Каирская пятиугольная мозаика

Замощение плоскости пятиугольниками

В геометрии каирская пятиугольная мозаика — это мозаика евклидовой плоскости конгруэнтными выпуклыми пятиугольниками , образованная наложением двух мозаик плоскости шестиугольниками и названная так из-за ее использования в качестве дизайна мощения в Каире . Ее также называют сетью Мак-Магона ^[1] в честь Перси Александра Мак-Магона , который изобразил ее в своей публикации 1921 года « Новые математические развлечения» . ^[2] Джон Хортон Конвей назвал ее четырехкратной пентильей . ^[3]

Бесконечно много различных пятиугольников могут образовывать этот узор, принадлежащий двум из 15 семейств выпуклых пятиугольников, которые могут замостить плоскость . Их мозаики имеют различную симметрию; все они гранесимметричны. Одна конкретная форма мозаики, двойственная к мозаике плосконосого квадрата , имеет плитки с минимально возможным периметром среди всех пятиугольных мозаик. Другая, накладывающая две сплющенные мозаики правильными шестиугольниками, является формой, используемой в Каире, и обладает тем свойством, что каждое ребро коллинеарно бесконечному числу других ребер.

В архитектуре, за пределами Каира, каирская плитка использовалась в архитектуре Моголов в Индии XVIII века, в Laeiszhalle начала XX века в Германии и во многих современных зданиях и сооружениях. Она также изучалась как кристаллическая структура и появляется в искусстве М. К. Эшера .

Структура и классификация

Объединение всех рёбер мозаики Каира равно объединению двух мозаик плоскости шестиугольниками . Каждый шестиугольник одной мозаики окружает две вершины другой мозаики и делится шестиугольниками другой мозаики на четыре пятиугольника мозаики Каира. ^[4] Бесконечно много различных пятиугольников могут образовывать мозаики Каира, все с одинаковым рисунком смежности между плитками и с одинаковым разложением на шестиугольники, но с различными длинами рёбер, углами и симметриями. Пятиугольники, которые образуют эти мозаики, можно сгруппировать в два различных бесконечных семейства, взятых из 15 семейств выпуклых пятиугольников, которые могут замостить плоскость , ^[5] и пяти семейств пятиугольников, найденных Карлом Рейнхардтом в 1918 году, которые могут замостить плоскость изоэдрально (все плитки симметричны друг другу). ^[6]

Одно из этих двух семейств состоит из пятиугольников, которые имеют два несмежных прямых угла , с парой сторон равной длины, встречающихся в каждом из этих прямых углов. Любой пятиугольник, отвечающий этим требованиям, замостит плоскость копиями, которые в выбранных прямых углах повернуты на прямой угол относительно друг друга. На сторонах пятиугольника, которые не являются смежными ни с одним из этих двух прямых углов, встречаются две плитки, повернутые на угол 180° относительно друг друга. Результатом является равногранная мозаика, что означает, что любой пятиугольник в мозаике может быть преобразован в любой другой пятиугольник с помощью симметрии мозаики. Эти пятиугольники и их мозаика часто указываются как «тип 4» в списке типов пятиугольников, которые могут быть замощены. ^[4] Для любой мозаики Каира 4-го типа двенадцать таких же плиток могут также покрыть поверхность куба, при этом одна плитка сложена поперек каждого ребра куба, а три прямых угла плиток встречаются в каждой вершине куба, образуя ту же комбинаторную структуру, что и правильный додекаэдр . ^{[7] [8]}

Другое семейство пятиугольников, образующих мозаику Каира, — это пятиугольники, которые имеют два дополнительных угла в несмежных вершинах, каждая из которых имеет те же самые длины двух сторон, инцидентных ей. В их мозаиках вершины с дополнительными углами чередуются вокруг каждой вершины степени четыре. Пятиугольники, соответствующие этим ограничениям, обычно не перечислены как одно из 15 семейств пятиугольников, которые замостили; скорее, они являются частью большего семейства пятиугольников (пятиугольники «типа 2»), которые замостили плоскость изоэдрально другим способом. ^[4]

Двусторонне-симметричные мозаики Каира образованы пятиугольниками, которые принадлежат как к семействам типа 2, так и к семейству типа 4. ^{[4] Узор} мощения кирпичом- корзинкой можно рассматривать как вырожденный случай двусторонне-симметричных мозаик Каира, где каждый кирпич ( прямоугольник) интерпретируется как пятиугольник с четырьмя прямыми углами и одним углом в 180°. ^[9] ${\displaystyle 1\times 2}$

• 
  Плитки Каира типа 2 имеют несмежные дополнительные углы , с одинаковыми длинами двух смежных сторон.
• 
  Плитки типа 4 имеют несмежные прямые углы между парами сторон одинаковой длины.
• 
  Двусторонне-симметричные мозаики (принадлежащие к обоим типам) используют плитки с несмежными прямыми углами и четырьмя равными ребрами.

• 
  Плитка Каира Типа 2, с окраской, показывающей отраженные и неотраженные плитки
• 
  В мозаике Каира типа 4 пятиугольники могут быть двусторонне симметричными, даже если мозаика не является таковой.
• 
  Корзиночное плетение, вырожденная двусторонне-симметричная мозаика, с наложенной невырожденной мозаикой

Можно назначить шестимерные полуцелые координаты пятиугольникам мозаики таким образом, что число шагов от края до края между любыми двумя пятиугольниками будет равно расстоянию L 1 между их координатами. Шесть координат каждого пятиугольника можно сгруппировать в две тройки координат, в которых каждая тройка дает координаты шестиугольника в аналогичной трехмерной системе координат для каждой из двух наложенных шестиугольных мозаик. ^[10] Число плиток, которые находятся в шагах от любой данной плитки, для , задается координационной последовательностью , в которой после первых трех членов каждый член отличается на 16 от члена на три шага назад в последовательности. Можно также определить аналогичные координационные последовательности для вершин мозаики вместо ее плиток, но поскольку есть два типа вершин (степени три и степени четыре), таким образом возникают две различные координационные последовательности. Последовательность четвертой степени та же, что и для квадратной сетки . ^{[11] [12]} ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i=0,1,2,\dots }$ $${\displaystyle 1,5,11,16,21,27,32,37,\dots }$$

Особые случаи

Каталонская плитка

Плосконосая квадратная мозаика , сделанная из двух квадратов и трех равносторонних треугольников вокруг каждой вершины, имеет двусторонне симметричную мозаику Каира в качестве своей двойной мозаики . ^[13] Плосконосая квадратная мозаика может быть образована из плосконосой квадратной мозаики, помещая вершину мозаики Каира в центр каждого квадрата или треугольника плосконосой квадратной мозаики и соединяя эти вершины ребрами, когда они исходят из соседних плиток. ^[14] Ее пятиугольники могут быть описаны вокруг окружности . Они имеют четыре длинных ребра и одно короткое с длинами в соотношении . Углы этих пятиугольников образуют последовательность 120°, 120°, 90°, 120°, 90°. ^[15] ${\displaystyle 1:{\sqrt {3}}-1}$

Плосконосая квадратная мозаика является архимедовой мозаикой , и как двойственная к архимедовой мозаике эта форма каирской пятиугольной мозаики является каталонской мозаикой или мозаикой Лавеса. ^[14] Это одна из двух моноэдральных пятиугольных мозаик, которая, когда плитки имеют единичную площадь, минимизирует периметр плиток. Другая также является мозаикой из описанных пятиугольников с двумя прямыми углами и тремя углами в 120°, но с двумя смежными прямыми углами; также существует бесконечно много мозаик, образованных путем объединения обоих видов пятиугольников. ^[15]

Мозаики с коллинеарными краями

Коллинеарная форма мозаики Каира с целочисленными пятиугольниками, образованная путем сплющивания двух перпендикулярных правильных шестиугольных мозаик в перпендикулярных направлениях.

Пятиугольники с целочисленными координатами вершин , , и , с четырьмя равными сторонами, короче оставшейся стороны, образуют мозаику Каира, две шестиугольные мозаики которой могут быть образованы путем сплющивания двух перпендикулярных мозаик правильными шестиугольниками в перпендикулярных направлениях в соотношении . Эта форма мозаики Каира наследует свойство мозаик правильными шестиугольниками (не измененное сплющиванием), что каждое ребро коллинеарно бесконечному числу других ребер. ^{[9] [16]} ${\displaystyle (\pm 2,0)}$ ${\displaystyle (\pm 3,3)}$ ${\displaystyle (0,4)}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

Плитка с одинаковой длиной сторон

Правильный пятиугольник не может образовывать мозаику Каира, так как он не заполняет плоскость без зазоров. Существует уникальный равносторонний пятиугольник , который может образовывать мозаику Каира типа 4; у него пять равных сторон, но его углы не равны, и его мозаика двусторонне симметрична. ^{[4] [13]} Бесконечно много других равносторонних пятиугольников могут образовывать мозаику Каира типа 2. ^[4]

Приложения

Несколько улиц в Каире были вымощены коллинеарной формой каирской плитки; ^{[9] [17]} это применение является источником названия плитки. ^{[18] [19]} По состоянию на 2019 год этот узор все еще можно увидеть как украшение поверхности для квадратных плиток около моста Каср-эль-Нил и станции метро El Behoos ; другие версии плитки можно увидеть в других местах города. ^[20] Некоторые авторы, включая Мартина Гарднера, писали, что этот узор более широко используется в исламской архитектуре , и хотя это утверждение, по-видимому, основано на недоразумении, узоры, напоминающие каирскую плитку, видны на гробнице Итимад-уд-Даула 17-го века в Индии, а сама каирская плитка была найдена на могольском джали 17-го века . ^[16]

• 
  Гробница Итимад-уд-Даула с прямоугольными боковыми панелями, напоминающими каирскую черепицу.
• 
  Centar Zamet , на стенах которого видна каирская плитка
• 
  Каирская плитка в Хёрсхольме , Дания

Одна из самых ранних публикаций о каирской плитке как декоративном узоре встречается в книге по текстильному дизайну 1906 года. ^[21] Изобретатель HC Moore подал заявку на патент США на плитку, образующую этот узор, в 1908 году. ^[22] Примерно в то же время Villeroy & Boch создала линию керамической напольной плитки в каирском узоре, использованную в фойе Laeiszhalle в Гамбурге , Германия. Каирская плитка использовалась в качестве декоративного узора во многих недавних архитектурных проектах; например, центр города Хёрсхольм , Дания, вымощен этим узором, а Centar Zamet , спортивный зал в Хорватии, использует его как для своих внешних стен, так и для тротуарной плитки. ^[16]

В кристаллографии эта мозаика изучалась по крайней мере с 1911 года. ^[23] Она была предложена в качестве структуры для слоистых гидратных кристаллов, ^[24] некоторых соединений висмута и железа , ^[25] и пентаграфена , гипотетического соединения чистого углерода . В структуре пентаграфена ребра мозаики, инцидентные вершинам четвертой степени, образуют одинарные связи , в то время как остальные ребра образуют двойные связи . В его гидрогенизированной форме, пентаграфане, все связи являются одинарными связями, а атомы углерода в вершинах третьей степени структуры имеют четвертую связь, соединяющую их с атомами водорода. ^[26]

Мозаика Каира была описана как один из «любимых геометрических узоров» М. К. Эшера . ^[7] Он использовал ее в качестве основы для своего рисунка «Ракушки и морские звезды» (1941), в сегменте «пчелы на цветах» его «Метаморфозы III» (1967–1968) и в нескольких других рисунках 1967–1968 годов. Изображение этой мозаики также использовалось в качестве обложки для первого издания книги HSM Coxeter 1974 года «Регулярные комплексные многогранники» . ^{[4] [16]}

Ссылки

1. О'Киф, М.; Хайд, Б.Г. (1980), «Плоские сети в кристаллической химии», Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Серия A, Математические и физические науки , 295 (1417): 553–618, Bibcode : 1980RSPTA.295..553O, doi : 10.1098/rsta.1980.0150, JSTOR  36648, S2CID  121456259.
2. Macmahon, Major PA (1921), Новые математические развлечения, University Press, стр. 101
3. Конвей, Джон Х .; Берджил, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (2008), Симметрии вещей , AK Peters, стр. 288, ISBN 978-1-56881-220-5
4. Шаттшнайдер, Дорис (1978), «Замощение плоскости конгруэнтными пятиугольниками», Mathematics Magazine , 51 (1): 29–44, doi :10.1080/0025570X.1978.11976672, JSTOR  2689644, MR  0493766
5. Рао, Михаэль (2017), Исчерпывающий поиск выпуклых пятиугольников, застилающих плоскость (PDF) , arXiv : 1708.00274
6. Рейнхардт, Карл (1918), Über die Zerlegung der Ebene in Polygone (докторская диссертация) (на немецком языке), Борна-Лейпциг: Друк фон Роберт Носке, "Vierter Typus", стр. 78 и рис. 24, с. 81
7. Шатшнайдер, Дорис ; Уокер, Уоллес (1977), «Додекаэдр», MC Escher Kaleidocycles , Ballantine Books, стр. 22; перепечатано Taschen, 2015
8. Томас, Б. Г.; Ханн, МА (2008), «Мозаика с помощью проекции: мозаика додекаэдра и других твердых тел», в Сарханги, Реза; Секин, Карло Х. (ред.), Мосты Леувардена: математика, музыка, искусство, архитектура, культура , Лондон: Tarquin Publications, стр. 101–108, ISBN 9780966520194
9. Macmillan, RH (декабрь 1979), «Пирамиды и мостовые: некоторые мысли из Каира», The Mathematical Gazette , 63 (426): 251–255, doi :10.2307/3618038, JSTOR  3618038, S2CID  125608794
10. Ковач, Гергей; Надь, Бенедек; Тургай, Нешет Дениз (май 2021 г.), «Расстояние по каирскому образцу», Pattern Recognition Letters , 145 : 141–146, Bibcode : 2021PaReL.145..141K, doi : 10.1016/j.patrec.2021.02.002, S2CID  233375125
11. Координационные последовательности для пятиугольной мозаики Каира в Онлайновой энциклопедии целочисленных последовательностей : A219529 для пятиугольников, A296368 для вершин третьей степени и A008574 для вершин четвертой степени, получены 17 июня 2021 г.
12. Goodman-Strauss, C.; Sloane, NJA (2019), «Подход с использованием раскраски для поиска координационных последовательностей» (PDF) , Acta Crystallographica Section A , 75 (1): 121–134, arXiv : 1803.08530 , doi : 10.1107/s2053273318014481, MR  3896412, PMID  30575590, S2CID  4553572, заархивировано из оригинала (PDF) 2022-02-17 , извлечено 2021-06-18
13. Rollett, AP (сентябрь 1955 г.), "2530. Пятиугольная мозаика", Mathematical Notes, The Mathematical Gazette , 39 (329): 209, doi :10.2307/3608750, JSTOR  3608750, S2CID  250439435
14. Steurer, Walter; Dshemuchadse, Julia (2016), Intermetallics: Structures, Properties, and Statistics, Международный союз кристаллографов, Монографии по кристаллографии, т. 26, Oxford University Press, стр. 42, ISBN 9780191023927
15. Чунг, Пинг Нгай; Фернандес, Мигель А.; Ли, Ифэй; Мара, Майкл; Морган, Фрэнк ; Плата, Исамар Роза; Шах, Нирали; Виейра, Луис Сордо; Викнер, Елена (2012), «Изопериметрические пятиугольные мозаики», Уведомления Американского математического общества , 59 (5): 632–640, doi : 10.1090/noti838 , MR  2954290
16. Бейли, Дэвид, «Каирская мозаика», Мир Эшероподобных мозаик Дэвида Бейли , архивировано из оригинала 2020-12-03 , извлечено 2020-12-06
17. Данн, JA (декабрь 1971 г.), «Тесселяции с пятиугольниками», The Mathematical Gazette , 55 (394): 366–369, doi : 10.2307/3612359, JSTOR  3612359, S2CID  118680100Хотя Данн пишет, что в Каире использовалась равносторонняя форма черепицы, это, по-видимому, ошибка.
18. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2010), Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику, математические изложения Дольчиани, т. 42, Математическая ассоциация Америки, стр. 164, ISBN 978-0-88385-348-1.
19. Мартин, Джордж Эдвард (1982), Геометрия преобразований: Введение в симметрию, Учебники по математике для студентов , Springer, стр. 119, ISBN 978-0-387-90636-2.
20. Морган, Фрэнк (2019), «Моя тайная миссия по поиску мозаик Каира», The Mathematical Intelligencer , 41 (3): 19–22, doi :10.1007/s00283-019-09906-7, MR  3995312, S2CID  198468426
21. Нисбет, Гарри (1906), Грамматика текстильного дизайна, Лондон: Scott, Greenwood & Son, стр. 101
22. Мур, ХК (20 июля 1909 г.), Плитка (Патент США 928,320)
23. Хааг, Ф. (1911), "Die regelmäßigen Planteilungen", Zeitschrift für Kristallographie, Kristallgeometry, Kristallphysik, Kristallchemie , 49 : 360–369, hdl : 2027/uc1.b3327994См. в частности рисунки 2б, стр. 361 и 4а, стр. 363.
24. Банару, AM; Банару, GA (август 2011), «Каирская мозаика и топология слоистых гидратов», Вестник Московского университета по химии , 66 (3), Статья 159, doi :10.3103/S0027131411030023, S2CID  96002269
25. Ressouche, E.; Simonet, V.; Canals, B.; Gospodinov, M.; Skumryev, V. (декабрь 2009 г.), "Магнитное расстройство в пятиугольной решетке Cairo на основе железа", Physical Review Letters , 103 (26): 267204, arXiv : 1001.0710 , Bibcode : 2009PhRvL.103z7204R, doi : 10.1103/physrevlett.103.267204, PMID  20366341, S2CID  20752605
26. Чжан, Шуньхун; Чжоу, Цзянь; Ван, Цянь; Чэнь, Сяошуан; Кавазое, Ёсиюки; Джена, Пуру (февраль 2015 г.), «Пентаграфен: новый аллотроп углерода», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 112 (8): 2372–2377, Bibcode : 2015PNAS..112.2372Z, doi : 10.1073/pnas.1416591112 , PMC 4345574 , PMID  25646451 

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Каирская тесселяция», MathWorld