Модель краткосрочной ставки

Дерево, возвращающее OAS (черное против красного): краткосрочная ставка имеет наивысшее значение; динамика стоимости облигации четко показывает приближение к номиналу

Модель краткосрочной ставки в контексте процентных деривативов представляет собой математическую модель , которая описывает будущую эволюцию процентных ставок посредством описания будущей эволюции краткосрочной ставки , обычно записываемой . ${\displaystyle r_{t}\,}$

Краткосрочная ставка

В модели краткосрочной ставки стохастическая переменная состояния принимается за мгновенную спотовую ставку . ^[1] Краткосрочная ставка, тогда, является ( непрерывно начисляемой , годовой) процентной ставкой, по которой организация может занимать деньги на бесконечно короткий период времени от времени . Указание текущей краткосрочной ставки не определяет всю кривую доходности . Однако аргументы против арбитража показывают, что при некоторых довольно смягченных технических условиях, если мы моделируем эволюцию как стохастический процесс в рамках нейтральной по отношению к риску меры , то цена на момент времени облигации с нулевым купоном, погашаемой в момент времени с выплатой 1, определяется как ${\displaystyle r_{t}\,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r_{t}\,}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle P(t,T)=\operatorname {E} ^{Q}\left[\left.\exp {\left(-\int _{t}^{T}r_{s}\,ds\right)}\right|{\mathcal {F}}_{t}\right],}$

где — естественная фильтрация для процесса. Процентные ставки, подразумеваемые облигациями с нулевым купоном, образуют кривую доходности, или, точнее, нулевую кривую . Таким образом, указание модели для краткосрочной ставки определяет будущие цены облигаций. Это означает, что мгновенные форвардные ставки также определяются обычной формулой ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle f(t,T)=-{\frac {\partial }{\partial T}}\ln(P(t,T)).}$

Модели краткосрочных ставок часто классифицируются как эндогенные и экзогенные. Эндогенные модели краткосрочных ставок — это модели краткосрочных ставок, в которых временная структура процентных ставок или цен облигаций с нулевым купоном является выходом модели, поэтому она находится «внутри модели» (эндогенная) и определяется параметрами модели. Экзогенные модели краткосрочных ставок — это модели, в которых такая временная структура является входными данными, поскольку модель включает в себя некоторые зависящие от времени функции или сдвиги, которые позволяют вводить заданную временную структуру рынка, так что временная структура поступает извне (экзогенная). ^[2] ${\displaystyle T\mapsto P(0,T)}$

Конкретные модели с краткосрочной ставкой

В этом разделе представлено стандартное броуновское движение при нейтральной по отношению к риску мере вероятности и его дифференциал . Если модель является логнормальной , предполагается, что переменная следует процессу Орнштейна–Уленбека и предполагается, что следует . ${\displaystyle W_{t}\,}$ ${\displaystyle dW_{t}\,}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle r_{t}\,}$ ${\displaystyle r_{t}=\exp {X_{t}}\,}$

Однофакторные модели краткосрочной ставки

Ниже приведены однофакторные модели, в которых один стохастический фактор — краткосрочная ставка — определяет будущую эволюцию всех процентных ставок. За исключением моделей Рендлмана–Барттера и Хо–Ли, которые не фиксируют возврат процентных ставок к среднему значению , эти модели можно рассматривать как частные случаи процессов Орнштейна–Уленбека. Модели Васичека, Рендлмана–Барттера и CIR являются эндогенными моделями и имеют только конечное число свободных параметров , поэтому невозможно указать значения этих параметров таким образом, чтобы модель совпадала с несколькими наблюдаемыми рыночными ценами («калибровка») облигаций с нулевым купоном или линейных продуктов, таких как соглашения о форвардной процентной ставке или свопы, как правило, или наилучшая подгонка выполняется для этих линейных продуктов, чтобы найти параметры эндогенных моделей краткосрочных ставок, которые наиболее близки к рыночным ценам. Это не позволяет подгонять такие параметры, как кэпы, полы и свопционы, поскольку вместо этого параметры использовались для подгонки линейных инструментов. Эта проблема преодолевается путем разрешения параметрам детерминированно изменяться со временем ^{[3] [4]} или путем добавления детерминированного сдвига к эндогенной модели. ^[5] Таким образом, экзогенные модели, такие как Ho-Lee и последующие модели, могут быть откалиброваны по рыночным данным, что означает, что они могут точно возвращать цену облигаций, составляющих кривую доходности, а остальные параметры могут использоваться для калибровки опционов. Реализация обычно осуществляется с помощью ( биномиального ) дерева краткосрочных ставок ^[6] или моделирования; см. Модель Lattice (финансы) § Производные процентных ставок и методы Монте-Карло для ценообразования опционов , хотя некоторые модели краткосрочных ставок имеют решения в закрытой форме для облигаций с нулевым купоном и даже пределов или полов, что значительно облегчает задачу калибровки. Сначала мы перечислим следующие эндогенные модели.

1. Модель Мертона (1973) объясняет краткосрочную ставку следующим образом : где — одномерное броуновское движение по мере спотового мартингала . ^[7] В этом подходе краткосрочная ставка следует арифметическому броуновскому движению . ${\displaystyle r_{t}=r_{0}+at+\sigma W_{t}^{*}}$ ${\displaystyle W_{t}^{*}}$
2. Модель Васичека (1977) моделирует краткосрочную ставку как ; ее часто записывают . ^[8] Вторая форма является более распространенной и делает интерпретацию параметров более прямой, с параметром, являющимся скоростью возврата к среднему, параметром, являющимся долгосрочным средним, и параметром, являющимся мгновенной волатильностью. В этой модели краткосрочной ставки для краткосрочной ставки используется процесс Орнштейна–Уленбека . Эта модель допускает отрицательные ставки, поскольку распределение вероятностей краткосрочной ставки является гауссовым. Кроме того, эта модель допускает решения в замкнутой форме для цены облигации и для опционов на облигации и пределов/полов, и используя трюк Джамшидяна , можно также получить формулу для свопционов. ^[2] ${\displaystyle dr_{t}=(\theta -\alpha r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma }$
3. Модель Рендлмана–Барттера (1980) ^[9] или модель Дотана (1978) ^[10] объясняет краткосрочную ставку как . В этой модели краткосрочная ставка следует геометрическому броуновскому движению . Эта модель не имеет замкнутых формул для опционов и не является возвращающейся к среднему. Более того, у нее есть проблема бесконечного ожидаемого банковского счета после короткого времени. Та же проблема будет присутствовать во всех логнормальных моделях краткосрочных ставок ^[2] ${\displaystyle dr_{t}=\theta r_{t}\,dt+\sigma r_{t}\,dW_{t}}$
4. Модель Кокса–Ингерсолла–Росса (1985) предполагает , часто записывается . Фактор исключает (в общем случае) возможность отрицательных процентных ставок. ^[11] Интерпретация параметров во второй формулировке та же, что и в модели Васичека. Условие Феллера обеспечивает строго положительные короткие ставки. Эта модель следует процессу квадратного корня Феллера и имеет неотрицательные ставки, и она допускает решения в замкнутой форме для цены облигации и для опционов на облигации и пределов/полов, и используя трюк Джамшидяна , можно также получить формулу для свопционов. И эта модель, и модель Васичека называются аффинными моделями, потому что формула для непрерывно начисляемой спотовой ставки для конечного срока погашения T в момент времени t является аффинной функцией . ^[2] ${\displaystyle dr_{t}=(\theta -\alpha r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$ ${\displaystyle 2ab>\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle r_{t}}$

Теперь перечислим ряд экзогенных моделей краткосрочных ставок.

1. Модель Хо–Ли (1986) моделирует краткосрочную ставку как . ^[12] Параметр позволяет использовать начальную временную структуру процентных ставок или цен облигаций в качестве входных данных модели. Эта модель снова следует арифметическому броуновскому движению с зависящим от времени детерминированным параметром дрейфа. ${\displaystyle dr_{t}=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$ ${\displaystyle \theta _{t}}$
2. Модель Халла–Уайта (1990) — также называемая расширенной моделью Васичека — постулирует . Во многих презентациях один или несколько параметров и не зависят от времени. Распределение краткосрочной ставки является нормальным, и модель допускает отрицательные ставки. Модель с постоянным и является наиболее часто используемой и допускает решения в закрытой форме для цен облигаций, опционов на облигации, пределов и полов, а также свопционов с помощью трюка Джамшидиана. Эта модель допускает точную калибровку начальной временной структуры процентных ставок с помощью зависящей от времени функции . Реализация на основе решетки для бермудских свопционов и для продуктов без аналитических формул обычно является трехчленной . ^{[13] [14]} ${\displaystyle dr_{t}=(\theta _{t}-\alpha _{t}r_{t})\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$ ${\displaystyle \theta ,\alpha }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \theta _{t}}$
3. Модель Блэка-Дермана-Тоя (1990) имеет для зависящей от времени краткосрочной волатильности ставки и в противном случае; модель является логнормальной. ^[15] Модель не имеет замкнутых формул для опционов. Кроме того, как и все логнормальные модели, она страдает от проблемы взрыва ожидаемого банковского счета за конечное время. ${\displaystyle d\ln(r)=[\theta _{t}+{\frac {\sigma '_{t}}{\sigma _{t}}}\ln(r)]dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$ ${\displaystyle d\ln(r)=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$
4. Модель Блэка–Карасинского (1991), которая является логнормальной, имеет . ^[16] Модель можно рассматривать как логнормальное применение модели Халла–Уайта; ^[17] ее реализация на основе решетки также является триномиальной (биномиальной, требующей различных временных шагов). ^[6] Модель не имеет решений в замкнутой форме, и даже базовая калибровка к исходной временной структуре должна быть выполнена с помощью численных методов для генерации цен облигаций с нулевым купоном. Эта модель также страдает от проблемы взрыва ожидаемого банковского счета за конечное время. ${\displaystyle d\ln(r)=[\theta _{t}-\phi _{t}\ln(r)]\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$
5. Модель Калотэя –Вильямса–Фабоцци (1993) имеет короткую ставку как , логнормальный аналог модели Хо–Ли и частный случай модели Блэка–Дермана–Тоя. ^[18] Этот подход фактически аналогичен «оригинальной модели Salomon Brothers » (1987), ^[19] также логнормальному варианту модели Хо–Ли. ^[20] ${\displaystyle d\ln(r_{t})=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$
6. Модель CIR++, представленная и подробно изученная Бриго и Меркурио ^[5] в 2001 году, а также сформулированная ранее Скоттом (1995) ^[21], использовала модель CIR, но вместо введения зависящих от времени параметров в динамику, она добавляет внешний сдвиг. Модель формулируется как , где — детерминированный сдвиг. Сдвиг может использоваться для поглощения рыночной временной структуры и придания модели полного соответствия ей. Эта модель сохраняет аналитическую управляемость базовой модели CIR, позволяя получать решения в закрытой форме для облигаций и всех линейных продуктов, а также такие опции, как кэпы, полы и свопционы, с помощью трюка Джамшидиана. Модель позволяет поддерживать положительные ставки, если сдвиг ограничен положительным значением, или допускает отрицательные ставки, если сдвиг допускается отрицательным. Она также часто применялась в кредитном риске, для свопов по кредитному дефолту и свопционов, в этой оригинальной версии или со скачками. ^[22] ${\displaystyle dx_{t}=a(b-x_{t})\,dt+{\sqrt {x_{t}}}\,\sigma \,dW_{t},\ \ r_{t}=x_{t}+\phi (t)}$ ${\displaystyle \phi }$

Идея детерминированного сдвига может быть применена также к другим моделям, которые имеют желаемые свойства в своей эндогенной форме. Например, можно применить сдвиг к модели Васичека, но из-за линейности процесса Орнштейна-Уленбека это эквивалентно созданию функции, зависящей от времени, и, таким образом, совпадет с моделью Халла-Уайта. ^[5] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle b}$

Многофакторные краткосрочные модели

Помимо вышеперечисленных однофакторных моделей, существуют также многофакторные модели краткосрочной ставки, среди которых наиболее известны двухфакторная модель Лонгстаффа и Шварца и трехфакторная модель Чена (также называемая «моделью стохастического среднего и стохастической волатильности»). Обратите внимание, что в целях управления рисками, «для создания реалистичных симуляций процентных ставок », эти многофакторные модели краткосрочной ставки иногда предпочтительнее однофакторных моделей, поскольку они создают сценарии, которые, в целом, лучше «соответствуют реальным движениям кривой доходности». ^[23]

• Модель Лонгстаффа–Шварца (1992) предполагает, что динамика краткосрочных ставок определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}dX_{t}&=(a_{t}-bX_{t})\,dt+{\sqrt {X_{t}}}\,c_{t}\,dW_{1t},\\[3pt]dY_{t}&=(d_{t}-eY_{t})\,dt+{\sqrt {Y_{t}}}\,f_{t}\,dW_{2t},\end{aligned}}}$

где краткосрочная ставка определяется как

${\displaystyle dr_{t}=(\mu X+\theta Y)\,dt+\sigma _{t}{\sqrt {Y}}\,dW_{3t}.}$^[24]

• Модель Чена (1996), которая имеет стохастическое среднее значение и волатильность краткосрочной ставки, задается формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}dr_{t}&=(\theta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},\\[3pt]d\alpha _{t}&=(\zeta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {\alpha _{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},\\[3pt]d\sigma _{t}&=(\beta _{t}-\sigma _{t})\,dt+{\sqrt {\sigma _{t}}}\,\eta _{t}\,dW_{t}.\end{aligned}}}$^[25]

• Двухфакторные модели Халла-Уайта или G2++ — это модели, которые использовались из-за их управляемости. Эти модели обобщены и показаны как эквивалентные в Brigo и Mercurio (2006). Эта модель основана на добавлении двух возможно коррелированных процессов Орнштейна-Уленбека (Васичека) плюс сдвиг для получения краткосрочной ставки. Эта модель позволяет проводить точную калибровку временной структуры, решения полузакрытой формы для опционов, контролировать временную структуру волатильности для мгновенных форвардных ставок через параметр корреляции и особенно для отрицательных ставок, что стало важным, поскольку ставки стали отрицательными на финансовых рынках. ^[26]

Другие модели процентных ставок

Другой основной фреймворк для моделирования процентных ставок — фреймворк Хита–Джарроу–Мортона (HJM). В отличие от моделей краткосрочных ставок, описанных выше, этот класс моделей, как правило, немарковский. Это делает общие модели HJM вычислительно неразрешимыми для большинства целей. Большим преимуществом моделей HJM является то, что они дают аналитическое описание всей кривой доходности, а не только краткосрочной ставки. Для некоторых целей (например, оценки ценных бумаг, обеспеченных ипотекой) это может быть большим упрощением. Модели Кокса–Ингерсолла–Росса и Халла–Уайта в одном или нескольких измерениях могут быть напрямую выражены в фреймворке HJM. Другие модели краткосрочных ставок не имеют простого двойного представления HJM.

Для моделей более высокой размерности часто предпочитают структуру HJM с несколькими источниками случайности, включая модель Брейса–Гатарека–Мусиелы и рыночные модели.

Модели, основанные на теневой ставке Фишера-Блэка, используются , когда процентные ставки приближаются к нулевой нижней границе .

Смотрите также

• Атрибуция с фиксированным доходом

Ссылки

1. Модели краткосрочных ставок, проф. Эндрю Лесневски, Нью-Йоркский университет
2. Бриго, Дамиано; Меркурио, Фабио (2006). Модели процентных ставок: теория и практика . Springer Finance. Гейдельберг: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-540-34604-3. ISBN 978-3-540-22149-4.
3. Обзор моделей опционов процентной ставки. Архивировано 06.04.2012 в Wayback Machine , проф. Фаршид Джамшидиан , Университет Твенте
4. Модели с непрерывным временем и короткими скоростями. Архивировано 23 января 2012 г. на Wayback Machine , профессор Мартин Хо, Колумбийский университет.
5. Brigo, D. и Mercurio, F. (2001). Детерминированное расширение сдвига аналитически поддающихся обработке и однородных по времени краткосрочных моделей. Finance and Stochastics 5, 369–387. https://doi.org/10.1007/PL00013541
6. Модели биномиальной структуры терминов, Mathematica в образовании и исследованиях , т. 7 № 3 1998. Саймон Беннинга и Цви Винер.
7. Мертон , Роберт С. (1973). «Теория рационального ценообразования опционов». Bell Journal of Economics and Management Science . 4 (1): 141–183. doi :10.2307/3003143. hdl : 1721.1/49331 . JSTOR  3003143.
8. Васичек, Олдрич (1977). «Характеристика равновесия временной структуры». Журнал финансовой экономики . 5 (2): 177–188. CiteSeerX 10.1.1.456.1407 . doi :10.1016/0304-405X(77)90016-2. 
9. Рендлман, Р.; Барттер, Б. (1980). «Ценообразование опционов на долговые ценные бумаги». Журнал финансового и количественного анализа . 15 (1): 11–24. doi :10.2307/2979016. JSTOR  2979016. S2CID  154495945.
10. Дотан, Л. У. (1978). О временной структуре процентных ставок. Журнал фин. экономики, 6:59–69
11. Кокс, Дж. К. , Дж. Э. Ингерсолл и С. А. Росс (1985). «Теория временной структуры процентных ставок». Econometrica . 53 (2): 385–407. doi :10.2307/1911242. JSTOR  1911242.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
12. TSY Ho и SB Lee (1986). «Движения структуры сроков и ценообразование условных требований по процентным ставкам». Журнал финансов . 41 (5): 1011–1029. doi :10.2307/2328161. JSTOR  2328161.
13. Джон Халл ; Алан Уайт (1990). «Ценообразование процентных производных ценных бумаг». Обзор финансовых исследований . 3 (4): 573–592. doi :10.1093/rfs/3.4.573.
14. Маркус Лейппольд; Цви Винер (2004). "Эффективная калибровка триномиальных деревьев для однофакторных моделей коротких ставок" (PDF) . Обзор исследований производных . 7 (3): 213–239. CiteSeerX 10.1.1.203.4729 . doi :10.1007/s11147-004-4810-8. 
15. Блэк , Ф.; Дерман, Э .; Той, В. (1990). «Однофакторная модель процентных ставок и ее применение к опционам на казначейские облигации» (PDF) . Financial Analysts Journal : 24–32. Архивировано из оригинала (PDF) 2008-09-10.
16. Блэк, Ф.; Карасински, П. (1991). «Ценообразование облигаций и опционов при логнормальных ставках коротких облигаций». Financial Analysts Journal . 47 (4): 52–59. doi :10.2469/faj.v47.n4.52.
17. Модели краткосрочных ставок ^{[ постоянная нерабочая ссылка ]} , профессор Сер-Хуан Пун, Манчестерская школа бизнеса
18. Калотэй, Эндрю Дж .; Уильямс, Джордж О.; Фабоцци, Фрэнк Дж. (1993). «Модель оценки облигаций и встроенных опционов». Financial Analysts Journal . 49 (3): 35–46. doi :10.2469/faj.v49.n3.35.
19. Коппраш, Роберт (1987). «Эффективная продолжительность отзывных облигаций: модель ценообразования опционов на основе временной структуры Salomon Brothers». Salomon Bros. OCLC  16187107. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
20. См. стр. 218 в Tuckman, Bruce & Angel Serrat (2011). Ценные бумаги с фиксированным доходом: инструменты для сегодняшних рынков . Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 978-0-470-89169-8.
21. Скотт, Л. (1995). Оценка процентных деривативов в многофакторной модели временной структуры с детерминированными компонентами. Университет Джорджии. Рабочий документ.
22. Бриго, Д. и Эль-Башир, Н. (2010). Точная формула для ценообразования свопционов по умолчанию в модели стохастической интенсивности SSRJD. Математические финансы. Июль 2010 г., стр. 365-382, https://doi.org/10.1111/j.1467-9965.2010.00401.x
23. Ловушки в управлении активами и пассивами: модели однофакторной временной структуры. Архивировано 03.04.2012 в Wayback Machine , д-р Дональд Р. ван Девентер, Kamakura Corporation
24. Лонгстафф, ФА ; Шварц, Э.С. (1992). «Волатильность процентных ставок и временная структура: двухфакторная модель общего равновесия» (PDF) . Журнал финансов . 47 (4): 1259–82. doi :10.1111/j.1540-6261.1992.tb04657.x.
25. Лин Чен (1996). «Стохастическое среднее и стохастическая волатильность — трехфакторная модель временной структуры процентных ставок и ее применение к ценообразованию процентных деривативов». Финансовые рынки, институты и инструменты . 5 : 1–88.
26. Джакомо Бурро, Пьер Джузеппе Джирибоне, Симоне Лигато, Мартина Мулас и Франческа Куэрчи (2017). Влияние отрицательных процентных ставок на ценообразование опционов: возвращение к основам? Международный журнал финансовой инженерии 4(2), https://doi.org/10.1142/S2424786317500347

Дальнейшее чтение

• Мартин Бакстер и Эндрю Ренни (1996). Финансовый расчет . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-55289-9.
• Дамиано Бриго; Фабио Меркурио (2001). Модели процентных ставок – теория и практика с улыбкой, инфляцией и кредитом (2-е изд. 2006 г.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
• Gerald Buetow & James Sochacki (2001). Модели структуры терминов с использованием биномиальных деревьев . Исследовательский фонд AIMR ( Институт CFA ). ISBN 978-0-943205-53-3.
• Эндрю Дж. Г. Кейрнс (2004). Модели процентных ставок – Введение . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-11894-9.
• Эндрю Дж. Г. Кейрнс (2004). Модели процентных ставок; запись в Энциклопедии актуарной науки. John Wiley and Sons . 2004. ISBN 978-0-470-84676-6.
• KC Chan, G. Andrew Karolyi, Francis Longstaff и Anthony Sanders (1992). Эмпирическое сравнение альтернативных моделей краткосрочной процентной ставки (PDF) . The Journal of Finance , том XLVII, № 3, июль 1992 г.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Линь Чен (1996). Динамика процентных ставок, ценообразование производных инструментов и управление рисками . Springer . ISBN 978-3-540-60814-1.
• Раджна Гибсон, Франсуа-Серж Лабитан и Дени Талай (1999). Моделирование временной структуры процентных ставок: обзор . Журнал риска, 1(3): 37–62, 1999.
• Лейн Хьюстон (2003). Прошлое, настоящее и будущее моделирования структуры сроков; запись в Питере Филде (2003). Современное управление рисками . Книги о рисках. ISBN 978-1-906348-30-4.
• Джессика Джеймс и Ник Веббер (2000). Моделирование процентной ставки . Wiley Finance . ISBN 978-0-471-97523-6.
• Роберт Джарроу (2002). Моделирование ценных бумаг с фиксированным доходом и опционов на процентную ставку (2-е изд.) . Стэнфордская экономика и финансы. ISBN 978-0-8047-4438-6.
• Роберт Джарроу (2009). «Временная структура процентных ставок». Annual Review of Financial Economics . 1 (1): 69–96. doi :10.1146/annurev.financial.050808.114513.
• FC Park (2004). "Внедрение моделей процентных ставок: практическое руководство" (PDF) . Исследовательская публикация CMPR . Архивировано из оригинала (PDF) 2010-08-16.
• Риккардо Ребонато (2002). Современное ценообразование процентных производных инструментов . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-08973-7.
• Риккардо Ребонато (2003). "Модели структуры сроков: обзор" (PDF) . Рабочий документ Центра количественных исследований Королевского банка Шотландии .