Коллектор Штифеля

В математике многообразие Штифеля — это множество всех ортонормированных k -фреймов в То есть, это множество упорядоченных ортонормированных k -кортежей векторов в Оно названо в честь швейцарского математика Эдуарда Штифеля . Аналогично можно определить комплексное многообразие Штифеля ортонормированных k -фреймов в и кватернионное многообразие Штифеля ортонормированных k -фреймов в . В более общем смысле, конструкция применима к любому вещественному, комплексному или кватернионному пространству скалярного произведения . ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {C} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {H} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$

В некоторых контекстах некомпактное многообразие Штифеля определяется как множество всех линейно независимых k -фреймов в или это гомотопически эквивалентно более ограничительному определению, поскольку компактное многообразие Штифеля является деформационным ретрактом некомпактного, применяя процесс Грама–Шмидта . Утверждения о некомпактной форме соответствуют утверждениям для компактной формы, заменяя ортогональную группу (или унитарную или симплектическую группу) на общую линейную группу . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n};}$

Топология

Пусть обозначает или Многообразие Штифеля можно рассматривать как набор матриц n × k , записывая k -фрейм как матрицу из k векторов-столбцов в Условие ортонормированности выражается как A * A = где A * обозначает сопряженную транспонированную матрицу A и обозначает единичную матрицу k × k . Тогда мы имеем ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {H} .}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}.}$ ${\displaystyle I_{k}}$ ${\displaystyle I_{k}}$

${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})=\left\{A\in \mathbb {F} ^{n\times k}:A^{*}A=I_{k}\right\}.}$

Топология на — это топология подпространства, унаследованная от С этой топологией — это компактное многообразие , размерность которого задается выражением ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n\times k}.}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim V_{k}(\mathbb {R} ^{n})&=nk-{\frac {1}{2}}k(k+1)\\\dim V_{k}(\mathbb {C} ^{n})&=2nk-k^{2}\\\dim V_{k}(\mathbb {H} ^{n})&=4nk-k(2k-1)\end{aligned}}}$

Как однородное пространство

Каждое из многообразий Штифеля можно естественным образом рассматривать как однородное пространство для действия классической группы . ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

Каждое ортогональное преобразование k -фрейма в приводит к другому k -фрейму, и любые два k -фрейма связаны некоторым ортогональным преобразованием. Другими словами, ортогональная группа O( n ) действует транзитивно на Подгруппа стабилизатора данного фрейма — это подгруппа, изоморфная O( n − k ), которая действует нетривиально на ортогональном дополнении пространства, натянутого на этот фрейм. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Аналогично унитарная группа U( n ) действует транзитивно на со стабилизирующей подгруппой U( n − k ), а симплектическая группа Sp( n ) действует транзитивно на со стабилизирующей подгруппой Sp( n − k ). ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {C} ^{n})}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {H} ^{n})}$

В каждом случае можно рассматривать как однородное пространство: ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{k}(\mathbb {R} ^{n})&\cong {\mbox{O}}(n)/{\mbox{O}}(n-k)\\V_{k}(\mathbb {C} ^{n})&\cong {\mbox{U}}(n)/{\mbox{U}}(n-k)\\V_{k}(\mathbb {H} ^{n})&\cong {\mbox{Sp}}(n)/{\mbox{Sp}}(n-k)\end{aligned}}}$

При k = n соответствующее действие свободно, так что многообразие Штифеля является главным однородным пространством для соответствующей классической группы. ${\displaystyle V_{n}(\mathbb {F} ^{n})}$

Когда k строго меньше n , то специальная ортогональная группа SO( n ) также действует транзитивно со стабилизаторной подгруппой, изоморфной SO( n − k ), так что ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\cong {\mbox{SO}}(n)/{\mbox{SO}}(n-k)\qquad {\mbox{for }}k<n.}$

То же самое относится к действию специальной унитарной группы по ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {C} ^{n})}$

${\displaystyle V_{k}(\mathbb {C} ^{n})\cong {\mbox{SU}}(n)/{\mbox{SU}}(n-k)\qquad {\mbox{for }}k<n.}$

Таким образом, при k = n  − 1 многообразие Штифеля является главным однородным пространством для соответствующей специальной классической группы.

Единая мера

Многообразие Штифеля может быть снабжено равномерной мерой , т.е. борелевской мерой , которая инвариантна относительно действия групп, указанных выше. Например, которая изоморфна единичной окружности в евклидовой плоскости, имеет в качестве равномерной меры естественную равномерную меру ( длину дуги ) на окружности. Несложно выполнить выборку этой меры на с помощью гауссовых случайных матриц : если — случайная матрица с независимыми элементами, одинаково распределенными в соответствии со стандартным нормальным распределением на , а A  =  QR — QR-разложение A , то матрицы являются независимыми случайными величинами , а Q распределено в соответствии с равномерной мерой на Этот результат является следствием теоремы о разложении Бартлетта . ^[1] ${\displaystyle V_{1}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$ ${\displaystyle A\in \mathbb {F} ^{n\times k}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle Q\in \mathbb {F} ^{n\times k},R\in \mathbb {F} ^{k\times k}}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n}).}$

Особые случаи

1-кадр в — это не что иное, как единичный вектор, поэтому многообразие Штифеля — это просто единичная сфера в Поэтому: ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$ ${\displaystyle V_{1}(\mathbb {F} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}(\mathbb {R} ^{n})&=S^{n-1}\\V_{1}(\mathbb {C} ^{n})&=S^{2n-1}\\V_{1}(\mathbb {H} ^{n})&=S^{4n-1}\end{aligned}}}$

Дана 2-рамка в пусть первый вектор определяет точку в S ^{n −1} , а второй — единичный касательный вектор к сфере в этой точке. Таким образом, многообразие Штифеля может быть отождествлено с единичным касательным расслоением к S ^{n −1} . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle V_{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

Когда k = n или n −1, мы видели в предыдущем разделе, это главное однородное пространство, и, следовательно, диффеоморфное соответствующей классической группе: ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{n-1}(\mathbb {R} ^{n})&\cong \mathrm {SO} (n)\\V_{n-1}(\mathbb {C} ^{n})&\cong \mathrm {SU} (n)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}(\mathbb {R} ^{n})&\cong \mathrm {O} (n)\\V_{n}(\mathbb {C} ^{n})&\cong \mathrm {U} (n)\\V_{n}(\mathbb {H} ^{n})&\cong \mathrm {Sp} (n)\end{aligned}}}$

Функториальность

Если задано ортогональное включение между векторными пространствами, то образ набора из k ортонормальных векторов является ортонормальным, поэтому существует индуцированное замкнутое включение многообразий Штифеля, и это функториально . Более тонко, если задано n -мерное векторное пространство X , то конструкция двойственного базиса дает биекцию между базисами для X и базисами для двойственного пространства , которая является непрерывной, и, таким образом, дает гомеоморфизм верхних многообразий Штифеля . Это также функториально для изоморфизмов векторных пространств. ${\displaystyle X\hookrightarrow Y,}$ ${\displaystyle V_{k}(X)\hookrightarrow V_{k}(Y),}$ ${\displaystyle X^{*},}$ ${\displaystyle V_{n}(X){\stackrel {\sim }{\to }}V_{n}(X^{*}).}$

В качестве основного пакета

Существует естественная проекция.

${\displaystyle p:V_{k}(\mathbb {F} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

из многообразия Штифеля в грассманиан k -плоскостей , в котором посылает k -фрейм в подпространство , охватываемое этим фреймом. Слой над заданной точкой P в представляет собой множество всех ортонормированных k -фреймов, содержащихся в пространстве P . ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$ ${\displaystyle G_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

Эта проекция имеет структуру главного G -расслоения , где G - ассоциированная классическая группа степени k . Возьмем для конкретности вещественный случай. Существует естественное правое действие O( k ), на котором вращается k -фрейм в пространстве, которое оно охватывает. Это действие свободно, но не транзитивно. Орбиты этого действия - это в точности ортонормированные k -фреймы, охватывающие данное k -мерное подпространство; то есть они являются слоями отображения p . Аналогичные аргументы справедливы в комплексном и кватернионном случаях. ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$

Тогда у нас есть последовательность главных пучков:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {O} (k)&\to V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {R} ^{n})\\\mathrm {U} (k)&\to V_{k}(\mathbb {C} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {C} ^{n})\\\mathrm {Sp} (k)&\to V_{k}(\mathbb {H} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {H} ^{n})\end{aligned}}}$

Векторные расслоения, ассоциированные с этими главными расслоениями посредством естественного действия G на — это просто тавтологические расслоения над грассманианами. Другими словами, многообразие Штифеля — это ортогональное, унитарное или симплектическое расслоение фрейма, ассоциированное с тавтологическим расслоением на грассманиане. ${\displaystyle \mathbb {F} ^{k}}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

При переходе к пределу эти расслоения становятся универсальными расслоениями для классических групп. ${\displaystyle n\to \infty }$

Гомотопия

Многообразия Штифеля вписываются в семейство расслоений :

${\displaystyle V_{k-1}(\mathbb {R} ^{n-1})\to V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to S^{n-1},}$

таким образом, первая нетривиальная гомотопическая группа пространства находится в размерности n  −  k . Более того, ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \pi _{n-k}V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\simeq {\begin{cases}\mathbb {Z} &n-k{\text{ even or }}k=1\\\mathbb {Z} _{2}&n-k{\text{ odd and }}k>1\end{cases}}}$

Этот результат используется в теоретико-препятственном определении классов Штифеля–Уитни .

Смотрите также

• Флаговый коллектор
• Матричное распределение Ланжевена ^{[2] [3]}

Ссылки

1. Мьюирхед, Робб Дж. (1982). Аспекты многомерной статистической теории . John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк. С. xix+673. ISBN 0-471-09442-0.
2. Чикусе, Ясуко (1 мая 2003 г.). «Концентрированные матричные распределения Ланжевена». Журнал многомерного анализа . 85 (2): 375–394. doi : 10.1016/S0047-259X(02)00065-9 . ISSN  0047-259X.
3. Пал, Субхадип; Сенгупта, Субхаджит; Митра, Ритен; Банерджи, Арунава (сентябрь 2020 г.). «Сопряженные априорные распределения и апостериорный вывод для матричного распределения Ланжевена на многообразии Штифеля». Байесовский анализ . 15 (3): 871–908. doi : 10.1214/19-BA1176 . ISSN  1936-0975.

• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
• Husemoller, Dale (1994). Fibre Bundles ((3-е изд.) ред.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94087-1.
• Джеймс, Иоан Маккензи (1976). Топология многообразий Штифеля. Архив CUP. ISBN 978-0-521-21334-9.
• «Многообразие Штифеля», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]