stringtranslate.com

Теория динамических систем

Теория динамических систем — это область математики, используемая для описания поведения сложных динамических систем , обычно с помощью дифференциальных уравнений или разностных уравнений . Когда используются дифференциальные уравнения, теория называется непрерывными динамическими системами . С физической точки зрения непрерывные динамические системы — это обобщение классической механики , обобщение, в котором уравнения движения постулируются напрямую и не ограничиваются уравнениями Эйлера–Лагранжа принципа наименьшего действия . Когда используются разностные уравнения, теория называется дискретными динамическими системами . Когда временная переменная пробегает множество, которое является дискретным на некоторых интервалах и непрерывным на других интервалах или является любым произвольным временным множеством, таким как множество Кантора , мы получаем динамические уравнения на временных шкалах . Некоторые ситуации также могут быть смоделированы смешанными операторами, такими как дифференциально-разностные уравнения .

Эта теория имеет дело с долгосрочным качественным поведением динамических систем и изучает природу и, когда это возможно, решения уравнений движения систем, которые часто являются в первую очередь механическими или иным образом физическими по своей природе, такими как планетарные орбиты и поведение электронных схем , а также систем, которые возникают в биологии , экономике и других областях. Большая часть современных исследований сосредоточена на изучении хаотических систем и странных систем.

Эту область исследований также называют просто динамическими системами , математической теорией динамических систем или математической теорией динамических систем .

Хаотическое решение системы Лоренца , которая является примером нелинейной динамической системы. Изучение системы Лоренца помогло создать теорию хаоса .

Обзор

Теория динамических систем и теория хаоса имеют дело с долгосрочным качественным поведением динамических систем . Здесь основное внимание уделяется не поиску точных решений уравнений, определяющих динамическую систему (что часто безнадежно), а скорее ответам на такие вопросы, как «Установится ли система в устойчивое состояние в долгосрочной перспективе, и если да, то каковы возможные устойчивые состояния?» или «Зависит ли долгосрочное поведение системы от ее начального состояния?»

Важной целью является описание фиксированных точек или устойчивых состояний данной динамической системы; это значения переменной, которые не меняются со временем. Некоторые из этих фиксированных точек являются притягательными , что означает, что если система начинает в близком состоянии, она сходится к фиксированной точке.

Аналогично, интерес представляют периодические точки , состояния системы, которые повторяются после нескольких временных шагов. Периодические точки также могут быть привлекательны. Теорема Шарковского является интересным утверждением о числе периодических точек одномерной дискретной динамической системы.

Даже простые нелинейные динамические системы часто демонстрируют, казалось бы, случайное поведение, которое называется хаосом . [1] Раздел динамических систем, который занимается четким определением и исследованием хаоса, называется теорией хаоса .

История

Концепция теории динамических систем берет свое начало в механике Ньютона . Там, как и в других естественных науках и инженерных дисциплинах, правило эволюции динамических систем задается неявно соотношением, которое дает состояние системы только на короткое время в будущем.

До появления быстрых вычислительных машин решение динамических систем требовало сложных математических методов и могло быть выполнено только для небольшого класса динамических систем.

Некоторые превосходные презентации математической динамической теории систем включают Beltrami (1998), Luenberger (1979), Padulo & Arbib (1974) и Strogatz (1994). [2]

Концепции

Динамические системы

Концепция динамической системы — это математическая формализация любого фиксированного «правила», описывающего зависимость положения точки в окружающем ее пространстве от времени . Примерами служат математические модели , описывающие колебание маятника часов, течение воды в трубе и количество рыб в озере весной.

Динамическая система имеет состояние, определяемое набором действительных чисел , или, в более общем смысле, набором точек в соответствующем пространстве состояний . Небольшие изменения в состоянии системы соответствуют небольшим изменениям чисел. Числа также являются координатами геометрического пространства — многообразия . Правило эволюции динамической системы — это фиксированное правило , которое описывает, какие будущие состояния следуют из текущего состояния. Правило может быть детерминированным (для заданного интервала времени одно будущее состояние может быть точно предсказано с учетом текущего состояния) или стохастическим (эволюция состояния может быть предсказана только с определенной вероятностью).

Динамизм

Динамизм , также называемый динамической гипотезой или динамической гипотезой в когнитивной науке или динамическом познании , является новым подходом в когнитивной науке, примером которого является работа философа Тима ван Гелдера . Он утверждает, что дифференциальные уравнения больше подходят для моделирования познания , чем более традиционные компьютерные модели.

Нелинейная система

В математике нелинейная система — это система, которая не является линейной , т. е. система, которая не удовлетворяет принципу суперпозиции . Менее технически, нелинейная система — это любая задача, в которой переменная(ые) для решения не может быть записана в виде линейной суммы независимых компонентов. Неоднородная система, которая является линейной за исключением наличия функции независимых переменных , является нелинейной согласно строгому определению, но такие системы обычно изучаются наряду с линейными системами, поскольку их можно преобразовать в линейную систему, если известно конкретное решение.

Связанные поля

Арифметическая динамика

Арифметическая динамика — это область, возникшая в 1990-х годах, которая объединяет две области математики: динамические системы и теорию чисел . Классически дискретная динамика относится к изучению итерации самоотображений комплексной плоскости или действительной прямой . Арифметическая динамика — это изучение числовых теоретико-числовых свойств целых, рациональных, p -адических и/или алгебраических точек при повторном применении полиномиальной или рациональной функции .

Теория хаоса

Теория хаоса описывает поведение определенных динамических систем , то есть систем, состояние которых меняется со временем, которые могут демонстрировать динамику, весьма чувствительную к начальным условиям (обычно называемую эффектом бабочки ). В результате этой чувствительности, которая проявляется как экспоненциальный рост возмущений начальных условий, поведение хаотических систем кажется случайным . Это происходит даже несмотря на то, что эти системы являются детерминированными , что означает, что их будущая динамика полностью определяется их начальными условиями без каких-либо случайных элементов. Такое поведение известно как детерминированный хаос или просто хаос .

Сложные системы

Сложные системы — это научная область, которая изучает общие свойства систем, считающихся сложными в природе , обществе и науке . Ее также называют теорией сложных систем , наукой о сложности , изучением сложных систем и/или науками о сложности . Ключевыми проблемами таких систем являются трудности с их формальным моделированием и имитацией . С этой точки зрения в различных исследовательских контекстах сложные системы определяются на основе их различных атрибутов.
Изучение сложных систем привносит новую жизненную силу во многие области науки, где более типичная редукционистская стратегия не справляется. Поэтому сложные системы часто используются как широкий термин, охватывающий исследовательский подход к проблемам во многих различных дисциплинах, включая нейронауки , социальные науки , метеорологию , химию , физику , информатику , психологию , искусственную жизнь , эволюционные вычисления , экономику , прогнозирование землетрясений, молекулярную биологию и исследования природы самих живых клеток .

Теория управления

Теория управления — междисциплинарная отрасль техники и математики , частично занимающаяся изучением влияния на поведение динамических систем .

Эргодическая теория

Эргодическая теория — раздел математики , изучающий динамические системы с инвариантной мерой и связанные с ними проблемы. Её первоначальное развитие было мотивировано проблемами статистической физики .

Функциональный анализ

Функциональный анализ — раздел математики , и в частности анализа , занимающийся изучением векторных пространств и операторов, действующих на них. Он имеет свои исторические корни в изучении функциональных пространств , в частности преобразований функций , таких как преобразование Фурье , а также в изучении дифференциальных и интегральных уравнений . Такое использование слова «функционал» восходит к вариационному исчислению , подразумевая функцию, аргументом которой является функция. Его использование в целом приписывается математику и физику Вито Вольтерре , а его основание в значительной степени приписывается математику Стефану Банаху .

Графовые динамические системы

Концепция графовых динамических систем (GDS) может быть использована для охвата широкого спектра процессов, происходящих в графах или сетях. Основной темой математического и вычислительного анализа графовых динамических систем является соотнесение их структурных свойств (например, сетевой связности) и глобальной динамики, которая получается в результате.

Проектируемые динамические системы

Проектируемые динамические системы — это математическая теория, исследующая поведение динамических систем , где решения ограничены набором ограничений. Дисциплина имеет связи и приложения как со статическим миром задач оптимизации и равновесия , так и с динамическим миром обыкновенных дифференциальных уравнений . Проектируемая динамическая система задается потоком проектируемого дифференциального уравнения.

Символическая динамика

Символическая динамика — это практика моделирования топологической или гладкой динамической системы с помощью дискретного пространства, состоящего из бесконечных последовательностей абстрактных символов, каждый из которых соответствует состоянию системы, причем динамика (эволюция) задается оператором сдвига .

Системная динамика

Системная динамика — это подход к пониманию поведения систем с течением времени. Он имеет дело с внутренними петлями обратной связи и временными задержками, которые влияют на поведение и состояние всей системы. [3] Отличие системной динамики от других подходов к изучению систем заключается в языке, используемом для описания петель обратной связи с запасами и потоками . Эти элементы помогают описать, как даже, казалось бы, простые системы демонстрируют сбивающую с толку нелинейность .

Топологическая динамика

Топологическая динамика — раздел теории динамических систем, в котором изучаются качественные, асимптотические свойства динамических систем с точки зрения общей топологии .

Приложения

В биомеханике

В спортивной биомеханике теория динамических систем появилась в науках о движении как жизнеспособная структура для моделирования спортивных результатов и эффективности. Это неудивительно, поскольку теория динамических систем имеет свои корни в аналитической механике . С психофизиологической точки зрения система движения человека представляет собой чрезвычайно сложную сеть взаимозависимых подсистем (например, дыхательной, кровеносной, нервной, скелетно-мышечной, перцептивной), которые состоят из большого количества взаимодействующих компонентов (например, клеток крови, молекул кислорода, мышечной ткани, метаболических ферментов, соединительной ткани и костей). В теории динамических систем модели движения возникают посредством общих процессов самоорганизации, обнаруженных в физических и биологических системах. [4] Нет никаких исследовательских подтверждений каких-либо утверждений, связанных с концептуальным применением этой структуры.

В когнитивной науке

Теория динамических систем применялась в области нейронауки и когнитивного развития , особенно в неопиажеанских теориях когнитивного развития . Существует убеждение, что когнитивное развитие лучше всего представлено физическими теориями, а не теориями, основанными на синтаксисе и ИИ . Также считалось, что дифференциальные уравнения являются наиболее подходящим инструментом для моделирования человеческого поведения. Эти уравнения интерпретируются для представления когнитивной траектории агента через пространство состояний . Другими словами, динамисты утверждают, что психология должна быть (или является) описанием (посредством дифференциальных уравнений) познаний и поведения агента под определенным давлением окружающей среды и внутренних факторов. Также часто принимается язык теории хаоса.

В нем разум учащегося достигает состояния неравновесия, когда старые модели разрушаются. Это фазовый переход когнитивного развития. Самоорганизация (спонтанное создание связных форм) наступает, когда уровни активности связываются друг с другом. Вновь образованные макроскопические и микроскопические структуры поддерживают друг друга, ускоряя процесс. Эти связи формируют структуру нового состояния порядка в разуме посредством процесса, называемого гребешком (повторное наращивание и разрушение сложной производительности). Это новое, новое состояние является прогрессивным, дискретным, идиосинкразическим и непредсказуемым. [5]

Теория динамических систем недавно была использована для объяснения долгое время остававшейся без ответа проблемы в развитии ребенка, известной как ошибка «А-не-Б» . [6]

Кроме того, с середины 1990-х годов [7] когнитивная наука , ориентированная на системно-теоретический коннекционизм , все чаще заимствует методы из (нелинейной) «Теории динамических систем (DST)». [8] [9] [10] Разнообразие нейросимволических когнитивных нейроархитектур в современном коннекционизме, учитывая их математическое структурное ядро, можно отнести к (нелинейным) динамическим системам. [11] [12] [13] Эти попытки в нейрокогнитивности объединить коннекционистские когнитивные нейроархитектуры с DST исходят не только из нейроинформатики и коннекционизма, но и в последнее время из психологии развития («Теория динамического поля (DFT)» [14] [15] ) и из « эволюционной робототехники » и « робототехники развития » [16] в связи с математическим методом « эволюционных вычислений (EC)». Обзор см. у Маурера. [17] [18]

В развитии второго языка

Применение теории динамических систем для изучения усвоения второго языка приписывается Дайан Ларсен-Фриман , которая опубликовала статью в 1997 году, в которой утверждала, что усвоение второго языка следует рассматривать как процесс развития, который включает в себя как усвоение языка, так и его истощение . [19] В своей статье она утверждала, что язык следует рассматривать как динамическую систему, которая является динамичной, сложной, нелинейной, хаотичной, непредсказуемой, чувствительной к начальным условиям, открытой, самоорганизующейся, чувствительной к обратной связи и адаптивной.

Смотрите также

Связанные темы
Ученые-соответствующие

Примечания

  1. ^ Grebogi, C.; Ott, E.; Yorke, J. (1987). «Хаос, странные аттракторы и границы фрактальных бассейнов в нелинейной динамике». Science . 238 (4827): 632–638. Bibcode :1987Sci...238..632G. doi :10.1126/science.238.4827.632. JSTOR  1700479. PMID  17816542. S2CID  1586349.
  2. ^ Джером Р. Буземейер (2008), "Динамические системы". Появляется в: Энциклопедия когнитивной науки , Macmillan. Получено 8 мая 2008. Архивировано 13 июня 2008, в Wayback Machine
  3. ^ Проект MIT System Dynamics in Education (SDEP) Архивировано 2008-05-09 на Wayback Machine
  4. ^ Пол С. Глейзер, Кит Дэвидс, Роджер М. Бартлетт (2003). «ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ: Соответствующая структура для исследований спортивной биомеханики, ориентированной на производительность». в: Sportscience 7. Доступ 2008-05-08.
  5. ^ Льюис, Марк Д. (25.02.2000). «Перспективы динамических системных подходов для комплексного учета развития человека» (PDF) . Развитие ребенка . 71 (1): 36–43. CiteSeerX 10.1.1.72.3668 . doi :10.1111/1467-8624.00116. PMID  10836556 . Получено 04.04.2008 . 
  6. ^ Смит, Линда Б.; Эстер Телен (2003-07-30). "Развитие как динамическая система" (PDF) . Тенденции в когнитивных науках . 7 (8): 343–8. CiteSeerX 10.1.1.294.2037 . doi :10.1016/S1364-6613(03)00156-6. PMID  12907229. S2CID  5712760 . Получено 2008-04-04 . 
  7. ^ RF Port и T. van Gelder [ред.] (1995). Mind as Motion. Исследования в динамике познания. A Bradford Book. MIT Press, Кембридж/Массачусетс.
  8. ^ van Gelder, T. и RF Port (1995). Пора: обзор динамического подхода к познанию. стр. 1-43. В: RF Port и T. van Gelder [ред.]: Mind as Motion. Исследования в динамике познания. A Bradford Book. MIT Press, Cambridge/MA.
  9. ^ Ван Гелдер, Т. (1998b). Динамическая гипотеза в когнитивной науке. Behavioral and Brain Sciences 21: 615-628.
  10. ^ Абрахамсен, А. и В. Бехтель (2006). Феномены и механизмы: рассмотрение символических, коннекционистских и динамических системных дебатов в более широкой перспективе. стр. 159-185. В: Р. Стейнтон [ред.]: Современные дебаты в когнитивной науке. Бэзил Блэквелл, Оксфорд.
  11. ^ Nadeau, SE (2014). Attractor basins: a neural basis for the conformation of knowledge. стр. 305-333. В: A. Chatterjee [ред.]: The Roots of Cognitive Neuroscience. Behavioral Neurology and Neuropsychology. Oxford University Press, Оксфорд.
  12. ^ Лейтгеб, Х. (2005). Интерпретированные динамические системы и качественные законы: от нейронной сети к эволюционным системам. Synthese 146: 189-202.
  13. ^ Манро, П. В. и Дж. Андерсон. (1988). Инструменты для коннекционистского моделирования: методология динамических систем. Методы исследования поведения, инструменты и компьютеры 20: 276-281.
  14. ^ Шёнер, Г. (2008). Динамические системные подходы к познанию. стр. 101-126. В: Р. Сан [ред.]: Кембриджский справочник по вычислительной психологии. CambridgeUniversity Press, Кембридж.
  15. ^ Шёнер, Г. (2009) Развитие как изменение динамики систем: стабильность, нестабильность и возникновение. стр. 25-31. В: JP Spencer, MSC Thomas и JL McClelland. [ред.]: К единой теории развития: переосмысление теории коннекционизма и динамических систем. Oxford University Press, Оксфорд.
  16. ^ Шлезингер, М. (2009). Робот как новый рубеж для теории коннекционизма и динамических систем. стр. 182-199. В: JP Spencer, MSC Thomas и JL McClelland. [ред.]: К единой теории развития: переосмысление теории коннекционизма и динамических систем. Oxford University Press, Оксфорд.
  17. ^ Маурер, Х. (2021). Когнитивная наука: Интегративные механизмы синхронизации в когнитивных нейроархитектурах современного коннекционизма. CRC Press, Бока-Ратон/Флорида, гл. 1.4, 2., 3.26, 11.2.1, ISBN 978-1-351-04352-6. https://doi.org/10.1201/9781351043526
  18. ^ Маурер, Х. (2016). «Интегративные механизмы синхронизации в коннекционистских когнитивных нейроархитектурах». Вычислительная когнитивная наука. 2: 3. https://doi.org/10.1186/s40469-016-0010-8
  19. ^ Ларсен-Фримен, Д. (1997). «Наука хаоса/сложности и освоение второго языка». Прикладная лингвистика . С. 141–165. doi :10.1093/applin/18.2.141.

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки