Математический ряд
Мультипольное разложение — это математический ряд , представляющий функцию , зависящую от углов — обычно двух углов, используемых в сферической системе координат (полярный и азимутальный углы) для трехмерного евклидова пространства . Подобно рядам Тейлора , мультипольные разложения полезны, поскольку зачастую для обеспечения хорошего приближения исходной функции необходимы только первые несколько членов. Расширяемая функция может быть вещественной или комплексной и определяется либо на , либо реже на каком-то другом .![{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Мультипольные разложения часто используются при изучении электромагнитных и гравитационных полей , где поля в удаленных точках задаются как источники в небольшой области. Разложение мультиполя по углам часто сочетается с разложением по радиусу . Такая комбинация дает расширение, описывающее функцию во всем трехмерном пространстве. [1]
Мультипольное разложение выражается как сумма членов со все более мелкими угловыми характеристиками ( моментами ). Первый член (нулевого порядка) называется монопольным моментом, второй член (первого порядка) называется дипольным моментом , третий (второго порядка) — квадрупольным моментом, четвертый член (третьего порядка) называется октупольным моментом и так далее. Учитывая ограничение греческих цифровых префиксов , термины более высокого порядка обычно называются путем добавления «-полюса» к числу полюсов, например, 32-полюсный (редко дотриаконтапол или триаконтадипол) и 64-полюсный (редко тетрагексаконтапол или гексаконтатетраполь). [2] [3] [4] Мультипольный момент обычно включает в себя степени (или обратные степени) расстояния до начала координат, а также некоторую угловую зависимость.
В принципе, мультипольное разложение дает точное описание потенциала и обычно сходится при двух условиях: (1) если источники (например, заряды) локализованы близко к началу координат, а точка, в которой наблюдается потенциал, находится далеко от начала координат. источник; или (2) обратное, т. е. если источники расположены далеко от начала координат, а потенциал наблюдается вблизи начала координат. В первом (более распространенном) случае коэффициенты разложения в ряд называются внешними мультипольными моментами или просто мультипольными моментами , тогда как во втором случае они называются внутренними мультипольными моментами .
Разложение по сферическим гармоникам
Чаще всего ряд записывается как сумма сферических гармоник . Таким образом, мы могли бы записать функцию как сумму![{\ displaystyle f (\ theta, \ varphi)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle f (\ theta, \ varphi) = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty } \, \ sum _ {m = - \ ell } ^ {\ ell } \, C_ {\ ell } ^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
[5]![{\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C_{\ell }^{m}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C_{0}^{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C_{1}^{-1},C_{1}^{0},C_{1}^{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(\theta,\varphi)=C+C_{i}n^{i}+C_{ij}n^{i}n^{j}+C_{ijk}n^{i}n^ {j}n^{k}+C_{ijk\ell }n^{i}n^{j}n^{k}n^{\ell }+\cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
векторасуммируются неявно![{\displaystyle n^{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ theta }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В приведенных выше разложениях коэффициенты могут быть действительными или комплексными . Однако если функция, выражаемая в виде мультипольного разложения, действительна, коэффициенты должны удовлетворять определенным свойствам. В сферическом гармоническом разложении мы должны иметь
![{\displaystyle C_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}C_{\ell }^{m\ast }\,.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C=C^{\ast};\ C_{i}=C_{i}^{\ast};\ C_{ij}=C_{ij}^{\ast};\ C_{ijk}= C_{ijk}^{\ast };\ \ldots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Хотя разложение скалярных функций на сегодняшний день является наиболее распространенным применением мультипольных разложений, их также можно обобщить для описания тензоров произвольного ранга. [6] Это находит применение в мультипольных разложениях векторного потенциала в электромагнетизме или метрических возмущениях при описании гравитационных волн .
Для описания трехмерных функций вдали от начала координат коэффициенты мультипольного разложения можно записать как функции расстояния до начала координат — чаще всего в виде ряда Лорана по степеням . Например, для описания электромагнитного потенциала источника в небольшой области вблизи начала координат коэффициенты можно записать как:![{\displaystyle г}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle г}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V(r,\theta,\varphi)=\sum _ {\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m = -l}^{\ell }C_ {\ell }^ {m}(r)\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=\sum _{j=1}^{\infty }\,\sum _{\ell =0}^ {\infty }\,\sum _{m=-l}^{\ell }{\frac {D_{\ell ,j}^{m}}{r^{j}}}\,Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Приложения
Мультипольные разложения широко используются в задачах, связанных с гравитационными полями систем масс , электрическими и магнитными полями распределения заряда и тока, а также распространением электромагнитных волн . Классическим примером является расчет внешних мультипольных моментов атомных ядер по энергиям их взаимодействия с внутренними мультиполями электронных орбиталей. Мультипольные моменты ядер сообщают о распределении зарядов внутри ядра и, следовательно, о форме ядра. Усечение мультипольного разложения до первого ненулевого члена часто бывает полезно для теоретических расчетов.
Мультипольные разложения также полезны в численном моделировании и составляют основу метода быстрых мультиполей Грингарда и Рохлина , общего метода эффективного расчета энергий и сил в системах взаимодействующих частиц . Основная идея состоит в том, чтобы разложить частицы на группы; частицы внутри группы взаимодействуют нормально (т. е. по полному потенциалу), тогда как энергии и силы между группами частиц рассчитываются по их мультипольным моментам. Эффективность метода быстрых мультиполей в целом аналогична эффективности метода суммирования Эвальда , но она выше, если частицы сгруппированы, т. е. система имеет большие флуктуации плотности.
Мультипольное разложение потенциала вне распределения электростатического заряда
Рассмотрим дискретное распределение зарядов, состоящее из N точечных зарядов q i с векторами положения r i . Мы предполагаем, что заряды сгруппированы вокруг начала координат, так что для всех i : r i < r max , где r max имеет некоторое конечное значение. Потенциал V ( R ) , обусловленный распределением заряда, в точке R вне распределения заряда, т. е. | р | > r max , можно разложить по степеням 1/ R . В литературе можно найти два способа такого разложения: первый — это ряд Тейлора в декартовых координатах x , y и z , а второй — в терминах сферических гармоник , которые зависят от сферических полярных координат . Преимущество декартового подхода состоит в том, что не требуется никаких предварительных знаний о функциях Лежандра, сферических гармониках и т. д. Его недостатком является то, что выводы довольно громоздки (фактически большая их часть представляет собой неявный повторный вывод разложения Лежандра 1 / | r − R | , которое было сделано раз и навсегда Лежандром в 1780-х годах). Также трудно дать замкнутое выражение для общего члена мультипольного разложения - обычно даются только первые несколько членов, после которых ставится многоточие.
Разложение в декартовых координатах
Предположим, что v ( r ) = v (- r ) для удобства. Разложение Тейлора v ( r − R ) вокруг начала координат r = 0 можно записать как
![{\displaystyle v(\mathbf {r} -\mathbf {R})=v(\mathbf {R})-\sum _ {\alpha = x,y,z}r_ {\alpha }v_ {\alpha } (\mathbf {R} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_ {\beta }v_ {\alpha \beta }(\mathbf {R})-\cdots +\cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v_{\alpha }(\mathbf {R})\equiv \left({\frac {\partial v(\mathbf {r} -\mathbf {R})}{\partial r_ {\alpha }} }\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }\quad {\text{and}}\quad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )\equiv \left({\ frac {\partial ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }\partial r_{\beta }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
v ( r − R )уравнению Лапласа![{\displaystyle \left(\nabla ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R})\right)_ {\mathbf {r} =\mathbf {0} }=\sum _ {\alpha =x,y,z}v_{\alpha \alpha }(\mathbf {R})=0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
тензора![{\displaystyle \sum _ {\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_ {\alpha \beta }(\mathbf { R} )={\frac {1}{3}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}(3r_{\alpha }r_{\beta }-\delta _{\alpha \beta }r^{2})v_{\alpha \beta }(\mathbf {R}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
δ αβдельта Кронекераr 2 ≡ | р | 2r 2Пример
Рассмотрим теперь следующую форму v ( r − R ) :
![{\displaystyle v(\mathbf {r} -\mathbf {R})\equiv {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {R} |}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
дифференцированием![{\displaystyle v(\mathbf {R})={\frac {1}{R}},\quad v_ {\alpha }(\mathbf {R}) = - {\frac {R_ {\alpha }}} R^{3}}},\quad {\hbox{and}}\quad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )={\frac {3R_{\alpha }R_{\beta }-\ delta _{\alpha \beta }R^{2}}{R^{5}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle q_{\mathrm {tot}}\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i},\quad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N }q_{i}r_{i\alpha },\quad {\text{and}}\quad Q_{\alpha \beta }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}(3r_ {i\alpha }r_{i\beta }-\delta _{\alpha \beta }r_{i}^{2}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
разложения[7] : 137–138 ![{\displaystyle {\begin{aligned}4\pi \varepsilon _{0}V(\mathbf {R}) &\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}v(\mathbf { r} _{i}-\mathbf {R} )\\&={\frac {q_{\mathrm {tot} }}{R}}+{\frac {1}{R^{3}}}\ sum _ {\alpha =x,y,z}P_{\alpha }R_{\alpha }+{\frac {1}{2R^{5}}}\sum _{\alpha ,\beta =x,y ,z}Q_{\alpha \beta }R_{\alpha }R_{\beta }+\cdots \end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это расширение потенциала дискретного распределения заряда очень похоже на расширение потенциала реальных твердых гармоник, приведенное ниже. Основное отличие состоит в том, что нынешний представляет собой линейно зависимые величины, т.е.
![{\displaystyle \sum _{\alpha }v_{\alpha \alpha }=0\quad {\hbox{and}}\quad \sum _{\alpha }Q_ {\alpha \alpha }=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Примечание.
Если распределение зарядов состоит из двух зарядов противоположного знака, находящихся на бесконечно малом расстоянии d друг от друга, так что d / R ≫ ( d / R ) 2 , легко показать, что доминирующим членом в разложении является
![{\displaystyle V(\mathbf {R}) = {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}(\mathbf {P} \cdot \mathbf {R}), }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
диполярное потенциальное полеСферическая форма
Потенциал V ( R ) в точке R вне распределения заряда, т.е. | р | > r max , можно расширить с помощью расширения Лапласа :
![{\displaystyle V(\mathbf {R})\equiv \sum _{i=1}^{N}{\frac {q_{i}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} |}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{ m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )\sum _{i=1}^{N}q_{ i}R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
сплошная гармоникасферической гармоники,r ℓсферический мультипольный момент![{\displaystyle I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R^{\ell +1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Q_{\ell }^{m}\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}R_ {\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}) ,\quad \ -\ell \leq m\leq \ell .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
зарядовСферическая гармоника зависит от единичного вектора . (Единичный вектор определяется двумя сферическими полярными углами.) Таким образом, по определению нерегулярные твердые гармоники можно записать как![{\displaystyle {\шляпа {R}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {R})\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {Y_{\ell } ^{m}({\hat {R}})}{R^{\ell +1}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
мультипольное разложениеV ( R )R![{\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {R}) &={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _ {\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )Q_{\ell }^{m} \\&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[{\frac {4\pi }{2\ ell +1}}\right]^{1/2}\;{\frac {1}{R^{\ell +1}}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(- 1)^{m}Y_{\ell }^{-m}({\hat {R}})Q_{\ell }^{m},\qquad R>r_{\mathrm {max} }\end{ выровнено}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это расширение является совершенно общим, поскольку оно дает замкнутую форму для всех терминов, а не только для нескольких первых. Это показывает, что сферические мультипольные моменты появляются как коэффициенты в разложении потенциала 1/ R .
Представляет интерес рассмотреть первые несколько терминов в реальной форме, которые являются единственными терминами, обычно встречающимися в учебниках для студентов. Поскольку слагаемое суммирования m инвариантно относительно унитарного преобразования обоих факторов одновременно и поскольку преобразование комплексных сферических гармоник в действительную форму происходит посредством унитарного преобразования , мы можем просто заменить действительные иррегулярные твердые гармоники и действительные мультипольные моменты. Член ℓ = 0 становится
![{\displaystyle V_{\ell =0}(\mathbf {R})={\frac {q_ {\mathrm {tot} }}{4\pi \varepsilon _{0}R}}\quad {\hbox{ with}}\quad q_{\mathrm {tot} }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
закон Кулонаℓ = 1![{\displaystyle \mathbf {R} = (R_ {x}, R_ {y}, R_ {z}), \quad \ mathbf {P} = (P_ {x}, P_ {y}, P_ {z}) \quad {\hbox{with}}\quad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}r_{i\alpha },\quad \alpha =x,y, з.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V_{\ell =1}(\mathbf {R})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}(R_{x}P_{x} +R_{y}P_{y}+R_{z}P_{z})={\frac {\mathbf {R} \cdot \mathbf {P} {4\pi \varepsilon _{0}R^{ 3}}}={\frac {{\hat {\mathbf {R} }}\cdot \mathbf {P} {4\pi \varepsilon _{0}R^{2}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Чтобы записать член ℓ = 2 , нам нужно ввести сокращенные обозначения для пяти действительных компонент квадрупольного момента и действительных сферических гармоник. Обозначения типа
![{\displaystyle Q_{z^{2}}\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}\;{\frac {1}{2}}(3z_{i}^{2} -r_{i}^{2}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Взаимодействие двух непересекающихся распределений заряда
Рассмотрим два набора точечных зарядов: один набор { q i } сгруппирован вокруг точки A , а другой набор { q j } сгруппирован вокруг точки B. Подумайте, например, о двух молекулах и вспомните, что молекула по определению состоит из электронов (отрицательных точечных зарядов) и ядер (положительных точечных зарядов). Полная энергия электростатического взаимодействия U AB между двумя распределениями равна
![{\displaystyle U_{AB}=\sum _{i\in A}\sum _{j\in B}{\frac {q_{i}q_{j}}{4\pi \varepsilon _{0}r_ {ij}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
AB. Это расширениемультипольное расширениеЧтобы получить это мультипольное разложение, мы пишем r XY = r Y − r X , который представляет собой вектор, указывающий от X к Y. Обратите внимание, что
![{\displaystyle \mathbf {R} _{AB}+\mathbf {r} _{Bj}+\mathbf {r} _{ji}+\mathbf {r} _{iA}=0\quad \iff \quad \mathbf {r} _{ij}=\mathbf {R} _{AB}-\mathbf {r} _{Ai}+\mathbf {r} _{Bj}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle |\mathbf {R} _{AB}|>|\mathbf {r} _{Bj}-\mathbf {r} _{Ai}|{\text{для всех }}i,j.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
разложение Лапласа![{\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}|}}={\frac {1}{|\mathbf {R} _{AB }-(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj})|}}=\sum _{L=0}^{\infty }\sum _{M=-L}^ {L}\,(-1)^{M}I_{L}^{-M}(\mathbf {R} _{AB})\;R_{L}^{M}(\mathbf {r} _ {Ai}-\mathbf {r} _{Bj}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
сплошные гармоникирегулярной твердой гармоники![{\displaystyle I_{L}^{M}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R_{L}^{M}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R_{L}^{M}(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj})=\sum _{\ell _{A}=0}^{L} (-1)^{L-\ell _{A}}{\binom {2L}{2\ell _{A}}}^{1/2}\times \sum _{m_{A}=-\ ell _{A}}^{\ell _{A}}R_{\ell _{A}}^{m_{A}}(\mathbf {r} _{Ai})R_{L-\ell _{ A}}^{M-m_{A}}(\mathbf {r} _{Bj})\;\langle \ell _{A},m_{A};L-\ell _{A},M- m_{A}\mid LM\rangle,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
коэффициент Клебша–Гордана![{\displaystyle R_{\ell }^{m}(-\mathbf {r})=(-1)^{\ell }R_ {\ell }^{m}(\mathbf {r}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
сферических мультиполей Qм
ℓL![{\displaystyle {\begin{aligned}U_{AB}={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell _{A}=0}^{ \infty }\sum _{\ell _{B}=0}^{\infty }(-1)^{\ell _{B}}{\binom {2\ell _{A}+2\ell _ {B}}{2\ell _{A}}}^{1/2}\\[5pt]&\times \sum _{m_{A}=-\ell _{A}}^{\ell _ {A}}\sum _{m_{B}=-\ell _{B}}^{\ell _{B}}(-1)^{m_{A}+m_{B}}I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-m_{A}-m_{B}}(\mathbf {R} _{AB})\;Q_{\ell _{A}}^{m_ {A}}Q_{\ell _{B}}^{m_{B}}\;\langle \ell _{A},m_{A};\ell _{B},m_{B}\mid \ ell _{A}+\ell _{B},m_{A}+m_{B}\rangle .\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это мультипольное разложение энергии взаимодействия двух непересекающихся распределений зарядов, находящихся на расстоянии R AB друг от друга. С
![{\displaystyle I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}(\mathbf {R} _{AB})\equiv \left[ {\frac {4\pi }{2\ell _{A}+2\ell _{B}+1}}\right]^{1/2}\;{\frac {Y_{\ell _{A }+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}\left({\widehat {\mathbf {R} }}_{AB}\right)}{R_{AB }^{\ell _{A}+\ell _{B}+1}}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
1/ RA ABY m lсферическую гармоникуМолекулярные моменты
Все атомы и молекулы (кроме атомов в S -состоянии ) имеют один или несколько ненулевых постоянных мультипольных момента. В литературе можно встретить разные определения, но следующее определение в сферической форме имеет то преимущество, что содержится в одном общем уравнении. Поскольку он имеет сложную форму, он имеет еще одно преимущество: им легче манипулировать в расчетах, чем его реальным аналогом.
Рассмотрим молекулу, состоящую из N частиц (электронов и ядер) с зарядами eZ i . (У электронов Z -значение равно -1, а у ядер это атомный номер ). Частица i имеет сферические полярные координаты r i , θ i и φ i и декартовы координаты x i , y i и z i . (Комплексный) электростатический мультипольный оператор:
![{\displaystyle Q_{\ell }^{m}\equiv \sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;R_ {\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i }),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
сплошная гармоническаянормализации Рака(ожидаемым) значением![{\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \ell }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M_{\ell }^{m}\equiv \langle \Psi \mid Q_ {\ell }^{m}\mid \Psi \rangle .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
симметрией точечной группынеприводимому представлению(
правила отбораm = −1, 0, 1)![{\displaystyle Q_{1}^{m}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Низшие явные формы регулярных твердых гармоник (с фазой Кондона-Шортли ) дают:
![{\displaystyle M_{0}^{0}=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M_{1}^{1}=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |x_{ i}+iy_{i}|\Psi \rangle \quad {\hbox{and}}\quad M_{1}^{-1}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\sum _ {i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |x_{i}-iy_{i}|\Psi \rangle .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M_{1}^{0}=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |z_{i}|\Psi \rangle .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Заметим, что с помощью простой линейной комбинации можно преобразовать комплексные мультипольные операторы в действительные. Настоящие мультипольные операторы имеют тип косинуса или синуса . Некоторые из самых низких:![{\displaystyle C_{\ell }^{m}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S_{\ell }^{m}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}^{0} &=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}\\C_{1}^{1 }&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;x_{i}\\S_{1}^{1}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_ {i}\;y_{i}\\C_{2}^{0}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;( 3z_{i}^{2}-r_{i}^{2})\\C_{2}^{1}&={\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_ {i}\;z_{i}x_{i}\\C_{2}^{2}&={\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\sum _{i=1} ^{N}eZ_{i}\;(x_{i}^{2}-y_{i}^{2})\\S_{2}^{1}&={\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}y_{i}\\S_{2}^{2}&={\frac {2}{3}}{\sqrt { 3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;x_{i}y_{i}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Примечание об условных обозначениях
Определение комплексного молекулярного мультипольного момента, данное выше, является комплексно-сопряженным определением, данным в этой статье , которое следует определению Джексона из стандартного учебника по классической электродинамике [7] : 137, за исключением нормализации. Более того, в классическом определении Джексона эквивалентом N -частичного квантовомеханического ожидания является интеграл по одночастичному распределению заряда. Помните, что в случае одночастичной квантово-механической системы математическое ожидание представляет собой не что иное, как интеграл по распределению заряда (квадрат модуля волновой функции), так что определение этой статьи представляет собой квантовомеханическое N -частичное обобщение определения Джексона. .
Определение в этой статье согласуется, среди прочего, с определением Фано и Рака [8] и Бринка и Сэтчлера. [9]
Примеры
Существует много типов мультипольных моментов, поскольку существует много типов потенциалов и много способов аппроксимации потенциала разложением в ряд в зависимости от координат и симметрии распределения заряда. Наиболее распространенные расширения включают в себя:
Примеры 1/ R -потенциалов включают электрический потенциал , магнитный потенциал и гравитационный потенциал точечных источников. Примером потенциала ln R является электрический потенциал бесконечного линейного заряда.
Общие математические свойства
Мультипольные моменты в математике и математической физике образуют ортогональную основу разложения функции, основанную на реакции поля на точечные источники, поднесенные бесконечно близко друг к другу. Их можно рассматривать как расположенные в различных геометрических формах или, в смысле теории распределения , как производные по направлению .
Мультипольные расширения связаны с основополагающей вращательной симметрией физических законов и связанных с ними дифференциальных уравнений . Несмотря на то, что исходные термины (такие как массы, заряды или токи) могут быть несимметричными, их можно расширить с точки зрения неприводимых представлений группы вращательной симметрии , что приводит к сферическим гармоникам и связанным с ними наборам ортогональных функций. Для получения соответствующих решений радиальных зависимостей используется техника разделения переменных .
На практике многие поля можно хорошо аппроксимировать конечным числом мультипольных моментов (хотя для точного восстановления поля может потребоваться бесконечное их число). Типичным применением является аппроксимация поля локализованного распределения заряда его монопольными и дипольными членами. Проблемы, решенные один раз для заданного порядка мультипольного момента, могут быть линейно объединены для создания окончательного приближенного решения для данного источника.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Эдмондс, Арканзас (1960). Угловой момент в квантовой механике . Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691079127.
- ^ Аузиньш, Марцис; Будкер Дмитрий; Рочестер, Саймон (2010). Оптически поляризованные атомы: понимание взаимодействия света с атомами . Оксфорд: Нью-Йорк. п. 100. ИСБН 9780199565122.
- ^ Окумура, Митчио; Чан, Мань-Чор; Ока, Такеши (2 января 1989 г.). «Инфракрасная спектроскопия высокого разрешения твердого водорода: переходы, индуцированные тетрагексаконтаполем» (PDF) . Письма о физических отзывах . 62 (1): 32–35. Бибкод : 1989PhRvL..62...32O. doi :10.1103/PhysRevLett.62.32. ПМИД 10039541.
- ^ Икеда, Хироаки; Сузуки, Мичи-То; Арита, Рётаро; Такимото, Тецуя; Сибаучи, Такасада; Мацуда, Юдзи (3 июня 2012 г.). «Эмерджентный нематический порядок 5-го ранга в URu2Si2». Физика природы . 8 (7): 528–533. arXiv : 1204.4016 . Бибкод : 2012NatPh...8..528I. дои : 10.1038/nphys2330. S2CID 119108102.
- ^ Томпсон, Уильям Дж. Угловой момент . Джон Уайли и сыновья, Inc.
- ^ Торн, Кип С. (апрель 1980 г.). «Мультипольное расширение гравитационного излучения» (PDF) . Обзоры современной физики . 52 (2): 299–339. Бибкод : 1980РвМП...52..299Т. doi : 10.1103/RevModPhys.52.299.
- ^ Аб Джексон, Джон Дэвид (1975). Классическая электродинамика (2-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. ISBN 047143132X.
- ^ У. Фано и Г. Рака, Неприводимые тензорные множества , Academic Press, Нью-Йорк (1959). п. 31
- ^ Д. М. Бринк и Г. Р. Сэтчлер, Угловой момент , 2-е издание, Clarendon Press, Оксфорд, Великобритания (1968). п. 64. См. также сноску на с. 90.