Некоммутативная геометрия ( NCG ) — раздел математики, занимающийся геометрическим подходом к некоммутативным алгебрам и построением пространств , локально представленных некоммутативными алгебрами функций, возможно, в некотором обобщенном смысле. Некоммутативная алгебра — это ассоциативная алгебра , в которой умножение некоммутативно , то есть для которой не всегда равно ; или, в более общем смысле, алгебраическая структура , в которой одна из основных бинарных операций некоммутативна; она также допускает возможность переноса дополнительных структур, например топологии или нормы , некоммутативной алгеброй функций.
Подход, дающий глубокое понимание некоммутативных пространств, осуществляется через операторные алгебры , то есть алгебры ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве . [1] Возможно, одним из типичных примеров некоммутативного пространства является « некоммутативный тор », который сыграл ключевую роль в раннем развитии этой области в 1980-х годах и привел к некоммутативным версиям векторных расслоений , связностей , кривизны и т. д. [2]
Основная мотивация — расширить коммутативную двойственность между пространствами и функциями на некоммутативную установку. В математике пространства , которые являются геометрическими по своей природе, могут быть связаны с числовыми функциями на них. В общем случае такие функции будут образовывать коммутативное кольцо . Например, можно взять кольцо C ( X ) непрерывных комплекснозначных функций на топологическом пространстве X. Во многих случаях ( например , если X — компактное хаусдорфово пространство ) мы можем восстановить X из C ( X ), и поэтому имеет смысл сказать, что X имеет коммутативную топологию .
Более конкретно, в топологии компактные топологические пространства Хаусдорфа могут быть восстановлены из банаховой алгебры функций на пространстве ( Гельфанд–Наймарк ). В коммутативной алгебраической геометрии алгебраические схемы являются локально простыми спектрами коммутативных унитальных колец ( А. Гротендик ), и каждая квазиотделимая схема может быть восстановлена с точностью до изоморфизма схем из категории квазикогерентных пучков -модулей ( П. Габриэль –А. Розенберг). Для топологий Гротендика когомологические свойства сайта являются инвариантами соответствующей категории пучков множеств, рассматриваемых абстрактно как топос (А. Гротендик). Во всех этих случаях пространство реконструируется из алгебры функций или ее категоризированной версии — некоторой категории пучков на этом пространстве.
Функции на топологическом пространстве можно умножать и складывать поточечно, поэтому они образуют коммутативную алгебру; на самом деле эти операции локальны в топологии базового пространства, поэтому функции образуют пучок коммутативных колец над базовым пространством.
Мечта некоммутативной геометрии — обобщить эту двойственность до двойственности между некоммутативными алгебрами, или пучками некоммутативных алгебр, или пучкообразными некоммутативными алгебраическими или операторно-алгебраическими структурами, и геометрическими сущностями определенных видов, а также дать взаимодействие между их алгебраическим и геометрическим описанием посредством этой двойственности.
Учитывая, что коммутативные кольца соответствуют обычным аффинным схемам, а коммутативные C*-алгебры — обычным топологическим пространствам, расширение до некоммутативных колец и алгебр требует нетривиального обобщения топологических пространств как «некоммутативных пространств». По этой причине говорят о некоммутативной топологии , хотя этот термин имеет и другие значения.
Некоторые приложения в физике элементарных частиц описаны в статьях Некоммутативная стандартная модель и Некоммутативная квантовая теория поля . Внезапный рост интереса к некоммутативной геометрии в физике последовал за предположениями о ее роли в М-теории, сделанными в 1997 году. [3]
Часть теории, разработанной Аленом Коннесом для работы с некоммутативной геометрией на техническом уровне, имеет корни в более ранних попытках, в частности в эргодической теории . Предложение Джорджа Макки создать виртуальную теорию подгрупп , относительно которой действия эргодической группы стали бы однородными пространствами расширенного вида, к настоящему времени было включено в классификацию.
(Формальные) дуальные некоммутативные C*-алгебры теперь часто называют некоммутативными пространствами. Это по аналогии с представлением Гельфанда , которое показывает, что коммутативные C*-алгебры дуальны локально компактным хаусдорфовым пространствам . В общем случае любой C*-алгебре S можно сопоставить топологическое пространство Ŝ ; см. спектр C*-алгебры .
Из-за двойственности между локализуемыми пространствами с мерой и коммутативными алгебрами фон Неймана некоммутативные алгебры фон Неймана называются некоммутативными пространствами с мерой .
Гладкое риманово многообразие M — это топологическое пространство с большим количеством дополнительной структуры. Из его алгебры непрерывных функций C ( M ) мы восстанавливаем M только топологически. Алгебраический инвариант, который восстанавливает риманову структуру, — это спектральная тройка . Она строится из гладкого векторного расслоения E над M , например, внешнего расслоения алгебры. Гильбертово пространство L 2 ( M , E ) квадратично интегрируемых сечений E несет представление C ( M) операторами умножения, и мы рассматриваем неограниченный оператор D в L 2 ( M , E ) с компактной резольвентой (например, оператор сигнатуры ), такой, что коммутаторы [ D , f ] ограничены, когда f является гладким. Глубокая теорема [4] утверждает, что M как риманово многообразие может быть восстановлено из этих данных.
Это предполагает, что можно определить некоммутативное риманово многообразие как спектральную тройку ( A , H , D ), состоящую из представления C*-алгебры A в гильбертовом пространстве H , вместе с неограниченным оператором D на H , с компактной резольвентой, такой, что [ D , a ] ограничено для всех a в некоторой плотной подалгебре A . Исследования спектральных троек ведутся очень активно, и было построено много примеров некоммутативных многообразий.
По аналогии с двойственностью между аффинными схемами и коммутативными кольцами мы определяем категорию некоммутативных аффинных схем как двойственную категорию ассоциативных унитальных колец. Существуют определенные аналоги топологии Зарисского в этом контексте, так что можно склеивать такие аффинные схемы с более общими объектами.
Существуют также обобщения Cone и Proj коммутативного градуированного кольца, имитирующие теорему Серра о Proj. А именно, категория квазикогерентных пучков O-модулей на Proj коммутативной градуированной алгебры эквивалентна категории градуированных модулей над кольцом, локализованным на подкатегории Серра градуированных модулей конечной длины; также существует аналогичная теорема для когерентных пучков, когда алгебра является нётеровой. Эта теорема расширена как определение некоммутативной проективной геометрии Майклом Артином и Дж. Дж. Чжаном [5], которые также добавляют некоторые общие кольцевые теоретико-условия (например, регулярность Артина–Шельтера).
Многие свойства проективных схем распространяются на этот контекст. Например, существует аналог знаменитой двойственности Серра для некоммутативных проективных схем Артина и Чжана. [6]
AL Rosenberg создал довольно общую относительную концепцию некоммутативной квазикомпактной схемы (над базовой категорией), абстрагируя исследование Гротендика морфизмов схем и покрытий в терминах категорий квазикогерентных пучков и плоских функторов локализации. [7] Существует также другой интересный подход через теорию локализации, принадлежащий Фреду Ван Ойстайену , Люку Вилларту и Алену Вершорену, где основной концепцией является концепция схемной алгебры . [8] [9]
Некоторые из мотивирующих вопросов теории связаны с расширением известных топологических инвариантов до формальных дуалов некоммутативных (операторных) алгебр и других замен и кандидатов на некоммутативные пространства. Одной из главных отправных точек направления Алена Конна в некоммутативной геометрии является его открытие новой теории гомологии, связанной с некоммутативными ассоциативными алгебрами и некоммутативными операторными алгебрами, а именно циклической гомологии и ее связей с алгебраической K-теорией (в первую очередь через отображение характеров Конна–Черна).
Теория характеристических классов гладких многообразий была расширена до спектральных троек с использованием инструментов операторной K-теории и циклических когомологий . Несколько обобщений классических теорем об индексе позволяют эффективно извлекать числовые инварианты из спектральных троек. Фундаментальный характеристический класс в циклических когомологиях, коцикл JLO , обобщает классический характер Черна .
Связность Конна — некоммутативное обобщение связности в дифференциальной геометрии . Она была введена Аленом Конном и позднее обобщена Иоахимом Кунцем и Дэниелом Квилленом .
Для данного правого A -модуля E связность Конна на E является линейным отображением
который удовлетворяет правилу Лейбница . [11]
