Нестандартное исчисление

Современное применение бесконечно малых величин

В математике нестандартное исчисление — это современное применение бесконечно малых , в смысле нестандартного анализа , к исчислению бесконечно малых. Оно обеспечивает строгое обоснование некоторых аргументов в исчислении , которые ранее считались просто эвристическими .

Нестрогие вычисления с бесконечно малыми величинами широко использовались до того, как Карл Вейерштрасс попытался заменить их (ε, δ)-определением предела, начиная с 1870-х годов. В течение почти ста лет после этого математики, такие как Рихард Курант, считали бесконечно малые величины наивными, неопределенными или бессмысленными. ^[1]

Вопреки таким взглядам, Абрахам Робинсон в 1960 году показал, что бесконечно малые величины точны, ясны и значимы, основываясь на работах Эдвина Хьюитта и Ежи Лося . По словам Говарда Кейслера , «Робинсон решил трехсотлетнюю проблему, дав точную трактовку бесконечно малых величин. Достижение Робинсона, вероятно, будет считаться одним из главных математических достижений двадцатого века». ^[2]

История

История нестандартного исчисления началась с использования бесконечно малых величин, называемых в исчислении бесконечно малыми . Использование бесконечно малых величин можно найти в основах исчисления, независимо разработанных Готфридом Лейбницем и Исааком Ньютоном, начиная с 1660-х годов. Джон Уоллис усовершенствовал более ранние методы неделимых Кавальери и других, используя бесконечно малую величину, которую он обозначал в вычислениях площади, подготовив почву для интегрального исчисления . ^[3] Они опирались на работы таких математиков, как Пьер де Ферма , Исаак Барроу и Рене Декарт . ${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}}$

В раннем исчислении использование бесконечно малых величин подвергалось критике со стороны ряда авторов, в частности Мишеля Ролля и епископа Беркли в его книге «Аналитик» .

Несколько математиков, включая Маклорена и Д'Аламбера , выступали за использование пределов. Огюстен Луи Коши разработал универсальный спектр основополагающих подходов, включая определение непрерывности в терминах бесконечно малых и (несколько неточный) прототип аргумента ε, δ при работе с дифференцированием. Карл Вейерштрасс формализовал концепцию предела в контексте (действительной) числовой системы без бесконечно малых. После работы Вейерштрасса в конечном итоге стало общепринятым основывать исчисление на аргументах ε, δ вместо бесконечно малых.

Этот подход, формализованный Вейерштрассом, стал известен как стандартное исчисление. После многих лет, когда подход к исчислению бесконечно малых чисел вышел из употребления, за исключением вводного педагогического инструмента, использование бесконечно малых величин наконец получило строгое обоснование Абрахамом Робинсоном в 1960-х годах. Подход Робинсона называется нестандартным анализом , чтобы отличить его от стандартного использования пределов. Этот подход использовал технические механизмы из математической логики для создания теории гипердействительных чисел , которые интерпретируют бесконечно малые числа таким образом, который допускает развитие обычных правил исчисления в стиле Лейбница. Альтернативный подход, разработанный Эдвардом Нельсоном , находит бесконечно малые числа на самой обычной действительной прямой и включает в себя модификацию базовой установки путем расширения ZFC посредством введения нового унарного предиката «стандарт».

Мотивация

Для вычисления производной функции в точке x оба подхода сходятся в алгебраических преобразованиях: ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle y=f(x)=x^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}={\frac {2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}=2x+\Delta x\approx 2x}$

Это становится вычислением производных с использованием гиперреальных чисел , если интерпретируется как бесконечно малая величина, а символ « » означает отношение «бесконечно близко к». ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \approx }$

Чтобы сделать f ' действительной функцией, последний член отбрасывается. В стандартном подходе, использующем только действительные числа, это делается путем взятия предела при стремлении к нулю. В гипердействительном подходе величина берется как бесконечно малое, ненулевое число, которое ближе к 0, чем к любому ненулевому действительному числу. Затем манипуляции, показанные выше, показывают, что бесконечно близко к 2 x , поэтому производная f в точке x тогда равна 2 x . ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta y/\Delta x}$

Отбрасывание «ошибочного члена» достигается применением стандартной функции части . Отказ от бесконечно малых членов ошибки исторически считался парадоксальным некоторыми авторами, в частности Джорджем Беркли .

Как только гипердействительная числовая система (континуум, обогащенный бесконечно малыми) будет введена в действие, будет успешно включена большая часть технических трудностей на базовом уровне. Таким образом, методы эпсилон, дельта , которые некоторые считают сутью анализа, могут быть реализованы раз и навсегда на базовом уровне, и студентам не нужно будет «одеться, чтобы выполнять логические трюки с множественными кванторами под предлогом того, что их обучают исчислению бесконечно малых », как цитируется недавнее исследование. ^[4] Более конкретно, основные понятия исчисления, такие как непрерывность, производная и интеграл, могут быть определены с использованием бесконечно малых без ссылки на эпсилон, дельта.

учебник Кейслера

В работе Keisler's Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach непрерывность определяется на странице 125 в терминах бесконечно малых величин, за исключением методов эпсилон, дельта. Производная определяется на странице 45 с использованием бесконечно малых величин, а не подхода эпсилон-дельта. Интеграл определяется на странице 183 в терминах бесконечно малых величин. Определения эпсилон, дельта вводятся на странице 282.

Определение производной

Гиперреальные числа могут быть построены в рамках теории множеств Цермело–Френкеля , стандартной аксиоматизации теории множеств, используемой в других областях математики. Чтобы дать интуитивное представление о гиперреальном подходе, отметим, что, наивно говоря, нестандартный анализ постулирует существование положительных чисел ε, которые бесконечно малы , что означает, что ε меньше любого стандартного положительного действительного числа, но больше нуля. Каждое действительное число x окружено бесконечно малым «облаком» гиперреальных чисел, бесконечно близких к нему. Чтобы определить производную f по стандартному действительному числу x в этом подходе, больше не нужен бесконечный предельный процесс, как в стандартном исчислении. Вместо этого задается

${\displaystyle f'(x)=\mathrm {st} \left({\frac {f^{*}(x+\varepsilon )-f^{*}(x)}{\varepsilon }}\right),}$

где st — стандартная частичная функция , дающая действительное число, бесконечно близкое к гиперреальному аргументу st , и является естественным расширением до гиперреальных чисел. ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f}$

Непрерывность

Действительная функция f непрерывна при стандартном действительном числе x, если для каждого гиперреального x', бесконечно близкого к x , значение f ( x' ) также бесконечно близко к f ( x ). Это отражает определение непрерывности Коши, представленное в его учебнике 1821 года Cours d'Analyse , стр. 34.

Если говорить точнее, f пришлось бы заменить его естественным гиперреальным расширением, обычно обозначаемым f ^* .

Используя обозначение для отношения бесконечной близости, как указано выше, определение можно распространить на произвольные (стандартные или нестандартные) точки следующим образом: ${\displaystyle \approx }$

Функция f является микронепрерывной в точке x , если всякий раз , когда выполняется ${\displaystyle x'\approx x}$ ${\displaystyle f^{*}(x')\approx f^{*}(x)}$

Здесь предполагается, что точка x' находится в области (естественного расширения) f .

Вышеприведенное определение требует меньше квантификаторов, чем ( ε ,  δ )-определение, знакомое из стандартного элементарного исчисления:

Функция f непрерывна в точке x, если для любого ε  > 0 существует такое δ  > 0, что для любого x' , если | x  −  x'  | <  δ , то | f ( x ) −  f ( x'  )| <  ε .

Равномерная непрерывность

Функция f на интервале I равномерно непрерывна , если ее естественное расширение f * в I * обладает следующим свойством: ^[5]

для каждой пары гиперреальных чисел x и y в I *, если то . ${\displaystyle x\approx y}$ ${\displaystyle f^{*}(x)\approx f^{*}(y)}$

В терминах микронепрерывности, определенной в предыдущем разделе, это можно сформулировать следующим образом: действительная функция равномерно непрерывна, если ее естественное расширение f* микронепрерывно в каждой точке области определения f*.

Это определение имеет уменьшенную сложность квантификаторов по сравнению со стандартным (ε, δ)-определением . А именно, эпсилон-дельта определение равномерной непрерывности требует четырех квантификаторов, в то время как бесконечно малое определение требует только двух квантификаторов. Оно имеет ту же сложность квантификаторов, что и определение равномерной непрерывности в терминах последовательностей в стандартном исчислении, которое, однако, невыразимо на языке первого порядка действительных чисел.

Гиперреальное определение можно проиллюстрировать следующими тремя примерами.

Пример 1: функция f равномерно непрерывна на полуоткрытом интервале (0,1] тогда и только тогда, когда ее естественное расширение f* микронепрерывно (в смысле приведенной выше формулы) на каждой положительной бесконечно малой величине, в дополнение к непрерывности в стандартных точках интервала.

Пример 2: функция f равномерно непрерывна на полуоткрытом интервале [0,∞) тогда и только тогда, когда она непрерывна в стандартных точках интервала, и, кроме того, естественное расширение f * микронепрерывно в каждой положительной бесконечной гипердействительной точке.

Пример 3: аналогично, нарушение равномерной непрерывности для функции возведения в квадрат

${\displaystyle x^{2}}$

обусловлено отсутствием микронепрерывности в одной бесконечной гиперреальной точке.

Относительно сложности квантификатора Кевин Хьюстон сделал следующие замечания : ^[6]

Количество квантификаторов в математическом утверждении дает грубую меру сложности утверждения. Утверждения, включающие три или более квантификаторов, могут быть трудны для понимания. Это главная причина, по которой трудно понять строгие определения предела, сходимости, непрерывности и дифференцируемости в анализе, поскольку они имеют много квантификаторов. Фактически, именно чередование и вызывает сложность. ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle \exists }$

Андреас Бласс написал следующее:

Часто... нестандартное определение понятия проще стандартного определения (и интуитивно проще, и в техническом смысле, например, квантификаторы по более низким типам или меньшее количество чередований квантификаторов). ^[7]

Компактность

Множество A компактно тогда и только тогда, когда его естественное расширение A* обладает следующим свойством: каждая точка в A* бесконечно близка к точке A. Таким образом, открытый интервал (0,1) не является компактным, поскольку его естественное расширение содержит положительные бесконечно малые числа, которые не бесконечно близки ни к одному положительному действительному числу.

Теорема Гейне–Кантора

Тот факт, что непрерывная функция на компактном интервале I обязательно равномерно непрерывна ( теорема Гейне–Кантора ), допускает краткое гиперреальные доказательство. Пусть x , y — гиперреальные числа в естественном расширении I* интервала I . Поскольку I компактен, то и st( x ), и st( y ) принадлежат I . Если бы x и y были бесконечно близки, то по неравенству треугольника они имели бы одну и ту же стандартную часть

${\displaystyle c=\operatorname {st} (x)=\operatorname {st} (y).}$

Поскольку функция предполагается непрерывной в точке c,

${\displaystyle f(x)\approx f(c)\approx f(y),}$

и поэтому f ( x ) и f ( y ) бесконечно близки, что доказывает равномерную непрерывность f .

Почему функция возведения в квадрат не является равномерно непрерывной?

Пусть f ( x ) = x ² определено на . Пусть будет бесконечным гиперреальным числом. Гиперреальным числом , бесконечно близким к N . Между тем, разность ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N\in \mathbb {R} ^{*}}$ ${\displaystyle N+{\tfrac {1}{N}}}$

${\displaystyle f(N+{\tfrac {1}{N}})-f(N)=N^{2}+2+{\tfrac {1}{N^{2}}}-N^{2}=2+{\tfrac {1}{N^{2}}}}$

не бесконечно мала. Следовательно, f* не является микронепрерывной в гиперреальной точке N. Таким образом, функция возведения в квадрат не является равномерно непрерывной, согласно определению в равномерной непрерывности выше.

Аналогичное доказательство можно привести в стандартной постановке (Фицпатрик 2006, пример 3.15).

Пример: функция Дирихле

Рассмотрим функцию Дирихле

${\displaystyle I_{Q}(x):={\begin{cases}1&{\text{ if }}x{\text{ is rational}},\\0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational}}.\end{cases}}}$

Хорошо известно, что при стандартном определении непрерывности функция разрывна в каждой точке. Проверим это в терминах гиперреального определения непрерывности, приведенного выше, например, покажем, что функция Дирихле не является непрерывной в точке π. Рассмотрим приближение непрерывной дроби a _n числа π. Теперь пусть индекс n будет бесконечным гипернатуральным числом. По принципу переноса естественное расширение функции Дирихле принимает значение 1 в точке a _n . Обратите внимание, что гиперрациональная точка a _n бесконечно близка к π. Таким образом, естественное расширение функции Дирихле принимает различные значения (0 и 1) в этих двух бесконечно близких точках, и поэтому функция Дирихле не является непрерывной в точке  π .

Предел

Хотя суть подхода Робинсона заключается в том, что можно обойтись без подхода, использующего множественные квантификаторы, понятие предела можно легко перефразировать в терминах стандартной частичной функции st , а именно:

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$

тогда и только тогда, когда разность x  −  a бесконечно мала, разность f ( x ) −  L также бесконечно мала, или в формулах:

если st( x ) = a,   то st( f ( x )) = L,

ср. (ε, δ)-определение предела .

Предел последовательности

Дана последовательность действительных чисел , если L является пределом последовательности и ${\displaystyle \{x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$

если для каждого бесконечного гипернатурального n , st( x _n )= L (здесь принцип расширения используется для определения x _n для каждого гиперцелого числа n ).

Это определение не имеет чередований квантификаторов . Стандартное определение в стиле (ε, δ) , с другой стороны, имеет чередования квантификаторов:

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }x_{n}\Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0\;,\exists N\in \mathbb {N} \;,\forall n\in \mathbb {N} :n>N\rightarrow |x_{n}-L|<\varepsilon .}$

Теорема об экстремальном значении

Чтобы показать, что действительная непрерывная функция f на [0,1] имеет максимум, пусть N будет бесконечным гиперцелым числом . Интервал [0, 1] имеет естественное гипердействительное расширение. Функция f также естественным образом расширяется до гипердействительных чисел между 0 и 1. Рассмотрим разбиение гипердействительного интервала [0,1] на N подынтервалов одинаковой бесконечно малой длины 1/ N с точками разбиения x _i  = i  / N , когда i «бежит» от 0 до N. В стандартной настройке (когда N конечно) точка с максимальным значением f всегда может быть выбрана среди N +1 точек x _i по индукции. Следовательно, по принципу переноса существует гиперцелое число i ₀ такое, что 0 ≤ i ₀  ≤ N и для всех i  = 0, …,  N (альтернативное объяснение состоит в том, что каждое гиперконечное множество допускает максимум). Рассмотрим действительную точку ${\displaystyle f(x_{i_{0}})\geq f(x_{i})}$

${\displaystyle c={\rm {st}}(x_{i_{0}})}$

где st — стандартная часть функции . Произвольная вещественная точка x лежит в подходящем подынтервале разбиения, а именно , так что st ( x _i ) = x . Применяя st к неравенству , . В силу непрерывности f , ${\displaystyle x\in [x_{i},x_{i+1}]}$ ${\displaystyle f(x_{i_{0}})\geq f(x_{i})}$ ${\displaystyle {\rm {st}}(f(x_{i_{0}}))\geq {\rm {st}}(f(x_{i}))}$

${\displaystyle {\rm {st}}(f(x_{i_{0}}))=f({\rm {st}}(x_{i_{0}}))=f(c)}$.

Следовательно, f ( c ) ≥ f ( x ) для всех x , что доказывает, что c является максимумом действительной функции f . ^[8]

Теорема о промежуточном значении

В качестве еще одной иллюстрации мощи подхода Робинсона краткое доказательство теоремы о промежуточном значении (теоремы Больцано) с использованием бесконечно малых величин выполняется следующим образом.

Пусть f — непрерывная функция на [ a , b ] такая, что f ( a )<0, а f ( b )>0. Тогда существует точка c в [ a , b ] такая, что f ( c )=0.

Доказательство выполняется следующим образом. Пусть N — бесконечное гиперцелое число . Рассмотрим разбиение [ a , b ] на N интервалов одинаковой длины с точками разбиения x _i , когда i пробегает от 0 до N . Рассмотрим набор I индексов, такой что f ( x _i )>0. Пусть i ₀ — наименьший элемент в I (такой элемент существует по принципу переноса , поскольку I — гиперконечное множество ). Тогда действительное число — искомый ноль f . Такое доказательство уменьшает сложность кванторов стандартного доказательства IVT. $${\displaystyle c=\mathrm {st} (x_{i_{0}})}$$

Основные теоремы

Если f — вещественная функция, определенная на интервале [ a , b ], то оператор переноса, примененный к f и обозначаемый *f , является внутренней гипервещественной функцией, определенной на гипервещественном интервале [* a , * b ].

Теорема : Пусть f — вещественная функция, определенная на интервале [ a , b ]. Тогда f дифференцируема при a < x < b тогда и только тогда, когда для любого ненулевого бесконечно малого h значение

${\displaystyle \Delta _{h}f:=\operatorname {st} {\frac {[{}^{*}\!f](x+h)-[{}^{*}\!f](x)}{h}}}$

не зависит от h . В этом случае общим значением является производная f в точке x .

Этот факт следует из принципа переноса нестандартного анализа и перелива .

Обратите внимание, что аналогичный результат справедлив для дифференцируемости в конечных точках a , b при условии, что знак бесконечно малой величины h соответствующим образом ограничен.

Во второй теореме интеграл Римана определяется как предел, если он существует, направленного семейства сумм Римана ; это суммы вида

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}f(\xi _{k})(x_{k+1}-x_{k})}$

где

${\displaystyle a=x_{0}\leq \xi _{0}\leq x_{1}\leq \ldots x_{n-1}\leq \xi _{n-1}\leq x_{n}=b.}$

Такая последовательность значений называется разделом или сеткой и

${\displaystyle \sup _{k}(x_{k+1}-x_{k})}$

ширина сетки. В определении интеграла Римана предел сумм Римана принимается при ширине сетки, стремящейся к 0.

Теорема : Пусть f — вещественная функция, определенная на интервале [ a , b ]. Тогда f интегрируема по Риману на [ a , b ] тогда и только тогда, когда для каждой внутренней сетки бесконечно малой ширины величина

${\displaystyle S_{M}=\operatorname {st} \sum _{k=0}^{n-1}[*f](\xi _{k})(x_{k+1}-x_{k})}$

не зависит от сетки. В этом случае общим значением является интеграл Римана от f по [ a , b ].

Приложения

Одним из непосредственных применений является расширение стандартных определений дифференциации и интегрирования на внутренние функции на интервалах гипердействительных чисел.

Внутренняя гипердействительнозначная функция f на [ a, b ] является S -дифференцируемой в точке x , при условии

${\displaystyle \Delta _{h}f=\operatorname {st} {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

существует и не зависит от бесконечно малого h . Значение — это производная S в точке x .

Теорема : Предположим, что f является S -дифференцируемой в каждой точке [ a, b ], где b − a — ограниченное гипердействительное число. Предположим далее, что

${\displaystyle |f'(x)|\leq M\quad a\leq x\leq b.}$

Тогда для некоторого бесконечно малого ε

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq M(b-a)+\epsilon .}$

Чтобы доказать это, пусть N — нестандартное натуральное число. Разделим интервал [ a , b ] на N подинтервалов, разместив N − 1 равноотстоящих промежуточных точек:

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{N-1}<x_{N}=b}$

Затем

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq \sum _{k=1}^{N-1}|f(x_{k+1})-f(x_{k})|\leq \sum _{k=1}^{N-1}\left\{|f'(x_{k})|+\epsilon _{k}\right\}|x_{k+1}-x_{k}|.}$

Теперь максимум любого внутреннего множества бесконечно малых величин является бесконечно малой величиной. Таким образом, все ε _k доминируются бесконечно малой величиной ε. Следовательно,

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq \sum _{k=1}^{N-1}(M+\epsilon )(x_{k+1}-x_{k})=M(b-a)+\epsilon (b-a)}$

из чего следует результат.

Смотрите также

• Равенство
• Критика нестандартного анализа
• Использование Архимедом бесконечно малых величин
• Элементарное исчисление: подход к бесконечно малым величинам
• Неклассический анализ
• история исчисления

Примечания

1. Курант описал бесконечно малые величины на странице 81 « Дифференциального и интегрального исчисления», том I , как «лишенные всякого ясного смысла» и «наивное затуманивание». Аналогично на странице 101 Курант описал их как «несовместимые с ясностью идей, требуемых в математике», «совершенно бессмысленные», «туман, окутывающий основы» и «туманную идею».
2. Элементарное исчисление: подход к бесконечно малым , стр. iv.
3. Скотт, Дж. Ф. 1981. «Математические работы Джона Уоллиса, доктора богословия, члена Королевского общества (1616–1703)». Chelsea Publishing Co. Нью-Йорк, Нью-Йорк. стр. 18.
4. Кац, Михаил ; Толл, Дэвид (2011), Напряжение между интуитивными бесконечно малыми и формальным математическим анализом , Бхарат Шрираман , редактор. Перекрестки в истории математики и математического образования. Монографии энтузиастов математики Монтаны по математическому образованию 12, Information Age Publishing, Inc., Шарлотт, Северная Каролина, arXiv : 1110.5747 , Bibcode : 2011arXiv1110.5747K
5. Кейслер, Основы исчисления бесконечно малых ('07), стр. 45
6. Кевин Хьюстон , Как думать как математик, ISBN 978-0-521-71978-0 
7. Бласс, Андреас (1978), «Обзор: Мартин Дэвис, Прикладной нестандартный анализ, и К. Д. Строян и В. А. Дж. Люксембург, Введение в теорию бесконечно малых, и Х. Джером Кейслер, Основы исчисления бесконечно малых», Bull. Amer. Math. Soc. , 84 (1): 34–41, doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14401-2, стр. 37.
8. Кейслер (1986, стр. 164)

Ссылки

• Фицпатрик, Патрик (2006), Продвинутый анализ , Брукс/Коул
• H. Jerome Keisler: Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. Первое издание 1976; 2-е издание 1986. (Эта книга в настоящее время не издается. Издатель вернул авторские права автору, который предоставил 2-е издание в формате .pdf для скачивания по адресу http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html.)
• H. Jerome Keisler: Основы исчисления бесконечно малых, доступно для скачивания по адресу http://www.math.wisc.edu/~keisler/foundations.html (10 января 2007 г.)
• Бласс, Андреас (1978), «Обзор: Мартин Дэвис, Прикладной нестандартный анализ, и К. Д. Строян и В. А. Дж. Люксембург, Введение в теорию бесконечно малых, и Х. Джером Кейслер, Основы исчисления бесконечно малых», Bull. Amer. Math. Soc. , 84 (1): 34–41, doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14401-2
• Барон, Маргарет Э .: Истоки исчисления бесконечно малых. Pergamon Press, Оксфорд-Эдинбург-Нью-Йорк, 1969. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1987. (Новое издание книги Барон вышло в 2004 году)
• «Бесконечно малые исчисления», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

Внешние ссылки

• Кейслер, Х. Джером (2007). Элементарное исчисление: подход к бесконечно малым . Dover Publications. ISBN 978-0-48-648452-5. Онлайн-версия (2022)

• Хенле, Джеймс М.; Кляйнберг, Юджин М. (1979). Бесконечно-малое исчисление . Дуврские публикации. ISBN 978-0-48-642886-4.Исчисление бесконечно малых величин в интернет-архиве

• Brief Calculus (2005, ред. 2015) Бенджамина Кроуэла. Этот короткий текст предназначен скорее для самостоятельного изучения или повторения, чем для использования в классе. Бесконечно малые используются, когда это уместно, и рассматриваются более строго, чем в старых книгах, таких как Calculus Made Easy Томпсона , но менее подробно, чем в Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals Кейслера .