В математике сигнатура ( v , p , r ) метрического тензора g (или, что то же самое, вещественная квадратичная форма, рассматриваемая как вещественная симметричная билинейная форма в конечномерном векторном пространстве ) — это число (подсчитанное с кратностью) положительные, отрицательные и нулевые собственные значения вещественной симметричной матрицы g ab метрического тензора относительно базиса . В релятивистской физике буква v представляет время или виртуальное измерение, а буква p — пространство и физическое измерение. В качестве альтернативы его можно определить как размеры максимального положительного и нулевого подпространства . По закону инерции Сильвестра эти числа не зависят от выбора базиса и, следовательно, могут использоваться для классификации метрики. Подпись часто обозначается парой целых чисел ( v , p ) , подразумевающих r = 0, или явным списком знаков собственных значений, таких как (+, −, −, −) или (−, +, +, +). для подписей (1, 3, 0) и (3, 1, 0) соответственно. [1]
Сигнатура называется неопределенной или смешанной , если v и p не равны нулю, и вырожденной, если r не равно нулю. Риманова метрика — это метрика с положительно определенной сигнатурой ( v , 0) . Лоренцева метрика — это метрика с сигнатурой ( p , 1) или (1, p ) .
Существует другое понятие сигнатуры невырожденного метрического тензора, заданное одним числом s , определяемым как ( v − p ) , где v и p такие же, как указано выше, что эквивалентно приведенному выше определению, когда задана размерность n = v + p . или неявное. Например, s = 1 - 3 = -2 для (+, -, -, -) и его отражение s' = - s = +2 для (-, +, +, +) .
Сигнатура метрического тензора определяется как сигнатура соответствующей квадратичной формы . [2] Это число ( v , p , r ) положительных, отрицательных и нулевых собственных значений любой матрицы (т.е. в любом базисе основного векторного пространства), представляющего форму, подсчитанное с их алгебраическими кратностями . Обычно требуется r = 0 , что означает, что метрический тензор должен быть невырожденным, т. е. ни один ненулевой вектор не ортогонален всем векторам.
По закону инерции Сильвестра числа ( v , p , r ) не зависят от базиса.
По спектральной теореме симметричная матрица размера n × n над действительными числами всегда диагонализуема и, следовательно, имеет ровно n действительных собственных значений (считающихся с алгебраической кратностью ). Таким образом, v + p = n = dim( V ) .
Согласно закону инерции Сильвестра , сигнатура скалярного произведения (она же вещественная симметричная билинейная форма) g не зависит от выбора базиса. Более того, для каждой метрики g сигнатуры ( v , p , r ) существует базис такой, что g ab = +1 для a = b = 1, ..., v , g ab = −1 для a = b = v + 1, ..., v + p и g ab = 0 в противном случае. Отсюда следует, что существует изометрия ( V 1 , g 1 ) → ( V 2 , g 2 ) тогда и только тогда, когда сигнатуры g 1 и g 2 равны. Аналогично, подпись равна для двух конгруэнтных матриц и классифицирует матрицу с точностью до конгруэнтности. Эквивалентно, сигнатура постоянна на орбитах общей линейной группы GL( V ) в пространстве симметричных контравариантных тензоров ранга 2 S 2 V ∗ и классифицирует каждую орбиту.
Число v (соответственно p ) — это максимальная размерность векторного подпространства, на котором скалярное произведение g является положительно определенным (соответственно отрицательно определенным), а r — это размерность радикала скалярного произведения g или нулевого значения . подпространство симметричной матрицы g ab скалярного произведения . Таким образом, невырожденное скалярное произведение имеет сигнатуру ( v , p , 0) с v + p = n . Двойственность особых случаев ( v , p , 0) соответствует двум скалярным собственным значениям, которые могут быть преобразованы друг в друга путем взаимного зеркального отражения.
Подпись единичной матрицы размера n × n равна ( n , 0, 0) . Сигнатурой диагональной матрицы является количество положительных, отрицательных и нулевых чисел на ее главной диагонали .
Следующие матрицы имеют одинаковую подпись (1, 1, 0) , поэтому они конгруэнтны из-за закона инерции Сильвестра :
Стандартное скалярное произведение , определенное на, имеет n -мерные сигнатуры ( v , p , r ) , где v + p = n и ранг r = 0 .
В физике пространство Минковского представляет собой пространственно-временное многообразие с базисами v = 1 и p = 3 и имеет скалярное произведение, определяемое либо матрицей :
который имеет подпись и известен как космическое превосходство или космическое; или сигнатура зеркального отображения , известная как виртуальное превосходство или времяподобное матрице .
Существует несколько методов вычисления подписи матрицы.
В математике обычным соглашением для любого риманова многообразия является использование положительно определенного метрического тензора (это означает, что после диагонализации все элементы на диагонали положительны).
В теоретической физике пространство -время моделируется псевдоримановым многообразием . Сигнатура подсчитывает, сколько времяподобных или пространственноподобных символов находится в пространстве-времени в смысле, определенном специальной теорией относительности : в физике элементарных частиц метрика имеет собственное значение в времениподобном подпространстве и свое зеркальное собственное значение в пространстве-времени. пространственноподобное подпространство. В частном случае метрики Минковского
сигнатура метрики равна или (+, -, -, -), если ее собственное значение определено в направлении времени, или или (-, +, +, +), если собственное значение определено в трех пространственных направлениях x , y и z . (Иногда используется противоположное соглашение о знаках , но с приведенным здесь s непосредственно измеряет собственное время .)
Если метрика всюду регулярна, то сигнатура метрики постоянна. Однако если допустить вырождение или разрыв метрики на некоторых гиперповерхностях, то сигнатура метрики может измениться на этих поверхностях. [3] Такие метрики, меняющие сигнатуры, возможно, найдут применение в космологии и квантовой гравитации .
