Нормальный режим

Нормальный режим динамической системы — это модель движения, при которой все части системы движутся синусоидально с одинаковой частотой и с фиксированным фазовым соотношением. Свободное движение, описываемое нормальными режимами, происходит на фиксированных частотах. Эти фиксированные частоты нормальных режимов системы известны как ее собственные частоты или резонансные частоты . Физический объект, такой как здание, мост или молекула, имеет набор нормальных режимов и их собственные частоты, которые зависят от его структуры, материалов и граничных условий.

Наиболее общее движение линейной системы — это суперпозиция ее нормальных мод. Моды являются нормальными в том смысле, что они могут двигаться независимо, то есть возбуждение одной моды никогда не вызовет движения другой моды. В математических терминах нормальные моды ортогональны друг другу.

Возбуждение нормальных мод в капле воды при эффекте Лейденфроста

Общие определения

Режим

В волновой теории физики и техники мода в динамической системе — это состояние возбуждения стоячей волны , в котором все компоненты системы будут подвергаться синусоидальному воздействию с фиксированной частотой, связанной с этой модой.

Поскольку ни одна реальная система не может идеально соответствовать модели стоячей волны, концепция моды принимается как общая характеристика конкретных состояний колебаний, таким образом, рассматривая динамическую систему линейно , в которой может быть выполнена линейная суперпозиция состояний.

Типичные примеры включают в себя:

В механической динамической системе колеблющаяся веревка является наиболее ярким примером моды, в которой веревка является средой, напряжение на веревке является возбуждением, а смещение веревки относительно ее статического состояния является модальной переменной.
В акустической динамической системе отдельная высота звука представляет собой моду, в которой воздух является средой, звуковое давление в воздухе — возбуждением, а смещение молекул воздуха — модальной переменной.
В структурной динамической системе высокое здание, колеблющееся под своей наиболее изгибной осью, представляет собой моду, в которой весь материал здания (при соответствующих числовых упрощениях) является средой, сейсмические/ветровые/экологические воздействия являются возбуждениями, а смещения являются модальной переменной.
В электродинамической системе резонансная полость, состоящая из тонких металлических стенок, охватывающих полое пространство, для ускорителя частиц является чистой системой стоячих волн и, таким образом, примером режима, в котором полое пространство полости является средой, источник ВЧ (клистрон или другой источник ВЧ) является возбуждением, а электромагнитное поле является модальной переменной.
В музыке обычные формы колебаний инструментов (струнных, духовых, барабанов и т. д.) называются « обертонами ».

Концепция нормальных мод также находит применение в других динамических системах, таких как оптика , квантовая механика , динамика атмосферы и молекулярная динамика .

Большинство динамических систем могут возбуждаться в нескольких режимах, возможно, одновременно. Каждый режим характеризуется одной или несколькими частотами, ^{[ сомнительно – обсудить ]} в соответствии с полем модальных переменных. Например, вибрирующая веревка в 2D пространстве определяется одной частотой (осевое смещение 1D), но вибрирующая веревка в 3D пространстве определяется двумя частотами (осевое смещение 2D).

При заданной амплитуде модальной переменной каждая мода будет хранить определенное количество энергии из-за синусоидального возбуждения.

Нормальным или доминирующим режимом системы с несколькими режимами будет режим , сохраняющий минимальное количество энергии для заданной амплитуды модальной переменной, или, что эквивалентно, для заданного количества сохраненной энергии доминирующим режимом будет режим, определяющий максимальную амплитуду модальной переменной.

Номера режимов

Режим вибрации характеризуется модальной частотой и формой моды. Он нумеруется в соответствии с числом полуволн в вибрации. Например, если вибрирующая балка с обоими закрепленными концами демонстрирует форму моды половины синусоиды (один пик на вибрирующей балке), она будет вибрировать в режиме 1. Если у нее будет полная синусоида (один пик и одна впадина), она будет вибрировать в режиме 2.

В системе с двумя или более измерениями, такой как изображенный диск, каждому измерению присваивается номер моды. Используя полярные координаты , мы имеем радиальную координату и угловую координату. Если измерять от центра наружу вдоль радиальной координаты, то мы столкнемся с полной волной, поэтому номер моды в радиальном направлении равен 2. Другое направление сложнее, потому что рассматривается только половина диска из-за антисимметричной (также называемой кососимметричной ) природы вибрации диска в угловом направлении. Таким образом, измеряя 180° вдоль углового направления, мы столкнемся с полуволной, поэтому номер моды в угловом направлении равен 1. Таким образом, номер моды системы равен 2–1 или 1–2, в зависимости от того, какая координата считается «первой», а какая — «второй» координатой (поэтому важно всегда указывать, какой номер моды соответствует каждому направлению координат).

В линейных системах каждая мода полностью независима от всех других мод. В общем случае все моды имеют разные частоты (более низкие моды имеют более низкие частоты) и разные формы мод.

Узлы

В одномерной системе при заданном режиме вибрация будет иметь узлы или места, где смещение всегда равно нулю. Эти узлы соответствуют точкам в форме режима, где форма режима равна нулю. Поскольку вибрация системы задается формой режима, умноженной на функцию времени, смещение точек узла остается нулевым во все времена.

При расширении до двумерной системы эти узлы становятся линиями, где смещение всегда равно нулю. Если вы посмотрите анимацию выше, то увидите два круга (один примерно на полпути между краем и центром, а другой на самом крае) и прямую линию, разделяющую диск пополам, где смещение близко к нулю. В идеализированной системе эти линии точно равны нулю, как показано справа.

В механических системах

При анализе консервативных систем с малыми смещениями от равновесия, важных в акустике , молекулярных спектрах и электрических цепях , система может быть преобразована в новые координаты, называемые нормальными координатами. Каждая нормальная координата соответствует одной колебательной частоте системы, а соответствующее движение системы называется нормальной модой колебаний. ^[1]^{: 332}

Связанные осцилляторы

Рассмотрим два одинаковых тела (не подверженных гравитации), каждое массой m $,$ прикрепленных к трем пружинам, каждая с жесткостью $k$ . Они прикреплены следующим образом, образуя систему, которая физически симметрична:

где точки края зафиксированы и не могут двигаться. Пусть $x 1 (t)$ обозначает горизонтальное смещение левой массы, а $x 2 (t)$ обозначает смещение правой массы.

Обозначая ускорение (вторую производную x $($ $t$ $)$ по времени) как , уравнения движения будут иметь вид $:$ ${\textstyle {\ddot {x}}}$

${\begin{align}m{\ddot {x}}_{1}&=-kx_{1}+k(x_{2}-x_{1})=-2kx_{1}+kx_{2}\\m{\ddot {x}}_{2}&=-kx_{2}+k(x_{1}-x_{2})=-2kx_{2}+kx_{1}\end{align}}$

Поскольку мы ожидаем колебательное движение нормальной моды (где $ω$ одинаково для обеих масс), мы пробуем:

${\begin{align}x_{1}(t)&=A_{1}e^{i\omega t}\\x_{2}(t)&=A_{2}e^{i\omega t}\end{align}}$

Подставляя их в уравнения движения, получаем:

${\begin{aligned}-\omega ^{2}mA_{1}e^{i\omega t}&=-2kA_{1}e^{i\omega t}+kA_{2}e^{i\omega t}\\-\omega ^{2}mA_{2}e^{i\omega t}&=kA_{1}e^{i\omega t}-2kA_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}$

Опуская экспоненциальный множитель (так как он является общим для всех членов) и упрощая, получаем:

${\begin{aligned}(\omega ^{2}m-2k)A_{1}+kA_{2}&=0\\kA_{1}+(\omega ^{2}m-2k)A_{2}&=0\end{aligned}}$

А в матричном представлении:

${\begin{bmatrix}\omega ^{2}m-2k&k\\k&\omega ^{2}m-2k\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{pmatrix}}=0$

Если матрица слева обратима, то единственным решением является тривиальное решение $(A 1, A 2) = (x 1, x 2) = (0, 0)$ . Нетривиальные решения должны быть найдены для тех значений $ω$ , при которых матрица слева является сингулярной ; т.е. необратимой. Из этого следует, что определитель матрицы должен быть равен 0, поэтому:

$(\omega ^{2}m-2k)^{2}-k^{2}=0$

Решая относительно $ω$ , получаем два положительных решения:

${\begin{aligned}\omega _{1}&={\sqrt {\frac {k}{m}}}\\\omega _{2}&={\sqrt {\frac {3k}{m}}}\end{aligned}}$

Подстановка $ω 1$ в матрицу и решение для $(A 1, A 2)$ дает $(1, 1)$ . Подстановка $ω 2$ дает $(1, -1)$ . (Эти векторы являются собственными векторами , а частоты являются собственными значениями .)

Первый нормальный режим: ${\vec {\eta }}_{1}={\begin{pmatrix}x_{1}^{1}(t)\\x_{2}^{1}(t)\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{1}t+\varphi _{1})}$

Что соответствует обеим массам, движущимся в одном направлении в одно и то же время. Этот режим называется антисимметричным.

Второй нормальный режим:

${\vec {\eta }}_{2}={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}(t)\\x_{2}^{2}(t)\end{pmatrix}}=c_{2}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{2}t+\varphi _{2})}$

Это соответствует движению масс в противоположных направлениях, при этом центр масс остается неподвижным. Такой режим называется симметричным.

Общее решение представляет собой суперпозицию нормальных мод , где $c 1$ , $c 2$ , $φ 1$ и $φ 2$ определяются начальными условиями задачи.

Продемонстрированный здесь процесс можно обобщить и сформулировать, используя формализм лагранжевой механики или гамильтоновой механики .

Стоячие волны

Стоячая волна — это непрерывная форма нормальной моды. В стоячей волне все элементы пространства (т.е. координаты $(x, y, z)$ ) колеблются с одинаковой частотой и в одной фазе (достигая точки равновесия вместе), но каждый имеет разную амплитуду.

Общая форма стоячей волны:

$\Psi (t)=f(x,y,z)(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t))$

где $f (x, y, z)$ представляет собой зависимость амплитуды от местоположения, а косинус/синус — колебания во времени.

Физически стоячие волны образуются в результате интерференции (наложения) волн и их отражений (хотя можно сказать и наоборот: движущаяся волна является суперпозицией стоячих волн). Геометрическая форма среды определяет, какой будет интерференционная картина, тем самым, определяет форму $f (x, y, z)$ стоячей волны. Эта пространственная зависимость называется нормальной модой .

Обычно для задач с непрерывной зависимостью от $(x, y, z)$ не существует единственного или конечного числа нормальных мод, но существует бесконечно много нормальных мод. Если задача ограничена (т.е. определена на конечном участке пространства), существует счетное число нормальных мод (обычно пронумерованных $n = 1, 2, 3, ...$ ). Если задача не ограничена, существует непрерывный спектр нормальных мод.

Упругие твердые тела

В любом твердом теле при любой температуре первичные частицы (например, атомы или молекулы) не неподвижны, а скорее колеблются около средних положений. В изоляторах способность твердого тела хранить тепловую энергию почти полностью обусловлена этими колебаниями. Многие физические свойства твердого тела (например, модуль упругости) можно предсказать, зная частоты, с которыми колеблются частицы. Самое простое предположение (Эйнштейна) состоит в том, что все частицы колеблются около своих средних положений с одной и той же собственной частотой $ν$ . Это эквивалентно предположению, что все атомы колеблются независимо с частотой $ν$ . Эйнштейн также предположил, что разрешенные энергетические состояния этих колебаний являются гармониками или целыми кратными $hν$ . Спектр волновых форм можно описать математически с помощью ряда Фурье синусоидальных флуктуаций плотности (или тепловых фононов ).

Дебай впоследствии понял, что каждый осциллятор тесно связан со своими соседними осцилляторами в любое время. Таким образом, заменив идентичные несвязанные осцилляторы Эйнштейна тем же числом связанных осцилляторов, Дебай соотнес упругие колебания одномерного твердого тела с числом математически специальных мод колебаний натянутой струны (см. рисунок). Чистый тон самой низкой высоты или частоты называется основным тоном, а кратные этой частоте называются его гармоническими обертонами. Он назначил одному из осцилляторов частоту основного колебания всего блока твердого тела. Он назначил остальным осцилляторам частоты гармоник этого основного тона, причем самая высокая из всех этих частот была ограничена движением наименьшей первичной единицы.

Нормальные моды колебаний кристалла в общем случае являются суперпозициями многих обертонов, каждый из которых имеет соответствующую амплитуду и фазу. Более длинноволновые (низкочастотные) фононы — это именно те акустические колебания, которые рассматриваются в теории звука. Как продольные, так и поперечные волны могут распространяться через твердое тело, тогда как, в общем случае, только продольные волны поддерживаются жидкостями.

В продольном режиме смещение частиц из положений равновесия совпадает с направлением распространения волны. Механические продольные волны также называют волнами сжатия . Для поперечных режимов отдельные частицы движутся перпендикулярно распространению волны.

Согласно квантовой теории, средняя энергия нормальной колебательной моды кристаллического тела с характеристической частотой $ν$ равна:

$E(\nu )={\frac {1}{2}}h\nu +{\frac {h\nu }{e^{h\nu /kT}-1}}$

Термин $(1/2) hν$ представляет собой «энергию нулевой точки», или энергию, которую осциллятор будет иметь при абсолютном нуле. $E (ν)$ стремится к классическому значению $kT$ при высоких температурах

$E(\nu )=kT\left[1+{\frac {1}{12}}\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)^{2}+O\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)^{4}+\cdots \right]$

Зная термодинамическую формулу,

$\left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{N,V}={\frac {1}{T}}$

энтропия на нормальную моду равна:

${\begin{aligned}S\left(\nu \right)&=\int _{0}^{T}{\frac {d}{dT}}E\left(\nu \right){\frac {dT}{T}}\\[10pt]&={\frac {E\left(\nu \right)}{T}}-k\log \left(1-e^{-{\frac {h\nu }{kT}}}\right)\end{aligned}}$

Свободная энергия равна:

$F(\nu )=E-TS=kT\log \left(1-e^{-{\frac {h\nu }{kT}}}\right)$

что при $kT ≫ hν$ имеет тенденцию к:

$F(\nu )=kT\log \left({\frac {h\nu }{kT}}\right)$

Для того чтобы вычислить внутреннюю энергию и удельную теплоту, мы должны знать число нормальных колебательных мод на частоте между значениями $ν$ и $ν + dν$ . Пусть это число будет $f (ν) dν$ . Поскольку общее число нормальных мод равно $3 N$ , функция $f (ν)$ определяется как:

$\int f(\nu )\,d\nu =3N$

Интегрирование проводится по всем частотам кристалла. Тогда внутренняя энергия $U$ будет определяться выражением:

$U=\int f(\nu )E(\nu )\,d\nu$

В квантовой механике

Связанные состояния в квантовой механике аналогичны модам. Волны в квантовых системах являются колебаниями амплитуды вероятности, а не материальным смещением. Частота колебаний, $f$ , связана с энергией моды соотношением $E = hf$ , где $h$ — постоянная Планка . Таким образом, система, подобная атому, состоит из линейной комбинации мод определенной энергии. Эти энергии характерны для конкретного атома. (Комплексный) квадрат амплитуды вероятности в точке пространства дает вероятность измерения электрона в этом месте. Пространственное распределение этой вероятности характерно для атома. ^[2]^{: I49–S5}

В сейсмологии

Нормальные моды генерируются в Земле из-за длинноволновых сейсмических волн, возникающих в результате крупных землетрясений, которые, взаимодействуя, образуют стоячие волны.

Для упругой, изотропной, однородной сферы возникают сфероидальные, тороидальные и радиальные (или дышащие) моды. Сфероидальные моды включают только волны P и SV (как волны Рэлея ) и зависят от числа обертонов $n$ и углового порядка $l,$ но имеют вырождение азимутального порядка $m$ . Увеличение $l$ концентрирует фундаментальную ветвь ближе к поверхности, и при больших $l$ это имеет тенденцию к волнам Рэлея. Тороидальные моды включают только волны SH (как волны Лява ) и не существуют в жидком внешнем ядре. Радиальные моды являются всего лишь подмножеством сфероидальных мод с $l = 0.$ Вырождение не существует на Земле, поскольку оно нарушается вращением, эллиптичностью и трехмерной неоднородной структурой скорости и плотности.

Можно предположить, что каждая мода может быть изолирована, приближение самосвязи, или что многие моды, близкие по частоте, резонируют , приближение перекрестной связи. Самосвязь изменит только фазовую скорость, а не количество волн по большому кругу, что приведет к растяжению или сжатию картины стоячей волны. Модальная перекрестная связь происходит из-за вращения Земли, из-за асферической упругой структуры или из-за эллиптичности Земли и приводит к смешиванию основных сфероидальных и тороидальных мод.

Смотрите также

Ссылки

^ Голдштейн, Герберт; Пул, Чарльз П.; Сафко, Джон Л. (2008). Классическая механика (3-е изд., [Nachdr.] изд.). Сан-Франциско, Мюнхен: Addison Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9.
^ Фейнман, Ричард П. (2011). Лекции Фейнмана по физике. Том 1: Главным образом механика, излучение и тепло (издание нового тысячелетия, впервые опубликовано в мягкой обложке). Нью-Йорк: Basic Books. ISBN 978-0-465-04085-8.

Дальнейшее чтение

Блевинс, Роберт Д. (2001). Формулы для собственной частоты и формы колебаний (Переиздание). Малабар, Флорида: Krieger Pub. ISBN 978-1575241845.
Tzou, HS; Bergman, LA, ред. (2008). Динамика и управление распределенными системами . Кембридж [Англия]: Cambridge University Press . ISBN 978-0521033749.
Ширер, Питер М. (2009). Введение в сейсмологию (2-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. стр. 231–237. ISBN 9780521882101.

Внешние ссылки

Конспект лекций Гарварда по нормальным модам