаточно заглянуть в первоисточник статьи.

Для большинства символов именем записи является соответствующий символ Юникода. Таким образом, для поиска записи символа достаточно ввести или скопировать символ Юникода в текстовое поле поиска. Точно так же, когда это возможно, имя записи символа также является якорем , что позволяет легко ссылаться на другую статью Википедии. Если имя записи содержит специальные символы, такие как [, ] и |, то также имеется привязка, но чтобы узнать ее, нужно просмотреть источник статьи.

Наконец, когда есть статья о самом символе (а не о его математическом значении), она связана с именем записи.

Арифметические операторы

$+$ ( знак плюса ): 1. Обозначает сложение и читается как плюс ; например, $3+2$ .; 2. Обозначает, что число положительное и читается как плюс . Избыточный, но иногда используется, чтобы подчеркнуть, что число положительное , особенно когда другие числа в контексте являются или могут быть отрицательными; например, $+2$ .; 3. Иногда используется вместо для непересекающегося объединения множеств . $\sqcup$
$-$ ( знак минус ): 1. Обозначает вычитание и читается как минус ; например, $3 - 2$ .; 2. Обозначает аддитивную инверсию и читается как отрицательное или противоположное ; например, $-2$ .; 3. Также используется вместо $\$ для обозначения теоретико-множественного дополнения ; см. \ в § Теория множеств.
$\times$ ( знак умножения ): 1. В элементарной арифметике обозначает умножение и читается как раз ; например, $3\times2$ .; 2. В геометрии и линейной алгебре обозначает векторное произведение .; 3. В теории множеств и теории категорий обозначает декартово произведение и прямое произведение . См. также × в § Теория множеств.
$\cdot$ ( интерпункт ): 1. Обозначает умножение и читается как раз ; например, $3 \cdot 2$ .; 2. В геометрии и линейной алгебре обозначает скалярное произведение .; 3. Заполнитель, используемый для замены неопределенного элемента. Например, сказать, что « абсолютное значение обозначается $| \cdot |$ », возможно, яснее, чем сказать, что оно обозначается как $| |$ .
$\pm$ ( знак плюс-минус ): 1. Обозначает либо знак плюс, либо знак минус.; 2. Обозначает диапазон значений, которые может иметь измеряемая величина; например, $10 \pm 2$ обозначает неизвестное значение, лежащее между 8 и 12.
$\mp$ ( знак минус-плюс ): Используется в паре с $\pm$ , обозначает противоположный знак; то есть $+$ , если $\pm$ равно $-$ , и $-$ если $\pm$ равно $+$ .
$\div$ ( знак деления ): Широко используемый для обозначения деления в англоязычных странах, он больше не используется в математике, и его использование «не рекомендуется». ^[1] В некоторых странах он может обозначать вычитание.
$:$ ( двоеточие ): 1. Обозначает соотношение двух величин.; 2. В некоторых странах может обозначать разделение .; 3. В нотации построителя множеств он используется как разделитель, означающий «такой, что»; см. {□ : □}.
$/$ ( косая черта ): 1. Обозначает деление и читается как разделенное на или более . Часто заменяется турником. Например, $3/2$ или . ${\frac {3}{2}}$; 2. Обозначает факторструктуру . Например, фактормножество , факторгруппа , факторкатегория и т. д.; 3. В теории чисел и теории поля $обозначает$ расширение поля , где $F$ — поле расширения поля E. $F/E$; 4. В теории вероятностей обозначает условную вероятность . Например, обозначает вероятность $A$ при условии, что произойдет $B.$ Также обозначается : см. «|». $P(A/B)$ ${\ displaystyle P (A \ Mid B)}$
$\sqrt$ ( символ квадратного корня ): Обозначает квадратный корень и читается как квадратный корень из . Редко используется в современной математике без горизонтальной черты, ограничивающей ширину аргумента (см. следующий пункт). Например, $\sqrt2$ .
$\sqrt$ ( радикальный символ ): 1. Обозначает квадратный корень и читается как квадратный корень из . Например, . ${\sqrt {3+2}}$; 2. Целое число больше 2 в левом верхнем индексе обозначает корень n- й степени . Например, обозначает корень седьмой степени из 3. ${\sqrt[{7}]{3}}$
$^$ ( каретка ): 1. Возведение в степень обычно обозначается верхним индексом . Однако часто обозначается $x$ $^$ $y$ , когда надстрочные индексы недоступны, например, в языках программирования (включая LaTeX ) или в электронных письмах в виде простого текста . $x^{y}$; 2. Не путать с ∧

Равенство, эквивалентность и сходство

$=$ ( знак равенства ): 1. Обозначает равенство .; 2. Используется для обозначения математического объекта в предложении типа «let », где $E$ — выражение . См. также $≝$ , $≜$ или . $x=E$ $:=$
$\triangleq \quad {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\quad :=$: Любой из них иногда используется для обозначения математического объекта . Таким образом , и являются сокращениями фразы «let $x$ $=$ $E$ », где $E$ — выражение , а $x$ — переменная . Это похоже на концепцию присваивания в информатике, которая обозначается по-разному (в зависимости от используемого языка программирования ). $x\triangleq E$ $x\,{\stackrel {\mathrm {def} {=}}\,E$ $x:=E$ $=,:=,\leftarrow,\ldots$
$\neq$ ( знак не равно ): Обозначает неравенство и означает «не равный».
$\approx$: Самый распространенный символ, обозначающий приблизительное равенство . Например, $\pi \приблизительно 3,14159.$
$~$ ( тильда ): $1. Между двумя числами либо вместо \approx$ используется значение «приблизительно равно», либо оно означает «имеет тот же порядок величины , что и».; 2. Обозначает асимптотическую эквивалентность двух функций или последовательностей.; 3. Часто используется для обозначения других видов подобия, например матричного подобия или подобия геометрических фигур .; 4. Стандартные обозначения отношения эквивалентности .; 5. В теории вероятности и статистике может указываться вероятностное распределение случайной величины . Например, означает, что распределение случайной величины $X$ является стандартным нормальным . ^[2] $X\sim N (0,1)$; 6. Обозначение пропорциональности . См. также ∝ для менее двусмысленного символа.
$\equiv$ ( тройная черта ): 1. Обозначает тождество , то есть равенство, которое истинно, какие бы значения ни были присвоены входящим в него переменным.; 2. В теории чисел , а точнее в модульной арифметике , обозначает сравнение по модулю целого числа.
$\конг$: 1. Может обозначать изоморфизм между двумя математическими структурами и читается как «изоморфен».; 2. В геометрии может обозначать конгруэнтность двух геометрических фигур (то есть равенство с точностью до смещения ) и читается «конгруэнтно».

Сравнение

$<$ ( знак меньше чем ): 1. Строгое неравенство между двумя числами; означает и читается как « меньше ».; 2. Обычно используется для обозначения какого-либо строгого порядка .; 3. Между двумя группами может означать, что первая является собственной подгруппой второй.
$>$ ( знак больше ): 1. Строгое неравенство между двумя числами; означает и читается как « больше чем ».; 2. Обычно используется для обозначения какого-либо строгого порядка .; 3. Между двумя группами может означать, что вторая является собственной подгруппой первой.
$\leq$: 1. Означает « меньше или равно ». То есть, какими бы ни были $A$ и $B$ , $A \leq B$ эквивалентно $A < B или A = B$ .; 2. Между двумя группами может означать, что первая является подгруппой второй.
$\geq$: 1. Означает « больше или равно ». То есть, какими бы ни были $A$ и $B$ , $A \geq B$ эквивалентно $A > B или A = B$ .; 2. Между двумя группами может означать, что вторая является подгруппой первой.
$\ll {\text{ и }}\gg$: 1. Означает « намного меньше » и « намного больше ». Обычно понятие «много» формально не определяется, но означает, что меньшим количеством можно пренебречь по отношению к другому. Обычно это тот случай, когда меньшая величина меньше другой на один или несколько порядков .; 2. В теории меры означает , что мера абсолютно непрерывна относительно меры . $\mu \ll \nu$ $\mu$ $\nu$
${\ displaystyle \ leqq }$: Редко используемый символ, обычно синоним $\leq$ .
$\prec {\text{ и }}\succ$: 1. Часто используется для обозначения порядка или, в более общем смысле, предварительного заказа , когда использование $<$ и $>$ может сбивать с толку или неудобно .; 2. Секвенция в асинхронной логике .

Теория множеств

$\emptyset$: Обозначает пустой набор и чаще пишется . Используя нотацию set-builder , его также можно обозначить { } {\displaystyle \{\}} . $\emptyset$
$#$ ( знак номера ): 1. Количество элементов : $может$ обозначать мощность множества S. Альтернативное обозначение : ; увидеть | ◻ | {\displaystyle |\square |} . $\#{}S$ $|S|$; 2. Примориал : обозначает произведение простых чисел , не превышающих $n$ . $n{}\#$; 3. В топологии обозначает связную сумму двух многообразий или двух узлов . $M\#N$
$€$: Обозначает членство в наборе и читается как «в» или «принадлежит». То есть означает, что x $является$ элементом множества $S.$ $x\in S$
$\notin$: Означает «не внутри». То есть, значит . $x\notin S$ $\neg (x\in S)$
$\subset$: Обозначает включение множества . Однако распространены два несколько разных определения.; 1. может означать, что $A является подмножеством B$ $и$ , возможно , равно $B$ ; то есть каждый элемент $A$ принадлежит $B$ ; в формуле, . $A\subset B$ $\forall {}x,\,x\in A\Rightarrow x\in B$; 2. может означать, что $A$ является собственным подмножеством B $,$ то есть эти два множества различны, и каждый элемент $A$ принадлежит $B$ ; в формуле, . $A\subset B$ $A\neq B\land \forall {}x,\,x\in A\Rightarrow x\in B$
$\subseteq$: $A\subseteq B$ означает, $что$ $A$ является подмножеством B . Используется, чтобы подчеркнуть, что равенство возможно, или когда A ⊂ B {\displaystyle A\subset B} означает, что это правильное подмножество $A$ $B.$
$⊊$: $A\subsetneq B$ означает, что $A$ является собственным подмножеством $B$ . Используется для подчеркивания того , что или когда не подразумевается, что это правильное подмножество A ⊂ B {\displaystyle A\subset B} $A\neq B$ $A$ $B.$
$\supset, \supseteq, ⊋$: Обозначим обратное отношение ⊂ {\displaystyle \subset} , ⊆ {\displaystyle \subseteq } и ⊊ {\displaystyle \subsetneq } соответственно. Например, эквивалентно . $B\supset A$ $A\subset B$
$\cup$: Обозначает теоретико-множественное объединение , то есть множество, образованное элементами $A$ и $B$ вместе. То есть, . $A\cup B$ $A\cup B=\{x\mid (x\in A)\lor (x\in B)\}$
$\cap$: Обозначает теоретико-множественное пересечение , то есть множество , образованное элементами как $A$ , так и $B.$ То есть, . $A\cap B$ $A\cap B=\{x\mid (x\in A)\land (x\in B)\}$
$∖$ ( обратная косая черта ): Установить разницу ; то есть это набор, образованный элементами $A$ , которых нет в $B$ . Иногда вместо этого используется; см. – в § Арифметические операторы. $A\setminus B$ $A-B$
$⊖$ или $\triangle$: Симметричная разность : то есть или представляет собой набор, образованный элементами, принадлежащими ровно одному из двух наборов $A$ и $B.$ $A\ominus B$ $A\operatorname {\triangle } B$
$\complement$: 1. С нижним индексом обозначает дополнение множества : то есть, если , то . $B\subseteq A$ $\complement _{A}B=A\setminus B$; 2. Без нижнего индекса обозначает абсолютное дополнение ; то есть , где $U$ — множество, неявно определенное контекстом, содержащее все рассматриваемые множества. Это множество $U$ иногда называют вселенной дискурса . $\complement A=\complement _{U}A$
$\times$ ( знак умножения ): См. также × в § Арифметические операторы.; 1. Обозначает декартово произведение двух множеств. То есть это набор, образованный всеми парами элемента $A$ и элемента $B$ . $A\times B$; 2. Обозначает прямое произведение двух математических структур одного типа, которое является декартовым произведением базовых множеств, снабженных структурой одного типа. Например, прямое произведение колец , прямое произведение топологических пространств .; 3. В теории категорий обозначает прямое произведение (часто называемое просто произведением ) двух объектов, которое является обобщением предыдущих понятий произведения.
$\sqcup$: Обозначает непересекающийся союз . То есть, если $A$ и $B$ являются множествами, то это набор пар , где $i$ $A$ и $i$ $B$ являются различными индексами, различающими члены $A$ и $B$ в . $A\sqcup B=\left(A\times \{i_{A}\}\right)\cup \left(B\times \{i_{B}\}\right)$ $A\sqcup B$
$\bigsqcup {\text{ or }}\coprod$: 1. Используется для непересекающегося объединения семейства множеств, например, в ${\textstyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}.}$; 2. Обозначает совместное произведение математических структур или объектов в категории .

Базовая логика

Некоторые логические символы широко используются во всей математике и перечислены здесь. Информацию о символах, которые используются только в математической логике или используются редко, см. в разделе «Список логических символов» .

$\neg$ ( не подписывать ): Обозначает логическое отрицание и читается как «нет». Если $E$ является логическим предикатом , это предикат, который оценивается как истина тогда и только тогда, когда $E$ оценивается как ложь . Для ясности его часто заменяют словом «не». В языках программирования и некоторых математических текстах его иногда заменяют на « $~$ » или « $!$ », которые легче набирать на некоторых клавиатурах. $\neg E$
$\lor$ ( нисходящий клин ): 1. Обозначает логическое «или» и читается как «или». Если $E$ и $F$ являются логическими предикатами , истинно, если либо $E$ , $F$ , либо оба истинны. Его часто заменяют словом «или». $E\lor F$; 2. В теории решеток обозначает операцию соединения или наименьшую верхнюю границу .; 3. В топологии обозначает клиновую сумму двух точечных пространств .
$\land$ ( клин ): 1. Обозначает логическое «и» и читается как «и». Если $E$ и $F$ являются логическими предикатами , истинно, если $E$ и $F$ оба истинны. Его часто заменяют словом «и» или символом « $&$ ». $E\land F$; 2. В теории решеток обозначает операцию пересечения или наибольшей нижней границы .; 3. В полилинейной алгебре , геометрии и исчислении многих переменных обозначает клиновое произведение или внешнее произведение .
$⊻$: Исключающее или : если $E$ и $F$ — две логические переменные или предикаты , обозначает исключающее или. Обозначения $E$ $XOR$ $F$ и также широко используются; см. ⊕. $E\veebar F$ $E\oplus F$
$\forall$ ( повернулось А ): 1. Обозначает универсальную количественную оценку и читается как «для всех». Если $E$ является логическим предикатом , это означает, что $E$ истинно для всех возможных значений переменной $x$ . $\forall xE$; 2. Часто используется неправильно ^[3] в открытом тексте как аббревиатура «для всех» или «для каждого».
$\exists$: 1. Обозначает экзистенциальную квантификацию и читается «существует... такое, что». Если $E$ является логическим предикатом , это означает, что существует хотя бы одно значение $x$ , для которого $E$ истинно. $\exists xE$; 2. Часто неправильно используется ^[3] в открытом тексте как сокращение от «существует».
$\exists!$: Обозначает количественную оценку уникальности , то есть означает, что «существует ровно один $x$ такой, что $P$ (истинно)». Другими словами, это сокращение от . $\exists !xP$ $\exists !xP(x)$ $\exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x))$
$\Rightarrow$: 1. Обозначает материальное условное выражение и читается как «подразумевается». Если $P$ и $Q$ — логические предикаты , это означает, что если $P$ истинно, то $Q$ также истинно. Таким образом, логически эквивалентно . $P\Rightarrow Q$ $P\Rightarrow Q$ $Q\lor \neg P$; 2. Часто неправильно используется ^[3] в открытом тексте как сокращение от «подразумевается».
$\Leftrightarrow$: 1. Обозначает логическую эквивалентность и читается «эквивалентно» или « тогда и только тогда, когда ». Если $P$ и $Q$ являются логическими предикатами , это, таким образом, сокращение от или от . $P\Leftrightarrow Q$ $(P\Rightarrow Q)\land (Q\Rightarrow P)$ $(P\land Q)\lor (\neg P\land \neg Q)$; 2. Часто неправильно используется ^[3] в открытом тексте как сокращение от « тогда и только если ».
$⊤$ ( Тройник ): 1. обозначает логический предикат, всегда истинный . $\top$; 2. Обозначает также истинностное значение true .; 3. Иногда обозначает верхний элемент ограниченной решетки (предыдущие значения являются конкретными примерами).; 4. Для использования в качестве верхнего индекса см. □⊤.
$⊥$ ( Вверх ): 1. обозначает логический предикат, всегда ложный . $\bot$; 2. Обозначает также истинностное значение false .; 3. Иногда обозначает нижний элемент ограниченной решетки (предыдущие значения являются конкретными примерами).; 4. В криптографии часто обозначает ошибку вместо обычного значения.; 5. Для использования в качестве верхнего индекса см. □⊥.; 6. Аналогичный символ см. в разделе ⊥ {\displaystyle \perp }.

Доска жирный шрифт

Школьный жирный шрифт широко используется для обозначения основных систем счисления . Эти системы часто также обозначаются соответствующей заглавной жирной буквой. Явным преимуществом жирного шрифта на доске является то, что эти символы невозможно спутать ни с чем другим. Это позволяет использовать их в любой области математики, не вспоминая их определение. Например, если кто-то встречается в комбинаторике , следует сразу знать, что здесь обозначаются действительные числа , хотя комбинаторика не изучает действительные числа (но использует их для многих доказательств). $\mathbb {R}$

$\mathbb {N}$: Обозначает набор натуральных чисел или иногда , когда различие важно и читатели могут предположить любое определение, и используются соответственно для однозначного обозначения одного из них. Обозначения также широко используются. $\{1,2,\ldots \},$ $\{0,1,2,\ldots \}.$ $\mathbb {N} _{1}$ $\mathbb {N} _{0}$ $\mathbf {N}$
$\mathbb {Z}$: Обозначает набор целых чисел . Часто обозначается также через $\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}.$ $\mathbf {Z} .$
$\mathbb {Z} _{p}$: 1. Обозначает множество $p$ -адических целых чисел , где $p$ — простое число .; 2. Иногда обозначает целые числа по модулю n , где $n$ — целое число , большее 0. Это обозначение также используется, и оно менее двусмысленно. $\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$
$\mathbb {Q}$: Обозначает множество рациональных чисел (дробей двух целых чисел). Его часто обозначают также $\mathbf {Q} .$
$\mathbb {Q} _{p}$: Обозначает множество $p$ -адических чисел , где $p$ — простое число .
$\mathbb {R}$: Обозначает набор действительных чисел . Его часто обозначают также $\mathbf {R} .$
$\mathbb {C}$: Обозначает набор комплексных чисел . Его часто обозначают также $\mathbf {C} .$
$\mathbb {H}$: Обозначает набор кватернионов . Его часто обозначают также $\mathbf {H} .$
$\mathbb {F} _{q}$: Обозначает конечное поле с $q$ элементами, где $q$ — степень простого числа (включая простые числа ). Его также обозначают $GF(q)$ .
$\mathbb {O}$: Используется в редких случаях для обозначения набора октонионов . Его часто обозначают также $\mathbf {O} .$

Исчисление

$□'$: Обозначение Лагранжа для производной : Если $f$ является функцией одной переменной, то, читаемое как «f prime », является производной $f$ по этой переменной. Вторая производная является производной и обозначается . $f'$ $f'$ $f''$
${\dot {\Box }}$: Обозначение Ньютона , чаще всего используемое для производной по времени: Если $x$ — переменная, зависящая от времени, то это ее производная по времени. В частности, если $x$ представляет собой движущуюся точку, то ее скорость равна . ${\dot {x}}$ ${\dot {x}}$
${\ddot {\Box }}$: Обозначение Ньютона для второй производной : Если $x$ — переменная, представляющая движущуюся точку, то — ее ускорение . ${\ddot {x}}$
$.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}д □/д □$: Обозначение Лейбница для производной , которое используется несколькими несколько разными способами.; 1. Если $y$ — переменная, зависящая от $x$ , то , читаемая как «dy над d x», является производной $y$ по $x$ . $\textstyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$; 2. Если $f$ является функцией одной переменной $x$ , то является производной $f$ и является значением производной в точке $a$ . $\textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}$ $\textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a)$; 3. Полная производная : если это функция нескольких переменных, которые зависят от $x$ , то является производной $f$ , рассматриваемой как функция $x$ . То есть, . $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $\textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}$ $\textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{dx}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x}}$
$\partial □ / \partial □$: Частная производная : если является функцией нескольких переменных, это производная по $i-$ й переменной, рассматриваемой как независимая переменная , а остальные переменные считаются константами. $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$
$𝛿 □ / 𝛿 □$: Функциональная производная : если является функционалом нескольких функций , является функциональной производной по отношению к $n$ -й функции, рассматриваемой как независимая переменная , остальные функции считаются постоянными. $f(y_{1},\ldots ,y_{n})$ $\textstyle {\frac {\delta f}{\delta y_{i}}}$
${\overline {\Box }}$: 1. Комплексно-сопряженное число . Если $z$ — комплексное число , то оно является его комплексно-сопряженным. Например, . ${\overline {z}}$ ${\overline {a+bi}}=a-bi$; 2. Топологическое замыкание . Если $S$ — подмножество топологического пространства T $,$ то это его топологическое замыкание, то есть наименьшее замкнутое подмножество T $,$ содержащее $S.$ ${\overline {S}}$; 3. Алгебраическое замыкание . Если $F$ — поле , то это его алгебраическое замыкание, то есть наименьшее алгебраически замкнутое поле , содержащее $F.$ Например, – это поле всех алгебраических чисел . ${\overline {F}}$ ${\overline {\mathbb {Q} }}$; 4. Среднее значение : если $x$ — переменная , которая принимает свои значения в некоторой последовательности чисел $S$ , то может обозначать среднее значение элементов $S.$ ${\overline {x}}$
$\to$: 1. обозначает функцию с областью определения $A$ и областью определения $B.$ Для обозначения такой функции пишут , что читается как « $f$ от $A$ до $B$ ». $A\to B$ $f:A\to B$; 2. В более общем смысле обозначает гомоморфизм или морфизм из $A$ в $B.$ $A\to B$; 3. Может обозначать логическое следствие . Для материального импликации , широко используемого в математических рассуждениях, в настоящее время его обычно заменяют на ⇒. В математической логике оно по-прежнему используется для обозначения импликации, но его точное значение зависит от конкретной изучаемой теории.; 4. Над именем переменной означает, что переменная представляет вектор в контексте, где обычные переменные представляют скаляры ; например, . С этой же целью часто используются жирный шрифт ( ) или циркумфлекс ( ). ${\overrightarrow {v}}$ $\mathbf {v}$ ${\hat {v}}$; 5. В евклидовой геометрии и, в более общем смысле, в аффинной геометрии , обозначает вектор , определяемый двумя точками $P$ и $Q$ , который можно идентифицировать с помощью перевода , отображающего $P$ в $Q.$ Тот же вектор можно обозначить и ; см. Аффинное пространство . ${\overrightarrow {PQ}}$ $Q-P$
$\mapsto$: Используется для определения функции без ее имени. Например, функция квадрата . $x\mapsto x^{2}$
$○$ ^[4]: 1. Композиция функций : если $f$ и $g$ — две функции, то это функция такая, что для каждого значения $x$ . $g\circ f$ $(g\circ f)(x)=g(f(x))$; 2. Произведение Адамара матриц : Если $A$ и $B$ — две матрицы одинакового размера, то является матрицей такой, что . Возможно, также используется вместо ⊙ для произведения Адамара степенного ряда . ^[^{нужна цитата}^] $A\circ B$ $(A\circ B)_{i,j}=(A)_{i,j}(B)_{i,j}$ $\circ$
$\partial$: 1. Граница топологического подпространства . Если $S$ — подпространство топологического пространства, то его граница , обозначаемая , — это разность множеств между замыканием и внутренней частью $S.$ $\partial S$; 2. Частная производная : см. ∂□/∂□.
$\int$: 1. Без нижнего индекса обозначает первообразную . Например, . $\textstyle \int x^{2}dx={\frac {x^{3}}{3}}+C$; 2. С нижним и верхним индексом или выражениями, расположенными под ним и над ним, обозначается определенный интеграл . Например, . $\textstyle \int _{a}^{b}x^{2}dx={\frac {b^{3}-a^{3}}{3}}$; 3. С нижним индексом, обозначающим кривую, обозначается линейный интеграл . Например, если $r$ является параметризацией кривой $C$ , от $a$ до $b$ . $\textstyle \int _{C}f=\int _{a}^{b}f(r(t))r'(t)\operatorname {d} t$
$\oint$: Часто используется, как правило, в физике, вместо линейных интегралов по замкнутой кривой . $\textstyle \int$
$\iint, ∯$: Аналогично и для поверхностных интегралов . $\textstyle \int$ $\textstyle \oint$
${\boldsymbol {\nabla }}$ или ${\vec {\nabla }}$: Nabla , оператор градиента или векторной производной , также называемый del или grad . $\textstyle \left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$
$\nabla 2$ или $\nabla\cdot\nabla$: Оператор Лапласа или лапласиан : . Формы и представляют собой скалярное произведение градиента ( или ) с самим собой. Также обозначено $Δ$ (следующий пункт). $\textstyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$ $\nabla ^{2}$ ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}$ ${\boldsymbol {\nabla }}$ ${\vec {\nabla }}$
$Δ$: 1. Другое обозначение лапласиана ( см. выше).; 2. Оператор конечной разности .
${\boldsymbol {\partial }}$ или $\partial _{\mu }$: Quad , 4-векторный оператор градиента или четырехградиент , . $\textstyle \left({\frac {\partial }{\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$
$\Box$ или ${\Box }^{2}$: Обозначает даламбериан или квадратичный четырехградиент , который является обобщением лапласиана на четырехмерное пространство-время. В плоском пространстве-времени с евклидовыми координатами это может означать либо или ; соглашение о знаках должно быть указано. В искривленном пространстве-времени (или плоском пространстве-времени с неевклидовыми координатами) определение более сложное. Также называется коробкой или кваблой . $~\textstyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}~\;$ $\;~\textstyle +{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}~\;$

Линейная и полилинейная алгебра

$\sum$ ( обозначение сигмы ): 1. Обозначает сумму конечного числа слагаемых, которые определяются нижними и верхними индексами (которые также могут располагаться ниже и выше), например, в или . $\textstyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}$ $\textstyle \sum _{0<i<j<n}j-i$; 2. Обозначает ряд и, если ряд сходится , сумму ряда . Например, . $\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i!}}=e^{x}$
$\prod$ ( обозначение заглавной буквы «пи »): 1. Обозначает произведение конечного числа слагаемых, которые определяются нижними и верхними индексами (которые также могут располагаться внизу и вверху), например, в или . $\textstyle \prod _{i=1}^{n}i^{2}$ $\textstyle \prod _{0<i<j<n}j-i$; 2. Обозначает бесконечное произведение . Например, формула произведения Эйлера для дзета-функции Римана равна . $\textstyle \zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}$; 3. Также используется для декартова произведения любого количества множеств и прямого произведения любого количества математических структур .
$\oplus$ ( обведенный плюс ): 1. Внутренняя прямая сумма : если $E$ и $F$ — абелевы подгруппы абелевой группы $V$ , обозначение означает, что $V$ — прямая сумма $E$ и $F$ ; то есть каждый элемент $V$ может быть записан уникальным образом как сумма элемента $E$ и элемента $F$ . Это применимо также тогда, когда $E$ и $F$ являются линейными подпространствами или подмодулями векторного пространства или модуля $V$ . $V=E\oplus F$; 2. Прямая сумма : если $E$ и $F$ — две абелевы группы , векторные пространства или модули , то их прямая сумма, обозначаемая, представляет собой абелеву группу, векторное пространство или модуль (соответственно), оснащенные двумя мономорфизмами и такие, что является внутренним прямым сумма и . Это определение имеет смысл, поскольку эта прямая сумма уникальна с точностью до единственного изоморфизма . $E\oplus F$ $f:E\to E\oplus F$ $g:F\to E\oplus F$ $E\oplus F$ $f(E)$ $g(F)$; 3. Исключающее или : если $E$ и $F$ — две логические переменные или предикаты , может обозначать исключающее или. Обозначения $E$ $XOR$ $F$ и также широко используются; см. ⊻. $E\oplus F$ $E\veebar F$
$\otimes$: 1. Обозначает тензорное произведение абелевых групп , векторных пространств , модулей или других математических структур, таких как в или $E\otimes F,$ $E\otimes _{K}F.$; 2. Обозначает тензорное произведение элементов: if и then $x\in E$ $y\in F,$ $x\otimes y\in E\otimes F.$
$□ ⊤$: 1. Транспонирование : если $A$ — матрица, обозначает транспонирование A , то есть матрицы, полученной путем замены строк $и$ столбцов $A.$ Также используются обозначения . Символ часто заменяется буквой $T$ или $t$ . $A^{\top }$ $^{\top }\!\!A$ $\top$; 2. Информацию о встроенном использовании этого символа см. в разделе ⊤.
$□ ⊥$: 1. Ортогональное дополнение : если $W$ — линейное подпространство пространства внутреннего произведения $V$ , то обозначает его ортогональное дополнение , то есть линейное пространство элементов $V$ , все внутренние произведения которого с элементами $W$ равны нулю. $W^{\bot }$; 2. Ортогональное подпространство в двойственном пространстве . Если $W$ — линейное подпространство (или подмодуль ) векторного пространства $($ или модуля ) V $,$ то может обозначать ортогональное подпространство W , то есть множество всех линейных форм. что отображает $W$ в ноль. $W^{\bot }$; 3. Информацию о встроенном использовании символа см. в разделе ⊥.

Расширенная теория групп

$⋉$ $⋊$: 1. Внутреннее полупрямое произведение : если $N$ и $H$ — подгруппы группы G $,$ такие, что $N$ — нормальная подгруппа G , то и $означает$ , что $G$ — полупрямое произведение $N$ и $H$ , то есть что каждый элемент $G$ может однозначно разложиться как произведение элемента $N$ и элемента $H$ . (В отличие от прямого произведения групп , элемент $H$ может измениться, если изменить порядок множителей.) $G=N\rtimes H$ $G=H\ltimes N$; 2. Внешнее полупрямое произведение : если $N$ и $H$ — две группы и является групповым гомоморфизмом из $N$ в группу автоморфизмов H , то $обозначает$ группу $G$ , единственную с точностью до группового изоморфизма , которая является полупрямым произведением $N$ и $H.$ , с коммутацией элементов $N$ и $H$ , определяемой . $\varphi$ $N\rtimes _{\varphi }H=H\ltimes _{\varphi }N$ $\varphi$
$≀$: В теории групп обозначает сплетение групп $G$ и $H.$ _ _ Это также обозначается как или ; см. Сплетенное произведение § Обозначения и соглашения для нескольких вариантов обозначений. $G\wr H$ $G\operatorname {wr} H$ $G\operatorname {Wr} H$

Бесконечные числа

$\infty$ ( символ бесконечности ): 1. Символ читается как бесконечность . В качестве верхней границы суммирования бесконечное произведение , интеграл и т. д. означает , что вычисление неограничено. Аналогично, нижняя граница означает, что вычисления не ограничиваются отрицательными значениями. $-\infty$; 2. и являются обобщенными числами, которые добавляются к действительной линии , чтобы сформировать расширенную действительную линию . $-\infty$ $+\infty$; 3. — это обобщенное число, которое добавляется к вещественной прямой для образования проективно расширенной вещественной прямой . $\infty$
${\mathfrak {c}}$ ( перелом 𝔠): ${\mathfrak {c}}$ обозначает мощность континуума , которая является мощностью множества действительных чисел .
$\aleph$ ( алеф ): С порядковым номером $i$ в нижнем индексе обозначает $i-$ й номер алефа , то есть $i-$ й бесконечный кардинал . Например, это наименьший бесконечный кардинал, то есть кардинал натуральных чисел. $\aleph _{0}$
$\beth$ { ставка (буква) ): С порядковым номером $i$ в нижнем индексе обозначает $i$ -е число . Например, является кардиналом натуральных чисел и является кардиналом континуума . $\beth _{0}$ $\beth _{1}$
$\omega$ { омега ): 1. Обозначает первый предельный порядковый номер . Его также обозначают и можно отождествить с упорядоченным набором натуральных чисел . $\omega _{0}$; 2. С порядковым номером $i$ в нижнем индексе обозначает $i-$ й предельный порядковый номер , мощность которого превышает мощность всех предыдущих порядковых номеров.; 3. В информатике обозначает (неизвестную) наибольшую нижнюю границу показателя вычислительной сложности умножения матриц .; 4. Записанный как функция другой функции, он используется для сравнения асимптотического роста двух функций. См. обозначение Big O § Связанные асимптотические обозначения .; 5. В теории чисел может обозначать простую омега-функцию . То есть это количество различных простых делителей целого числа $n$ . $\omega (n)$

Кронштейны

В математике используются различные виды скобок. Их значения зависят не только от их формы, но также от природы и устройства того, что ими разграничено, а иногда и того, что появляется между ними или перед ними. По этой причине в заголовках статей символ $□$ используется в качестве заполнителя для схематизации синтаксиса, лежащего в основе значения.

Круглые скобки

$(□)$: Используется в выражении , чтобы указать, что подвыражение в круглых скобках следует рассматривать как единый объект; обычно используется для указания порядка операций .
$□(□)$ $□(□, □)$ $□(□, ..., □)$: 1. Функциональное обозначение : если первое — имя (символ) функции , обозначает значение функции, примененное к выражению в круглых скобках; например, , . В случае многомерной функции круглые скобки содержат несколько выражений, разделенных запятыми, например . $\Box$ $f(x)$ $\sin(x+y)$ $f(x,y)$; 2. Может также обозначать продукт, например, в . Когда возможна путаница, контекст должен различать, какие символы обозначают функции, а какие обозначают переменные . $a(b+c)$
$(□, □)$: 1. Обозначает упорядоченную пару математических объектов , например, . $(\pi ,0)$; 2. Если $a$ и $b$ — действительные числа , или и $a$ $<$ $b$ , то обозначает открытый интервал , ограниченный $a$ и $b$ . См. альтернативные обозначения в ]□, □[. $-\infty$ $+\infty$ $(a,b)$; 3. Если $a$ и $b$ — целые числа , может обозначать наибольший общий делитель $a$ и $b$ . Вместо этого часто используются обозначения . $(a,b)$ $\gcd(a,b)$
$(□, □, □)$: Если $x, y, z$ — векторы в , то может обозначать скалярное тройное произведение . ^[^{нужна ссылка}^] См. также [□,□,□] в § Квадратные скобки. $\mathbb {R} ^{3}$ $(x,y,z)$
$(□, ..., □)$: Обозначает кортеж . Если существует $n$ объектов, разделенных запятыми, это $n$ -кортеж.
$(□, □, ...)$ $(□, ..., □, ...)$: Обозначает бесконечную последовательность .
${\begin{pmatrix}\Box &\cdots &\Box \\\vdots &\ddots &\vdots \\\Box &\cdots &\Box \end{pmatrix}}$: Обозначает матрицу . Часто обозначается квадратными скобками.
${\binom {\Box }{\Box }}$: Обозначает биномиальный коэффициент : учитывая два неотрицательных целых числа , читается как « $n$ выбирает $k$ » и определяется как целое число (если $k$ $= 0$ , его значение обычно равно $1$ ). Используя выражение слева, оно обозначает полином от $n$ и, таким образом, определяется и используется для любого действительного или комплексного значения $n$ . ${\binom {n}{k}}$ ${\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdots k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$
$(□ / □)$: Символ Лежандра : Если $p$ — нечетное простое число и $a$ — целое число , значение равно 1, если $a$ — квадратичный вычет по модулю $p$ ; это –1, если $a$ является квадратичным невычетом по модулю $p$ ; это 0, если $p$ делит $a$ . Те же обозначения используются для символа Якоби и символа Кронекера , которые являются обобщениями, где $p$ — соответственно любое нечетное положительное целое число или любое целое число. $\left({\frac {a}{p}}\right)$

Квадратные скобки

$[□]$: 1. Иногда используется как синоним (□), чтобы избежать вложенных круглых скобок.; 2. Класс эквивалентности : учитывая отношение эквивалентности , часто обозначает класс эквивалентности элемента $x$ . $[x]$; 3. Целая часть : если $x$ — действительное число , $часто$ обозначает целую часть или усечение x , то есть целое число, полученное удалением всех цифр после десятичной точки . Это обозначение также использовалось для других вариантов функций пола и потолка . $[x]$; 4. Скобка Айверсона : если $P$ является предикатом , может обозначать скобку Айверсона, то есть функцию , которая принимает значение $1$ для значений свободных переменных в $P$ , для которых $P$ истинно, и принимает значение $0$ в противном случае. Например, это дельта-функция Кронекера , которая равна единице , если и нулю в противном случае. $[P]$ $[x=y]$ $x=y$
$□[□]$: Изображение подмножества : если $S$ является подмножеством области определения функции $f$ , то иногда используется для обозначения образа $S.$ Когда путаница невозможна, обычно используется обозначение f(S). $f[S]$
$[□, □]$: 1. Замкнутый интервал : если $a$ и $b$ - действительные числа такие, что , то обозначает определяемый ими замкнутый интервал. $a\leq b$ $[a,b]$; 2. Коммутатор (теория групп) : если $a$ и $b$ принадлежат группе , то . $[a,b]=a^{-1}b^{-1}ab$; 3. Коммутатор (теория колец) : если $a$ и $b$ принадлежат кольцу , то . $[a,b]=ab-ba$; 4. Обозначает скобку Ли — операцию алгебры Ли .
$[□ : □]$: 1. Степень расширения поля : если $F$ является расширением поля $E$ , то обозначает степень расширения поля . Например, . $[F:E]$ $F/E$ $[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2$; 2. Индекс подгруппы : если H $является$ подгруппой группы E , то $обозначает$ индекс $H$ в $G.$ Обозначение |G:H| также используется $[G:H]$
$[□, □, □]$: Если $x, y, z$ — векторы в , то может обозначать скалярное тройное произведение . ^[5] См. также (□,□,□) в § Круглые скобки. $\mathbb {R} ^{3}$ $[x,y,z]$
${\begin{bmatrix}\Box &\cdots &\Box \\\vdots &\ddots &\vdots \\\Box &\cdots &\Box \end{bmatrix}}$: Обозначает матрицу . Часто обозначается круглыми скобками.

Брекеты

${ }$: Обозначение построителя множеств для пустого множества , также обозначаемого или ∅. $\emptyset$
${□}$: 1. Иногда используется как синоним (□) и [□], чтобы избежать вложенных круглых скобок.; 2. Обозначение построителя множеств для одноэлементного набора : обозначает набор , в котором $x$ является одним элементом. $\{x\}$
${□, ..., □}$: Обозначение построителя множеств : обозначает набор , элементы которого перечислены в фигурных скобках, разделенных запятыми.
${□ : □}$ ${□ | □}$: Обозначение построителя множеств : если — предикат , зависящий от переменной $x$ , то оба и обозначают набор , образованный значениями $x$ , для которых истинно. $P(x)$ $\{x:P(x)\}$ $\{x\mid P(x)\}$ $P(x)$
Одиночная скобка: 1. Используется, чтобы подчеркнуть, что несколько уравнений следует рассматривать как одновременные ; например, . $\textstyle {\begin{cases}2x+y=1\\3x-y=1\end{cases}}$; 2. Кусочное определение; например, . $\textstyle |x|={\begin{cases}x&{\text{if }}x\geq 0\\-x&{\text{if }}x<0\end{cases}}$; 3. Используется для группового аннотирования элементов формулы; например, , , $\textstyle \underbrace {(a,b,\ldots ,z)} _{26}$ $\textstyle \overbrace {1+2+\cdots +100} ^{=5050}$ $\textstyle \left.{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}\right\}m+n{\text{ rows}}$

Другие кронштейны

$|□|$

1. Абсолютное значение : если

x

— действительное или комплексное число, обозначает его абсолютное значение.

|x|

2. Количество элементов. Если

S

— множество , может обозначать его мощность , то есть количество элементов. также часто используется, см. #.

|S|

\#S

3. Длина отрезка : если

P

Q

— две точки в евклидовом пространстве , то часто обозначает длину отрезка, который они определяют, то есть расстояние от

P

до

Q

, и часто обозначается .

|PQ|

d(P,Q)

4. О похожем операторе см. |.

$| □:□ |$

Индекс подгруппы : если

H

является подгруппой группы G ,

то

обозначает индекс

H

G.

Также используется обозначение [G:H].

|G:H|

$\textstyle {\begin{vmatrix}\Box &\cdots &\Box \\\vdots &\ddots &\vdots \\\Box &\cdots &\Box \end{vmatrix}}$

{\begin{vmatrix}x_{1,1}&\cdots &x_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n,1}&\cdots &x_{n,n}\end{vmatrix}}

обозначает определитель квадратной матрицы .

{\begin{bmatrix}x_{1,1}&\cdots &x_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n,1}&\cdots &x_{n,n}\end{bmatrix}}

$||□||$

1. Обозначает норму элемента нормированного векторного пространства .

2. О похожем операторе с именем Parallel см. ∥.

$⌊□⌋$

Функция пола : если

x

— действительное число, это наибольшее целое число , не превышающее

x

\lfloor x\rfloor

$⌈□⌉$

Функция потолка : если

x

— действительное число, это наименьшее целое число , не меньшее

x

\lceil x\rceil

$⌊□⌉$

Функция ближайшего целого числа : если

x

— действительное число, это целое число , ближайшее к

x

\lfloor x\rceil

$]□, □[$

Открытый интервал : если a и b — действительные числа, или , и , то обозначает открытый интервал, ограниченный a и b. См. (□, □) альтернативные обозначения.

-\infty

+\infty

a<b

]a,b[

$(□, □]$ $]□, □]$

Оба обозначения используются для левого открытого интервала .

$[□, □)$ $[□, □[$

Оба обозначения используются для интервала, открытого справа .

$⟨□⟩$

1. Сгенерированный объект : если

S

— набор элементов в алгебраической структуре, часто обозначает объект, сгенерированный

S.

Если , пишут (т. е. фигурные скобки опускаются). В частности, это может обозначать

\langle S\rangle

S=\{s_{1},\ldots ,s_{n}\}

\langle s_{1},\ldots ,s_{n}\rangle

линейный интервал в векторном пространстве (также часто обозначаемый $Span(S)$ ),
сгенерированная подгруппа в группе ,
порожденный идеал в кольце ,
сгенерированный подмодуль в модуле .

2. Часто используется, главным образом в физике, для обозначения ожидаемого значения . В теории вероятностей обычно используется вместо .

E(X)

\langle S\rangle

$⟨□, □⟩$ $⟨□ | □⟩$

Оба и обычно используются для обозначения внутреннего продукта в пространстве внутреннего продукта .

\langle x,y\rangle

\langle x\mid y\rangle

$\langle \Box |{\text{ and }}|\Box \rangle$

Обозначение Бракета или обозначение Дирака : если

x

y

являются элементами пространства внутреннего продукта , это вектор, определенный

x

, и ковектор , определенный

y

; их внутренний продукт .

|x\rangle

\langle y|

\langle y\mid x\rangle

Символы, не принадлежащие формулам

В этом разделе перечисленные символы используются как своего рода знаки препинания в математических рассуждениях или как сокращения фраз естественного языка. Обычно они не используются внутри формул. Некоторые из них использовались в классической логике для обозначения логической зависимости между предложениями, написанными простым языком. За исключением первых двух, они обычно не используются в печатных математических текстах, поскольку для удобства чтения обычно рекомендуется иметь хотя бы одно слово между двумя формулами. Однако их по-прежнему используют на черной доске для обозначения связей между формулами.

$■ , □$: Используется для обозначения конца корректуры и отделения ее от текущего текста. Инициализм Q.ED или QED ( лат . quod Erat DemonStrandum , «как должно было быть показано») часто используется с той же целью, либо в прописной, либо в строчной форме .
☡: Символ опасного изгиба Бурбаки : иногда используется на полях, чтобы предостеречь читателей от серьезных ошибок, из-за которых они рискуют упасть, или для обозначения отрывка, который затруднителен при первом чтении из-за особенно тонкого аргумента.
∴: Сокращение от «поэтому». Помещенное между двумя утверждениями, оно означает, что первое подразумевает второе. Например: «Все люди смертны, а Сократ — человек. ∴ Сократ смертен».
∵: Аббревиатура «потому что» или «поскольку». Помещенное между двумя утверждениями, оно означает, что первое вытекает из второго. Например: « $11$ — простое число ∵ у него нет целых положительных множителей, кроме самого себя и единицы».
$∋$: 1. Аббревиатура «такой то». Например, обычно печатается « $x$ такой, что ». $x\ni x>3$ $x>3$; 2. Иногда используется для обращения операндов ; то есть имеет то же значение, что и . См. «E» в § Теория множеств. $\in$ $S\ni x$ $x\in S$
$\propto$: Сокращение от «пропорционально».

Разнообразный

!: 1. Факториал : если $n$ — целое положительное число , $n!$ является произведением первых $n$ положительных целых чисел и читается как «n факториал».; 2. Субфакториал : если $n$ — целое положительное число, $! n$ — это количество нарушений набора из $n$ элементов, которое читается как «субфакториал n».
*: Множество различных применений в математике; см. Asterisk § Математика .
|: 1. Делимость : если $m$ и $n$ — два целых числа, это означает, что $m$ делит $n$ поровну. $m\mid n$; 2. В нотации построителя множеств он используется как разделитель, означающий «такой, что»; см. {□ | □}.; 3. Ограничение функции : если $f$ — функция , а $S$ — подмножество ее области определения , то это функция с $S$ в качестве области определения, равная $f$ на $S.$ $f|_{S}$; 4. Условная вероятность : обозначает вероятность $X$ при условии, что произойдет событие $E.$ Также обозначается ; видеть "/". $P(X\mid E)$ $P(X/E)$; 5. Несколько вариантов использования в качестве скобок (в парах или с $⟨$ и $⟩$ ) см. в § Другие скобки.
$∤$: Неделимость : означает, что $n$ не является делителем $m$ . $n\nmid m$
∥: 1. Обозначает параллелизм в элементарной геометрии : если $PQ$ и $RS$ — две прямые , это означает, что они параллельны. $PQ\parallel RS$; 2. Параллельность — арифметическая операция, используемая в электротехнике для моделирования параллельных резисторов : . $x\parallel y={\frac {1}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}$; 3. Используется парами в скобках, обозначает норму ; см. ||□||.; 4. обозначает статистическое расстояние или меру того, насколько одно распределение вероятностей P отличается от второго, эталонного распределения вероятностей Q. ${\displaystyle D_{\text{KL}}(P\parallel Q)}$
∦: Иногда используется для обозначения того, что две линии не параллельны; например, . $PQ\not \parallel RS$
$\perp$: 1. Обозначает перпендикулярность и ортогональность . Например, если A, B , $C$ — три точки в евклидовом пространстве , это означает, что отрезки $AB$ и $AC$ перпендикулярны и образуют прямой угол . $AB\perp AC$; 2. Аналогичный символ см. в разделе ⊥ {\displaystyle \bot }.
$⊙$: Произведение Адамара степенного ряда : если и , то . Возможно, также используется вместо ○ для произведения матриц Адамара . ^[^{нужна цитата}^] $\textstyle S=\sum _{i=0}^{\infty }s_{i}x^{i}$ $\textstyle T=\sum _{i=0}^{\infty }t_{i}x^{i}$ $\textstyle S\odot T=\sum _{i=0}^{\infty }s_{i}t_{i}x^{i}$ $\odot$